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組合幾何趣談 版權信息
- ISBN：9787030540775
- 條形碼：9787030540775 ; 978-7-03-054077-5
- 裝幀：一般膠版紙
- 冊數：暫無
- 重量：暫無
- 所屬分類：>
組合幾何趣談 內容簡介
組合幾何研究的是幾何元素（點、直線、平面等）的各種構型及計數問題。許多組合幾何問題因其直觀淺近的表述而獨具魅力，但相關的深入研究卻往往或峰回路轉，或抽象深奧，極具挑戰性。組合幾何中許多具體問題的解決往往標志著相關研究的重要進展。計算機科學的迅猛發展為組合幾何的研究提供了巨大的動力與契機；而組合幾何的研究成果又為計算機科學與數學各個分支的研究提供了重要工具。本書介紹平面鋪砌與格點多邊形，論述阿基米德鋪砌的分類，論述格點多邊形面積公式及其推廣，論述平面有限點集的若干有趣性質；表述嚴謹，深入淺出，多數結論與命題均給出淺近通俗的初等證明，以激發讀者的閱讀興趣，進而引導讀者深入了解組合幾何這門學科并進而從事相關研究。讀
組合幾何趣談 目錄
目錄
叢書序言
前言
1 平面鋪砌 001
1.1 鋪砌的藝術 001
1.2 阿基米德鋪砌的頂點特征 006
1.3 柏拉圖多面體 017
1.4 一般多邊形鋪砌問題 023
2 格點多邊形與匹克定理 031
2.1 格點多邊形 031
2.2 匹克定理 043
2.3 匹克定理的歸納法證明 045
2.4 匹克定理的加權法證明 063
2.5 原始三角形與歐拉公式 068
2.6 Farey序列與原始三角形面積 077
2.7 含有空洞的格點多邊形 081
2.8 平面鋪砌與格點多邊形面積 084？
2.9 格點多邊形與2i+7 094
2.10 圓中的格點數 096
2.11 i=1的格點三角形 098
3 平面凸集 108
3.1 凸集與凸包 108
3.2 美滿結局問題 110
3.3 Helly定理 119
3.4 Minkowski定理 129
4 平面點集中的距離問題 134
4.1 Erdos點集問題 138
4.1.1 Erdos七點集 139
4.1.2 Erdos六點集 144
4.1.3 Erdos四點集與Erdos五點集 146
4.2 互異距離 150
4.3 距離的出現次數 154
4.4 *大距離 159
4.5 *小距離 161
4.6 平面等腰集 164
5 平面中的點與直線 169
5.1 有趣的平面劃分問題 169
5.2 直線配置問題 180
5.3 Sylvester-Gallai定理 186
5.4 對偶變換 192
5.4.1 基本概念 192
5.4.2 拋物型對偶變換 194
5.5 有限點集生成的角 200
6 黃金三角剖分 202
6.1 黃金分割與斐波那契數列 202
6.2 黃金分割的幾何作圖 207
6.3 黃金矩形 211
6.4 黃金三角形與三角剖分 215
7 整數邊多邊形 226
7.1 整數邊三角形 226
7.2 T(n)的計算公式 230
7.3 T(n)的遞推公式 240
7.4 整數分拆與T(n)的計算公式 242
7.5 整數邊等腰三角形 246
7.6 勾股三元組與勾股三角形 248
7.6.1 勾股三元組的構造方法 251
7.6.2 勾股三元組的其他構造方法 258
7.7 勾股三角形與格點多邊形 259
7.8 本原勾股三角形的生成樹 261
8 三角剖分與卡特蘭數 265
8.1 多邊形的對角線三角剖分 265
8.2 對角線三角剖分的計數問題 268
8.3 卡特蘭數 274
參考文獻 286
叢書序言
前言
1 平面鋪砌 001
1.1 鋪砌的藝術 001
1.2 阿基米德鋪砌的頂點特征 006
1.3 柏拉圖多面體 017
1.4 一般多邊形鋪砌問題 023
2 格點多邊形與匹克定理 031
2.1 格點多邊形 031
2.2 匹克定理 043
2.3 匹克定理的歸納法證明 045
2.4 匹克定理的加權法證明 063
2.5 原始三角形與歐拉公式 068
2.6 Farey序列與原始三角形面積 077
2.7 含有空洞的格點多邊形 081
2.8 平面鋪砌與格點多邊形面積 084？
2.9 格點多邊形與2i+7 094
2.10 圓中的格點數 096
2.11 i=1的格點三角形 098
3 平面凸集 108
3.1 凸集與凸包 108
3.2 美滿結局問題 110
3.3 Helly定理 119
3.4 Minkowski定理 129
4 平面點集中的距離問題 134
4.1 Erdos點集問題 138
4.1.1 Erdos七點集 139
4.1.2 Erdos六點集 144
4.1.3 Erdos四點集與Erdos五點集 146
4.2 互異距離 150
4.3 距離的出現次數 154
4.4 *大距離 159
4.5 *小距離 161
4.6 平面等腰集 164
5 平面中的點與直線 169
5.1 有趣的平面劃分問題 169
5.2 直線配置問題 180
5.3 Sylvester-Gallai定理 186
5.4 對偶變換 192
5.4.1 基本概念 192
5.4.2 拋物型對偶變換 194
5.5 有限點集生成的角 200
6 黃金三角剖分 202
6.1 黃金分割與斐波那契數列 202
6.2 黃金分割的幾何作圖 207
6.3 黃金矩形 211
6.4 黃金三角形與三角剖分 215
7 整數邊多邊形 226
7.1 整數邊三角形 226
7.2 T(n)的計算公式 230
7.3 T(n)的遞推公式 240
7.4 整數分拆與T(n)的計算公式 242
7.5 整數邊等腰三角形 246
7.6 勾股三元組與勾股三角形 248
7.6.1 勾股三元組的構造方法 251
7.6.2 勾股三元組的其他構造方法 258
7.7 勾股三角形與格點多邊形 259
7.8 本原勾股三角形的生成樹 261
8 三角剖分與卡特蘭數 265
8.1 多邊形的對角線三角剖分 265
8.2 對角線三角剖分的計數問題 268
8.3 卡特蘭數 274
參考文獻 286
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組合幾何趣談 節選
1 平面鋪砌 1.1 鋪砌的藝術 鋪砌的藝術，或稱鑲嵌的藝術，在文明史中可以說是源遠流長。遠古時代當人們開始建造房屋時，就想到要用石塊覆蓋地面或美化墻壁，要選擇石塊的顏色與形狀，要讓石塊鑲嵌得當，創造一個舒適美觀的環境；這時在他們的心目中就有了我們今天說的“鋪砌”或“鑲嵌”，可以毫不夸張地說鋪砌是一種藝術。荷蘭畫家M.C.Escher(1898-1972)，被稱為20世紀畫壇中獨樹一幟的藝術家，以其源自數學靈感的木刻、版畫等作品而聞名世界。圖1.1是Escher的名作《飛馬圖》，用一幅飛馬圖案形成的區域鋪砌全平面，不重疊，無空隙。Escher創作了大量這樣的作品，所以藝術界也稱他為“鋪砌藝術之王”(king of tessellation art)①。著名英國數學家Roger Penrose在鋪砌理論方面有突出成就，也是一位鋪砌藝術家，他與Escher在阿姆斯特丹一次數學學術會議上結識，在數學研究與藝術創作上多有合作，相得益彰，傳為佳話。我們這里只討論用正多邊形鋪砌平面的相關問題。有關鋪砌理論的深入研究可參見文獻(Grunbaum，et al.，1986)。 圖1.1 Escher的名作《飛馬圖》 在日常生活中經常會見到單一用正三角形、正方形或正六邊形瓷磚鋪砌的地面，無重疊，無空隙，如圖1.2所示，抽象地說，單一用正方形可以鋪砌全平面，無重疊，無空隙。正三角形與正六邊形也如此。另一情形是，可同時使用幾種不同正多邊形鋪砌全平面，如圖1.3所示。 圖1.2 圖1.3 現討論用正多邊形鋪砌平面的問題。首先引入一些基本概念與術語。 鋪砌元 用來鋪砌全平面的多邊形稱為鋪砌元。鋪砌元鋪砌全平面既無重疊也無間隙，即所謂“不重不漏”。 鋪砌的頂點和邊 平面鋪砌中有限個多邊形鋪砌元如有公共部分，即如有非空交，則非空交或是孤立點，或是多邊形的邊。前者稱為鋪砌的頂點，后者稱為鋪砌的邊。如果若干鋪砌元交于同一鋪砌頂點，則稱這些鋪砌元與該鋪砌頂點相關聯。 邊對邊鋪砌 若平面鋪砌的頂點和邊均是鋪砌元的頂點和邊，反之，每個鋪砌元的頂點和邊也都是鋪砌的頂點和邊，則稱這樣的平面鋪砌為邊對邊鋪砌。易知在邊對邊鋪砌中，每個鋪砌元的邊恰好是另一個鋪砌元的邊。圖1.4(a)顯示的是由正方形構成的邊對邊鋪砌，圖1.4(b)顯示的則是由正方形構成的非邊對邊鋪砌。 鋪砌的頂點特征 平面鋪砌中與鋪砌頂點關聯的鋪砌元(正多邊形)的邊數與鄰接順序構成該鋪砌頂點的頂點特征。若與某個頂點關聯的r個正多邊形的邊數依順時針方向為n1；n2； ；nr，則該頂點的頂點特征用有序正整數數組(n1；n2； ；nr)表示。例如圖1.2中顯示的三個鋪砌其頂點特征依次是(3；3；3；3；3；3)；(4；4；4；4)；(6；6；6)，可依次簡記為(36)；(44)；(63)；圖1.3中的鋪砌其頂點特征則是(4；8；8)，可簡記為(4；82)。 阿基米德鋪砌 滿足下列條件的鋪砌稱為阿基米德鋪砌，又稱齊次鋪砌(homogeneous tiling)：鋪砌元均為正多邊形；鋪砌是邊對邊鋪砌；鋪砌各頂點的頂點特征相同，與每個鋪砌頂點關聯的正多邊形內角和均為360°。 圖1.4 360°條件 對阿基米德鋪砌而言，其各頂點的頂點特征相同，所以可用表示鋪砌頂點特征的有序數組來表示該鋪砌。平面鋪砌中各個鋪砌元即正多邊形彼此無交疊，無間隙，對每個鋪砌頂點而言，與其關聯的各多邊形對該頂點貢獻的內角和是360°。設有序正整數數組(n1；n2； ；nr)表示一個阿基米德鋪砌的頂點特征，則該數組必滿足下述條件： 為敘述簡便，稱之為360°條件。但滿足360°條件的有序數組未必是一個鋪砌的頂點特征，例如有序數組(3；7；42)顯然滿足360°條件，但不是鋪砌的頂點特征，后面我們會詳細論述這個問題。 1.2 阿基米德鋪砌的頂點特征 引理1.1 由正多邊形構成的邊對邊鋪砌若各頂點的頂點特征相同，則與每個鋪砌頂點相關聯的正多邊形的個數只能是3；4；5；6。這就是說，阿基米德鋪砌的頂點特征只能是r元有序數組，其中r=3；4；5；6。 證明 設與每個鋪砌頂點相關聯的r個正多邊形分別是正n1-邊形，正n2-邊形， ，正nr-邊形。按鋪砌的定義，r≥3；ni≥3(i=1；2； ；r)，在每個鋪砌頂點r個關聯正多邊形內角之和為2，從而 于是3≤r≤6。又因為r為正整數，所以有
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