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高等數學(下)(第二版) 版權信息
- ISBN：9787030726049
- 條形碼：9787030726049 ; 978-7-03-072604-9
- 裝幀：一般膠版紙
- 冊數：暫無
- 重量：暫無
- 所屬分類：>
高等數學(下)(第二版) 內容簡介
本套書是依據教育部《經濟管理類數學課程教學基本要求》，針對高等學校經濟類、管理類各專業的教學實際編寫的高等數學教材或微積分課程教材，分上、下兩冊。本書是下冊，內容包括微分方程與差分方程、無窮級數、多元函數微分學、二重積分。每節后配有（A）、（B）兩組習題，每章后配有總習題，（B）組習題為滿足有較高要求的讀者配備，題型豐富，梯度難度恰到好處。
高等數學(下)(第二版) 目錄
目錄
第6章 微分方程與差分方程 1
6.1 微分方程的基本概念 2
6.1.1 引例 2
6.1.2 基本概念 2
6.1.3 微分方程的解 3
習題6.1 7
6.2 一階微分方程 8
6.2.1 可分離變量的微分方程 8
6.2.2 齊次方程 12
6.2.3 一階線性微分方程 17
*6.2.4 伯努利方程 20
習題6.2 22
6.3 可降階的二階微分方程 24
6.3.1 y″=f(x)型 25
6.3.2 y″=f(x，y′)型 25
6.3.3 y″=f(y，y′)型 26
習題6.3 28
6.4 二階線性微分方程的性質及解的結構 29
習題6.4 31
6.5 二階常系數線性微分方程 31
6.5.1 二階常系數齊次線性微分方程及其解法 31
6.5.2 二階常系數非齊次線性微分方程及其解法 34
習題6.5 37
6.6 微分方程的應用舉例 39
6.6.1 衰變問題 39
6.6.2 邏輯斯諦方程 39
6.6.3 價格調整問題 41
6.6.4 人才分配問題 42
6.6.5 追跡問題 43
習題6.6 44
6.7 差分方程 45
6.7.1 差分的概念及性質 45
6.7.2 差分方程的概念 47
6.7.3 一階常系數線性差分方程 48
6.7.4 二階常系數線性差分方程 53
6.7.5 差分方程在經濟學中的應用 58
習題6.7 60
小結 61
總習題6 66
第7章 無窮級數 69
7.1 常數項級數的概念及性質 70
7.1.1 常數項級數的概念 70
7.1.2 收斂級數的基本性質 74
習題7.1 76
7.2 正項級數 77
習題7.2 84
7.3 任意項級數 86
7.3.1 交錯級數及其判別法 86
7.3.2 絕對收斂與條件收斂 88
習題7.3 90
7.4 冪級數 92
7.4.1 函數項級數的概念 92
7.4.2 冪級數及其斂散性 93
7.4.3 冪級數的運算 97
習題7.4 99
7.5 泰勒級數 函數的冪級數展開式 100
7.5.1 泰勒公式 100
7.5.2 泰勒級數 103
7.5.3 函數展開成冪級數的方法 104
習題7.5 107
7.6 函數冪級數展開式的應用 108
7.6.1 近似計算 108
7.6.2 其他應用 110
習題7.6 111
小結 112
總習題7 116
第8章 多元函數微分學 119
8.1 空間解析幾何簡介 120
8.1.1 空間直角坐標系 120
8.1.2 曲面與方程 121
習題8.1 124
8.2 多元函數的基本概念 125
8.2.1 平面點集 125
8.2.2 多元函數的定義 126
8.2.3 多元函數的極限 128
8.2.4 多元函數的連續性 130
習題8.2 131
8.3 偏導數及其在經濟中的應用 132
8.3.1 偏導數的概念 132
8.3.2 高階偏導數 135
8.3.3 偏導數在經濟中的應用 136
習題8.3 138
8.4 全微分 140
8.4.1 全微分的概念 140
8.4.2 全微分在近似計算中的應用 143
習題8.4 144
8.5 多元復合函數求導法則 145
8.5.1 多元復合函數的求導法則 145
8.5.2 全微分形式不變性 148
習題8.5 149
8.6 隱函數的求導公式 150
8.6.1 一個方程的情形 150
8.6.2 方程組的情形 153
習題8.6 153
8.7 多元函數的極值及其求法 155
8.7.1 二元函數的極值 155
8.7.2 二元函數的*值 157
8.7.3 條件極值 159
*8.7.4 *小二乘法 163
習題8.7 165
小結 167
總習題8 170
第9章 二重積分 173
9.1 二重積分的概念及性質 174
9.1.1 二重積分的概念 174
9.1.2 二重積分的性質 176
習題9.1 178
9.2 二重積分的計算 180
9.2.1 直角坐標系中二重積分的計算 180
9.2.2 極坐標系中二重積分的計算 189
9.2.3 廣義二重積分 193
習題9.2 194
小結 197
總習題9 199
參考答案 201
第6章 微分方程與差分方程 1
6.1 微分方程的基本概念 2
6.1.1 引例 2
6.1.2 基本概念 2
6.1.3 微分方程的解 3
習題6.1 7
6.2 一階微分方程 8
6.2.1 可分離變量的微分方程 8
6.2.2 齊次方程 12
6.2.3 一階線性微分方程 17
*6.2.4 伯努利方程 20
習題6.2 22
6.3 可降階的二階微分方程 24
6.3.1 y″=f(x)型 25
6.3.2 y″=f(x，y′)型 25
6.3.3 y″=f(y，y′)型 26
習題6.3 28
6.4 二階線性微分方程的性質及解的結構 29
習題6.4 31
6.5 二階常系數線性微分方程 31
6.5.1 二階常系數齊次線性微分方程及其解法 31
6.5.2 二階常系數非齊次線性微分方程及其解法 34
習題6.5 37
6.6 微分方程的應用舉例 39
6.6.1 衰變問題 39
6.6.2 邏輯斯諦方程 39
6.6.3 價格調整問題 41
6.6.4 人才分配問題 42
6.6.5 追跡問題 43
習題6.6 44
6.7 差分方程 45
6.7.1 差分的概念及性質 45
6.7.2 差分方程的概念 47
6.7.3 一階常系數線性差分方程 48
6.7.4 二階常系數線性差分方程 53
6.7.5 差分方程在經濟學中的應用 58
習題6.7 60
小結 61
總習題6 66
第7章 無窮級數 69
7.1 常數項級數的概念及性質 70
7.1.1 常數項級數的概念 70
7.1.2 收斂級數的基本性質 74
習題7.1 76
7.2 正項級數 77
習題7.2 84
7.3 任意項級數 86
7.3.1 交錯級數及其判別法 86
7.3.2 絕對收斂與條件收斂 88
習題7.3 90
7.4 冪級數 92
7.4.1 函數項級數的概念 92
7.4.2 冪級數及其斂散性 93
7.4.3 冪級數的運算 97
習題7.4 99
7.5 泰勒級數 函數的冪級數展開式 100
7.5.1 泰勒公式 100
7.5.2 泰勒級數 103
7.5.3 函數展開成冪級數的方法 104
習題7.5 107
7.6 函數冪級數展開式的應用 108
7.6.1 近似計算 108
7.6.2 其他應用 110
習題7.6 111
小結 112
總習題7 116
第8章 多元函數微分學 119
8.1 空間解析幾何簡介 120
8.1.1 空間直角坐標系 120
8.1.2 曲面與方程 121
習題8.1 124
8.2 多元函數的基本概念 125
8.2.1 平面點集 125
8.2.2 多元函數的定義 126
8.2.3 多元函數的極限 128
8.2.4 多元函數的連續性 130
習題8.2 131
8.3 偏導數及其在經濟中的應用 132
8.3.1 偏導數的概念 132
8.3.2 高階偏導數 135
8.3.3 偏導數在經濟中的應用 136
習題8.3 138
8.4 全微分 140
8.4.1 全微分的概念 140
8.4.2 全微分在近似計算中的應用 143
習題8.4 144
8.5 多元復合函數求導法則 145
8.5.1 多元復合函數的求導法則 145
8.5.2 全微分形式不變性 148
習題8.5 149
8.6 隱函數的求導公式 150
8.6.1 一個方程的情形 150
8.6.2 方程組的情形 153
習題8.6 153
8.7 多元函數的極值及其求法 155
8.7.1 二元函數的極值 155
8.7.2 二元函數的*值 157
8.7.3 條件極值 159
*8.7.4 *小二乘法 163
習題8.7 165
小結 167
總習題8 170
第9章 二重積分 173
9.1 二重積分的概念及性質 174
9.1.1 二重積分的概念 174
9.1.2 二重積分的性質 176
習題9.1 178
9.2 二重積分的計算 180
9.2.1 直角坐標系中二重積分的計算 180
9.2.2 極坐標系中二重積分的計算 189
9.2.3 廣義二重積分 193
習題9.2 194
小結 197
總習題9 199
參考答案 201
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高等數學(下)(第二版) 節選
第6章 微分方程與差分方程 微積分的研究對象是函數，因此如何尋找建立函數關系具有重要意義. 在許多實際問題中往往很難直接得到所研究的變量之間的函數關系，但經過適當數據分析處理和簡化后，能夠建立起關于未知函數的導數或微分的關系式，這種關系式就是微分方程. 例如，物體的冷卻、人口的增長、病毒的擴散、新產品銷售等都可以歸結成微分方程的問題. 通過研究，用一定的方法找出滿足方程的未知函數的過程，就稱為解微分方程. 求解微分方程即可得到各變量間的函數關系，從而認知實際問題的規律，所以微分方程是數學聯系實際，并應用于實際的重要途徑和橋梁，是各學科進行科學研究的工具. 微分方程是一門獨立的數學分支，有完整的理論體系，考慮到微分方程與微積分密切相關且在實際中有廣泛應用，本書受篇幅限制，僅簡單介紹微分方程的基本概念、幾種常見的簡單微分方程的解法，以及微分方程在實際中的簡單應用. 此外，在自然科學、工程技術和社會現象中，很多數據都是按等時間間隔周期統計的，因此有關變量的取值是離散化的，如何尋求它們之間的關系和變化規律呢？差分方程是研究這類離散型數據的有力工具，基于應用的需要，在本章*后一節將簡單介紹差分方程的概念、幾種簡單差分方程的解法及其在經濟學中的簡單應用. 6.1 微分方程的基本概念 6.1.1 引例 例6.1.1 一曲線過點(1， 2)，且在該曲線上的任意點M(x， y)處的切線的斜率為2x，求該曲線的方程. 解 設所求曲線的方程為y=y(x)，根據導數的幾何意義，可知未知函數y=y(x)應滿足如下關系： （6.1.1） 又因曲線y=y(x)過點(1， 2)，故y=y(x)應滿足條件： y(1)=2 （6.1.2） 為求滿足式（6.1.1）的未知函數y=y(x)，將式（6.1.1）兩邊積分，得 即 y=x2+C (C為任意常數) 將條件（6.1.2）代入上式得C=1，于是所求曲線方程為 y=x2+1 式（6.1.1）就是一個微分方程. 例6.1.2 假設某人以本金p0進行一項投資，投資的年利率為r，以連續復利計，求t年后資金的總額. 解 設t時刻（以年為單位）的資金總額為p(t)，且資金沒有取出也沒有新的投入，則 t時刻資金總額的變化率=t時刻資金總額獲得的利息 即（6.1.3） 顯然，未知函數p(t)滿足下列條件：當t=0時，p(t)=p0，記為 求滿足微分方程（6.1.3）的函數p(t)的一般方法將在下一節介紹，根據條件解出p=p(t)，就可得到t年后資金的總額. 6.1.2 基本概念 一般說來，微分方程就是聯系自變量、未知函數與未知函數的導數或微分之間的關系式. 若其中的未知函數是一元函數，則稱該微分方程為常微分方程；若未知函數是多元函數，并且在方程中出現偏導數，則稱該微分方程為偏微分方程. 本書所介紹的都是常微分方程，有時就簡稱微分方程或方程. 在一個常微分方程中，未知函數*高階導數的階數，稱為方程的階. 例如，=2x是一階微分方程，y″+2y+x=0是二階微分方程，+x3(y″)2-4xy′=9x2是三階微分方程等. 一階常微分方程的一般形式可表示為 F(x， y， y′)=0 （6.1.4） 如果在式（6.1.4）中能將y′解出，那么得到方程 （6.1.5） （6.1.6） 式（6.1.4）稱為一階隱式方程，式（6.1.5）稱為一階顯式方程，式（6.1.6）稱為微分形式的一階方程. n階隱式方程的一般形式為 （6.1.7） 如果能從方程（6.1.7）中解出*高階導數，就得到微分方程 y(n)=f(x， y， y′， ， y(n-1)） （6.1.8） 如果方程（6.1.7）可表示為如下形式： （6.1.9） 那么稱方程（6.1.9）為n階線性微分方程. 其中a1(x)， a2(x)， ， an(x)和f(x)均為自變量x的已知函數. 不能表示為形如式（6.1.9）的微分方程，統稱為非線性方程. 例如： （1）方程2x+y=x2中含有的和y都是一次的，故該方程是二階線性微分方程； （2）方程2+=x2+y中含有的平方項，故該方程是二階非線性微分方程； （3）方程siny+ey=x+1中含有非線性函數sin和ey，故該方程是三階非線性微分方程. 6.1.3 微分方程的解 微分方程的解就是滿足方程的函數，可定義如下. 定義6.1.1 設函數y=φ(x)在區間I上有n階連續導數，若在區間I上，有，則稱函數y=φ(x)為微分方程（6.1.7）在區間I上的解. 這樣，從定義6.1.1可以直接驗證： （1）函數y=x2+C是方程=2x在區間(-∞， +∞)內的解，其中C為任意常數. （2）函數y=sin(arcsinx+C)是方程=在區間(-1， 1)內的解，其中C為任意常數. 又該方程有兩個明顯的常數解y =±1，這兩個解不包含在上述解中. （3）函數y=C1cosx+C2sinx是方程y″+y=0在區間(-∞， +∞)內的解，其中C1和C2為獨立的任意常數. （4）函數y2=C1x+C2是方程yy″+y′2=0在區間(-∞， +∞)內的解，其中C1和C2為獨立的任意常數. 這里僅驗證（3），其余留給讀者完成. 事實上，在(-∞， +∞)內有，所以在(-∞， +∞)內有 y″+y=0 從而該函數是方程y″+y=0的解. 從上面的討論中可以看到一個重要事實，那就是微分方程的解中可以包含任意常數，其中任意常數的個數可以多到與方程的階數相等，也可以不含任意常數. 一般地，微分方程的不含有任意常數的解稱為微分方程的特解；含有相互獨立的任意常數，且任意常數的個數與微分方程的階數相等的解稱為微分方程的通解（一般解）. 通解的意思是指，當其中的任意常數取遍所有實數時，就可以得到微分方程的所有解（至多有個別例外）. 注 這里所說的相互獨立的任意常數，是指它們不能通過合并而使得通解中的任意常數的個數減少. 由上面的定義不難看出，函數y=x2+C，y=sin(arcsinx+C)，y=C1cosx+C2sinx分別是對應方程的通解，而函數y=±1是方程=的特解. 許多實際問題都需要尋求滿足某些附加條件的解，而這些附加條件可以用來確定通解中的任意常數. 例如，例6.1.1中根據曲線過點(1， 2)這個附加條件可確定C=1，從而得到問題的特解為y=x2+1. 這類附加條件稱為初始條件，也稱定解條件. 設微分方程中的未知函數為y=y(x)，若微分方程是一階的，初始條件是x=x0，則 （6.1.10） 其中x0， y0都是給定的值. 若微分方程是二階的，初始條件是x=x0，則 （6.1.11） 其中x 0， y0， y1都是給定的值. 求微分方程滿足初值條件的特解的問題稱為微分方程的初值問題. 例6.1.1中，所求曲線方程y=x2+1就是初值問題的解. 對于一階方程，若已求出通解y=φ(x， C)，只要將初值條件y(x0)=y0代入通解中，得到方程.從中解出C，設為C0，代入通解，即得滿足初值條件的解y=φ(x， C0). 為了便于研究方程解的性質，常常考慮解的圖像. 一階方程（6.1.5）的一個特解y=φ(x)的圖像是xOy平面上的一條曲線，稱為方程（6.1.5）的積分曲線，而通解y=φ(x， C)的圖像是平面上的一族曲線，稱為積分曲線族. 例如：方程（6.1.1）的通解y=x2+C是xOy平面上的一族拋物線；而y=x2是過點(0， 0)的一條積分曲線. 例6.1.3 設一物體的溫度為100℃，將其放置在空氣溫度為20℃的環境中冷卻. 根據冷卻定律： 物體溫度的變化率與物體和當時空氣溫度之差成正比，設物體的溫度T與時間t的函數關系為T=T(t)，則可建立起函數T(t)滿足的微分方程： 其中k(k>0)為比例常數. 這就是物體冷卻的數學模型. 根據題意，T=T(t)還需滿足條件 例6.1.4 設某商品在t時刻的售價為P，該商品的需求量和供給量分別是P的函數D(P)， S(P)，則在t時刻的價格P(t)對于時間t的變化率可認為與該商品在同時刻的超額需求量D(P)-S(P)成正比，即有微分方程 =k[D(P)-S(P)] (k>0) 在D(P)和S(P)確定情況下，可解出價格與t的函數關系，這就是商品的價格調整模型. 例6.1.5 試指出下列方程是什么方程，并指出微分方程的階數： （1）；（2）；（3）； （4）. 解 （1）是一階線性微分方程，因方程中含有的和y都是一次方. （2）是一階非線性微分方程，因方程中含有的平方項. （3）是二階非線性微分方程，因方程中含有的三次方. （4）是二階非線性微分方程，因方程中含有非線性函數和. 例6.1.6 求曲線族x2+Cy2=1滿足的微分方程，其中C為任意常數. 解 求曲線族所滿足的方程，就是求一微分方程，使所給的曲線族正好是該微分方程的積分曲線族. 因此所求微分方程的階數應與已知曲線族中的任意常數的個數相等. 這里，通過消去任意常數的方法來得到所求的微分方程. 等式x2+Cy2=1兩邊對x求導得再從x2+Cy2=1解出C=，代入上式得 2x+2yy′=0 化簡即得到所求微分方程 xy+(1-x2)y′=0 例6.1.7 驗證函數y=(x2+C)sinx（C為任意常數）是方程的通解，并求滿足初始條件的特解. 解 要驗證一個函數是否是方程的通解，只要將函數代入方程，看是否恒等，再看函數式中所含獨立的任意常數的個數是否與方程的階數相同. 將y=(x2+C)sinx求一階導數，得 將y和代入方程左邊得 因方程兩邊恒等，且y中含有一個任意常數，故y=(x2+C)sinx是題設方程的通解. 將初始條件代入通解y=(x2+C)sinx中得 則 從而所求特解為
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