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工程科學(xué)近似方法 版權(quán)信息
- ISBN：9787030741585
- 條形碼：9787030741585 ; 978-7-03-074158-5
- 裝幀：一般膠版紙
- 冊數(shù)：暫無
- 重量：暫無
- 所屬分類：>
工程科學(xué)近似方法 內(nèi)容簡介
在我們?nèi)粘５墓こ萄芯颗c應(yīng)用中，我們經(jīng)常遇到很多需要近似計算的問題。本書從經(jīng)典“伽遼金”和“瑞利-里茲”近似方法的加權(quán)平均思想入手，在介紹變分方法、及其與微分方程關(guān)系的基礎(chǔ)上，論述了試探函數(shù)、基函數(shù)和形函數(shù)的重要作用，論述了分片積分方法的重要性，進(jìn)而引導(dǎo)出了有限元法的思想和方法實(shí)質(zhì)。在此基礎(chǔ)上，介紹了廣義變分原理與有限元法的關(guān)系。針對大型多維系統(tǒng)分析和計算過程中存在的計算量大的問題，介紹了模態(tài)方法的思想和作用、半解析半有限元法的應(yīng)用、以及靜力和動力子結(jié)構(gòu)方法的實(shí)施途徑。針對非線性的問題，介紹了迭代方法、切線或割線線性化法以及非線性隨機(jī)問題的統(tǒng)計線性化法等的實(shí)施過程，介紹了攝動方法的使用技巧和實(shí)施途徑。此外，對于微分方程的直接近似求解，還介紹了有限差分方法的思想和求解過程。
工程科學(xué)近似方法 目錄
目錄
前言
第1章 緒論 1
1.1 工程科學(xué)中的近似方法概述 1
1.2 工程科學(xué)近似方法的基本思想 4
第2章 伽遼金方法與加權(quán)余量法 5
2.1 伽遼金方法 5
2.2 加權(quán)余量法 7
2.3 伽遼金方法的舉例 10
第3章 瑞利-里茨方法 16
3.1 瑞利-里茨方法的基本思想 16
3.2 薄板彎曲問題的瑞利-里茨方法求解 17
3.3 利用瑞利-里茨方法求解系統(tǒng)固有頻率 23
第4章 變分法 28
4.1 變分法及歐拉-拉格朗日方程 28
4.2 經(jīng)典變分問題 31
4.2.1 *速降線問題 31
4.2.2 *短線程問題 34
4.2.3 等周問題 41
4.3 現(xiàn)代變分法的思想 43
第5章 變分法與微分方程 45
5.1 彈性靜力學(xué)問題的微分方程和變分形式 45
5.2 變分方程與微分方程的轉(zhuǎn)換 48
5.3 泊松方程的邊值問題 52
第6章 試探函數(shù)、基函數(shù)與形函數(shù) 54
6.1 試探函數(shù) 54
6.2 基函數(shù) 56
6.3 形函數(shù) 58
第7章 分片積分、離散化與有限元法 63
7.1 分片積分 63
7.2 局部形函數(shù) 68
7.2.1 一維二次三節(jié)點(diǎn)單元形函數(shù) 68
7.2.2 一維三次四節(jié)點(diǎn)單元形函數(shù) 69
7.2.3 一維三次二節(jié)點(diǎn)單元形函數(shù) 71
7.2.4 二維一次三節(jié)點(diǎn)單元形函數(shù) 72
7.2.5 三維一次四節(jié)點(diǎn)單元形函數(shù) 73
7.2.6 三維一次八節(jié)點(diǎn)單元形函數(shù) 74
7.3 有限元法的思想 77
第8章 廣義變分原理與有限元法 79
8.1 *小勢能原理 80
8.2 *小余能原理 82
8.3 胡海昌-鷲津原理 84
8.4 Hellinger-Reissner原理 85
8.5 錢氏廣義變分理論 87
8.6 有限元法 89
8.7 基于廣義變分原理的混合元有限元法 97
第9章 半解析半有限元法 106
9.1 半解析半有限元法的思想 106
9.2 簡支板的彎曲 107
9.3 旋轉(zhuǎn)殼的靜力學(xué)分析計算 112
第10章 子結(jié)構(gòu)與模態(tài)綜合法 122
10.1 靜力子結(jié)構(gòu)方法 123
10.2 動力子結(jié)構(gòu)的準(zhǔn)靜態(tài)方法 124
10.3 簡諧激勵的動力子結(jié)構(gòu)方法 126
10.4 約束模態(tài)動力子結(jié)構(gòu)方法 127
10.5 動力子結(jié)構(gòu)算例 132
第11章 非線性方程組的近似解法 140
11.1 直接迭代法 140
11.2 牛頓法 142
11.3 增量法 144
第12章 攝動方法 146
12.1 正則攝動問題的方法 147
12.2 奇異攝動問題的方法 150
12.3 多重尺度方法 155
12.4 攝動方法的應(yīng)用 167
12.4.1 解決諧波間耦合問題的攝動方法 167
12.4.2 混凝土侵徹問題的攝動求解方法 173
第13章 統(tǒng)計迭代線性化法 177
13.1 統(tǒng)計線性化法的基本思想 177
13.2 求解方法 177
13.3 高斯激勵的響應(yīng)分析 179
13.4 算例分析 179
13.4.1 單自由度系統(tǒng)的非線性隨機(jī)響應(yīng)分析 179
13.4.2 二自由度系統(tǒng)的非線性隨機(jī)響應(yīng)分析 181
第14章 模態(tài)分析方法 183
14.1 模態(tài)的思想 183
14.2 模態(tài)的截取 184
14.3 諧波間耦合動力問題的模態(tài)分析 188
14.3.1 坐標(biāo)轉(zhuǎn)換與模態(tài)截取 189
14.3.2 耦合諧波的模態(tài)分析 190
14.3.3 算例 191
第15章 有限差分法 193
15.1 差分與差商 194
15.2 截斷誤差及精度分析 195
15.3 偏微分的差分 197
15.4 網(wǎng)格的劃分 197
15.5 邊界條件的處理 198
15.6 一維熱傳導(dǎo)問題的差分求解 201
15.7 圓板非線性沖擊動力問題的差分求解 204
15.8 有限差分法的相關(guān)特性分析 210
參考文獻(xiàn) 223
前言
第1章 緒論 1
1.1 工程科學(xué)中的近似方法概述 1
1.2 工程科學(xué)近似方法的基本思想 4
第2章 伽遼金方法與加權(quán)余量法 5
2.1 伽遼金方法 5
2.2 加權(quán)余量法 7
2.3 伽遼金方法的舉例 10
第3章 瑞利-里茨方法 16
3.1 瑞利-里茨方法的基本思想 16
3.2 薄板彎曲問題的瑞利-里茨方法求解 17
3.3 利用瑞利-里茨方法求解系統(tǒng)固有頻率 23
第4章 變分法 28
4.1 變分法及歐拉-拉格朗日方程 28
4.2 經(jīng)典變分問題 31
4.2.1 *速降線問題 31
4.2.2 *短線程問題 34
4.2.3 等周問題 41
4.3 現(xiàn)代變分法的思想 43
第5章 變分法與微分方程 45
5.1 彈性靜力學(xué)問題的微分方程和變分形式 45
5.2 變分方程與微分方程的轉(zhuǎn)換 48
5.3 泊松方程的邊值問題 52
第6章 試探函數(shù)、基函數(shù)與形函數(shù) 54
6.1 試探函數(shù) 54
6.2 基函數(shù) 56
6.3 形函數(shù) 58
第7章 分片積分、離散化與有限元法 63
7.1 分片積分 63
7.2 局部形函數(shù) 68
7.2.1 一維二次三節(jié)點(diǎn)單元形函數(shù) 68
7.2.2 一維三次四節(jié)點(diǎn)單元形函數(shù) 69
7.2.3 一維三次二節(jié)點(diǎn)單元形函數(shù) 71
7.2.4 二維一次三節(jié)點(diǎn)單元形函數(shù) 72
7.2.5 三維一次四節(jié)點(diǎn)單元形函數(shù) 73
7.2.6 三維一次八節(jié)點(diǎn)單元形函數(shù) 74
7.3 有限元法的思想 77
第8章 廣義變分原理與有限元法 79
8.1 *小勢能原理 80
8.2 *小余能原理 82
8.3 胡海昌-鷲津原理 84
8.4 Hellinger-Reissner原理 85
8.5 錢氏廣義變分理論 87
8.6 有限元法 89
8.7 基于廣義變分原理的混合元有限元法 97
第9章 半解析半有限元法 106
9.1 半解析半有限元法的思想 106
9.2 簡支板的彎曲 107
9.3 旋轉(zhuǎn)殼的靜力學(xué)分析計算 112
第10章 子結(jié)構(gòu)與模態(tài)綜合法 122
10.1 靜力子結(jié)構(gòu)方法 123
10.2 動力子結(jié)構(gòu)的準(zhǔn)靜態(tài)方法 124
10.3 簡諧激勵的動力子結(jié)構(gòu)方法 126
10.4 約束模態(tài)動力子結(jié)構(gòu)方法 127
10.5 動力子結(jié)構(gòu)算例 132
第11章 非線性方程組的近似解法 140
11.1 直接迭代法 140
11.2 牛頓法 142
11.3 增量法 144
第12章 攝動方法 146
12.1 正則攝動問題的方法 147
12.2 奇異攝動問題的方法 150
12.3 多重尺度方法 155
12.4 攝動方法的應(yīng)用 167
12.4.1 解決諧波間耦合問題的攝動方法 167
12.4.2 混凝土侵徹問題的攝動求解方法 173
第13章 統(tǒng)計迭代線性化法 177
13.1 統(tǒng)計線性化法的基本思想 177
13.2 求解方法 177
13.3 高斯激勵的響應(yīng)分析 179
13.4 算例分析 179
13.4.1 單自由度系統(tǒng)的非線性隨機(jī)響應(yīng)分析 179
13.4.2 二自由度系統(tǒng)的非線性隨機(jī)響應(yīng)分析 181
第14章 模態(tài)分析方法 183
14.1 模態(tài)的思想 183
14.2 模態(tài)的截取 184
14.3 諧波間耦合動力問題的模態(tài)分析 188
14.3.1 坐標(biāo)轉(zhuǎn)換與模態(tài)截取 189
14.3.2 耦合諧波的模態(tài)分析 190
14.3.3 算例 191
第15章 有限差分法 193
15.1 差分與差商 194
15.2 截斷誤差及精度分析 195
15.3 偏微分的差分 197
15.4 網(wǎng)格的劃分 197
15.5 邊界條件的處理 198
15.6 一維熱傳導(dǎo)問題的差分求解 201
15.7 圓板非線性沖擊動力問題的差分求解 204
15.8 有限差分法的相關(guān)特性分析 210
參考文獻(xiàn) 223
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工程科學(xué)近似方法 節(jié)選
第1章緒論 1.1工程科學(xué)中的近似方法概述 工程中的問題往往都是比較復(fù)雜的，無論從結(jié)構(gòu)形態(tài)、材料組成，還是載荷特征等方面，都會呈現(xiàn)十分復(fù)雜的特點(diǎn)。針對這樣的工程問題，一般是很難得到解析解的。特別是工程中的非線性問題，更是難以得到解析的解答。為此，學(xué)者提出了許多近似求解的方法，如伽遼金方法、瑞利-里茨方法、攝動漸近解法等。近似方法的近代體現(xiàn)，主要集中在有限元、有限差分等數(shù)值方法方面。然而，有限元法(或有限差分法)并不是近似方法的終極形式。換言之，有限元等數(shù)值計算方法僅是源于近似方法的某種特定形式，并不能代替或涵蓋全部的近似方法。例如，僵化的有限元法會帶來維數(shù)過多的問題，對于一個復(fù)雜的工程問題，為了求解精度，有時要劃分為很多的單元數(shù)和節(jié)點(diǎn)數(shù)，數(shù)量巨大，計算耗時長，數(shù)據(jù)存儲容量也十分龐大，以至于一般的小型計算機(jī)無法完成計算。這里就存在一個再近似的問題。因此，不能說有了有限元等數(shù)值計算方法就無須再利用經(jīng)典的近似方法。 數(shù)值計算方法和解析方法的區(qū)別是不言而喻的。數(shù)值計算方法往往是針對具體的結(jié)構(gòu)和具體的參數(shù)進(jìn)行的，給出的結(jié)果也是針對特定結(jié)構(gòu)、特定參數(shù)、特定邊界條件的。要想得到某個參數(shù)的影響規(guī)律，就需要做一系列的計算；要想得到多個參數(shù)的影響規(guī)律，就需要做更多的計算。例如，對于某個參數(shù)的規(guī)律研究，要計算m個點(diǎn)，則對于n個參數(shù)就需要進(jìn)行m×n次計算。當(dāng)然，也可以采用正交試驗方法減少一些計算量。即使這樣，要想探究參數(shù)的影響規(guī)律，用數(shù)值計算方法，還是要進(jìn)行多次計算。與數(shù)值計算方法不同，解析方法會給出各參數(shù)一目了然的影響規(guī)律。因此，無論對于多么復(fù)雜的問題，總是首先想盡辦法得到解析的規(guī)律。通常精確的解析規(guī)律難以獲得，這時近似的規(guī)律就是一種不錯的選擇。通過試探函數(shù)等手段所得的近似規(guī)律更有助于認(rèn)識問題的本質(zhì)。從這個意義上講，單純的數(shù)值計算代替不了近似的解析分析。 經(jīng)典的近似方法有很多，如伽遼金方法、瑞利-里茨方法、加權(quán)余量法、牛頓迭代法、差分法等，近代的近似方法也有不少，如攝動漸近解法、模態(tài)綜合法、等效線性化法、有限元法、有限差分法等。 伽遼金方法是由蘇聯(lián)工程師、數(shù)學(xué)家伽遼金提出的，是直接針對微分方程求解問題提出的加權(quán)平均的一種近似方法，其用試探函數(shù)代替真解，并使論域內(nèi)的加權(quán)平均滿足微分方程，且加權(quán)函數(shù)與試探函數(shù)中的已知子函數(shù)相同。即將微分方程的求解問題轉(zhuǎn)化成線性代數(shù)方程組的求解問題，從而達(dá)到求解微分方程的目的。 瑞利-里茨方法是由英國物理學(xué)家瑞利和瑞士物理學(xué)家里茨先后提出的一種求解泛函駐值問題的近似方法。也是通過選擇一個試探函數(shù)來逼近問題的精確解(真解)。并將泛函駐值的求解問題轉(zhuǎn)化成函數(shù)極值的求解問題，*終轉(zhuǎn)化成代數(shù)方程組的求解問題。 加權(quán)余量法是比伽遼金方法更加廣義的一種方法。它也是直接針對微分方程的近似求解問題，同樣是借助試探函數(shù)，通過使近似解與精確解(真實(shí)解)的差(稱為余量)的加權(quán)平均為零，進(jìn)行近似求解。這里的權(quán)函數(shù)可以是與試探函數(shù)中已知子函數(shù)不同的函數(shù)。 牛頓迭代法是針對非線性方程求解問題提出的一種近似方法，是在設(shè)定某個初始值后，采用切線的近似解逐步逼近非線性曲線精確解的一種方法。類似地，也有學(xué)者提出用割線的近似解逐步逼近曲線精確解的方法。 差分法主要是針對微分方程，用差分代替微分，將微分方程轉(zhuǎn)化成遞推的代數(shù)方程。差分法中包括向前差分、向后差分和中心差分等不同的差分格式。它們的計算精度依賴于差分步長，步長越大，計算速度越快，但精度越低；步長越小，計算速度越慢，但能保證要求的精度。當(dāng)然，步長也不是越小越好，步長太小還會引起較大的累積誤差。 除了上述經(jīng)典近似方法，針對非線性問題(包括強(qiáng)非線性問題和弱非線性問題)，近些年還提出了攝動漸近解和等效線性化等方法。攝動漸近解法又稱小參數(shù)方法，其中包括正則攝動和奇異攝動兩種類型。正則攝動可以有效處理弱非線性的問題，奇異攝動除了可以處理弱非線性問題，還可以處理一些強(qiáng)非線性問題。等效線性化法(又稱統(tǒng)計線性化法或隨機(jī)線性化法)主要是針對隨機(jī)非線性振動問題提出的一種方法，其核心思想是用一種等效的線性項代替非線性項，等效的原則是使二者的統(tǒng)計平均值相同。 隨著計算機(jī)技術(shù)的發(fā)展，計算速度越來越快，在經(jīng)典的伽遼金方法和瑞利-里茨方法的基礎(chǔ)上，發(fā)展出了有限元法，并成為近代使用*廣泛的方法。與此同時，經(jīng)典的有限差分法也被廣泛地使用和發(fā)展。對于實(shí)際的復(fù)雜工程問題，為了達(dá)到所要求的計算精度，往往要將單元數(shù)劃分得很多，有時其數(shù)量巨大，這就給計算機(jī)計算的速度和存儲空間帶來了嚴(yán)重挑戰(zhàn)。為了有效解決這樣的問題，在有限元數(shù)值計算過程中，還會再進(jìn)行一定的近似和處理，因此又衍生出模態(tài)分析方法、模態(tài)綜合法、子結(jié)構(gòu)法(包括靜力子結(jié)構(gòu)法和動力子結(jié)構(gòu)法)等一些近似方法。 模態(tài)分析方法是一種將問題的物理坐標(biāo)轉(zhuǎn)換成模態(tài)坐標(biāo)的方法。而模態(tài)坐標(biāo)具有鮮明的模態(tài)特征。模態(tài)特征，一方面表現(xiàn)為不同階的固有頻率特征，另一方面表現(xiàn)為對應(yīng)的不同振型特征，此外，各振型還表現(xiàn)出明顯的正交特征。對于一定頻率載荷的激勵，只有靠近該激勵頻率的振型才能被激發(fā)出來，而遠(yuǎn)離該激勵頻率的振型的響應(yīng)十分微弱，在工程的意義上可以忽略。因此，將問題的物理坐標(biāo)轉(zhuǎn)換成模態(tài)坐標(biāo)后，可以舍掉不被激勵的模態(tài)，從而大大降低問題的維數(shù)，簡化計算。 子結(jié)構(gòu)法是有限元計算中的一種技巧。它針對具體的工程問題，將含有多個單元的某個區(qū)域看成一個超單元，將該區(qū)域內(nèi)部的節(jié)點(diǎn)坐標(biāo)都凝聚到邊界的節(jié)點(diǎn)坐標(biāo)上，從而降低問題的維數(shù)，實(shí)現(xiàn)工程上的計算。子結(jié)構(gòu)法可以有效地應(yīng)用到靜力問題中，也可以應(yīng)用到動力問題中。 動力子結(jié)構(gòu)法針對動力問題，通過模態(tài)分析手段，將節(jié)點(diǎn)(特別是子結(jié)構(gòu)區(qū)域內(nèi)部的節(jié)點(diǎn))的物理坐標(biāo)轉(zhuǎn)換成模態(tài)坐標(biāo)，通過舍棄一些不被激發(fā)的模態(tài)，從而降低問題的維數(shù)，實(shí)現(xiàn)工程問題的近似計算。 所有這些方法都有其對應(yīng)的理論基礎(chǔ)和基本原理：伽遼金方法和加權(quán)余量法的原理是加權(quán)平均；瑞利-里茨方法的原理是將泛函的極值轉(zhuǎn)化成函數(shù)的極值；牛頓迭代法的原理是線性化迭代逼近；攝動漸近解法的原理是通過小參數(shù)展開漸近逼近；等效線性化法的原理是統(tǒng)計平均；有限元法的基礎(chǔ)則是變分原理；模態(tài)分析方法和模態(tài)綜合法的機(jī)理則是共振原理。總之，任何一種方法都有其對應(yīng)的理論基礎(chǔ)，但這些方法都屬工程應(yīng)用上的近似方法。 近似方法在工程問題的分析中十分有效：一方面，絕大部分工程問題都很難找到精確的解析解，只有通過近似計算才能獲得所需的解答；另一方面，從解析建模的角度來看，在建立理論模型的過程中，實(shí)際上已經(jīng)做了很多假設(shè)，而這些建模過程中的假設(shè)實(shí)際上也是一種近似。因此，近似方法得到的解并不一定比解析的精確解準(zhǔn)確度更低。關(guān)鍵要看近似的程度和對誤差的判斷。 除了上述方法，在工程應(yīng)用中還有其他各種各樣的近似方法，其目的都是實(shí)現(xiàn)有效的計算，特別是實(shí)現(xiàn)有效的簡化計算。 1.2工程科學(xué)近似方法的基本思想 從已發(fā)展起來的各種近似方法可以看出，近似方法的基本思想大都是用平均值來代替精確值。有的是小范圍的平均，有的是大范圍的平均。小范圍的平均可以是線性的平均，也可以是非線性的平均。大范圍的平均是基于試探函數(shù)(一般是非線性的)的平均。這一思想在具體的近似方法中都有所體現(xiàn)。 有限差分法屬于小范圍的平均，其用差分代替微分，用差商代替導(dǎo)數(shù)，都是在步長的小范圍內(nèi)用平均值代替精確值。這類方法的計算精度直接取決于范圍的大小，范圍越小，精度越高。在差分法中就是步長越小，精度越高。當(dāng)然，隨之帶來的問題是，步長越小，計算量越大。 有些方法為了達(dá)到要求的計算精度，還要不斷地變化(實(shí)際上是縮小)范圍。這一過程常表現(xiàn)為迭代過程，如在求解非線性問題的牛頓切線近似方法或割線近似方法中，就采用了使區(qū)間范圍逐步縮小的迭代過程。因此，這種方法一方面體現(xiàn)出區(qū)間范圍內(nèi)的平均，另一方面體現(xiàn)出區(qū)間范圍不斷縮小。 伽遼金方法、瑞利-里茨方法等則是大范圍的平均，其核心思想是讓近似解在大范圍的平均(或加權(quán)平均)值與精確解的平均(或加權(quán)平均)值相等。大范圍平均值的計算形式體現(xiàn)為積分的形式，由于范圍大時很難保證近似的精度，因此在大范圍內(nèi)進(jìn)行平均近似時一定要選定相應(yīng)的試探函數(shù)。試探函數(shù)選得好，近似效果就好；選得差，近似效果就差。而在大范圍內(nèi)選擇較好的試探函數(shù)也是個難題。為此，學(xué)者提出了分片積分的思想。通過分片積分，將大范圍的積分化成小范圍積分再求和的形式。這樣一來，范圍也被縮小，在小范圍內(nèi)，無論是用線性的關(guān)系進(jìn)行平均，還是選用其他形式的試探函數(shù)，其問題都簡化了很多。有限元法就是基于這樣的理念和思想發(fā)展起來的。 除了平均的手段，近似方法中的另一特點(diǎn)是用代數(shù)方程的求解代替微分方程的求解。差分法中的差分直接將微分方程轉(zhuǎn)化成代數(shù)方程，而其他方法則是通過基函數(shù)的線性組合，將未知函數(shù)問題轉(zhuǎn)化成未知系數(shù)變量問題，進(jìn)而將微分方程的求解問題或泛函的變分問題轉(zhuǎn)換成代數(shù)方程的求解問題或函數(shù)的極值問題。 第2章伽遼金方法與加權(quán)余量法 伽遼金方法和加權(quán)余量法屬于同一類方法，都是通過加權(quán)平均來求解問題近似解的一種近似分析方法。伽遼金方法更具有代表性和先驅(qū)性，而加權(quán)余量法相對伽遼金方法更具有廣義性和涵蓋性。應(yīng)該說，伽遼金方法是加權(quán)余量法中的一種。 2.1伽遼金方法 伽遼金方法是由蘇聯(lián)數(shù)學(xué)家伽遼金發(fā)明的一種近似分析方法。針對微分方程的求解問題，伽遼金方法通過選取有限多項試探函數(shù)，將其疊加，形成具有待定系數(shù)的函數(shù)組合作為近似解。通過在求解域內(nèi)及邊界上的加權(quán)積分(權(quán)函數(shù)為試探函數(shù)本身)滿足原方程，便可以得到一組關(guān)于待定系數(shù)的線性代數(shù)方程。而一個多維的線性方程組可以通過線性代數(shù)方法求解，從而達(dá)到求解微分方程的目的。作為一種試探函數(shù)選取形式，伽遼金方法得到的只是在原求解域內(nèi)的一個近似解，僅僅是加權(quán)平均滿足原方程，并非在每個點(diǎn)上都滿足。 關(guān)于試探函數(shù)，之后有專門的章節(jié)來論述，這里簡單明確一下相關(guān)的概念。試探函數(shù)就是試著找一些滿足某種條件(如邊界條件等)的函數(shù)，在應(yīng)用中，它不是某一個函數(shù)，而是一系列已知函數(shù)的組合，這一系列已知函數(shù)可稱為試探函數(shù)子函數(shù)，而由這些試探函數(shù)子函數(shù)組成的函數(shù)系列可稱為試探函數(shù)集。它是構(gòu)造近似解的基礎(chǔ)，若用試探函數(shù)作為近似解，則近似解就是這一系列已知試探函數(shù)子函數(shù)的線性組合，線性組合的系數(shù)是未知的待定系數(shù)。因此，從試探函數(shù)的基本特性上看：首先，試探函數(shù)是含有待定系數(shù)的函數(shù)，試探函數(shù)子函數(shù)是已知的函數(shù)；其次，試探函數(shù)集是一個函數(shù)系列，同時試探函數(shù)是滿足某種條件的函數(shù)，由它構(gòu)造的近似解應(yīng)滿足相應(yīng)的邊界條件。 這種方法的核心就是將求解微分方程的問題轉(zhuǎn)化成求解線性方程組的問題，而線性方程組又可以通過線性代數(shù)方法進(jìn)行簡化求解，從而可以達(dá)到求解微分方程的目的。 伽遼金方法直接針對的是微分方程，加權(quán)積分處理的是近似解與精確解的差值，因此通常被認(rèn)為是加權(quán)余量法的一種。加權(quán)余量法是一種讓近似解與精確解的差值(稱為余量或殘量)在定義域內(nèi)的加權(quán)平均值為零的近似方法。 考慮定義域為V的微分方程(又稱控制方程)，其一般表達(dá)式為 (2-1-1) 其中，L為線性微分算子；為未知變量；f為已知函數(shù)。 未知變量的精確解應(yīng)該在定義域內(nèi)的每一點(diǎn)都滿足上述方程。如果可以找到一個近似解，其必然與精確解之間存在一個誤差.可將該誤差稱為余量(或殘差)，從而有 (2-1-2) 如果能找到一個近似解在定義域內(nèi)的每一點(diǎn)都使余量，那么這個近似解就是精確解，但事實(shí)上找到這樣的解很困難。因此，近似解不可能使余量在定義域內(nèi)的每一點(diǎn)都為零。若做不到這一點(diǎn)，則可以放寬一些條件，讓近似解的余量在整個區(qū)域中經(jīng)加權(quán)平均后為零，即 (2-1-3) 其中，為一系列的加權(quán)函數(shù)，加權(quán)函數(shù)選取不同，對應(yīng)的近似方法也不同。近似解的選取不是一蹴而就的，通常需要按某種方式構(gòu)造。*常見的構(gòu)造方法是先選取一系列的已知函數(shù)組成一個試探作為試探函數(shù)子函數(shù)，函數(shù)集，然后將其進(jìn)行線性疊加。線性疊加的系數(shù)為待定的系數(shù)，即 (2-1-4) 對于伽遼金方法，就是將試探函數(shù)集中的每個試探函數(shù)子函數(shù)都選作加權(quán)函數(shù)，
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