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感悟數學——數學文化與數學學科導論 版權信息
- ISBN：9787030406927
- 條形碼：9787030406927 ; 978-7-03-040692-7
- 裝幀：一般膠版紙
- 冊數：暫無
- 重量：暫無
- 所屬分類：>
感悟數學——數學文化與數學學科導論 內容簡介
全書共50講，內容涉及數學的思想、方法、數學語言、數學的思維方式、數學的發展歷史、數學家的足跡、數學美、數學教育、數學與其他各種學科的關系，都可以說是數學文化的內涵，還包括數學中的人文成分，數學與社會的聯系、數學一些學科分支的介紹等等。全書共50講，內容涉及數學的思想、方法、數學語言、數學的思維方式、數學的發展歷史、數學家的足跡、數學美、數學教育、數學與其他各種學科的關系，都可以說是數學文化的內涵，還包括數學中的人文成分，數學與社會的聯系、數學一些學科分支的介紹等等。
感悟數學——數學文化與數學學科導論 目錄
目錄
前言
第1講 信息時代人才的數學素養隨想 1
第2講 數學的作用和魅力 7
第3講 信息時代的數學技術 13
第4講 三次數學危機產生的原因和結果 17
第5講 數學名言欣賞 23
第6講 數學思維淺析 32
第7講 數學與經濟的關系 39
第8講 諾貝爾經濟學獎及其與數學的關系 45
第9講 數學家與文學 49
第10講 詩詞中的數學 55
第11講 回首線性代數 62
第12講 “算命”的奧秘 65
第13講 偶然問題的必然規律 72
第14講 略談數理統計與計量經濟學 77
第15講 數學建模概觀 83
第16講 運籌帷幄、決勝千里 91
第17講 科學規劃、理性決策 100
第18講 整體優化、雙贏博弈 111
第19講 計算技術的若干基本問題 124
第20講 近代一些新的計算技術介紹 130
第21講 數學與社會科學 135
第22講 數學與種群生態學 140
第23講 數學美學欣賞 146
第24講 數字it和e的魅力 153
第25講 代數中的數學文化 159
第26講 有限與無限的思辨 163
第27講 極值與變分法 167
第28講 哥尼斯堡七橋問題與圖論 171
第29講 幻方的構造與魔力 176
第30講 概率破玄機統計解迷離 181
第31講 從素數到哥德巴赫猜想 188
第32講 分形漫談 192
第33講 富有傳奇色彩的數學家——伽羅瓦 198
第34講 龐加萊猜想與佩雷爾曼 205
第35講 機器證明與人類的夢想 211
第36講 女數學家的故事 215
第37講 數學大師陳省身 220
第38講 數學天才陶哲軒 225
第39講 空間完備化的數學方法論 229
第40講 三角形的面積與三斜求積 233
第41講 邪田與箕田的面積 237
第42講 輾轉相除法與更相減損術 242
第43講 定和問題與方程術 247
第44講 Lehmtus猜想與百年探索 253
第45講 互聯網上開放的數學教育 257
第46講 國際數學獎項介紹 268
第47講 數學與金融危機 274
第48講 “落魄”數學家張益唐的逆襲之路 282
第49講 《盜夢空間》中的數學思想 287
第50講 不尋常的數學感悟——兼敘杰出的盲人數學家列夫.龐特里亞金 293
前言
第1講 信息時代人才的數學素養隨想 1
第2講 數學的作用和魅力 7
第3講 信息時代的數學技術 13
第4講 三次數學危機產生的原因和結果 17
第5講 數學名言欣賞 23
第6講 數學思維淺析 32
第7講 數學與經濟的關系 39
第8講 諾貝爾經濟學獎及其與數學的關系 45
第9講 數學家與文學 49
第10講 詩詞中的數學 55
第11講 回首線性代數 62
第12講 “算命”的奧秘 65
第13講 偶然問題的必然規律 72
第14講 略談數理統計與計量經濟學 77
第15講 數學建模概觀 83
第16講 運籌帷幄、決勝千里 91
第17講 科學規劃、理性決策 100
第18講 整體優化、雙贏博弈 111
第19講 計算技術的若干基本問題 124
第20講 近代一些新的計算技術介紹 130
第21講 數學與社會科學 135
第22講 數學與種群生態學 140
第23講 數學美學欣賞 146
第24講 數字it和e的魅力 153
第25講 代數中的數學文化 159
第26講 有限與無限的思辨 163
第27講 極值與變分法 167
第28講 哥尼斯堡七橋問題與圖論 171
第29講 幻方的構造與魔力 176
第30講 概率破玄機統計解迷離 181
第31講 從素數到哥德巴赫猜想 188
第32講 分形漫談 192
第33講 富有傳奇色彩的數學家——伽羅瓦 198
第34講 龐加萊猜想與佩雷爾曼 205
第35講 機器證明與人類的夢想 211
第36講 女數學家的故事 215
第37講 數學大師陳省身 220
第38講 數學天才陶哲軒 225
第39講 空間完備化的數學方法論 229
第40講 三角形的面積與三斜求積 233
第41講 邪田與箕田的面積 237
第42講 輾轉相除法與更相減損術 242
第43講 定和問題與方程術 247
第44講 Lehmtus猜想與百年探索 253
第45講 互聯網上開放的數學教育 257
第46講 國際數學獎項介紹 268
第47講 數學與金融危機 274
第48講 “落魄”數學家張益唐的逆襲之路 282
第49講 《盜夢空間》中的數學思想 287
第50講 不尋常的數學感悟——兼敘杰出的盲人數學家列夫.龐特里亞金 293
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感悟數學——數學文化與數學學科導論 節選
第1講 信息時代人才的數學素養隨想 21世紀的社會是一個信息社會。信息社會有兩個主要特征:一是數學的應用日益廣泛，二是計算機技術迅猛發展。 早在1959年，我國著名數學家華羅庚教授在《大哉數學之為用》的文章中，曾形象地概述了數學的各種應用:“宇宙之大，粒子之微，火箭之速，化工之巧，地球之變，生物之謎，日用之繁，無處不用數學。”時至今日，計算機的高速計算使得許多過去無法求解的問題成為可能，大量新興的數學方法正在被有效地采用，數學的應用范圍更是急劇擴大。計算機具有處理大量信息的功能，因此定量分析的技術已經滲透到一切學科領域。如果說第二次世界大戰以前，數學主要用于天文學、物理學，那么現在，數學已經深人到化學、生物學、經濟學、管理學等各個學科領了。 我們現在都能深切地感受到，計算機技術的發展已經對人類社會的全部生活(包括物質生活與文化生活)產生了十分巨大的影響。計算機被稱為“改變世界的機器”是毫不為過的。 計算機*明顯的功能就是能高速度地進行大量計算，這種高速計算使得求解過去無法求解的問題成為可能。因此，科學計算與理論研究、科學實驗并列為科學研究的三大支柱。 綜上所述，21世紀信息社會的兩個重要特征，簡言之就是“數學無處不在”“計算機無處不在”。 數學素養是數學知識和能力的綜合體現。根據上述分析，21世紀的專業人才究竟應該具備什么樣的數學素養呢？我們認為，除了過去常講的抽象思維能力、邏輯推理能力、空間想象能力、數學運算能力外，特別還應具備數學建模能力與數值計算能力(含數據處理能力），即會用數學解決實際問題，會用計算機進行科學計算。 中國科學院院士吳文俊教授在《數學教育不能從培養數學家的要求出發》一文中指出：“任何數學都要講邏輯推理，但這只是問題的一個方面，更重要的是用數學去解決問題，解決日常生活中，其他學科中出現的數學問題。學校給的數學題目都是有答案的，已知什么，求證什么，都是清楚的，題目也一定是做得出的，但是將來到了社會上，所面對的問題大多是預先不知道答案的，甚至不知道是否會有答案。這就要求培養學生的創造能力，學會處理各種實際數學問題的方法。” 中國科學院院士王梓坤在《今日數學及其應用》一文中指出"精確定量，思維是對當代科技人員共同的要求。所謂定量思維就是指人們從實際問題中提煉數學問題，抽象化為數學模型，用數學計算求出此模型的解或近似解，然后回到現實中進行檢驗，必要時修改模型使之更切合實際，*后編制解決問題的軟件包，以便得到更廣泛的方便的應用。” 1992年美國工業與應用數學學會的一篇論文指出：“一切科學與工程技術人員的教育必須包括越來越多的數學和計算科學的內容。數學建模和相伴的計算正在成為工程設計過程中的關鍵工具。”美國科學、工程和公共事務政策委員會在一份報告中指出：“今天，在技術科學中*有用的數學研究領域是數值分析和數學建模。” 21世紀培養的各類專業科技人才，應該具有將他所涉及的專業實際問題建立數學模型的能力，這樣才能在實際工作中發揮更大的創造性。 1.1數學專業的學生要了解機器證明的思想 以沉思默想為主的傳統的數學研究方式雖有數千年光榮歷史，但人的腦力勞動畢竟有其生理極限，數學規律正如其他自然規律一樣是客觀存在，它不會遷就于人類的能力。譬如“四色定理”在1976年已被兩位美國科學家用計算機予以證明，但迄今仍有一些學者努力尋求不依賴于電腦的“人腦證明”。誰也不知道對這一具體問題這樣的證明是否存在。可以肯定的是，一定存在許多足夠復雜的命題，對這些命題人腦證明是難以實現的。例如，一個舉重運動員無論多么優秀，人們不能指望他有朝一日能徒手舉起一艘航空母艦。數學證明的冗長和復雜已經到了常常難以對其作出鑒定的地步。數學文稿的審查正在逐漸變為一項人力所不能勝任的工作，這或許將導致新一輪的數學危機。 我們知道，大部分的推理結果在一定時期內是無法用實踐來檢驗的，所以必須有手段來保證推理的嚴密可靠，數學方法是保證嚴密推理的光輝典范，在這個意義上它是不應該消逝的，將會消逝的是那種艱苦卓絕的手工推理方式。作為智力勞動機械化的前驅，數學研究正在逐步走向機械化。 讓我們看一個機器證明的例子，進而理解機器證明的基本思想。 大家在中學里都學過什么叫恒等式，下面的等式 (1.1) 就是一個恒等式。能否不用演繹的辦法而用歸納的辦法來證明它是一個恒等式呢？ 用x=1代入，兩邊都得0;用x=2代入，兩邊都得1;用x=3代入，兩邊都得4。 這樣舉了三個例子之后，能不能肯定式(1.1)就是恒等式了呢？恒等式就是要求對x取所有的數值時兩邊都相等。以上驗證了三個x的值，怎么能斷定它一定恒等呢？ 其實，這樣驗證了三次已經證明了式(1.1)是恒等式。道理是:如果它不是恒等式，它一定是二次或一次方程，這種方程不可能有三個根。現在x=1，2，3都是“根”，說明它是恒等式。 這里，我們用數學上承認的演繹法證明了歸納推理的有效性。 其實，一個例子就能證明式(1.1)是恒等式。取x=10，代入兩邊都是81，就說明了式(1.1)是恒等式。 因為如果式(1.1)不是恒等式，就可以將它整理成一個二次或一次方程: (1.2) 因為式(1.1)左邊展開后至多有4項，每項系數都是±1，右邊系數絕對值*大的是2，因此a，b，c都是絕對值不大于6的整數。用x=10代入方程(1.2)得 (1.3) 因而 (1.4) 因為|a|<6，所以a=0。 由式(1.3)得 因而 (1.5) 所以又有b=0，從而c=0。 這就證明了方程(1.2)是恒等式。 這個方法也適用于檢驗高次的多變元的代數等式是不是恒等式，只用一個例子就可以了。當次數越高、變元越多時，例子所涉及的數值就越大。 這些數學事實表明，歸納推理可以有效地證明一般性的問題，甚至可以用一個例子證明一般的命題，而特例的驗證可以在計算機中進行，這正是“機器證明定理”的基本，思想之一。 用舉例的方法證明幾何定理的研究，這是在近30年活躍起來的領域。企圖用幾何證明數學定理，這是歷史上一些杰出的數學家與哲學家美妙的夢想。17世紀法國哲學家、數學家，解析幾何的創始人笛卡兒曾經有過一個大膽的設想:“一切問題化為數學問題，一切數學問題化為代數問題，一切代數問題化為代數方程求解問題”。笛卡兒想得太簡單化了，但這種設想使他用坐標方法——解析幾何方法，把初等幾何問題化成了代數問題，對數學作出了杰出的貢獻。如果笛卡兒的設想得以實現，一切科學問題都可以機械地解決了，因為代數方程求解是有機械法則的。 20世紀40年代后期，電子計算機問世以后，各國數學家先后提出過幾種用機器證明初等幾何定理的方法，但一直未能在計算機上真正地證明非平凡的幾何定理（美國人證明的四色定理，不屬于純粹的幾何定理）。直到1977年，中國數學家吳文俊教授發表了初等幾何機器證明新方法之后，在電子計算機上證明初等幾何定理才成為現實。一個古老的夢開始實現了。用吳氏方法已在計算機上證明了600多條不平凡的幾何定理，其中包括一些新發現的定理。 吳氏方法的基本，思想是:先把幾何問題化為代數問題，再把代數問題化為代數恒等式的檢驗問題，代數恒等式的檢驗是機械的，問題的轉化過程也是機械的，整個問題也就機械化了。在吳氏方法的基礎上，1986年，洪加威發表了他的引起廣泛興趣的結果:對于相當廣泛的一類幾何命題，只要檢驗一個實例便能確定這條命是不是。 特例的檢驗，竟能代替演繹推理的證明。這不僅是深刻的數學思想，也具極高的哲學意味。微觀上的偶然性，呈現出宏觀上的必然性。普遍性寓于特殊性之中。 1.2財經類各專業的學生要掌握數學軟件的使用 計算機已成為經濟和管理研究強有力的甚至是不可或缺的工具。在許許多多的經濟理論和實證研究中，大量應用計算機進行輔助分析和處理，借助Mathematica、Matlab、Lingo等數學與通用軟件系統進行符號計算、數值計算與計算機繪圖，結合理論研究分析，根據具體問題研制相應的各種計算機輔助分析軟件及前置和結果處理程序。研究工作往往必須將理論證明與計算機處理相結合完成。計算機可以迅速完成用人工難以甚至無法處理的大量繁瑣、復雜、困難的運算與推導工。 Mathematical數學軟件可用于數值計算、符號運算、函數作圖，就像通常的計算器一樣方便。例如，分解因式、解方程組、解微分方程，求極限、求函數的導數、微分、積分，三角函數表，冪級數展開，求矩陣的乘積，求矩陣的逆，可以到任意位，可以作一元函數的圖形，二元函數的圖形等。 Matlab語言是一種高效率的用于科學工程計算的高級語言。與BasiC、Fortmn、C等語言比較，Matlab的語法規則簡單，更加貼近人的思維方式。用Matlab寫程序，猶如在一張演算紙上排列公式和求解問題，編程效率很高，因此稱為“演算紙式的”科學工程的算法語言。Matlab語言調試方便，調試過程中可設置中斷點，存儲多個中間結果，把編輯、編譯、連接和執行融為一體，并能快速排除程序中的錯誤。可以說，Matlab不僅是一種語言，而且在廣義上是一種語言開發系統。Matlab語言擴充能力強，能夠方便地擴展其功能和方便地調用Fortran語言和C語言的已有程序，從而可充分利用已有的程序資源。Matlab語言在進行矩陣運算方面，顯得特別簡捷、高效和方便。隨著Matlab版本的不斷更新，其功能越來越強，使之在諸如一般數值計算、數字信號處理、系統識別、自動控制、振動理論、時序分析與建模、優化設計、神經網絡控制、化學統計學、動態仿真系統、特殊函數和圖形等領域表現出一般高級語言難以比擬的優勢，并且可方便地用于幾乎所有的科學和工程計算的各個方面。 Matlab語言易學易用，不要求使用者有高深的數學和程序語言知識，不需要使用者深刻了解算法和編程技巧。只要將數學方程算式按Matlab語言規則輸入給計算機，Matlab將如你所愿給出該問題的相應解。 1.3學會數學實驗，提高動手能力 計算機仿真實驗（即計算機模擬），就是將所要研究問題的數學模型轉換為輸入計算機進行運算的形式，或將所要研究的問題設計成實驗，將圖形顯示在計算機屏幕上，由計算機進行大量計算，甚至推導與證明，得出某種新的結論或新的發現。這種研究方法正在部分地代替實際實驗或成為其重要的補充。一些“實驗數學家”正在創立一種新的數學研究方法，即主要通過計算機實驗從事新的發現。在這些數學家看來，數學正在成為一門“實驗科學”。也有一些數學家認為，由于計算機的出現，今日數學已不僅是一門科學，還是一種關鍵的普遍適用的技術。 “數學實驗”可以理解為“數學模型方法”的初步實踐，“數學模型方法”已成為科學技術中常用的非常重要的方法，它是數學和其他科學技術之間的媒介和橋梁。所謂“數學模型”是指利用數學語言模擬現實，即將某種事物的主要特征、主要關系抽象出來，用數學語言概括地或近似地表達出來的一種數學結構。所謂“數學模型方法”是指利用數學模型解決實際問題的一般數學方法。用“數學模型方法”解決實際問題的過程是根據實際問題的特點和要求，作出某些合理的假設，使問題簡化，并進行抽象概括，建立數學模型，然后研究求解所建立的數學模型方法與算法。*后將求解所得到的結果返回到實際中去解釋、檢驗。 “數學實驗”具有以下特點： 以問題為載體——通過實際問題的解決，培養應用數學知識解決實際問題的意識與能力。因此選擇適當的實際問題就十分重要。 以計算機為手段一實際問題的解決離不開數值計算，計算機的強大功能正是高速計算。 以軟件為工具——科學計算工具的主體是各種軟件，而它們的共同基礎是
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