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高等數(shù)學(xué) 下冊(cè)(第二版) 版權(quán)信息
- ISBN：9787030728265
- 條形碼：9787030728265 ; 978-7-03-072826-5
- 裝幀：一般膠版紙
- 冊(cè)數(shù)：暫無(wú)
- 重量：暫無(wú)
- 所屬分類(lèi)：>
高等數(shù)學(xué) 下冊(cè)(第二版) 本書(shū)特色
“十二五“普通高等教育本科國(guó)家級(jí)規(guī)劃教材，河南省”十四五“普通高等教育規(guī)劃教材，河南省首屆教材建設(shè)獎(jiǎng)（高等教育類(lèi)）一等獎(jiǎng)，國(guó)家混合式一流課程配套教材，適合高等院校非數(shù)學(xué)理工類(lèi)等專(zhuān)業(yè)的高等數(shù)學(xué)新形態(tài)教材
高等數(shù)學(xué) 下冊(cè)(第二版) 內(nèi)容簡(jiǎn)介
本教材根據(jù)高等學(xué)校非數(shù)學(xué)類(lèi)專(zhuān)業(yè)高等數(shù)學(xué)課程的教學(xué)要求和教學(xué)大綱編寫(xiě)，分為上、下兩冊(cè)。本書(shū)為下冊(cè)，共7章，內(nèi)容包括空間解析幾何與向量代數(shù)、多元函數(shù)微分法及其應(yīng)用、重積分、曲線積分和曲面積分、無(wú)窮級(jí)數(shù)、MATLAB軟件與多元函數(shù)微積分實(shí)驗(yàn)、數(shù)學(xué)建模初步等。書(shū)中節(jié)后配有習(xí)題，章后編有小結(jié)（包括內(nèi)容概要與解題指導(dǎo)）、知識(shí)拓展（包括數(shù)學(xué)小知識(shí)、數(shù)學(xué)家小故事、數(shù)學(xué)思想與方法），且以二維碼形式鏈接了重要知識(shí)點(diǎn)的講解視頻，書(shū)末附有習(xí)題答案與提示，以便讀者預(yù)習(xí)和自學(xué)。
高等數(shù)學(xué) 下冊(cè)(第二版) 目錄
目錄
前言
**版前言
第9章 空間解析幾何與向量代數(shù) 1
9.1 向量及其線性運(yùn)算 1
9.1.1 向量的概念 1
9.1.2 向量的線性運(yùn)算 2
9.1.3 空間直角坐標(biāo)系 5
9.1.4 利用坐標(biāo)作向量的線性運(yùn)算 6
9.1.5 向量的模、方向角、投影 8
9.2 數(shù)量積 向量積 *混合積 11
9.2.1 兩向量的數(shù)量積 11
9.2.2 兩向量的向量積 14
*9.2.3 向量的混合積 16
9.3 曲面及其方程 19
9.3.1 曲面方程的概念 19
9.3.2 旋轉(zhuǎn)曲面 21
9.3.3 柱面 23
9.3.4 二次曲面 24
9.4 空間曲線及其方程 27
9.4.1 空間曲線的一般方程 27
9.4.2 空間曲線的參數(shù)方程 28
9.4.3 空間曲線在坐標(biāo)面上的投影 30
9.5 平面及其方程 32
9.5.1 平面的點(diǎn)法式方程 32
9.5.2 平面的一般方程 33
9.5.3 兩平面的夾角 35
9.6 空間直線及其方程 37
9.6.1 空間直線的一般方程 37
9.6.2 空間直線的對(duì)稱(chēng)式方程與參數(shù)方程 38
9.6.3 兩直線的夾角 39
9.6.4 直線與平面的夾角 40
9.6.5 線面綜合題 41
*9.7 幾何模型的應(yīng)用 44
9.7.1 下料問(wèn)題 44
9.7.2 曲面上的螞蟻尋路問(wèn)題 45
9.7.3 禮花綻放問(wèn)題 47
本章小結(jié) 49
知識(shí)拓展 49
復(fù)習(xí)題9 51
第10章 多元函數(shù)微分法及其應(yīng)用 53
10.1 平面點(diǎn)集與多元函數(shù) 53
10.1.1 平面點(diǎn)集 53
10.1.2 二元函數(shù)的概念 55
10.1.3 多元函數(shù)的極限 56
10.1.4 多元函數(shù)的連續(xù)性 58
10.2 偏導(dǎo)數(shù) 61
10.2.1 偏導(dǎo)數(shù)的定義及其計(jì)算方法 61
10.2.2 高階偏導(dǎo)數(shù) 64
10.3 全微分 66
10.3.1 全微分的定義 66
*10.3.2 全微分在近似計(jì)算中的應(yīng)用 69
10.4 復(fù)合函數(shù)微分法 71
10.4.1 多元復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則 71
10.4.2 多元復(fù)合函數(shù)的全微分 75
10.5 隱函數(shù)的求導(dǎo)公式 77
10.5.1 一個(gè)方程的情形 77
10.5.2 方程組的情形 80
10.6 多元函數(shù)微分學(xué)的幾何應(yīng)用 83
10.6.1 空間曲線的切線與法平面 84
10.6.2 曲面的切平面與法線 87
10.7 方向?qū)?shù)與梯度 89
10.7.1 方向?qū)?shù) 89
10.7.2 梯度 92
10.8 多元函數(shù)的極值 95
10.8.1 多元函數(shù)的極值與判定方法 96
10.8.2 多元函數(shù)的*大值與*小值 98
10.8.3 條件極值 拉格朗日乘數(shù)法 100
*10.9 *小二乘法 106
本章小結(jié) 109
知識(shí)拓展 110
復(fù)習(xí)題10 111
第11章 重積分 113
11.1 二重積分的概念和性質(zhì) 113
11.1.1 二重積分的概念 113
11.1.2 二重積分的性質(zhì) 116
11.2 二重積分的計(jì)算法 (一) 118
11.2.1 利用直角坐標(biāo)計(jì)算二重積分 118
11.2.2 利用對(duì)稱(chēng)性和奇偶性化簡(jiǎn)二重積分的計(jì)算 123
11.3 二重積分的計(jì)算法 (二) 127
11.3.1 利用極坐標(biāo)計(jì)算二重積分 127
*11.3.2 二重積分的換元法 132
11.4 三重積分 (一) 136
11.4.1 三重積分的概念 136
11.4.2 直角坐標(biāo)系下三重積分的計(jì)算 137
11.4.3 利用對(duì)稱(chēng)性和奇偶性化簡(jiǎn)三重積分的計(jì)算 143
11.5 三重積分 (二) 144
11.5.1 利用柱面坐標(biāo)計(jì)算三重積分 144
11.5.2 利用球面坐標(biāo)計(jì)算三重積分 147
*11.5.3 三重積分的換元法 149
11.6 重積分應(yīng)用 152
11.6.1 重積分元素法 152
11.6.2 幾何應(yīng)用 152
11.6.3 物理應(yīng)用 156
*11.7 反常二重積分 163
11.7.1 無(wú)界區(qū)域上的反常二重積分 163
11.7.2 無(wú)界函數(shù)的反常二重積分 165
*11.8 含參變量積分 166
本章小結(jié) 172
知識(shí)拓展 173
復(fù)習(xí)題11 176
第12章 曲線積分和曲面積分 180
12.1 對(duì)弧長(zhǎng)的曲線積分 180
12.1.1 對(duì)弧長(zhǎng)的曲線積分的概念與性質(zhì) 180
12.1.2 對(duì)弧長(zhǎng)的曲線積分的計(jì)算 182
12.2 對(duì)坐標(biāo)的曲線積分 187
12.2.1 對(duì)坐標(biāo)的曲線積分的概念與性質(zhì) 187
12.2.2 對(duì)坐標(biāo)的曲線積分的計(jì)算 190
12.2.3 兩類(lèi)曲線積分之間的聯(lián)系 195
12.3 格林公式及其應(yīng)用 198
12.3.1 區(qū)域的連通性及邊界曲線的正向 198
12.3.2 格林公式 199
12.3.3 平面上曲線積分與路徑無(wú)關(guān)的條件 203
*12.3.4 曲線積分的基本定理 209
12.4 對(duì)面積的曲面積分 211
12.4.1 對(duì)面積的曲面積分的概念和性質(zhì) 211
12.4.2 對(duì)面積的曲面積分的計(jì)算 212
12.5 對(duì)坐標(biāo)的曲面積分 217
12.5.1 有向曲面及其投影 217
12.5.2 對(duì)坐標(biāo)的曲面積分的概念和性質(zhì) 218
12.5.3 對(duì)坐標(biāo)的曲面積分的計(jì)算 221
12.5.4 兩類(lèi)曲面積分之間的聯(lián)系 224
12.6 高斯公式 *通量與散度 228
12.6.1 高斯公式 228
*12.6.2 沿任意閉曲面的曲面積分為零的條件 233
*12.6.3 通量與散度 234
12.7 斯托克斯公式 *環(huán)流量與旋度 237
12.7.1 斯托克斯公式 237
*12.7.2 空間曲線積分與路徑無(wú)關(guān)的條件 240
*12.7.3 環(huán)流量與旋度 241
本章小結(jié) 243
知識(shí)拓展 246
復(fù)習(xí)題12 249
第13章 無(wú)窮級(jí)數(shù) 252
13.1 常數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的概念和性質(zhì) 252
13.1.1 常數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的概念 252
13.1.2 收斂級(jí)數(shù)的基本性質(zhì) 257
*13.1.3 柯西審斂原理 260
13.2 常數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的審斂法 262
13.2.1 正項(xiàng)級(jí)數(shù)及其審斂法 262
13.2.2 交錯(cuò)級(jí)數(shù)及其審斂法 272
13.2.3 絕對(duì)收斂與條件收斂 274
13.3 冪級(jí)數(shù) 277
13.3.1 函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的概念 277
13.3.2 冪級(jí)數(shù)及其收斂性 278
13.3.3 冪級(jí)數(shù)的運(yùn)算 283
13.4 函數(shù)展開(kāi)成冪級(jí)數(shù) 288
13.4.1 泰勒級(jí)數(shù) 288
13.4.2 函數(shù)展開(kāi)成冪級(jí)數(shù)的方法 291
13.5 函數(shù)的冪級(jí)數(shù)展開(kāi)式的應(yīng)用 299
13.5.1 近似計(jì)算 299
13.5.2 高階導(dǎo)數(shù)值的冪級(jí)數(shù)解法 303
13.5.3 歐拉公式 304
*13.5.4 微分方程的冪級(jí)數(shù)解法 306
13.6 傅里葉級(jí)數(shù) 310
13.6.1 三角級(jí)數(shù) 三角函數(shù)系的正交性 310
13.6.2 函數(shù)展開(kāi)成傅里葉級(jí)數(shù) 312
13.6.3 正弦級(jí)數(shù)和余弦級(jí)數(shù) 318
13.7 一般周期函數(shù)的傅里葉級(jí)數(shù) 322
13.7.1 周期為2l的周期函數(shù)的傅里葉級(jí)數(shù) 322
*13.7.2 傅里葉級(jí)數(shù)的復(fù)數(shù)形式 326
*13.8 傅里葉變換和傅里葉積分 330
13.8.1 傅里葉變換及其逆變換 330
13.8.2 傅里葉變換的性質(zhì) 335
13.8.3 卷積 337
本章小結(jié) 339
知識(shí)拓展 341
復(fù)習(xí)題13 347
*第14章 MATLAB 軟件與多元函數(shù)微積分實(shí)驗(yàn) 349
14.1 多元函數(shù)微分學(xué)實(shí)驗(yàn) 349
14.1.1 曲面繪圖 349
14.1.2 MATLAB求極限 351
14.1.3 MATLAB求偏導(dǎo)數(shù)及全微分 353
14.1.4 MATLAB與微分法的幾何應(yīng)用 355
14.1.5 MATLAB求多元函數(shù)的極值 359
14.2 多元函數(shù)積分學(xué)實(shí)驗(yàn) 360
14.2.1 MATLAB求二重積分 360
14.2.2 MATLAB求三重積分 362
14.3 泰勒級(jí)數(shù)和傅里葉級(jí)數(shù)實(shí)驗(yàn) 365
14.3.1 泰勒級(jí)數(shù) 365
14.3.2 傅里葉級(jí)數(shù) 366
本章小結(jié) 368
復(fù)習(xí)題14 369
*第15章 數(shù)學(xué)建模初步 370
15.1 數(shù)學(xué)建模的方法與步驟 370
15.1.1 數(shù)學(xué)模型的分類(lèi) 370
15.1.2 數(shù)學(xué)建模的基本方法 371
15.1.3 數(shù)學(xué)建模的過(guò)程及一般步驟 371
15.2 微積分模型 373
15.2.1 椅子問(wèn)題 373
15.2.2 洗衣服中的數(shù)學(xué) 375
15.2.3 雨中行走 377
15.2.4 通信衛(wèi)星的電波覆蓋的地球面積 381
15.2.5 萬(wàn)有引力定律的發(fā)現(xiàn) 383
15.3 微分方程模型 386
15.3.1 傳染病的傳播 386
15.3.2 交通問(wèn)題模型 393
15.4 簡(jiǎn)單的經(jīng)濟(jì)數(shù)學(xué)模型 395
15.4.1 邊際成本與邊際收益 396
15.4.2 效用函數(shù) 397
15.4.3 商品替代率 397
15.4.4 效用分析 398
15.4.5 一個(gè)*優(yōu)價(jià)格模型 398
15.4.6 *大貨幣供應(yīng)量的計(jì)算 400
本章小結(jié) 403
習(xí)題答案與提示 404
前言
**版前言
第9章 空間解析幾何與向量代數(shù) 1
9.1 向量及其線性運(yùn)算 1
9.1.1 向量的概念 1
9.1.2 向量的線性運(yùn)算 2
9.1.3 空間直角坐標(biāo)系 5
9.1.4 利用坐標(biāo)作向量的線性運(yùn)算 6
9.1.5 向量的模、方向角、投影 8
9.2 數(shù)量積 向量積 *混合積 11
9.2.1 兩向量的數(shù)量積 11
9.2.2 兩向量的向量積 14
*9.2.3 向量的混合積 16
9.3 曲面及其方程 19
9.3.1 曲面方程的概念 19
9.3.2 旋轉(zhuǎn)曲面 21
9.3.3 柱面 23
9.3.4 二次曲面 24
9.4 空間曲線及其方程 27
9.4.1 空間曲線的一般方程 27
9.4.2 空間曲線的參數(shù)方程 28
9.4.3 空間曲線在坐標(biāo)面上的投影 30
9.5 平面及其方程 32
9.5.1 平面的點(diǎn)法式方程 32
9.5.2 平面的一般方程 33
9.5.3 兩平面的夾角 35
9.6 空間直線及其方程 37
9.6.1 空間直線的一般方程 37
9.6.2 空間直線的對(duì)稱(chēng)式方程與參數(shù)方程 38
9.6.3 兩直線的夾角 39
9.6.4 直線與平面的夾角 40
9.6.5 線面綜合題 41
*9.7 幾何模型的應(yīng)用 44
9.7.1 下料問(wèn)題 44
9.7.2 曲面上的螞蟻尋路問(wèn)題 45
9.7.3 禮花綻放問(wèn)題 47
本章小結(jié) 49
知識(shí)拓展 49
復(fù)習(xí)題9 51
第10章 多元函數(shù)微分法及其應(yīng)用 53
10.1 平面點(diǎn)集與多元函數(shù) 53
10.1.1 平面點(diǎn)集 53
10.1.2 二元函數(shù)的概念 55
10.1.3 多元函數(shù)的極限 56
10.1.4 多元函數(shù)的連續(xù)性 58
10.2 偏導(dǎo)數(shù) 61
10.2.1 偏導(dǎo)數(shù)的定義及其計(jì)算方法 61
10.2.2 高階偏導(dǎo)數(shù) 64
10.3 全微分 66
10.3.1 全微分的定義 66
*10.3.2 全微分在近似計(jì)算中的應(yīng)用 69
10.4 復(fù)合函數(shù)微分法 71
10.4.1 多元復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則 71
10.4.2 多元復(fù)合函數(shù)的全微分 75
10.5 隱函數(shù)的求導(dǎo)公式 77
10.5.1 一個(gè)方程的情形 77
10.5.2 方程組的情形 80
10.6 多元函數(shù)微分學(xué)的幾何應(yīng)用 83
10.6.1 空間曲線的切線與法平面 84
10.6.2 曲面的切平面與法線 87
10.7 方向?qū)?shù)與梯度 89
10.7.1 方向?qū)?shù) 89
10.7.2 梯度 92
10.8 多元函數(shù)的極值 95
10.8.1 多元函數(shù)的極值與判定方法 96
10.8.2 多元函數(shù)的*大值與*小值 98
10.8.3 條件極值 拉格朗日乘數(shù)法 100
*10.9 *小二乘法 106
本章小結(jié) 109
知識(shí)拓展 110
復(fù)習(xí)題10 111
第11章 重積分 113
11.1 二重積分的概念和性質(zhì) 113
11.1.1 二重積分的概念 113
11.1.2 二重積分的性質(zhì) 116
11.2 二重積分的計(jì)算法 (一) 118
11.2.1 利用直角坐標(biāo)計(jì)算二重積分 118
11.2.2 利用對(duì)稱(chēng)性和奇偶性化簡(jiǎn)二重積分的計(jì)算 123
11.3 二重積分的計(jì)算法 (二) 127
11.3.1 利用極坐標(biāo)計(jì)算二重積分 127
*11.3.2 二重積分的換元法 132
11.4 三重積分 (一) 136
11.4.1 三重積分的概念 136
11.4.2 直角坐標(biāo)系下三重積分的計(jì)算 137
11.4.3 利用對(duì)稱(chēng)性和奇偶性化簡(jiǎn)三重積分的計(jì)算 143
11.5 三重積分 (二) 144
11.5.1 利用柱面坐標(biāo)計(jì)算三重積分 144
11.5.2 利用球面坐標(biāo)計(jì)算三重積分 147
*11.5.3 三重積分的換元法 149
11.6 重積分應(yīng)用 152
11.6.1 重積分元素法 152
11.6.2 幾何應(yīng)用 152
11.6.3 物理應(yīng)用 156
*11.7 反常二重積分 163
11.7.1 無(wú)界區(qū)域上的反常二重積分 163
11.7.2 無(wú)界函數(shù)的反常二重積分 165
*11.8 含參變量積分 166
本章小結(jié) 172
知識(shí)拓展 173
復(fù)習(xí)題11 176
第12章 曲線積分和曲面積分 180
12.1 對(duì)弧長(zhǎng)的曲線積分 180
12.1.1 對(duì)弧長(zhǎng)的曲線積分的概念與性質(zhì) 180
12.1.2 對(duì)弧長(zhǎng)的曲線積分的計(jì)算 182
12.2 對(duì)坐標(biāo)的曲線積分 187
12.2.1 對(duì)坐標(biāo)的曲線積分的概念與性質(zhì) 187
12.2.2 對(duì)坐標(biāo)的曲線積分的計(jì)算 190
12.2.3 兩類(lèi)曲線積分之間的聯(lián)系 195
12.3 格林公式及其應(yīng)用 198
12.3.1 區(qū)域的連通性及邊界曲線的正向 198
12.3.2 格林公式 199
12.3.3 平面上曲線積分與路徑無(wú)關(guān)的條件 203
*12.3.4 曲線積分的基本定理 209
12.4 對(duì)面積的曲面積分 211
12.4.1 對(duì)面積的曲面積分的概念和性質(zhì) 211
12.4.2 對(duì)面積的曲面積分的計(jì)算 212
12.5 對(duì)坐標(biāo)的曲面積分 217
12.5.1 有向曲面及其投影 217
12.5.2 對(duì)坐標(biāo)的曲面積分的概念和性質(zhì) 218
12.5.3 對(duì)坐標(biāo)的曲面積分的計(jì)算 221
12.5.4 兩類(lèi)曲面積分之間的聯(lián)系 224
12.6 高斯公式 *通量與散度 228
12.6.1 高斯公式 228
*12.6.2 沿任意閉曲面的曲面積分為零的條件 233
*12.6.3 通量與散度 234
12.7 斯托克斯公式 *環(huán)流量與旋度 237
12.7.1 斯托克斯公式 237
*12.7.2 空間曲線積分與路徑無(wú)關(guān)的條件 240
*12.7.3 環(huán)流量與旋度 241
本章小結(jié) 243
知識(shí)拓展 246
復(fù)習(xí)題12 249
第13章 無(wú)窮級(jí)數(shù) 252
13.1 常數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的概念和性質(zhì) 252
13.1.1 常數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的概念 252
13.1.2 收斂級(jí)數(shù)的基本性質(zhì) 257
*13.1.3 柯西審斂原理 260
13.2 常數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的審斂法 262
13.2.1 正項(xiàng)級(jí)數(shù)及其審斂法 262
13.2.2 交錯(cuò)級(jí)數(shù)及其審斂法 272
13.2.3 絕對(duì)收斂與條件收斂 274
13.3 冪級(jí)數(shù) 277
13.3.1 函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的概念 277
13.3.2 冪級(jí)數(shù)及其收斂性 278
13.3.3 冪級(jí)數(shù)的運(yùn)算 283
13.4 函數(shù)展開(kāi)成冪級(jí)數(shù) 288
13.4.1 泰勒級(jí)數(shù) 288
13.4.2 函數(shù)展開(kāi)成冪級(jí)數(shù)的方法 291
13.5 函數(shù)的冪級(jí)數(shù)展開(kāi)式的應(yīng)用 299
13.5.1 近似計(jì)算 299
13.5.2 高階導(dǎo)數(shù)值的冪級(jí)數(shù)解法 303
13.5.3 歐拉公式 304
*13.5.4 微分方程的冪級(jí)數(shù)解法 306
13.6 傅里葉級(jí)數(shù) 310
13.6.1 三角級(jí)數(shù) 三角函數(shù)系的正交性 310
13.6.2 函數(shù)展開(kāi)成傅里葉級(jí)數(shù) 312
13.6.3 正弦級(jí)數(shù)和余弦級(jí)數(shù) 318
13.7 一般周期函數(shù)的傅里葉級(jí)數(shù) 322
13.7.1 周期為2l的周期函數(shù)的傅里葉級(jí)數(shù) 322
*13.7.2 傅里葉級(jí)數(shù)的復(fù)數(shù)形式 326
*13.8 傅里葉變換和傅里葉積分 330
13.8.1 傅里葉變換及其逆變換 330
13.8.2 傅里葉變換的性質(zhì) 335
13.8.3 卷積 337
本章小結(jié) 339
知識(shí)拓展 341
復(fù)習(xí)題13 347
*第14章 MATLAB 軟件與多元函數(shù)微積分實(shí)驗(yàn) 349
14.1 多元函數(shù)微分學(xué)實(shí)驗(yàn) 349
14.1.1 曲面繪圖 349
14.1.2 MATLAB求極限 351
14.1.3 MATLAB求偏導(dǎo)數(shù)及全微分 353
14.1.4 MATLAB與微分法的幾何應(yīng)用 355
14.1.5 MATLAB求多元函數(shù)的極值 359
14.2 多元函數(shù)積分學(xué)實(shí)驗(yàn) 360
14.2.1 MATLAB求二重積分 360
14.2.2 MATLAB求三重積分 362
14.3 泰勒級(jí)數(shù)和傅里葉級(jí)數(shù)實(shí)驗(yàn) 365
14.3.1 泰勒級(jí)數(shù) 365
14.3.2 傅里葉級(jí)數(shù) 366
本章小結(jié) 368
復(fù)習(xí)題14 369
*第15章 數(shù)學(xué)建模初步 370
15.1 數(shù)學(xué)建模的方法與步驟 370
15.1.1 數(shù)學(xué)模型的分類(lèi) 370
15.1.2 數(shù)學(xué)建模的基本方法 371
15.1.3 數(shù)學(xué)建模的過(guò)程及一般步驟 371
15.2 微積分模型 373
15.2.1 椅子問(wèn)題 373
15.2.2 洗衣服中的數(shù)學(xué) 375
15.2.3 雨中行走 377
15.2.4 通信衛(wèi)星的電波覆蓋的地球面積 381
15.2.5 萬(wàn)有引力定律的發(fā)現(xiàn) 383
15.3 微分方程模型 386
15.3.1 傳染病的傳播 386
15.3.2 交通問(wèn)題模型 393
15.4 簡(jiǎn)單的經(jīng)濟(jì)數(shù)學(xué)模型 395
15.4.1 邊際成本與邊際收益 396
15.4.2 效用函數(shù) 397
15.4.3 商品替代率 397
15.4.4 效用分析 398
15.4.5 一個(gè)*優(yōu)價(jià)格模型 398
15.4.6 *大貨幣供應(yīng)量的計(jì)算 400
本章小結(jié) 403
習(xí)題答案與提示 404
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高等數(shù)學(xué) 下冊(cè)(第二版) 節(jié)選
第9章 空間解析幾何與向量代數(shù) 在平面解析幾何中，通過(guò)坐標(biāo)法把平面上的點(diǎn)與一對(duì)有次序的數(shù)對(duì)應(yīng)起來(lái)，把平面上的圖形和方程對(duì)應(yīng)起來(lái)，從而可以用代數(shù)的方法來(lái)研究幾何問(wèn)題.用代數(shù)方法研究空間幾何圖形就是空間解析幾何，它是平面解析幾何的拓廣.平面解析幾何的知識(shí)對(duì)學(xué)習(xí)一元函數(shù)微積分是不可缺少的，空間解析幾何的知識(shí)對(duì)學(xué)習(xí)多元函數(shù)的微積分同樣也是不可缺少的. 向量代數(shù)是解決許多數(shù)學(xué)、物理及工程技術(shù)問(wèn)題的有力工具，本章先引進(jìn)向量的概念，根據(jù)向量的線性運(yùn)算建立空間坐標(biāo)系，然后利用坐標(biāo)討論向量的運(yùn)算，并介紹空間解析幾何的有關(guān)內(nèi)容. 9.1 向量及其線性運(yùn)算 9.1.1 向量的概念 客觀世界中有這樣一類(lèi)量，它們既有大小，又有方向，例如位移、速度、加速度、力、力矩等，這一類(lèi)量叫做向量或矢量(vector). 在數(shù)學(xué)上，常用一條有方向的線段，即有向線段來(lái)表示向量.有向線段的長(zhǎng)度表示向量的大小，有向線段的方向表示向量的方向.以A為起點(diǎn)、B為終點(diǎn)的有向線段所表示的向量記作A →B(圖9.1).有時(shí)也用一個(gè)黑體字母(或書(shū)寫(xiě)時(shí)，在字母上面加箭頭)來(lái)表示向量，例如等. 圖9.1 在實(shí)際問(wèn)題中，一些向量與起點(diǎn)有關(guān)，一些向量與起點(diǎn)無(wú)關(guān).由于一切向量的共性是它們都有大小和方向，因此在數(shù)學(xué)上我們只研究與起點(diǎn)無(wú)關(guān)的向量，并稱(chēng)這種向量為自由向量(free vector)，以后簡(jiǎn)稱(chēng)向量，當(dāng)遇到與起點(diǎn)有關(guān)的向量時(shí)，可在一般原則下作特別處理. 由于只討論自由向量，所以如果兩個(gè)向量a和b的大小相等，且方向相同，就說(shuō)向量a和b是相等的，記為a=b，即經(jīng)過(guò)平行移動(dòng)后能完全重合的向量是相等的. 向量的大小叫做向量的模(norm).向量的模依次記作|a|.模等于1的向量叫做單位向量(unit vector).模等于0的向量叫做零向量(zero vector)，記作0.零向量的起點(diǎn)與終點(diǎn)重合，它的方向可以看作是任意的. 圖9.2 設(shè)有兩個(gè)非零向量a，b，任取空間一點(diǎn)O，作，規(guī)定不超過(guò)π的∠AOB(設(shè))稱(chēng)為向量a與b的夾角(圖9.2)，記作或，即. 如果向量a與b中有一個(gè)是零向量，規(guī)定它們的夾角可以在0到π之間任意取值.如果或π，就稱(chēng)向量a與b平行，記作a//b;如果，就稱(chēng)向量a與b垂直，記作a⊥b.由于零向量與另一個(gè)向量的夾角可以在0到π之間任意取值，因此可以認(rèn)為零向量與任何向量都平行，也可以認(rèn)為零向量與任何向量都垂直. 當(dāng)兩個(gè)平行向量的起點(diǎn)放在同一點(diǎn)時(shí)，它們的終點(diǎn)和公共的起點(diǎn)在一條直線上.因此，兩向量平行又稱(chēng)兩向量共線. 類(lèi)似還有向量共面的概念.設(shè)有個(gè)向量，當(dāng)把它們的起點(diǎn)放在同一點(diǎn)時(shí)，如果k個(gè)終點(diǎn)和公共起點(diǎn)在一個(gè)平面上，就稱(chēng)這k個(gè)向量共面. 9.1.2 向量的線性運(yùn)算 1.向量的加法 向量的加法運(yùn)算規(guī)定如下: 圖9.3 設(shè)有兩個(gè)向量a與b，任取一點(diǎn)A，作，再以B為起點(diǎn)，作，連接AC(圖9.3)，那么向量稱(chēng)為向量a與b的和，記作a+b，即c=a+b. 上述作出兩向量之和的方法叫做向量相加的三角形法則. 力學(xué)上有求合力的平行四邊形法則，仿此，也有向量加法的平行四邊形法則，即當(dāng)向量a與b不平行時(shí)，作，以AB，AD為鄰邊作一平行四邊形ABCD，連接對(duì)角線AC(圖9.4)，顯然向量A.→C等于向量a與b的和a+b. 圖9.4 向量的加法符合下列的運(yùn)算規(guī)律. (1)交換律a+b=b+a; (2)結(jié)合律(a+b)+c=a+(b+c). 這是因?yàn)，按向量加法的?guī)定(三角形法則)，從圖9.4可見(jiàn)，所以符合交換律.又如圖9.5所示，先作a+b再加上c，即得和(a+b)+c，如以a與b+c相加，則得同一結(jié)果，所以符合結(jié)合律. 圖9.5 由于向量的加法符合交換律與結(jié)合律，故n個(gè)向量相加可寫(xiě)成. 圖9.6 并按向量相加的三角形法則，可得n個(gè)向量相加的法則如下:使前一向量的終點(diǎn)作為次一向量的起點(diǎn)，相繼作向量a1，a2， ，an，再以**向量的起點(diǎn)為起點(diǎn)，*后一向量的終點(diǎn)為終點(diǎn)作一向量，這個(gè)向量即為所求的和.如圖9.6，有. 設(shè)a為一向量，規(guī)定與a的模相同而方向相反的向量叫做a的負(fù)向量(negative vector)，記作.a.由此，定義兩個(gè)向量b與a的差，即把向量.a加到向量b上，便得b與a的差(圖9.7(a)). 圖9.7 特別地，當(dāng)b=a時(shí)，有. 顯然，任給向量及點(diǎn)O，有，因此，若把向量a與b移到同一起點(diǎn)O，則從a的終點(diǎn)A向b的終點(diǎn)B所引向量便是向量b與a的差(圖9.7(b)). 由三角形兩邊之和大于第三邊，有， 其中等號(hào)在b與a同向或反向時(shí)成立. 2.向量與數(shù)的乘法 向量a與實(shí)數(shù)λ的乘積記作λa，規(guī)定λa是一個(gè)向量，它的模 |λa|=|λ||a|， 它的方向當(dāng)λ>0時(shí)與a相同，當(dāng)λ0，所以與ea的方向相同.又因的模是， 即|a|ea與a的模也相同，因此 a=|a|ea. 我們規(guī)定，當(dāng)時(shí)，由此，上式又可寫(xiě)成，這表示一個(gè)非零向量除以它的模的結(jié)果是一個(gè)與原向量同方向的單位向量. 由于向量λa與a平行，因此我們常用向量與數(shù)的乘積來(lái)說(shuō)明兩個(gè)向量的平行關(guān)系.定理設(shè)向量a.=0，那么，向量b平行于a的充分必要條件是:存在唯一的實(shí)數(shù)λ，使b=λa. 證明條件的充分性是顯然的，下面證明條件的必要性. 設(shè)b//a，取|λ|=|b||a|，當(dāng)b與a同向時(shí)，λ取正值;當(dāng)b與a反向時(shí)，λ取負(fù)值，即b=λa.這是因?yàn)榇藭r(shí)b與λa同向，且. 再證明數(shù)λ的唯一性.設(shè)b=λa，又設(shè)b=μa，兩式相減，便得，即，因，故，即λ=μ.證畢. 上述定理是建立數(shù)軸的理論依據(jù).我們知道，給定一個(gè)點(diǎn)、一個(gè)方向及單位長(zhǎng)度，就確定了一條數(shù)軸.由于一個(gè)單位向量既確定了方向，又確定了單位長(zhǎng)度，因此，給定一個(gè)點(diǎn)及一個(gè)單位向量就確定了一條數(shù)軸.設(shè)點(diǎn)O及單位向量i確定了數(shù)軸Ox(圖9.9)，對(duì)于數(shù)軸上任一點(diǎn)P，對(duì)應(yīng)一個(gè)向量，由，根據(jù)上述定理，必有唯一的實(shí)數(shù)x，使(實(shí)數(shù)x叫做軸上有向線段的值)，并知與實(shí)數(shù)x一一對(duì)應(yīng).于是，從而數(shù)軸上的點(diǎn)P與實(shí)數(shù)x有一一對(duì)應(yīng)的關(guān)系.據(jù)此，定義實(shí)數(shù)x為數(shù)軸上點(diǎn)P的坐標(biāo). 圖9.9 由此可知，數(shù)軸上點(diǎn)P的坐標(biāo)為x的充分必要條件是. 9.1.3 空間直角坐標(biāo)系 在空間取定一點(diǎn)O和三個(gè)兩兩垂直的單位向量i，j，k，就確定了三條都以O(shè)為原點(diǎn)的兩兩垂直的數(shù)軸，依次記為x軸(橫軸)、y軸(縱軸)、z軸(豎軸)，統(tǒng)稱(chēng)為坐標(biāo)軸.它們構(gòu)成一個(gè)空間直角坐標(biāo)系，稱(chēng)為Oxyz坐標(biāo)系或坐標(biāo)系(圖9.10).通常把x軸和y軸配置在水平面上，而z軸則是鉛垂線;它們的正向通常符合右手規(guī)則，即以右手握住z軸，當(dāng)右手的四個(gè)手指從正向x軸以π2角度轉(zhuǎn)向正向y軸時(shí)，大拇指的指向就是z軸的正向(圖9.11). 圖9.10 圖9.11 圖9.12 三條坐標(biāo)軸中的任意兩條可以確定一個(gè)平面，這樣確定出的三個(gè)平面統(tǒng)稱(chēng)為坐標(biāo)面.x軸及y軸所確定的坐標(biāo)面叫做xOy面，另兩個(gè)由y軸及z軸和由z軸及x軸所確定的坐標(biāo)面，分別叫做yOz面及zOx面.三個(gè)坐標(biāo)面把空間分成八個(gè)部分，每一部分叫做一個(gè)卦限，含有x軸、y軸與z軸正半軸的那個(gè)卦限叫做**卦限，第二卦限、第三卦限和第四卦限在xOy面的上方，按從上方觀察的逆時(shí)針?lè)较虼_定.第五卦限至第八卦限，在xOy面的下方，由**卦限之下的第五卦限，按從上方觀察的逆時(shí)針?lè)较虼_定，這八個(gè)卦限分別用字母I，II，III，IV，V，VI，VII，VIII表示(圖9.12). 任給向量r，對(duì)應(yīng)有點(diǎn)M，使.以O(shè)M為對(duì)角線、三條坐標(biāo)軸為棱作長(zhǎng)方體RHMK-OPNQ，如圖9.13所示，有. 設(shè)， 則. 圖9.13 上式稱(chēng)為向量r的坐標(biāo)分解式，xi，yj，zk稱(chēng)為向量r沿三個(gè)坐標(biāo)軸方向的分向量(sub-vector). 顯然，給定向量r，就確定了點(diǎn)M及.三個(gè)分向量，進(jìn)而確定了x，y，z三個(gè)有序數(shù);反之，給定三個(gè)有序數(shù)x，y，z，也就確定了向量r與點(diǎn)M.于是點(diǎn)M，向量r與三個(gè)有序數(shù)x，y，z之間有一一對(duì)應(yīng)的關(guān)系，即. 據(jù)此，有序數(shù)x，y，z稱(chēng)為向量r(在坐標(biāo)系Oxyz中)的坐標(biāo)(coordinator)，記作r= (x，y，z);有序數(shù)x，y，z也稱(chēng)為點(diǎn)M(在坐標(biāo)系Oxyz中)的坐標(biāo)，記作M(x，y，z). 向量稱(chēng)為點(diǎn)M關(guān)于原點(diǎn)O的向徑.上述表明，一個(gè)點(diǎn)與該點(diǎn)的向徑有相同的坐標(biāo).記號(hào)(x，y，z)既表示點(diǎn)M，又表示向量. 坐標(biāo)面上和坐標(biāo)軸上的點(diǎn)，其坐標(biāo)各有一定的特征.例如，點(diǎn)M在yOz面上，則x=0;同樣，在zOx面上的點(diǎn)，有y=0;在xOy面上的點(diǎn)，有z=0.如果點(diǎn)M在x軸上，則y=z=0;同樣在y軸上的點(diǎn)，有z=x=0;在z軸上的點(diǎn)，有x=y=0.如果點(diǎn)M為原點(diǎn)，則x=y=z=0. 9.1.4 利用坐標(biāo)作向量的線性運(yùn)算 利用向量的坐標(biāo)，可得向量的加法、減法以及向量與數(shù)的乘法的運(yùn)算如下: 設(shè)，利用向量加法的交換律與結(jié)合律以及向量與數(shù)的乘法的結(jié)合律與分配律，有 即 由此可見(jiàn)，對(duì)向量進(jìn)行加、減及向量與數(shù)的相乘，只需對(duì)向量的各坐標(biāo)分別進(jìn)行相應(yīng)的數(shù)量運(yùn)算就行了. 9.1.2節(jié)定理指出，當(dāng)向量a.=0時(shí)，向量b//a相當(dāng)于b=λa，坐標(biāo)表示式為.
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