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現代非參數統計方法 版權信息
- ISBN：9787030735577
- 條形碼：9787030735577 ; 978-7-03-073557-7
- 裝幀：一般膠版紙
- 冊數：暫無
- 重量：暫無
- 所屬分類：>
現代非參數統計方法 內容簡介
本書主要介紹若干經典的現代非參數統計方法，包括非參數密度估計、非參數回歸方法、分位數回歸和非參數似然方法(經驗似然)。密度估計方面介紹一元和多元核密度估計；非參數回歸方面介紹局部多項式估計的構造、理論性質和應用，樣條函數的基本理論、樣條估計理論；分位數回歸方面介紹分位數回歸的基本思想、計算、理論性質與統計推斷；經驗似然部分介紹經驗似然的基本思想、經驗似然理論與估計方程、密度比模型下的經驗似然以及經驗似然的其他方面。
現代非參數統計方法 目錄
目錄
第1章 預備知識 1
1.1 隨機變量收斂性 1
1.2 基本判別準則 2
1.3 定理和不等式 3
第2章 非參數密度估計 6
2.1 簡單的一元密度估計 6
2.1.1 直方圖估計 7
2.1.2 選擇帶寬 10
2.1.3 交叉驗證 11
2.2 更光滑的一元密度估計 12
2.2.1 核密度估計 12
2.2.2 選擇帶寬 17
2.2.3 選擇核函數 18
2.2.4 兩種帶寬選擇方法 20
2.2.5 邊界偏差 21
2.3 多元密度估計 24
2.3.1 多元直方圖估計 24
2.3.2 多元核密度估計 25
第3章 核回歸、局部多項式回歸 27
3.1 參數回歸回顧.27
3.1.1 線性回歸 27
3.1.2 邏輯斯諦回歸 28
3.2 線性光滑 29
3.3 核回歸方法 30
3.4 局部多項式回歸 34
3.4.1 局部多項式回歸估計 34
3.4.2 偏差和方差 36
3.4.3 等價核和漸近正態性 37
3.4.4 自動邊界校正 39
3.4.5 帶寬選擇 40
3.4.6 多項式階數選擇 41
3.4.7 *小*大有效性 42
第4章 局部多項式估計的其他方面 44
4.1 多元回歸 44
4.1.1 可加模型 45
4.1.2 變系數模型 46
4.1.3 部分線性模型 48
4.1.4 單指標模型 49
4.1.5 交互 50
4.2 穩健回歸 52
4.2.1 局部加權回歸散點平滑法 52
4.2.2 穩健損失 54
第5章 B-樣條回歸 57
5.1 B-樣條基函數簡介 57
5.2 單變量非參數回歸的B-樣條估計 61
5.3 非參數、半參數回歸模型的B-樣條回歸 64
5.3.1 可加模型 64
5.3.2 變系數模型 66
5.3.3 部分線性模型 68
5.3.4 單指標模型 69
第6章 分位數回歸 72
6.1 分位數回歸簡介 72
6.2 分位數回歸的計算 75
6.3 分位數回歸的基本理論 79
6.4 分位數回歸模型中的推斷 81
6.4.1 Wald型檢驗 81
6.4.2 秩得分檢驗 83
6.4.3 基于bootstrap方法的檢驗 84
6.5 非參數分位數回歸 86
第7章 經驗似然初步 89
7.1 參數似然 89
7.2 總體均值參數的經驗似然 91
7.2.1 定義 91
7.2.2 截面似然（μ）的另一個表達式 92
7.2.3 點估計 93
7.2.4 區間估計和假設檢驗 93
7.3 經驗似然的計算 94
7.3.1 牛頓法 95
7.3.2 一維情形 95
7.3.3 近似法 96
7.4 幾點注釋 96
第8章 經驗似然的漸近理論與一般估計方程 100
8.1 總體均值經驗似然比的漸近性質 100
8.2 經驗似然比在有定義時的極限分布 102
8.3 一般估計方程（GEE）參數的經驗似然 106
8.4 GEE模型參數的*大經驗似然估計 108
8.5 GEE模型下的經驗似然比檢驗 114
8.6 利用輔助信息 115
第9章 經驗似然的其他方面 116
9.1 密度比模型下的經驗似然 116
9.2 密度比模型下的*大經驗似然估計 118
9.3 DRM-EL估計量的漸近分布和效率分析 119
9.4 一般的非參數似然 121
9.5 經驗似然的Bartlett修正 122
9.6 兩個定理的證明 124
9.6.1 定理9.1的證明 124
9.6.2 定理9.2的證明 127
參考文獻 128
第1章 預備知識 1
1.1 隨機變量收斂性 1
1.2 基本判別準則 2
1.3 定理和不等式 3
第2章 非參數密度估計 6
2.1 簡單的一元密度估計 6
2.1.1 直方圖估計 7
2.1.2 選擇帶寬 10
2.1.3 交叉驗證 11
2.2 更光滑的一元密度估計 12
2.2.1 核密度估計 12
2.2.2 選擇帶寬 17
2.2.3 選擇核函數 18
2.2.4 兩種帶寬選擇方法 20
2.2.5 邊界偏差 21
2.3 多元密度估計 24
2.3.1 多元直方圖估計 24
2.3.2 多元核密度估計 25
第3章 核回歸、局部多項式回歸 27
3.1 參數回歸回顧.27
3.1.1 線性回歸 27
3.1.2 邏輯斯諦回歸 28
3.2 線性光滑 29
3.3 核回歸方法 30
3.4 局部多項式回歸 34
3.4.1 局部多項式回歸估計 34
3.4.2 偏差和方差 36
3.4.3 等價核和漸近正態性 37
3.4.4 自動邊界校正 39
3.4.5 帶寬選擇 40
3.4.6 多項式階數選擇 41
3.4.7 *小*大有效性 42
第4章 局部多項式估計的其他方面 44
4.1 多元回歸 44
4.1.1 可加模型 45
4.1.2 變系數模型 46
4.1.3 部分線性模型 48
4.1.4 單指標模型 49
4.1.5 交互 50
4.2 穩健回歸 52
4.2.1 局部加權回歸散點平滑法 52
4.2.2 穩健損失 54
第5章 B-樣條回歸 57
5.1 B-樣條基函數簡介 57
5.2 單變量非參數回歸的B-樣條估計 61
5.3 非參數、半參數回歸模型的B-樣條回歸 64
5.3.1 可加模型 64
5.3.2 變系數模型 66
5.3.3 部分線性模型 68
5.3.4 單指標模型 69
第6章 分位數回歸 72
6.1 分位數回歸簡介 72
6.2 分位數回歸的計算 75
6.3 分位數回歸的基本理論 79
6.4 分位數回歸模型中的推斷 81
6.4.1 Wald型檢驗 81
6.4.2 秩得分檢驗 83
6.4.3 基于bootstrap方法的檢驗 84
6.5 非參數分位數回歸 86
第7章 經驗似然初步 89
7.1 參數似然 89
7.2 總體均值參數的經驗似然 91
7.2.1 定義 91
7.2.2 截面似然（μ）的另一個表達式 92
7.2.3 點估計 93
7.2.4 區間估計和假設檢驗 93
7.3 經驗似然的計算 94
7.3.1 牛頓法 95
7.3.2 一維情形 95
7.3.3 近似法 96
7.4 幾點注釋 96
第8章 經驗似然的漸近理論與一般估計方程 100
8.1 總體均值經驗似然比的漸近性質 100
8.2 經驗似然比在有定義時的極限分布 102
8.3 一般估計方程（GEE）參數的經驗似然 106
8.4 GEE模型參數的*大經驗似然估計 108
8.5 GEE模型下的經驗似然比檢驗 114
8.6 利用輔助信息 115
第9章 經驗似然的其他方面 116
9.1 密度比模型下的經驗似然 116
9.2 密度比模型下的*大經驗似然估計 118
9.3 DRM-EL估計量的漸近分布和效率分析 119
9.4 一般的非參數似然 121
9.5 經驗似然的Bartlett修正 122
9.6 兩個定理的證明 124
9.6.1 定理9.1的證明 124
9.6.2 定理9.2的證明 127
參考文獻 128
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現代非參數統計方法 節選
第1章預備知識 本章介紹本書后面各章節用到的一些隨機變量收斂定義、記號以及它們之間的關系，若干基本判別準則定義以及其他定理和不等式。 1.1隨機變量收斂性 考慮隨機變量序列和隨機變量X。下面分別介紹幾種收斂定義：依分布收斂、依概率收斂、幾乎處處收斂、完全收斂以及r階矩收斂。 定義1.1（依分布收斂）記Xn的分布函數為Fn，X的分布函數為F。如果對于F的任意連續點x，極限均成立，則稱隨機變量序列Xn依分布收斂或弱收斂于隨機變量X，記作。 定義1.2（依概率收斂）如果對于任意ε>0，均成立，則稱隨機變量序列Xn依概率收斂于隨機變量X，記作。 定義1.3（幾乎處處收斂）如果 則稱隨機變量序列Xn幾乎處處收斂于隨機變量X，記作。 定義1.4（完全收斂）如果對于任意。 則稱隨機變量序列Xn完全收斂于隨機變量X，記作。 定義1.5（r階矩收斂）設r>0，如果 則稱隨機變量序列Xn以r階矩收斂于隨機變量X，記作Xn時，也稱為均方收斂。 上述收斂滿足如下遞推關系： 對于隨機變量序列Xn和常數集合an，如果Xn/an依概率收斂于0，則記。 如果Xn/an隨機有界（即對于任意ε>0，存在有限M>0和有限N>0，使得對于任意n>N，有，則記。 1.2基本判別準則 本節介紹在非參數函數估計中常用的若干基本判別準則。記未知函數為f（x），給定一組獨立同分布樣本后，假設計算得到未知函數估計為。由偏差和方差的定義可知，的偏差和方差分別為 需要引入指標來評估估計的質量。對于任一固定的x，可將f（x）視為待估參數θ，常用的評價指標是均方誤差。 定義1.6（均方誤差）對于未知的參數θ，其估計.θ的均方誤差（mean squared error，MSE）定義為。 通過簡單證明可得，估計量的均方誤差等于估計量的方差與偏差平方之和。對于未知函數估計，在單點x處估計函數.fn（x）的均方誤差可寫成如下形式： 均方誤差反映了在點x處，估計與f（x）的平均偏離程度。 從單點出發，進一步考慮全局的情況。下面分別介紹積分平方誤差（integrated squared error，ISE）和平均積分平方誤差（mean integrated squared error，MISE）。 定義1.7（積分平方誤差）對于未知的函數，其估計的積分平方誤差定義為 定義1.8（平均積分平方誤差）對于未知的函數，其估計的平均積分平方誤差定義為。 平均積分平方誤差反映了密度估計與在整個定義域上的全部平均偏離程度。給出性能評估指標后，就可以通過比較各估計對應的指標數值來選擇更優的估計。 1.3定理和不等式 本節列出一些在后續章節中常用的定理和不等式。 引理1.1（Borel-Cantelli引理）考慮隨機事件序列，記。 （1）如果 （2）如果 下面介紹經典中心極限定理及收斂速度定理。 定理1.1（中心極限定理）設是一個獨立同分布的隨機變量序列，如果，則對于任意實數，有。 其中，Φ為標準正態隨機變量的累積分布函數。 定理1.2（Esseen定理）設F（x）和G（x）分別是R1上的有界不減和有界變差函數，且。記。 那么對任意正數T，當時有 其中，為僅與b有關的正常數，可取為方程的根。 定理1.3（Berry-Esseen不等式）設是一個獨立隨機變量序列。那么存在正常數A，使得。 下面列出若干不等式，方便后續使用時進行查閱。 （1）馬爾科夫（Markov）不等式：若X是非負隨機變量，則對于任意。 （2）切比雪夫（Chebyshev）不等式：對于隨機變量，則對于任意。 （3）赫爾德（H.lder）不等式：對于隨機變量X和Y，若并且 （4）柯西–施瓦茨（Cauchy-Schwarz）不等式：對于隨機變量X和Y。 （5）閔可夫斯基（Minkowski）不等式：對于隨機變量X和Y，若p>1，則。 （6）詹森（Jensen）不等式：對于隨機變量X，設g是凸函數，則。 第2章非參數密度估計 本章主要討論隨機變量的密度函數f（x）的估計問題，即給定一組獨立同分布的樣本，如何估計f（x）概率密度函數是統計學中的核心概念之一，可以通過密度函數得到對應隨機變量的分布情況，同時可以解決很多實際問題，如參數估計、假設檢驗等。由于對密度函數的信息知之甚少，只能假設其為滿足一定光滑條件的一個未知函數f（x），因而需要借助非參數密度估計方法估計f（x）。本章將介紹一元隨機變量的非參數密度估計的直方圖方法、光滑的核估計方法，多元隨機變量的核密度估計，以及這些估計的大樣本性質和相關技術。 2.1簡單的一元密度估計 隨機變量的概率密度函數（probabilitydensity function，PDF）是其累積分布函數（cumulative distribution function，CDF）的一階導數，因此可以考慮通過估計分布函數F（x）的一階導數來估計密度函數f（x）。隨機變量的分布函數的一個簡單且有效的估計是其經驗分布函數。 定義2.1（經驗分布函數）給定一組獨立同分布的樣本，則其經驗分布函數定義為 其中，是示性函數。 通過簡單證明可以知道，經驗分布函數Fn（x）是F（x）的無偏估計。下面不加證明地給出經驗分布函數的一些常用的漸近性質。 定理2.1（1）對于任意給定的； （2） （3） （4）
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