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高階KdV方程組及其怪波解 版權(quán)信息
- ISBN：9787030715098
- 條形碼：9787030715098 ; 978-7-03-071509-8
- 裝幀：一般膠版紙
- 冊(cè)數(shù)：暫無(wú)
- 重量：暫無(wú)
- 所屬分類(lèi)：>
高階KdV方程組及其怪波解 內(nèi)容簡(jiǎn)介
KdV方程及其高階方程是一類(lèi)很好重要的淺水波方程，這類(lèi)方程具有廣泛的物理與應(yīng)用背景。本書(shū)介紹了這類(lèi)方程的物理背景，并給出相應(yīng)的孤立子解、怪波解。本書(shū)著重研究幾種重要類(lèi)型的高階KdV方程組在能量空間中的一些經(jīng)典結(jié)果，其中包括適定性、長(zhǎng)時(shí)間漸近性和穩(wěn)定性結(jié)果。利用調(diào)和分析的現(xiàn)代理論和方法，本書(shū)詳細(xì)介紹了這類(lèi)方程初值及初邊值問(wèn)題的低正則性結(jié)果；诳煞e系統(tǒng)的Riemann-Hilbert方法，本書(shū)同時(shí)研究了可積的Hirota方程及五階mKdV方程解的長(zhǎng)時(shí)間漸近行為，給出了方程解漸近主項(xiàng)的準(zhǔn)確數(shù)學(xué)表達(dá)式。本書(shū)適合高等院校數(shù)學(xué)、物理專(zhuān)業(yè)的研究生、教師以及科研院所相關(guān)領(lǐng)域的科研工作人員閱讀。
高階KdV方程組及其怪波解 目錄
目錄
前言
第1章KdV，mKdV及其高階方程的物理背景和怪波解1
1.1KdV方程的物理背景及孤立子1
1.2mKdV方程的物理背景及怪波解1
1.2.1一階周期解和有理分式解3
1.2.2二階周期解4
1.2.3退化解5
1.2.4二階有理分式解6
1.3五階KdV方程的物理背景及孤立子7
1.4五階mKdV方程的守恒律、周期解和有理解10
第2章KdV方程在H-1(R)中的適定性16
2.1引言16
2.1.1局部光滑性16
2.1.2概念和預(yù)備知識(shí)17
2.2對(duì)角格林函數(shù)18
2.3動(dòng)力學(xué)28
2.4等度連續(xù)性32
2.5適定性35
2.6周期情形38
2.7局部光滑性45
第3章高階廣義KdV型方程組的周期邊界問(wèn)題與初值問(wèn)題53
3.1引言53
3.2方程組(3.1.6)的周期邊界問(wèn)題(3.1.2)54
3.3方程組(3.1.1)的周期邊界問(wèn)題(3.1.2)63
3.4方程組(3.1.1)的初值問(wèn)題(3.1.3)76
3.5p=1的情況80
第4章一類(lèi)具導(dǎo)數(shù)uxp的廣義KdV方程組的弱解84
4.1引言84
4.2問(wèn)題(4.1.3)，(4.1.5)近似解的存在性85
4.3一致先驗(yàn)估計(jì)89
4.4初值問(wèn)題的廣義解91
4.5t→1的漸近解92
4.5.1“blowup”問(wèn)題92
第5章一類(lèi)五階KdV方程的光滑解94
5.1引言94
5.2周期邊值問(wèn)題(5.1.1)，(5.1.2)95
5.3初值問(wèn)題(5.1.1)，(5.1.3)103
第6章高階多變量KdV型方程組整體弱解的存在性106
6.1引言106
6.2線(xiàn)性?huà)佄镄头匠痰闹芷诔踔祮?wèn)題107
6.3非線(xiàn)性?huà)佄锝M(6.1.2)的周期邊界問(wèn)題(6.1.3)108
6.4周期邊界問(wèn)題(6.1.1)，(6.1.3)的整體弱解115
6.5初值問(wèn)題(6.1.2)，(6.1.4)的整體弱解117
6.6初值問(wèn)題(6.1.1)，(6.1.4)的整體弱解118
6.7無(wú)限時(shí)間區(qū)間上的廣義解119
6.8廣義解當(dāng)t→1時(shí)的漸近性120
6.9廣義解的“blow-up”性質(zhì)120
第7章KdV-BBM方程的整體解122
7.1引言122
7.2主要結(jié)果及證明124
第8章KdV-BO方程的整體解129
8.1引言129
8.2預(yù)備知識(shí)131
8.3局部適定性: l=2135
8.4定理8.1.3的證明140
第9章一類(lèi)KdV-NLS方程組整體解的存在性和唯一性143
9.1引言143
9.2積分先驗(yàn)估計(jì)144
9.3方程(9.1.4)，(9.1.5)Cauchy問(wèn)題和周期初值問(wèn)題局部解的存在性154
9.4方程(9.1.1)，(9.1.2)Cauchy問(wèn)題和周期初值問(wèn)題整體解的存在性、唯一性162
第10章Hirota型方程的整體光滑解167
10.1引言167
10.2主要結(jié)果167
10.3主要結(jié)果的證明168
10.3.1定理10.2.1的證明168
10.3.2定理10.2.2的證明173
10.3.3定理10.2.3的證明173
第11章Hirota方程初邊值問(wèn)題解的長(zhǎng)時(shí)間漸近性176
11.1引言176
11.2RH問(wèn)題177
11.3一類(lèi)可解的RH問(wèn)題182
11.4RH問(wèn)題的形變183
11.5穩(wěn)態(tài)點(diǎn)k1和k2鄰域內(nèi)的RH問(wèn)題190
11.6長(zhǎng)時(shí)間漸近公式196
第12章一維KdV方程的初邊值問(wèn)題202
12.1引言202
12.2邊界算子工作的回顧206
12.2.1線(xiàn)性形式208
12.2.2非線(xiàn)性形式211
12.3Duhamel邊界力算子類(lèi)213
12.4一些函數(shù)空間的性質(zhì)218
12.5某些估計(jì)218
12.5.1Riemann-Liouville分?jǐn)?shù)階積分估計(jì)218
12.5.2群的估計(jì)221
12.5.3Duhamel非齊次解算子221
12.5.4Duhamel邊界力子類(lèi)的估計(jì)222
12.5.5雙線(xiàn)性估計(jì)226
12.6左半直線(xiàn)問(wèn)題234
12.7右半直線(xiàn)問(wèn)題238
12.8直線(xiàn)段問(wèn)題239
第13章KdV-NLS方程的初邊值問(wèn)題243
13.1引言243
13.1.1半直線(xiàn)上的模型244
13.1.2初邊值的函數(shù)空間245
13.1.3主要結(jié)果246
13.1.4證明技巧248
13.2Riemann-Liouville分?jǐn)?shù)階積分算子的相關(guān)估計(jì)249
13.2.1函數(shù)空間249
13.2.2Riemann-Liouville分?jǐn)?shù)階積分251
13.2.3一維積分基本估計(jì)252
13.3R+和R-上的線(xiàn)性問(wèn)題252
13.3.1Schrodinger方程自由傳播子的線(xiàn)性估計(jì)254
13.3.2線(xiàn)性Schrodinger方程的邊界力算子254
13.3.3線(xiàn)性Schrodinger方程的Duhamel邊界力算子類(lèi)255
13.3.4KdV方程的線(xiàn)性群257
13.3.5線(xiàn)性KdV方程的邊界力算子257
13.3.6線(xiàn)性KdV方程的Duhamel邊界力算子類(lèi)259
13.4Duhamel非齊次解算子262
13.5非線(xiàn)性估計(jì)263
13.5.1已知的非線(xiàn)性估計(jì)263
13.5.2耦合項(xiàng)的雙非線(xiàn)性估計(jì)263
13.5.3命題13.5.1的證明264
13.5.4命題13.5.2的證明268
13.5.5命題13.5.3的證明268
13.5.6命題13.5.4的證明273
13.6主要結(jié)果的證明274
13.6.1定理13.1.1的證明274
13.6.2定理13.1.2的證明278
13.6.3定理13.1.3的證明279
13.6.4定理13.1.4的證明282
第14章五階KdV方程的初邊值問(wèn)題285
14.1引言285
14.2線(xiàn)性估計(jì)和光滑性質(zhì)287
14.3局部適定性298
14.3.1非線(xiàn)性估計(jì)298
14.3.2定理14.1.1的證明304
14.4全局適定性308
第15章五階mKdV方程解的長(zhǎng)時(shí)間漸近性309
15.1引言309
15.2預(yù)備知識(shí)312
15.2.1RH問(wèn)題312
15.2.2PainlevéII RH問(wèn)題315
15.2.3一類(lèi)與PainlevéII方程解相關(guān)的RH問(wèn)題316
15.3區(qū)域(ii)中解的長(zhǎng)時(shí)間漸近分析319
15.4**過(guò)渡區(qū)域(a)中解的漸近性345
15.5第二過(guò)渡區(qū)域(b)中解的漸近性353
第16章KdV方程組的軌道穩(wěn)定性367
16.1引言367
16.2孤立波的存在性367
16.3主要結(jié)果368
16.4定理16.3.1的證明371
16.5定理16.3.2的證明375
第17章次臨界廣義KdV方程孤立子的漸近穩(wěn)定性379
17.1引言379
17.2預(yù)備知識(shí)384
17.3當(dāng)s→+1時(shí)， ε(s)和λ(s)的漸近行為385
17.3.1ε(s)的漸近行為385
17.3.2λ(s)的收斂性394
17.4從非線(xiàn)性L(fǎng)iouville性質(zhì)到線(xiàn)性L(fǎng)iouville性質(zhì)的過(guò)渡395
17.5線(xiàn)性L(fǎng)iouville性質(zhì)400
參考文獻(xiàn)410
索引417
前言
第1章KdV，mKdV及其高階方程的物理背景和怪波解1
1.1KdV方程的物理背景及孤立子1
1.2mKdV方程的物理背景及怪波解1
1.2.1一階周期解和有理分式解3
1.2.2二階周期解4
1.2.3退化解5
1.2.4二階有理分式解6
1.3五階KdV方程的物理背景及孤立子7
1.4五階mKdV方程的守恒律、周期解和有理解10
第2章KdV方程在H-1(R)中的適定性16
2.1引言16
2.1.1局部光滑性16
2.1.2概念和預(yù)備知識(shí)17
2.2對(duì)角格林函數(shù)18
2.3動(dòng)力學(xué)28
2.4等度連續(xù)性32
2.5適定性35
2.6周期情形38
2.7局部光滑性45
第3章高階廣義KdV型方程組的周期邊界問(wèn)題與初值問(wèn)題53
3.1引言53
3.2方程組(3.1.6)的周期邊界問(wèn)題(3.1.2)54
3.3方程組(3.1.1)的周期邊界問(wèn)題(3.1.2)63
3.4方程組(3.1.1)的初值問(wèn)題(3.1.3)76
3.5p=1的情況80
第4章一類(lèi)具導(dǎo)數(shù)uxp的廣義KdV方程組的弱解84
4.1引言84
4.2問(wèn)題(4.1.3)，(4.1.5)近似解的存在性85
4.3一致先驗(yàn)估計(jì)89
4.4初值問(wèn)題的廣義解91
4.5t→1的漸近解92
4.5.1“blowup”問(wèn)題92
第5章一類(lèi)五階KdV方程的光滑解94
5.1引言94
5.2周期邊值問(wèn)題(5.1.1)，(5.1.2)95
5.3初值問(wèn)題(5.1.1)，(5.1.3)103
第6章高階多變量KdV型方程組整體弱解的存在性106
6.1引言106
6.2線(xiàn)性?huà)佄镄头匠痰闹芷诔踔祮?wèn)題107
6.3非線(xiàn)性?huà)佄锝M(6.1.2)的周期邊界問(wèn)題(6.1.3)108
6.4周期邊界問(wèn)題(6.1.1)，(6.1.3)的整體弱解115
6.5初值問(wèn)題(6.1.2)，(6.1.4)的整體弱解117
6.6初值問(wèn)題(6.1.1)，(6.1.4)的整體弱解118
6.7無(wú)限時(shí)間區(qū)間上的廣義解119
6.8廣義解當(dāng)t→1時(shí)的漸近性120
6.9廣義解的“blow-up”性質(zhì)120
第7章KdV-BBM方程的整體解122
7.1引言122
7.2主要結(jié)果及證明124
第8章KdV-BO方程的整體解129
8.1引言129
8.2預(yù)備知識(shí)131
8.3局部適定性: l=2135
8.4定理8.1.3的證明140
第9章一類(lèi)KdV-NLS方程組整體解的存在性和唯一性143
9.1引言143
9.2積分先驗(yàn)估計(jì)144
9.3方程(9.1.4)，(9.1.5)Cauchy問(wèn)題和周期初值問(wèn)題局部解的存在性154
9.4方程(9.1.1)，(9.1.2)Cauchy問(wèn)題和周期初值問(wèn)題整體解的存在性、唯一性162
第10章Hirota型方程的整體光滑解167
10.1引言167
10.2主要結(jié)果167
10.3主要結(jié)果的證明168
10.3.1定理10.2.1的證明168
10.3.2定理10.2.2的證明173
10.3.3定理10.2.3的證明173
第11章Hirota方程初邊值問(wèn)題解的長(zhǎng)時(shí)間漸近性176
11.1引言176
11.2RH問(wèn)題177
11.3一類(lèi)可解的RH問(wèn)題182
11.4RH問(wèn)題的形變183
11.5穩(wěn)態(tài)點(diǎn)k1和k2鄰域內(nèi)的RH問(wèn)題190
11.6長(zhǎng)時(shí)間漸近公式196
第12章一維KdV方程的初邊值問(wèn)題202
12.1引言202
12.2邊界算子工作的回顧206
12.2.1線(xiàn)性形式208
12.2.2非線(xiàn)性形式211
12.3Duhamel邊界力算子類(lèi)213
12.4一些函數(shù)空間的性質(zhì)218
12.5某些估計(jì)218
12.5.1Riemann-Liouville分?jǐn)?shù)階積分估計(jì)218
12.5.2群的估計(jì)221
12.5.3Duhamel非齊次解算子221
12.5.4Duhamel邊界力子類(lèi)的估計(jì)222
12.5.5雙線(xiàn)性估計(jì)226
12.6左半直線(xiàn)問(wèn)題234
12.7右半直線(xiàn)問(wèn)題238
12.8直線(xiàn)段問(wèn)題239
第13章KdV-NLS方程的初邊值問(wèn)題243
13.1引言243
13.1.1半直線(xiàn)上的模型244
13.1.2初邊值的函數(shù)空間245
13.1.3主要結(jié)果246
13.1.4證明技巧248
13.2Riemann-Liouville分?jǐn)?shù)階積分算子的相關(guān)估計(jì)249
13.2.1函數(shù)空間249
13.2.2Riemann-Liouville分?jǐn)?shù)階積分251
13.2.3一維積分基本估計(jì)252
13.3R+和R-上的線(xiàn)性問(wèn)題252
13.3.1Schrodinger方程自由傳播子的線(xiàn)性估計(jì)254
13.3.2線(xiàn)性Schrodinger方程的邊界力算子254
13.3.3線(xiàn)性Schrodinger方程的Duhamel邊界力算子類(lèi)255
13.3.4KdV方程的線(xiàn)性群257
13.3.5線(xiàn)性KdV方程的邊界力算子257
13.3.6線(xiàn)性KdV方程的Duhamel邊界力算子類(lèi)259
13.4Duhamel非齊次解算子262
13.5非線(xiàn)性估計(jì)263
13.5.1已知的非線(xiàn)性估計(jì)263
13.5.2耦合項(xiàng)的雙非線(xiàn)性估計(jì)263
13.5.3命題13.5.1的證明264
13.5.4命題13.5.2的證明268
13.5.5命題13.5.3的證明268
13.5.6命題13.5.4的證明273
13.6主要結(jié)果的證明274
13.6.1定理13.1.1的證明274
13.6.2定理13.1.2的證明278
13.6.3定理13.1.3的證明279
13.6.4定理13.1.4的證明282
第14章五階KdV方程的初邊值問(wèn)題285
14.1引言285
14.2線(xiàn)性估計(jì)和光滑性質(zhì)287
14.3局部適定性298
14.3.1非線(xiàn)性估計(jì)298
14.3.2定理14.1.1的證明304
14.4全局適定性308
第15章五階mKdV方程解的長(zhǎng)時(shí)間漸近性309
15.1引言309
15.2預(yù)備知識(shí)312
15.2.1RH問(wèn)題312
15.2.2PainlevéII RH問(wèn)題315
15.2.3一類(lèi)與PainlevéII方程解相關(guān)的RH問(wèn)題316
15.3區(qū)域(ii)中解的長(zhǎng)時(shí)間漸近分析319
15.4**過(guò)渡區(qū)域(a)中解的漸近性345
15.5第二過(guò)渡區(qū)域(b)中解的漸近性353
第16章KdV方程組的軌道穩(wěn)定性367
16.1引言367
16.2孤立波的存在性367
16.3主要結(jié)果368
16.4定理16.3.1的證明371
16.5定理16.3.2的證明375
第17章次臨界廣義KdV方程孤立子的漸近穩(wěn)定性379
17.1引言379
17.2預(yù)備知識(shí)384
17.3當(dāng)s→+1時(shí)， ε(s)和λ(s)的漸近行為385
17.3.1ε(s)的漸近行為385
17.3.2λ(s)的收斂性394
17.4從非線(xiàn)性L(fǎng)iouville性質(zhì)到線(xiàn)性L(fǎng)iouville性質(zhì)的過(guò)渡395
17.5線(xiàn)性L(fǎng)iouville性質(zhì)400
參考文獻(xiàn)410
索引417
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高階KdV方程組及其怪波解 節(jié)選
第1章 KdV，mKdV 及其高階方程的物理背景和怪波解 1.1 KdV方程的物理背景及孤立子 眾所周知， 1834 年英國(guó)科學(xué)家 J.Scott Russell 在水面上首次觀(guān)察到了孤立波現(xiàn)象 [93]. 隨后， 英國(guó)科學(xué)家 Rayleigh 和法國(guó)科學(xué)家 Boussinesq 對(duì)這種波進(jìn)行了理論分析 [18]. 1895 年， 荷蘭數(shù)學(xué)家 Korteweg 和 de Vries [69] 在研究淺水波的運(yùn)動(dòng)中提出了如下的無(wú)量綱波方程 (現(xiàn)在稱(chēng)為KdV(Korteweg-de Vries) 方程) (1.1.1) 這里， 為水面的波峰高度. 他們對(duì)孤立波現(xiàn)象作了較為完整的分析， 并從方程 (1.1.1) 中求出了與 Russell 描述一致的、具有形狀不變的脈沖狀的孤立波 為波速; (1.1.2) 從而在理論上證實(shí)了孤立波的存在. 事實(shí)上， 早前 Boussinesq 的論文 [19] 就明確給出了 KdV 方程及其基本孤立子解， 其中也得到了 “Scott Russell 孤立波”. 普林斯頓等離子體物理實(shí)驗(yàn)室在一系列的研究中證實(shí)了 KdV 方程 (1.1.1) 蘊(yùn)含著豐富的新特性， 包括 1965 年， Zabusky 和 Kruskal [112] 數(shù)值上發(fā)現(xiàn)了 KdV 方程孤立波之間的彈性碰撞， 隨后， Gardner 等 [42] 提出反散射理論求解了 KdV 方程的初值問(wèn)題， 以及無(wú)限多守恒律的存在 [85] 等， 從而開(kāi)闊了孤立子理論和完全可積系統(tǒng)研究的先河. 盡管我們的重點(diǎn)是在數(shù)學(xué)問(wèn)題上， 但是， (1.1.1) 對(duì)于各種物理現(xiàn)象仍然是一個(gè)重要而有效的模型， 可參見(jiàn)在文獻(xiàn) [69] 的百年紀(jì)念之際發(fā)表的評(píng)論 [32]. 1.2 mKdV 方程的物理背景及怪波解 mKdV (修正的 Korteweg-de Vries) 方程是孤立波理論中另一個(gè)基本的完全可積模型， 其標(biāo)準(zhǔn)形式為 (1.2.1) 其中u = u(x; t) 是實(shí)函數(shù). 此外， mKdV 方程在模擬光纖中的超連續(xù)介質(zhì)譜產(chǎn)生， 在非調(diào)和晶格中的聲波、等離子體和流體動(dòng)力學(xué)中傳播的非線(xiàn)性 Alfvén波等物理實(shí)驗(yàn)中都有重要的應(yīng)用. 1983 年， D. H. Peregrine [89] 從經(jīng)典的可積非線(xiàn)性 Schr.dinger 方程 (1.2.2) 中得到了有理分式解及怪波解 (1.2.3) 2016 年， A. Chowdurya 等 [27] 得到了 mKdV 方程的有理分式解和周期解， 他們考慮如下聚焦形式的 mKdV 方程 (1.2.4) 其中是實(shí)值函數(shù)， 為任意的實(shí)參數(shù). 方程 (1.2.4) 的 Lax 對(duì) [106] 為 (1.2.5) 即可從 “零曲率” 條件: 推出方程 (1.2.4). 這里 U 和 V 是 2×2 矩陣， 其中 U 為 (1.2.6) 而 V 是關(guān)于特征值的矩陣多項(xiàng)式， 其中 Vj 為 (1.2.7) 而 1.2.1 一階周期解和有理分式解 選取種子解和純虛特征值， 利用文獻(xiàn) [3] 中類(lèi)似的步驟可得 mKdV 方程的周期解 (1.2.8) 其中. 圖 1.1 展示了頻率為的周期解曲線(xiàn)圖， 特征值， b 為實(shí)數(shù). 該解沿著 t 軸的周期為， 所以對(duì)于 0 < b < 1， 0 < k < 2 周期解存在. 圖 1.1 mKdV 方程的一階周期解 (1.2.8) 這些解的*長(zhǎng)振蕩周期出現(xiàn)在極限k→0 處. 類(lèi)似于 Akhmediev 呼吸子在極限k→0 時(shí)變?yōu)楣植ǖ那闆r [1， 2]， mKdV 方程的周期解 (1.2.8) 在極限k→ 0時(shí)變?yōu)槿缦碌挠欣矸质浇?(圖 1.2) (1.2.9)
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