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大學數學應用問題集錦 版權信息
- ISBN：9787030738950
- 條形碼：9787030738950 ; 978-7-03-073895-0
- 裝幀：一般膠版紙
- 冊數：暫無
- 重量：暫無
- 所屬分類：>
大學數學應用問題集錦 內容簡介
本書介紹同大學數學基礎課程（微積分和常微分方程，也包括一小部分線性代數）相關的應用問題,主要是這些課程在數學和物理中的應用，希望能通過這些應用問題提高學生學習大學數學課程的積極性。本書中的應用問題有一部分是很短的，可作為簡單的閱讀材料，也有一些有相當難度，可作為探索內容。本書可供本科高年級的學生閱讀，也可供相應數學課程的教師參考。
大學數學應用問題集錦 目錄
目錄
“大學數學科學叢書”序
前言
第1章 一元函數的導數 1
1.1 直接求導 1
1.1.1 極坐標和球坐標中質點的動能 1
1.1.2 平面旋轉坐標系中的慣性力 2
1.2 Taylor公式與近似計算 5
1.2.1 位于地球表面的物體的重力勢能 5
1.2.2 黑體輻射公式的低頻和高頻近似 6
1.2.3 狹義相對論的質能關系式 6
1.2.4 氫原子能級的精細結構 7
1.2.5 潮汐 9
1.3 單調性與*大*小值 13
1.3.1 拋體的*遠距離 13
1.3.2 Wien位移定律 15
1.3.3 光的折射與Fermat原理 15
1.3.4 蜂巢的邊界 17
1.3.5 實系數一元三次方程的實根個數 18
1.3.6 Young不等式、H.lder不等式和Minkowski不等式 19
1.3.7 Lagrange點 22
1.4 凸性 27
1.4.1 Jensen 不等式 27
1.4.2 平均值不等式 28
第2章 一元函數的積分 32
2.1 直接積分 32
2.1.1 旋轉杯子中的水面 32
2.1.2 Buffon投針問題 33
2.2 微元法 34
2.2.1 繞在桿上的繩子 34
2.2.2 Poiseuille公式 35
2.2.3 火箭 36
2.3 平均 37
2.3.1 桿秤 37
2.3.2 水閘上壓力的力矩 38
2.3.3 引力 39
2.3.4 交流電的平均 39
第3章 常微分方程 42
3.1 一階常微分方程 42
3.1.1 有阻力時的拋體 42
3.1.2 單擺 43
3.1.3 懸鏈線 45
3.1.4 *速曲線 46
3.2 二階線性常微分方程 49
3.2.1 帶阻尼的受迫振動 49
3.2.2 電路中的初始條件 52
3.3 二階非線性常微分方程及方程組 53
3.3.1 以恒力拉起鏈條 53
3.3.2 二體問題 54
3.3.3 過山車的軌道 58
第4章 多元函數的微積分 63
4.1 多元函數的微分 63
4.1.1 三角形的Fermat點 63
4.1.2 *小二乘法 66
4.1.3 定壓熱容量與定容熱容量之差.68
4.1.4 平衡態熵極大的推論 70
4.2 重積分 73
4.2.1 均勻球體產生的引力 73
4.2.2 均勻圓盤產生的引力 74
4.3 曲線積分、曲面積分與向量分析 75
4.3.1 極坐標下的梯度和散度 77
4.3.2 Archimedes定律 79
4.3.3 Maxwell方程組 81
4.3.4 Maxwell方程組的微分形式表示 84
第5章 級數與Fourier變換 89
5.1 函數項級數 89
5.1.1 Kepler第三定律推導中的一個積分 89
5.1.2 Stefan-Boltzmann定律 90
5.2 冪級數 92
5.2.1 Fibonacci數列 92
5.2.2 Catalan數 94
5.2.3 Legendre方程的解的收斂域 97
5.2.4 指數函數和三角函數的定義 100
5.3 Fourier級數 103
5.3.1 Gibbs現象 103
5.3.2 正弦級數和余弦級數 105
5.3.3 調幅波的Fourier級數 107
5.3.4 調頻波的Fourier級數 109
5.4 Fourier變換 111
5.4.1 一個近似周期函數的Fourier變換 112
5.4.2 光柵的Fraunhofer衍射 113
5.4.3 一維熱傳導方程的求解 116
5.4.4 Heisenberg不確定性原理 117
5.4.5 圓孔的Fraunhofer衍射 119
5.5 離散Fourier變換 121
5.5.1 超長整數的乘法 122
5.5.2 一個近似周期函數的離散Fourier變換 123
第6章 線性代數 126
6.1 線性代數方程組 126
6.1.1 Thevenin定理 126
6.1.2 純電阻電路中增加電阻 128
6.2 矩陣及其特征值 133
6.2.1 振動系統 133
6.2.2 三階旋轉矩陣的特征值和特征向量 134
6.2.3 角速度和旋轉坐標系中的慣性力 135
第7章 變分法及其相關問題 138
7.1 變分法 138
7.1.1 球面上的測地線 140
7.1.2 *速曲線 141
7.1.3 地球表面兩點間的*速曲線 143
7.2 與擺線相關的一個積分方程 147
7.2.1 等時擺I 147
7.2.2 等時擺II 149
參考文獻 152
附錄 A復數的指數形式 153
附錄B 電容和電感 155
B.1 電容 155
B.2 電感 155
B.3 容抗和感抗 156
附錄C 二極管 160
索引 162
“大學數學科學叢書”已出版書目 165
“大學數學科學叢書”序
前言
第1章 一元函數的導數 1
1.1 直接求導 1
1.1.1 極坐標和球坐標中質點的動能 1
1.1.2 平面旋轉坐標系中的慣性力 2
1.2 Taylor公式與近似計算 5
1.2.1 位于地球表面的物體的重力勢能 5
1.2.2 黑體輻射公式的低頻和高頻近似 6
1.2.3 狹義相對論的質能關系式 6
1.2.4 氫原子能級的精細結構 7
1.2.5 潮汐 9
1.3 單調性與*大*小值 13
1.3.1 拋體的*遠距離 13
1.3.2 Wien位移定律 15
1.3.3 光的折射與Fermat原理 15
1.3.4 蜂巢的邊界 17
1.3.5 實系數一元三次方程的實根個數 18
1.3.6 Young不等式、H.lder不等式和Minkowski不等式 19
1.3.7 Lagrange點 22
1.4 凸性 27
1.4.1 Jensen 不等式 27
1.4.2 平均值不等式 28
第2章 一元函數的積分 32
2.1 直接積分 32
2.1.1 旋轉杯子中的水面 32
2.1.2 Buffon投針問題 33
2.2 微元法 34
2.2.1 繞在桿上的繩子 34
2.2.2 Poiseuille公式 35
2.2.3 火箭 36
2.3 平均 37
2.3.1 桿秤 37
2.3.2 水閘上壓力的力矩 38
2.3.3 引力 39
2.3.4 交流電的平均 39
第3章 常微分方程 42
3.1 一階常微分方程 42
3.1.1 有阻力時的拋體 42
3.1.2 單擺 43
3.1.3 懸鏈線 45
3.1.4 *速曲線 46
3.2 二階線性常微分方程 49
3.2.1 帶阻尼的受迫振動 49
3.2.2 電路中的初始條件 52
3.3 二階非線性常微分方程及方程組 53
3.3.1 以恒力拉起鏈條 53
3.3.2 二體問題 54
3.3.3 過山車的軌道 58
第4章 多元函數的微積分 63
4.1 多元函數的微分 63
4.1.1 三角形的Fermat點 63
4.1.2 *小二乘法 66
4.1.3 定壓熱容量與定容熱容量之差.68
4.1.4 平衡態熵極大的推論 70
4.2 重積分 73
4.2.1 均勻球體產生的引力 73
4.2.2 均勻圓盤產生的引力 74
4.3 曲線積分、曲面積分與向量分析 75
4.3.1 極坐標下的梯度和散度 77
4.3.2 Archimedes定律 79
4.3.3 Maxwell方程組 81
4.3.4 Maxwell方程組的微分形式表示 84
第5章 級數與Fourier變換 89
5.1 函數項級數 89
5.1.1 Kepler第三定律推導中的一個積分 89
5.1.2 Stefan-Boltzmann定律 90
5.2 冪級數 92
5.2.1 Fibonacci數列 92
5.2.2 Catalan數 94
5.2.3 Legendre方程的解的收斂域 97
5.2.4 指數函數和三角函數的定義 100
5.3 Fourier級數 103
5.3.1 Gibbs現象 103
5.3.2 正弦級數和余弦級數 105
5.3.3 調幅波的Fourier級數 107
5.3.4 調頻波的Fourier級數 109
5.4 Fourier變換 111
5.4.1 一個近似周期函數的Fourier變換 112
5.4.2 光柵的Fraunhofer衍射 113
5.4.3 一維熱傳導方程的求解 116
5.4.4 Heisenberg不確定性原理 117
5.4.5 圓孔的Fraunhofer衍射 119
5.5 離散Fourier變換 121
5.5.1 超長整數的乘法 122
5.5.2 一個近似周期函數的離散Fourier變換 123
第6章 線性代數 126
6.1 線性代數方程組 126
6.1.1 Thevenin定理 126
6.1.2 純電阻電路中增加電阻 128
6.2 矩陣及其特征值 133
6.2.1 振動系統 133
6.2.2 三階旋轉矩陣的特征值和特征向量 134
6.2.3 角速度和旋轉坐標系中的慣性力 135
第7章 變分法及其相關問題 138
7.1 變分法 138
7.1.1 球面上的測地線 140
7.1.2 *速曲線 141
7.1.3 地球表面兩點間的*速曲線 143
7.2 與擺線相關的一個積分方程 147
7.2.1 等時擺I 147
7.2.2 等時擺II 149
參考文獻 152
附錄 A復數的指數形式 153
附錄B 電容和電感 155
B.1 電容 155
B.2 電感 155
B.3 容抗和感抗 156
附錄C 二極管 160
索引 162
“大學數學科學叢書”已出版書目 165
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大學數學應用問題集錦 節選
第1章一元函數的導數 1.1直接求導 1.1.1極坐標和球坐標中質點的動能 設平面上一個質量為m的質點的位置為，則它的動能為，其中表示對時間t的導數. 在平面上還可以用極坐標，它與直角坐標的關系為 (1.1) [問題]證明:在平面上，有 (1.2) [解答]由直角坐標同極坐標的關系得 所以 同樣，設空間一個質量為m的質點的位置為，則它的動能為.在空間還可以用球坐標(r，θ，φ)á，它與直角坐標的關系為 (1.3) [問題]證明:在空間，有 (1.4) [解答]由直角坐標同球坐標的關系得 所以 1.1.2平面旋轉坐標系中的慣性力 當汽車剎車時，人會向前傾.從地面上看，這是由于人有慣性.然而，如果將車密閉，車上的人也可以認為除了重力外，他突然受到了一個向前的力，車上的人感覺到的這個向前的力稱為慣性力.地面所在的參考系是慣性系，從地面上來看，這個力是完全沒有的.但是，剎車時車子所在的參考系并非慣性系，為了在此參考系中仍能使用Newton(牛頓)運動定律，必須引入這個假想的慣性力à.本小節考慮在勻速旋轉參考系中的相應問題. 設有一個水平放置的轉盤，上面放有一個相對轉盤靜止的物體，物體上有一根線連在轉盤的中心.當轉盤轉動時，線上會產生張力，以防止物體被甩出.從地面上看，要使物體做圓周運動，必須給它施力，這就是線對物體施加的向心力.但從轉盤上看，物體處于靜止狀態.由于轉盤參考系不是慣性系，為了仍能使用Newton運動定律，通常引入一個假想的慣性力——慣性離心力，它同向心力大小相等、方向相反.于是，從轉盤上看，物體靜止不動的原因是慣性離心力和線的拉力相平衡了. 如果物體在轉盤上運動，情況就比較復雜了.從轉盤上看，它除了受到假想的慣性離心力的作用外，還受到另一個假想的慣性力——Coriolis(科里奧利)力的作用.如果用向量來討論這個問題會比較復雜，而對于平面運動，用復數來討論會簡單得多. 設轉盤以恒定角速度ω逆時針旋轉.我們用復數表示向量，將旋轉中心作為復平面的原點.如果在地面參考系中，質點的位置為，所受的外力為，在轉盤參考系中，質點的位置為，所受的外力為，則有. [問題]將地面參考系中的Newton運動方程改寫為轉盤參考系中的方程. [解答]在地面參考系中，Newton運動方程(即Newton第二定律)為 其中m是質點的質量.轉換到轉盤參考系中，則有 將上式左邊展開得 即 這就是轉盤參考系中的Newton運動方程. [說明]等式右邊的**項就是外力;第二項是慣性離心力，它的大小為，方向從轉盤中心指向質點;第三項稱為Coriolis力，它的大小為，其中是質點的速度，Coriolis力的方向垂直于v，并且從v沿轉盤旋轉相反方向轉過90 見下圖. 由于地球有自轉，地球上任何運動的物體都會受到Coriolis力的作用.在地理學上，Coriolis力也稱為地轉偏向力.北半球的河水受到向右的Coriolis力的作用，使得河道的右側沖刷較嚴重.另外，北半球的火車通常規定在左側的軌道上行駛也是因為以前要減少Coriolis力對路基的影響，因為北半球的火車受到向右的Coriolis力的作用，當雙線軌道上的火車在左側軌道上行駛時，會將軌道向右推，從而將路基向內推緊，如果在右側軌道上行駛的話，則會將路基向外推松. 一般地，在三維空間中，如果質點的速度為v，參考系相對慣性參考系的角速度為ω，則質點所受的Coriolis力為2mv×ω，詳細討論請參見6.2.3小節. Coriolis力*直觀的表現是Foucault(傅科)擺.1851年，Foucault在巴黎的先賢祠將一個質量為28千克的大鐵球懸掛在67米長的鋼纜上，形成一個能擺動很長時間而不停止的單擺.在Coriolis力的作用下，擺動平面會以恒定的角速度旋轉，轉動一周約需32小時.下面來分析這一過程. Foucault擺在擺動過程中，慣性離心力幾乎不發生變化，可以將其歸于重力中.同時，當擺動角度較小時，可近似看作為直線運動.如下圖.在擺所在地建立直角坐標系，x軸與緯線相切，方向向東，y軸與經線相切，方向向北，z軸從地面向上.在此坐標系下，地球的自轉角速度為，其中為緯度，北緯為正、南緯為負. 當擺動幅度較小時，擺球在豎直方向的速度可以忽略.于是，設擺球的速度為，則它所受的Coriolis力為 其豎直分量對擺動平面的旋轉無影響，且同重力相比很小，對周期的影響可忽略.另一方面，于是，在緯度為處的Coriolis力等價于在以角速度旋轉的地球上的擺在北極所受的Coriolis力.而在北極，如果地球以角速度逆時針旋轉，則從地球上來看，擺動平面以角速度順時針旋轉.所以在緯度為處，Foucault擺的擺動平面以角速度順時針旋轉.巴黎先賢祠在北緯48.8°，代入上式計算得擺動平面轉動一周所需的時間為24小時/sin48.8°≈32小時.現在世界各地有很多Foucault擺，在上海天文館(位于北緯30.9.)中就有一個，它的擺動平面轉動一周所需的時間為24小時/sin30.9°≈47小時. 1.2Taylor公式與近似計算 在近似計算中，Taylor(泰勒)公式起了很大的作用.在很多應用問題中，只用到了帶Peano(佩亞諾)余項的一階Taylor公式，實際上就是微分.由于現在數值計算都利用計算機或計算器，在具體計算中使用Taylor公式的情況是不多的.然而，Taylor公式在公式的近似化簡中仍起著很大的作用.在一定條件下，從化簡后的近似公式中能更清楚地看出問題的實質. 1.2.1位于地球表面的物體的重力勢能 如果一個質量為m的質點位于地球表面之外，那么它的重力勢能為，其中G是萬有引力常量，M是地球的質量，r是該點到地心的距離.現在設一點離地面很近，記h為該點離地面的高度，那么通常不會再用.來計算重力勢能，而是用mgh來計算. [問題]導出地面附近的重力勢能公式. [解答]記r=R+h，其中R是地球的半徑.由于GM=R2g，其中g是重力加速度，所以 (1.5) 改變了勢能的零點后，重力勢能就近似成了mgh. 1.2.2黑體輻射公式的低頻和高頻近似 任何物體都會輻射電磁波，例如燒紅的鐵棒會輻射可見光，而人體主要輻射紅外線.黑體是任何電磁波射到其上都會全部吸收而不會反射的理想物體，它只會按自身的溫度輻射電磁波.對一個固定溫度(絕對溫度)T的黑體，單位體積內的能量密度按頻率ν有一個分布ρ(ν).Planck(普朗克)黑體輻射公式給出: (1.6) 其中c是真空中的光速，h是Planck常量，k是Boltzmann(玻爾茲曼)常量，T是黑體的絕對溫度. [問題]求ν很小和ν很大時Planck黑體輻射公式的近似表達式. [解答]當ν→0時， (1.7) 當ν→+∞時， (1.8) 所以當ν很小時，而當ν很大時. [說明]上面當ν很小時的公式稱為Rayleigh-Jeans(瑞利–金斯)公式，而 當ν很大時的公式稱為Wien(維恩)公式，這兩個公式均可從經典物理理論導出，這時，電磁波的能量是連續的.Planck利用這兩個漸近公式得到了黑體輻射公式(1.6)后，為了從統計力學將其導出，發現電磁波的能量只能取hν的整數倍，后來Einstein(愛因斯坦)據此提出了光子的概念.現在通常將Planck建立黑體輻射公式作為量子力學的誕生. 1.2.3狹義相對論的質能關系式 在Newton的經典力學中，時間只是一個統一的參數，同參考系無關.而在狹義相對論中，時間和空間不能獨立地變換，而是通過Lorentz(洛倫茲)變換一起變化，從而時間和空間變量成為一個四維空間(稱為Minkowski(閔可夫斯基)四維時空)中的一個向量的分量，這個向量通常記為其中c是真
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