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線性代數 版權信息
- ISBN：9787030541062
- 條形碼：9787030541062 ; 978-7-03-054106-2
- 裝幀：一般膠版紙
- 冊數：暫無
- 重量：暫無
- 所屬分類：>
線性代數 內容簡介
本書結合教育部關于高等教育線性代數教學基本要求和編者們多年教學經驗編寫而成。共有6章：行列式、矩陣、線性方程組、特征值與特征向量、線性空間與線性變換、二次型，以及數學軟件MATLAB在線性代數中的應用。
線性代數 目錄
目錄
前言
第1章 行列式 1
1.1 二階行列式與三階行列式 1
1.2 排列 5
1.3 n階行列式 6
1.4 行列式的性質 10
1.5 行列式按行 (列) 展開 13
1.6 行列式的計算 16
1.7 克拉默法則 18
1.8 行列式應用案例與研究背景 21
習題1 24
第2章 矩陣 28
2.1 矩陣 28
2.2 矩陣的運算 33
2.3 可逆矩陣 39
2.4 初等矩陣 43
2.5 矩陣的分塊 47
2.6 矩陣應用案例與研究背景 55
實驗一 行列式與矩陣的基本運算 58
實驗習題 73
習題2 74
第3章 線性方程組 80
3.1 消元法 80
3.2 n維向量及其線性相關性 84
3.3 矩陣的秩 95
3.4 線性方程組有解的判別定理 99
3.5 線性方程組解的結構 106
3.6 線性方程組應用案例與研究背景 112
實驗二 線性方程組求解 116
實驗習題 126
習題3 128
第4章 矩陣的特征值與特征向量 134
4.1 特征值的概念與性質 134
4.2 矩陣的對角化問題 142
4.3 實對稱矩陣 145
4.4 矩陣的特征值與特征向量應用案例與研究背景 154
實驗三 向量的內積與正交矩陣、特征值與特征向量 157
實驗習題 169
習題4 170
第5章 二次型 176
5.1 二次型與對稱矩陣 177
5.2 二次型的基本性質 181
5.3 用正交變換化二次型為標準形 186
5.4 正定二次型 193
5.5 二次型應用案例與研究背景 197
實驗四 二次型化標準形及其正定的判別 199
實驗習題 203
習題5 204
第6章 線性空間與線性變換 207
6.1 線性空間的定義與性質 207
6.2 維數、基與坐標 211
6.3 基變換與坐標變換 213
6.4 線性變換 216
6.5 線性變換的矩陣表示式 219
習題6 224
Matlab軟件的基本操作方法 227
部分習題參考答案 243
參考文獻 256
前言
第1章 行列式 1
1.1 二階行列式與三階行列式 1
1.2 排列 5
1.3 n階行列式 6
1.4 行列式的性質 10
1.5 行列式按行 (列) 展開 13
1.6 行列式的計算 16
1.7 克拉默法則 18
1.8 行列式應用案例與研究背景 21
習題1 24
第2章 矩陣 28
2.1 矩陣 28
2.2 矩陣的運算 33
2.3 可逆矩陣 39
2.4 初等矩陣 43
2.5 矩陣的分塊 47
2.6 矩陣應用案例與研究背景 55
實驗一 行列式與矩陣的基本運算 58
實驗習題 73
習題2 74
第3章 線性方程組 80
3.1 消元法 80
3.2 n維向量及其線性相關性 84
3.3 矩陣的秩 95
3.4 線性方程組有解的判別定理 99
3.5 線性方程組解的結構 106
3.6 線性方程組應用案例與研究背景 112
實驗二 線性方程組求解 116
實驗習題 126
習題3 128
第4章 矩陣的特征值與特征向量 134
4.1 特征值的概念與性質 134
4.2 矩陣的對角化問題 142
4.3 實對稱矩陣 145
4.4 矩陣的特征值與特征向量應用案例與研究背景 154
實驗三 向量的內積與正交矩陣、特征值與特征向量 157
實驗習題 169
習題4 170
第5章 二次型 176
5.1 二次型與對稱矩陣 177
5.2 二次型的基本性質 181
5.3 用正交變換化二次型為標準形 186
5.4 正定二次型 193
5.5 二次型應用案例與研究背景 197
實驗四 二次型化標準形及其正定的判別 199
實驗習題 203
習題5 204
第6章 線性空間與線性變換 207
6.1 線性空間的定義與性質 207
6.2 維數、基與坐標 211
6.3 基變換與坐標變換 213
6.4 線性變換 216
6.5 線性變換的矩陣表示式 219
習題6 224
Matlab軟件的基本操作方法 227
部分習題參考答案 243
參考文獻 256
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線性代數 節選
第1章 行列式 行列式的概念*早是由17世紀日本數學家關孝和提出來的。它是一種有效的計算工具，在數學的許多分支中都有著非常廣泛的應用。特別是在本課程中，它是研究線性方程組、矩陣及向量組線性相關性的一種重要工具。 1.1 二階行列式與三階行列式 1.1.1 二元線性方程組與二階行列式 用消元法解二元線性方程組 (1.1.1) 易知，當時，求得方程組(1.1.1)的解為 (1.1.2) 這就是一般二元線性方程組的公式解。但這個公式不好記憶，應用時不方便，因此，我們引進新的符號來表示這個結果，這就是行列式的起源。 定義1.1.1 記號表示代數和，稱為二階行列式， 即 其中數a11，a12，a21，a22叫做行列式的元素，橫排叫做行，豎排叫做列。元素aij的**個下標i叫做行標，表明該元素位于第i行，第二個下標j叫做列標，表明該元素位于第j列。由上述定義可知，二階行列式是由4個數按一定的規律運算所得的代數和。這個規律性表現在行列式的記號中就是“對角線法則”。如圖1-1所示為二階行列式對角線法則，把a11到a22的實連線稱為主對角線，把a12到a21的虛線稱為副對角線，于是，二階行列式便等于主對角線上兩元素之積減去副對角線上兩元素之積。 圖1-1 二階行列式對角線法則 利用二階行列式的定義，記 于是，在行列式D6=0的條件下，方程組(1.1.1)有**解 (1.1.3) 從形式上看，這里分母是由方程組(1.1.1)的系數所確定的二階行列式(稱為系數行列式)，x1的分子D1是用常數項b1，b2替換D中x1的系數a11，a21所得的二階行列式，x2的分子D2是用常數項b1，b2替換D中x2的系數a12，a22所得的二階行列式。本節后面討論的三元線性方程組亦有類似的規律性。 例1 用二階行列式解二元線性方程組 解 因為，故方程組有**解： 1.1.2 三元線性方程組與三階行列式 類似地，為了得出關于三元線性方程組 解的簡潔表達式，我們引入三階行列式。 定義1.1.2 記號表示代數和 稱為三階行列式，即 (1.1.4) 由上述定義可見，三階行列式有六項，每一項均為不同行不同列的三個元素之積再冠以正負號，其運算的規律性可用“對角線法則”(圖1-2)來表述。 圖1-2 三階行列式對角線法則 例2 計算三階行列 解 例3 求解方程 解 方程左端的三階行列式記為D，則 由x2.5x+6=0，解得x=2或x=3。 類似于二元線性方程組的討論，對三元線性方程組 記 當D≠0時，則該方程組有**解 它的結構與前面二元一次方程組的解類似。 例4 解三元線性方程組 解 方程組的系數行列式 故所求方程組的解為 1.2 排列 為了給出n階行列式的定義，本節先介紹有關排列的概念和性質。 1.2.1 排列的相關概念 定義1.2.1 自然數1；2； ；n按照一定次序不重復地排成一列，稱為一個n級排列(簡稱排列)。 例如，1234和3412都是一個4級排列，而52341是一個5級排列。由自然數1，2，3組成的所有3級排列為123，132，213，231，312，321，共有3！=6個。 數字由小到大的n級排列1234 n稱為自然數順序排列。 定義1.2.2 在一個n級排列i1i2 is it in中，若數is>it，則稱is與it構成一個逆序。一個n級排列中逆序的總數稱為該排列的逆序數，記為N(i1i2 in)。 容易看出，自然數順序排列的逆序數為0。 根據上述定義，可按下面方法計算排列的逆序數. 設有一個n級排列i1i2 in，比ik(k=1，2， ，n)大且排在ik前面的數共有tk個，則ik的逆序數為tk，那么該排列中所有自然數的逆序數之和就是這個排列的逆序數，即 例1 計算排列52341的逆序數。 解 因為5排在首位，故其逆序數為0； 在2前面且比2大的數有1個，故其逆序數為1； 在3前面且比3大的數有1個，故其逆序數為1； 在4前面且比4大的數有1個，故其逆序數為1； 在1前面且比1大的數有4個，故其逆序數為4。 于是，這個排列的逆序數為 N(52341)=0+1+1+1+4=7： 定義1.2.3 逆序數為奇數的排列稱為奇排列；逆序數為偶數的排列稱為偶排列。 例2 試求排列n(n.1) 321的逆序數，并討論其奇偶性。 解 因為n排在首位，故其逆序數為0； 在n-1前面且比n-1大的數有1個，故其逆序數為1； 在n-2前面且比n-2大的數有2個，故其逆序數為2； 在2前面且比2大的數有n-2個，故其逆序數為n-2； 在1前面且比1大的數有n-1個，故其逆序數為n-1。 于是，所求排列的逆序數為 容易得出，當n=4k，n=4k+1時，該排列為偶排列；當n=4k+2，n=4k+3時，該排列為奇排列。 定義1.2.4 在一個n級排列i1 is it in中，如果其中某兩個數is與it對調位置，其余各數位置不變，就得到另一個新的n級排列i1 it is in，這樣的變換稱為一個對換，記作(is，it)。將相鄰兩個元素對換，稱為相鄰對換。 例如，將排列3412中的4與2對換，得到新排列3214。 1.2.2 排列的性質 性質1.2.1 任意一個排列經過一次對換后，其奇偶性改變。 例如，偶排列3412經過4與2的對換后，變成了奇排列3214。反之，奇排列3214經過2與4的對換后，變成了偶排列3412。 性質1.2.2 奇排列變成自然數順序排列的對換次數為奇數，偶排列變成自然數順序排列的對換次數為偶數。 證明 由性質1.2.1知，對換的次數就是排列奇偶性的變化次數，而自然數順序排列是偶排列(逆序數為0)，因此結論成立。 性質1.2.3 n個自然數(n>1)共有n！個n級排列，其中奇偶排列各占一半。 證明 設在n！個n級排列中，奇排列共有p個，偶排列共有q個。若對每個奇排列都作同一對換，則由性質1.2.1，p個奇排列均變為偶排列，由于偶排列一共只有q個，所以p≤q；同理對每個偶排列都作同一對換，則q個偶排列均變為奇排列，于是又有q≤p，所以p=q，即奇排列與偶排列的個數相等。 1.3 n階行列式 這里由二階、三階行列式的計算特點的研究，進一步引出n階行列式的定義。
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