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微積分概念發展史(修訂版) 版權信息
- ISBN：9787576022582
- 條形碼：9787576022582 ; 978-7-5760-2258-2
- 裝幀：一般膠版紙
- 冊數：暫無
- 重量：暫無
- 所屬分類：>
微積分概念發展史(修訂版) 本書特色
數學史界的“愛德華·吉本”卡爾·B. 波耶 杰出的數學史家、美國科學史學會副主席、 國際科學史研究院院士、古根海姆獎獲得者 梳理微積分概念發展史的經典著作 值得數學教師和數學愛好者認真研讀 微積分和數學分析是人類智力的偉大成就，本書是梳理微積分概念發展史的重要著作。數學教師們應該閱讀本書，這將對數學教學改革朝著健康方向發展產生巨大影響。 —— R. 柯朗，著名數學家、數學教育家
微積分概念發展史(修訂版) 內容簡介
本書是關于微積分概念發展歷程的經典著作。作者從芝諾悖論開始，以柯西的極限理論、戴德金等人對連續性、數和無窮大理論的發展結束，系統介紹了這些概念和一系列相關探索。既有引人入勝的歷史敘述，又有對思想源流的深刻分析；不僅闡釋了數學發現的方法，而且闡明了數學思想的基礎，使讀者意識到數學不是一種技術，而是一種思維習慣。這部數學史經典值得數學教師和數學愛好者認真研讀。
微積分概念發展史(修訂版) 目錄
**章 引論
第二章 古代的概念
第三章 中世紀的貢獻
第四章 一個世紀的期待
第五章 牛頓和萊布尼茨
第六章 猶豫不決的時期
第七章 嚴密的闡述
第八章 結論
參考文獻
索引
譯者后記
第二章 古代的概念
第三章 中世紀的貢獻
第四章 一個世紀的期待
第五章 牛頓和萊布尼茨
第六章 猶豫不決的時期
第七章 嚴密的闡述
第八章 結論
參考文獻
索引
譯者后記
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微積分概念發展史(修訂版) 節選
**章 引論 數學作為人類心智訓練和精神遺產不可分割的一部分，已經擁有了至少2500年的歷史。然而，在這漫長的歲月中，人們對該學科的性質尚未有一致意見，也沒有形成一個廣為接受的定義。 通過觀察大自然，古代的巴比倫人和埃及人建立起一套數學知識，并以之作為進一步觀察的基礎。泰勒斯（Thales）也許提出了演繹法，早期畢達哥拉斯（Pythagoras）學派的數學明顯具有演繹的性質。畢達哥拉斯學派和柏拉圖（Plato）注意到，他們通過演繹法獲得的結論，在很大程度上與觀察和歸納推理的結果一致。他們無法對這種一致性做出別的解釋，便認為數學是對終極、永恒現實以及自然和宇宙固有性質的研究，而不是邏輯的一個分支或者科學技術所運用的一種工具。他們認定，要對經驗做出正確解釋，必先理解其中的數學原理。畢達哥拉斯學派有一句“萬物皆數”的格言，柏拉圖曾宣稱“上帝乃幾何學家”，都反映了這樣的觀念。 誠然，稍后的希臘懷疑論者曾質疑，推理或經驗能否獲取具有這種絕對性質的知識。不過與此同時，亞里士多德學派的科學也表明，通過觀察和邏輯至少可以獲得與現象一致的描述，因此經歐幾里得（Euclid）處理后，數學就成為演繹關系的一種理想模式。它產生于那些與觀察歸納的結論相一致的公設，是可以用于闡釋自然的。 經院學派的觀點在中世紀十分盛行，他們認為宇宙“秩序井然”，易于理解。到了14世紀，世人非常清楚地意識到，逍遙學派對運動和變化所持的定性觀*好能被定量研究所取代。這兩個概念，加上對柏拉圖觀點再次產生的興趣使15世紀和16世紀的人們重新確信，數學在某些方面獨立并先于經驗的直覺知識。這種信念在庫薩的尼古拉斯（Nicholas of Cusa）、開普勒（Kepler）和伽利略（Galileo）的思想中都留有印記，在某種程度上也出現于列奧納多·達·芬奇（Leonardo da Vinci）的思想中。 認為數學乃構筑宇宙之基礎的觀念，在16世紀和17世紀又發生了變化。在數學中，變化的原因是時人對代數少加批判但更為實際地運用（代數學在13世紀初由阿拉伯人傳入，隨后在意大利得到發展）。在自然科學領域，變化歸因于實驗方法的興起。于是，笛卡爾（Descartes）、波義耳（Boyle）等人所談論的數學確定性被闡釋為一種一致性，它可以在其推理特性中找到，而不是從任何表現出先驗的本體論必然性中找到。 18世紀，微積分被極其成功地應用于解決科學和數學問題，此時人們重點關注的是運算而不是數學基礎。19世紀，在重新分析無窮大時，為了給所涉及的概念找到滿意的基礎，人們付出了持久的努力，進而產生了一種更有批判性的態度。數學的嚴密性復興了，人們發現歐幾里得的公設只不過是一些假設，并不像康德（Kant）堅持的那樣是絕對的綜合判斷。此類假設的選擇非常隨意——在彼此相容的條件下，允許它們與顯而易見的感官證據相矛盾。19世紀末，由于數學分析中的算術化傾向，人們進一步發現，可以把超越所有直覺和分析的無窮概念引入數學，而不損害該學科的邏輯一致性。 如果數學的假設獨立于感性世界，并且其原理超越了所有經驗，那么這個學科充其量不過是赤裸裸的形式邏輯，更糟的情況是蛻化為符號上的同義反復。數學形式的符號化和算術化傾向在連續性的研究中獲得了極大成功，但也導致了頑固的悖論，這一事實使人們對數學本質的興趣越來越大——它在精神生活中的范圍和地位，其原理和公設的心理學來源，其命題的邏輯力量及其作為對感官世界的闡釋的有效性。 過去，數學被認為是研究數量或者空間和數字的學科，這種舊觀點現在基本上已經消失。人們意識到，樸素的空間直覺會導致自相矛盾。這一事實顛覆了康德哲學中的公設觀念。不過，數學家雖然不受外部感官知覺世界的控制，卻仍然受其指引。連續性的數學理論來源于直接經驗，但是*終被數學家采用的連續統定義卻超越了感官想象。數學形式主義者由此得出結論：既然在數學的定義和前提中，直覺毫無用處，我們就沒有必要解釋公理，或是知道其中涉及的對象和關系的本質。直覺主義者則堅持認為，其中涉及的數學符號應該很好地表達思想。兩種（或更多）觀點認為數學定理的準確性不容置疑，但是，數學概念是由直覺暗示（而非定義）的看法卻能很容易地解釋這一點：數學演繹推理得出的結論與經驗歸納得出的結論明顯一致。導數和積分產生于大自然*明顯的兩個特征——多樣性和可變性，但是，*終其抽象的數學定義卻建立在元素的無窮序列極限的基礎概念之上。一旦我們描繪出其發展軌跡，也就容易理解那些用來闡釋自然的觀點所具有的力量和豐富性了。 古希臘數學家試圖用數表達對直線的比率或比例的直覺觀點時，遇到了邏輯困境，由此促成了微積分的產生。他們認為數是離散的，而直線大概是連續的，這樣一來，幾乎立刻就觸及了邏輯上不夠完美（但是在直覺上很吸引人）的無窮小概念。然而，古希臘嚴密的思想卻將無窮小排除在幾何證明之外，并代之以窮竭法，這種方法可避開無窮小問題，但十分麻煩。古希臘科學家沒有定量地解決變化的問題。在運動學中，沒有哪種方法像窮竭法對幾何學那樣，使其避開芝諾（Zeno）悖論所展示的困境。不過，14世紀的經院哲學家對變量展開了定量研究，他們的方法在很大程度上是辯證的，但是也求助于圖示。到了17世紀，這一研究方法使得引入解析幾何以及變量的系統表示法成為可能。 應用這種新型分析方法，加之自由使用具有啟發性的無窮小和更廣泛地運用數的概念，短時間內就產生了牛頓（Newton）和萊布尼茨（Leibniz）的算法，它們構成了微積分。但是，即便在這個階段，該學科的邏輯基礎仍然缺乏明確概念。18世紀的數學家致力于尋找這樣的基礎，雖然幾乎沒有獲得什么成就，卻在很大程度上將微積分從連續運動和幾何量的直覺中解放出來。19世紀初，導數成為基本概念，隨著數學家嚴格定義了數和連續性，到19世紀后半葉，一個堅實的基礎就此完成。為了對連續性那種模糊、本能的感覺做出解釋，數學家付出了大約2500年的努力，*終形成了精確的概念。這些概念由邏輯定義，表現出超越感官經驗世界的推斷。經過深思熟慮的研究，直覺，或者對表面上無法充分表達的經驗要素的所謂直接認識，終于被嚴格定義的抽象理性概念所取代，這些概念是讓科學和數學思想變得簡潔的寶貴工具。 如今，微積分的基礎定義——導數和積分的定義——在該學科的教科書中表述得非常清楚，掌握相關運算也非常容易，人們似乎忘記了當初研究這些基本概念所遭遇的艱辛。通常來說，清晰充分地理解一門學科背后的基礎概念，要等到其發展的相對后期才能實現。微積分的興起就恰如其分地說明了這一規律。微積分*初提供的規則表述精確，易于使用，在某種程度上導致數學家對這個學科的邏輯發展所要求的細致工作無動于衷。他們設法利用產生于空間直覺的傳統幾何與代數的概念建立微積分。然而，到18世紀，詳細闡述基礎概念所面臨的固有困難變得越來越明顯，談論“微積分的形而上學”成為慣例；言下之意是，數學已無力為微積分的基礎給出令人滿意的說明。19世紀，由于采用精確的數學術語，基本概念得以澄清，人們在自然界的具體直覺（也許潛藏在幾何與代數中）和富于想象力思索的神秘主義（也許興盛于先驗的形而上學之上）之間，終于找到了一條安全的路線。于是，導數在其整個發展過程中，便搖搖晃晃地夾在速度（這個科學上的現象）和運動（這個哲學上的純理性概念）之間。 積分的歷史與此相似。一方面，它為近似值或誤差補償的實證主義思想提供了充分的闡釋機會，這兩種觀點基于科學測量承認的近似性質和疊加效應公認的學說。另一方面，唯心主義的形而上學認為，在感官知覺有限論之外，人類經驗和推理可以，但只能可望而不可即地逐漸接近超驗無窮大。只有形成于19世紀的精確數學定義，才能使導數和積分保持它們作為抽象概念的本來地位，這種抽象概念也許衍生自物理描述和形而上學解釋，但是又獨立于兩者。 ………… 本文的目的就是追溯這兩個概念的發展歷史，從它們發端于感覺經驗到*終確立為數學抽象——依靠無窮序列極限的思想，根據形式邏輯加以定義。我們將發現，微積分的歷史稱得上是一個非凡的驚人實例，展現了數學概念是在擺脫了我們*初的直覺產生的所有感性認知后緩慢形成的。在*終的微積分里，導數和積分是從序數的角度，而非連續量和可變性的角度來綜合定義的。盡管如此，它們卻是努力將我們對*后兩個概念的感覺印象加以系統化所產生的結果。這說明，微積分在其早期發展階段，為何會與幾何或者運動的概念以及不可分量和無窮小的解釋有密切關系，那是因為這些觀點都產生于連續性的樸素直覺和經驗。 ………… 龐加萊（Poincaré）曾說過，如果數學家淪為抽象邏輯的獵物，他們將永遠走不出數論和幾何公設的范疇。自然界將連續統和微積分問題扔給數學家，因此我們完全可以理解，竟有一個類似物理學中頑固的原子論的思想，試圖通過不可分元素來描畫幾何學所說明的宇宙。但是，數學的進一步發展已經表明，為了保存該學科的邏輯一致性，這樣的想法必須放棄。產生導數和積分的概念的基礎*初是在幾何中發現的，因為，盡管幾何證明具有不容置疑的特性，人們仍然認為幾何是對感性世界的抽象化、理想化。 然而，人們近年來越來越清楚地認識到，數學是對普遍關系的研究，任何源自感官知覺、對這些關系先入為主的看法，都不能妨礙我們探索這些關系應該是什么。因此，微積分逐漸擺脫幾何學，并通過導數和積分的定義而依賴自然數的概念，所有傳統的純數學（包括幾何）都可由自然數概念推導出來。現在，數學家們感到，集合論為微積分提供了必需的基礎，從牛頓和萊布尼茨的時代起，人們就開始探索這些基礎了。但是，我們卻不能自以為是地斷言，在直覺將所有這些從原始的變化和多樣性觀點中提煉出的毫不相干的概念聯系在一起的過程中，這會是*后一個步驟。人類天然會把對自己*有價值的思想具體化，不過，若對導數和積分起源有一個公正評價就會清楚地認識到，任何認為這些概念的建立就是微積分概念發展的終結的觀點，都是毫無根據的盲目樂觀。
微積分概念發展史(修訂版) 作者簡介
卡爾·B. 波耶（Carl B. Boyer，1906—1976） 美國杰出的數學史家，國際科學史研究院院士。 1939年獲哥倫比亞大學數學博士學位，1952 年任紐約城市大學布魯克林學院數學教授，1954 年獲古根海姆獎，1957—1958年任美國科學史學會副主席。主要著作有 ：《微積分概念發展史》（1939 年）、《解析幾何史》（1956 年）、《彩虹：從神話 到數學》（1959 年）、《數學史》（1968 年）。
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