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高等代數(第2版河南省十四五普通高等教育規劃教材) 版權信息
- ISBN：9787030726704
- 條形碼：9787030726704 ; 978-7-03-072670-4
- 裝幀：一般膠版紙
- 冊數：暫無
- 重量：暫無
- 所屬分類：>
高等代數(第2版河南省十四五普通高等教育規劃教材) 本書特色
高等院校數學與應用數學、信息與計算科學、數理基礎科學、數據計算及應用、計算機科學與技術、數學科學與大數據技術、統計學、應用統計學等專業使用的高等代數教材或者教學參考書
高等代數(第2版河南省十四五普通高等教育規劃教材) 內容簡介
本書根據作者多年的教學實踐和研究成果編寫而成。主要內容包括行列式、矩陣、線性方程組與n維向量、矩陣特征值與矩陣相似對角化、二次型、多項式、線性空間、線性變換、矩陣的相似標準形和Euclid空間等。另外，還以二維碼形式鏈接了自測題及其參考答案、每章習題參考答案和MATLAB舉例等內容。本書在內容體系上注重不同知識點與重要概念、重要理論之間的本質聯系；精選例題和習題，注重對基礎概念的鞏固和深化，也注意知識體系的深化和拓展。 本書可作為高等學校數學類專業的高等代數教材，也可供物理類、計算機類、統計類以及管理與經濟類等專業的學生、教師和工程技術人員參考。
高等代數(第2版河南省十四五普通高等教育規劃教材) 目錄
目錄
前言
**版前言
第1章 行列式 1
1.1 2階行列式和3階行列式 1
1.1.1 引言 1
1.1.2 2階行列式和3階行列式的定義 2
1.1.3 2階行列式和3階行列式的性質 5
1.2 n階行列式 13
1.2.1 n階行列式的定義 13
1.2.2 n階行列式的性質 17
1.2.3 行列式的等價定義 20
1.3 n階行列式的計算 24
1.3.1 數字行列式 25
1.3.2 字母行列式 27
1.3.3 行列式的Laplac定理及其應用 32
1.4 Cramer法則 37
思考拓展題1 42
第2章 矩陣 47
2.1 矩陣的定義及基本運算 47
2.1.1 矩陣的定義 47
2.1.2 矩陣的運算 49
2.1.3 矩陣乘積的行列式 58
2.1.4 分塊矩陣 60
2.2 矩陣的逆與矩陣的秩 62
2.2.1 矩陣逆的定義 62
2.2.2 可逆矩陣的判定與計算 63
2.2.3 矩陣方程 71
2.2.4 矩陣的秩 74
2.3 矩陣的初等變換與初等矩陣 78
2.3.1 方程組的初等變換 78
2.3.2 矩陣的初等變換 80
2.3.3 初等矩陣 83
2.3.4 等價矩陣 91
2.4 分塊矩陣的初等變換及其應用 93
2.4.1 分塊矩陣的初等變換 93
2.4.2 分塊矩陣的秩 94
思考拓展題2 97
第3章 線性方程組與n維向量 100
3.1 線性方程組基本概念與解的判定 100
3.1.1 基本概念 100
3.1.2 方程組解的形態與判定 101
3.2 向量及向量之間的線性關系 107
3.2.1 數域 107
3.2.2 n維向量 109
3.2.3 向量的運算 110
3.2.4 向量組的線性相關性 112
3.3 向量組的秩 121
3.3.1 極大線性無關組 121
3.3.2 向量組秩的定義 122
3.3.3 向量組的秩與矩陣的秩之間的關系 123
3.3.4 向量組極大無關組的計算方法 126
3.3.5 向量組等價的判定 129
3.4 線性方程組解的結構與求解 132
3.4.1 線性方程組解的結構 132
3.4.2 線性方程組求解 133
3.4.3 方程組的公共解 142
3.4.4 解析幾何中的應用 143
思考拓展題 3 147
第4章 矩陣特征值與矩陣相似對角化 150
4.1 矩陣特征值與特征向量 150
4.1.1 特征值與特征向量的概念 150
4.1.2 特征值的性質 153
4.2 矩陣相似對角化 157
4.2.1 相似矩陣 157
4.2.2 矩陣相似對角化的條件 160
4.3 正交矩陣與實對稱矩陣相似對角化 164
4.3.1 正交矩陣 164
4.3.2 實對稱矩陣的對角化 167
4.4 應用舉例 169
思考拓展題4 174
第5章 二次型 177
5.1 二次型的定義與合同矩陣 177
5.1.1 二次型的定義 177
5.1.2 合同矩陣 179
5.1.3 標準二次型 181
5.2 二次型的化簡 183
5.2.1 配方法 183
5.2.2 正交變換法 184
5.3 唯一性與慣性定理 188
5.3.1 唯一性 189
5.3.2 二次型幾何應用 192
5.4 正定二次型與正定矩陣 196
5.4.1 正定二次型 196
5.4.2 非正定二次型 201
5.5 雙線性函數 204
思考拓展題5 206
第6章 多項式 209
6.1 一元多項式及其基本運算 209
6.1.1 一元多項式的定義 209
6.1.2 一元多項式的基本運算 210
6.1.3 多項式整除 211
6.2 *大公因式與多項式互素 216
6.2.1 *大公因式 216
6.2.2 多項式互素 219
6.3 因式分解 222
6.3.1 因式分解的概念 222
6.3.2 重因式 225
6.4 一元n次代數方程 227
6.4.1 代數方程的基本定理 227
6.4.2 復數域上代數方程 230
6.4.3 一元3次代數方程和4次代數方程的根 233
6.5 實系數多項式和有理系數多項式 235
6.5.1 實系數多項式 235
6.5.2 有理系數多項式 237
6.5.3 古希臘三大幾何問題 240
6.6 對稱多項式 242
思考拓展題6 246
第7章 線性空間 248
7.1 線性空間與子空間的定義及性質 248
7.1.1 引言 248
7.1.2 線性空間的定義與性質 249
7.1.3 線性空間的幾個主要結論 251
7.1.4 線性空間中向量的一些基本概念 251
7.1.5 子空間 254
7.2 線性空間的基與維數 255
7.2.1 線性空間的基與基變換 255
7.2.2 線性空間的基變換與向量的坐標 258
7.3 子空間的交運算與和運算 267
7.3.1 子空間的交與和 267
7.3.2 維數公式 269
7.3.3 子空間的直和 272
7.3.4 補空間 274
7.4 線性空間的同構 276
7.4.1 映射 276
7.4.2 線性空間的同構條件 279
7.5 線性函數與對偶空間 283
思考拓展題7 287
第8章 線性變換 289
8.1 線性變換的定義及運算 289
8.1.1 線性變換的定義 289
8.1.2 線性變換的運算 290
8.1.3 線性變換的性質 292
8.2 線性變換的矩陣 294
8.3 線性變換的特征值與特征向量 301
8.3.1 線性變換特征值與特征向量的定義 301
8.3.2 具有對角矩陣的線性變換 303
8.4 線性變換的值域與核 306
8.5 不變子空間 311
8.6 Jordan標準形與*小多項式 318
8.6.1 Jordan矩陣 318
8.6.2 *小多項式 320
思考拓展題8 323
第9章 矩陣的相似標準形 325
9.1 多項式矩陣及其初等變換 325
9.1.1 多項式矩陣的定義 325
9.1.2 λ矩陣的初等變換 326
9.2 行列式因子 332
9.3 矩陣相似的條件 336
9.4 初等因子與Jordan標準形 338
9.4.1 初等因子 339
9.4.2 初等因子確定Jordan標準形 342
9.5 矩陣函數簡介 348
思考拓展題9 352
第10章 Euclid空間 353
10.1 內積空間的定義與性質 353
10.2 內積的表示和標準正交基 358
10.3 Euclid空間上的正交變換 363
10.4 正交補空間 366
10.5 *小二乘法 370
10.6 酉空間 373
思考拓展題10 376
參考文獻 377
前言
**版前言
第1章 行列式 1
1.1 2階行列式和3階行列式 1
1.1.1 引言 1
1.1.2 2階行列式和3階行列式的定義 2
1.1.3 2階行列式和3階行列式的性質 5
1.2 n階行列式 13
1.2.1 n階行列式的定義 13
1.2.2 n階行列式的性質 17
1.2.3 行列式的等價定義 20
1.3 n階行列式的計算 24
1.3.1 數字行列式 25
1.3.2 字母行列式 27
1.3.3 行列式的Laplac定理及其應用 32
1.4 Cramer法則 37
思考拓展題1 42
第2章 矩陣 47
2.1 矩陣的定義及基本運算 47
2.1.1 矩陣的定義 47
2.1.2 矩陣的運算 49
2.1.3 矩陣乘積的行列式 58
2.1.4 分塊矩陣 60
2.2 矩陣的逆與矩陣的秩 62
2.2.1 矩陣逆的定義 62
2.2.2 可逆矩陣的判定與計算 63
2.2.3 矩陣方程 71
2.2.4 矩陣的秩 74
2.3 矩陣的初等變換與初等矩陣 78
2.3.1 方程組的初等變換 78
2.3.2 矩陣的初等變換 80
2.3.3 初等矩陣 83
2.3.4 等價矩陣 91
2.4 分塊矩陣的初等變換及其應用 93
2.4.1 分塊矩陣的初等變換 93
2.4.2 分塊矩陣的秩 94
思考拓展題2 97
第3章 線性方程組與n維向量 100
3.1 線性方程組基本概念與解的判定 100
3.1.1 基本概念 100
3.1.2 方程組解的形態與判定 101
3.2 向量及向量之間的線性關系 107
3.2.1 數域 107
3.2.2 n維向量 109
3.2.3 向量的運算 110
3.2.4 向量組的線性相關性 112
3.3 向量組的秩 121
3.3.1 極大線性無關組 121
3.3.2 向量組秩的定義 122
3.3.3 向量組的秩與矩陣的秩之間的關系 123
3.3.4 向量組極大無關組的計算方法 126
3.3.5 向量組等價的判定 129
3.4 線性方程組解的結構與求解 132
3.4.1 線性方程組解的結構 132
3.4.2 線性方程組求解 133
3.4.3 方程組的公共解 142
3.4.4 解析幾何中的應用 143
思考拓展題 3 147
第4章 矩陣特征值與矩陣相似對角化 150
4.1 矩陣特征值與特征向量 150
4.1.1 特征值與特征向量的概念 150
4.1.2 特征值的性質 153
4.2 矩陣相似對角化 157
4.2.1 相似矩陣 157
4.2.2 矩陣相似對角化的條件 160
4.3 正交矩陣與實對稱矩陣相似對角化 164
4.3.1 正交矩陣 164
4.3.2 實對稱矩陣的對角化 167
4.4 應用舉例 169
思考拓展題4 174
第5章 二次型 177
5.1 二次型的定義與合同矩陣 177
5.1.1 二次型的定義 177
5.1.2 合同矩陣 179
5.1.3 標準二次型 181
5.2 二次型的化簡 183
5.2.1 配方法 183
5.2.2 正交變換法 184
5.3 唯一性與慣性定理 188
5.3.1 唯一性 189
5.3.2 二次型幾何應用 192
5.4 正定二次型與正定矩陣 196
5.4.1 正定二次型 196
5.4.2 非正定二次型 201
5.5 雙線性函數 204
思考拓展題5 206
第6章 多項式 209
6.1 一元多項式及其基本運算 209
6.1.1 一元多項式的定義 209
6.1.2 一元多項式的基本運算 210
6.1.3 多項式整除 211
6.2 *大公因式與多項式互素 216
6.2.1 *大公因式 216
6.2.2 多項式互素 219
6.3 因式分解 222
6.3.1 因式分解的概念 222
6.3.2 重因式 225
6.4 一元n次代數方程 227
6.4.1 代數方程的基本定理 227
6.4.2 復數域上代數方程 230
6.4.3 一元3次代數方程和4次代數方程的根 233
6.5 實系數多項式和有理系數多項式 235
6.5.1 實系數多項式 235
6.5.2 有理系數多項式 237
6.5.3 古希臘三大幾何問題 240
6.6 對稱多項式 242
思考拓展題6 246
第7章 線性空間 248
7.1 線性空間與子空間的定義及性質 248
7.1.1 引言 248
7.1.2 線性空間的定義與性質 249
7.1.3 線性空間的幾個主要結論 251
7.1.4 線性空間中向量的一些基本概念 251
7.1.5 子空間 254
7.2 線性空間的基與維數 255
7.2.1 線性空間的基與基變換 255
7.2.2 線性空間的基變換與向量的坐標 258
7.3 子空間的交運算與和運算 267
7.3.1 子空間的交與和 267
7.3.2 維數公式 269
7.3.3 子空間的直和 272
7.3.4 補空間 274
7.4 線性空間的同構 276
7.4.1 映射 276
7.4.2 線性空間的同構條件 279
7.5 線性函數與對偶空間 283
思考拓展題7 287
第8章 線性變換 289
8.1 線性變換的定義及運算 289
8.1.1 線性變換的定義 289
8.1.2 線性變換的運算 290
8.1.3 線性變換的性質 292
8.2 線性變換的矩陣 294
8.3 線性變換的特征值與特征向量 301
8.3.1 線性變換特征值與特征向量的定義 301
8.3.2 具有對角矩陣的線性變換 303
8.4 線性變換的值域與核 306
8.5 不變子空間 311
8.6 Jordan標準形與*小多項式 318
8.6.1 Jordan矩陣 318
8.6.2 *小多項式 320
思考拓展題8 323
第9章 矩陣的相似標準形 325
9.1 多項式矩陣及其初等變換 325
9.1.1 多項式矩陣的定義 325
9.1.2 λ矩陣的初等變換 326
9.2 行列式因子 332
9.3 矩陣相似的條件 336
9.4 初等因子與Jordan標準形 338
9.4.1 初等因子 339
9.4.2 初等因子確定Jordan標準形 342
9.5 矩陣函數簡介 348
思考拓展題9 352
第10章 Euclid空間 353
10.1 內積空間的定義與性質 353
10.2 內積的表示和標準正交基 358
10.3 Euclid空間上的正交變換 363
10.4 正交補空間 366
10.5 *小二乘法 370
10.6 酉空間 373
思考拓展題10 376
參考文獻 377
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第1章行列式 行列式始于17世紀80年代，首先引入這一概念的是日本數學家關孝和，目前行列式記號由英國數學家凱萊（Cayley）于1841年給出。行列式的提出與求解線性方程組密切相關，由于其簡潔的表達式和系統規律的運算性質，使它成為數學領域很好的表述和計算工具，在其他學科分支中也有重要應用。 本章主要討論行列式的定義與性質，行列式的計算和行列式在線性方程組求解中的一個應用——克拉默（Cramer）法則。 1.1 2階行列式和3階行列式 本節通過求解2元和3元線性方程組引入2階行列式和3階行列式，在此基礎上討論它們的性質以及二者之間的關系。 1.1.1引言 在線性代數中我們研究*簡單的多變量方程是線性方程。一般而言，n個未知數的線性方程表示形式為。 所謂線性是指:未知數，都是一次的，且系數，和常數項b都與未知數無關。多個這樣的線性方程聯立即為線性方程組。其中都是常數。 線性方程組是經典代數學的一個重要課題，求解線性方程組是線性代數的一個重要任務。在中學曾經學習了如何求2元一次方程組和3元一次方程組，比較熟悉的方法是代入法。例如，對方程組第1個方程中解出。整理后，解得x=—1，并代入y=2-3x，得到原方程組唯一解x=—1，y=5。 利用此法求解n元一次方程組，不難想象其麻煩程度，也很難得出一個規范化的求解公式。以下我們再了解一下消元法求解線性方程組。 對于一般形式的2元一次線性方程組利用Gauss消元法（過程略）可得。 由此看出，利用消元法得到了一個公式，盡管還不太復雜，但難以總結出規律性的東西。 下面再看3元一次方程組 這里姑且不論消元過程的煩瑣性，單就上述表達式即知其復雜性，而且難以記憶。3元方程組尚且如此，3元以上方程組更可想而知。自然要問：能不能引入一個簡明的記號，不僅使解的表示形式簡單好記，而且省去消元過程以容易計算？ 1.1.2 2階行列式和3階行列式的定義 仔細觀察上述運算過程發現，2元一次方程組解的表達式中分子分母都是4個數組成的一個“新數”，由此我們將22=4個數ail，ai2，a21，a22所表示的新數。 那么2元一次方程組解的表達式就簡潔地表示為容易記憶的規范化形式 （1） 對于3元一次方程組解的表達式，其分子、分母都是9個數組成的一個“新數”，分母上個數所表示的新數。 用一個很規范的記號表示。類似地，分子上的新數分別表示為。 那么3元一次方程組解的表達式就可以簡潔地表示為 （2） 顯然，由⑴式和（2）式，引入新記號來表示2元、3元一次方程組解表達式要簡明很多。相信讀者借此可以猜想n元一次方程組解的簡潔表示式（如果存在的話）。 根據以上分析，下面就可以給出2階行列式和3階行列式的定義。 定義1給定2個數，用表達式定的“新數”。 （3） （3）式左端的表達式稱為2階行列式（可簡記為Z）2），它所表示的就是（3）式右端的新數，其中“2階”表示式（3）左端表達式的行數和列數是2。 類似地，給定個數組成3階行列式（3行3列）表示確定的“新數”，即 （4） 也就是（4）式中右端的新數用左端記號表示。3階行列式可記為。 由公式（3），2階行列式“|x|”中的新數等于主對角線“\”上元素的乘積減去次對角線“/”線上元素的乘積。于是，2階行列式不僅簡單好記且容易計算。 對于3階行列式顯然這是不可行的，它較2階行列式要復雜得多。 根據以上分析，直接計算得出2個結論。 結論1 在2階行列式D2中，如果兩行（列）元素相同，則。 結論2 在2階行列式D2中，如果有一行（列）元素全為0，則。由定義1，這里要強調兩點，一是由2階和3階行列式的定義可以看出的，們都是一個算式表示的“新數”；二是在2階和3階行列式中，元素叫第1下標字母i表示 “第i行”，第2個下標字母j表示“第j列”，也就是說，表示第i行第j列的元素。 1.1.3 2階行列式和3階行列式的性質 1. 2階行列式的性質 根據2階行列式的定義和計算公式，容易驗證如下性質（請讀者自行完成）。 性質1 行列式的行列互換位置（第1行（列）調換為第1列（行），第2行（列）調換為第2列（行），這稱為行列式的轉置），其值不變。 性質2 行列式第1行與第2行互換位置，或第1列與第2列互換位置，其值變號。 性質3 行列式中某行（列）有公因子k，可以提取公因子。 性質4 行列式中兩行（列）成比例，其值為0。 性質5 行列式的某一行（列）的k倍加到另一行（列），其值不變。 性質6 行列式某一行（列）的元素均為兩個數之和，可以展開為2個行列式之和。 根據性質6，下式計算是錯誤的： 利用以上性質，再回看2元一次方程組求解: 如果上式右端行列式不等于0，則方程組有唯一解，其表達式即為（1）式。 2. 3階行列式的展開定理 先看3階行列式與2階行列式之間的關系 由（4）式及2階行列式的定義，可得 類似可以按列展開。如此可以發現：3階行列式可以用2階行列式表示，這種方法稱為降階法。為探求其中所蘊含的規律，下面引入余子式和代數余子式的定義。 定義2在3階行列式中，劃去所在的第i行和第j列上的元素，余下來元素保持排序不變，構成一個2階行列式，這個2階行列式稱為元素的余子式，記為。稱財為元素的代數余子式，記為，即 例如，在行列式中，元素的余子式和代數余子式分別為；元素a33=9的余子式和代數余子式分別為。 根據定義2，余子式和代數余子式有這樣的特點：它們都與元素所在的第行和第列上的元素無關。
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