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非線性常微分方程基礎 版權信息
- ISBN：9787030714886
- 條形碼：9787030714886 ; 978-7-03-071488-6
- 裝幀：一般膠版紙
- 冊數：暫無
- 重量：暫無
- 所屬分類：>
非線性常微分方程基礎 本書特色
適讀人群 ：高等師范院校和綜合性大學數學類專業高年級本科生和一年級研究生，微分方程理論愛好者研究生微分方程核心課教材，常微分方程定性理論的入門教材，介紹非線性常微分方程的近代方法, 并兼顧某些應用.
非線性常微分方程基礎 內容簡介
本書是作者在多年主講研究生“微分方程定性理論”課程講稿的基礎上整理而成。主要內容包括微分方程基本定理、穩定性理論、周期微分方程、自治系統定性理論、分支理論初步等內容，大部分章節都配有適量且難易兼顧的習題。本書介紹了常微分方程定性理論的經典理論及方法，同時簡單介紹了分支理論的研究方法和研究進展。
非線性常微分方程基礎 目錄
目錄
前言
第1章預備知識1
1.1線性空間1
1.1.1線性空間1
1.1.2線性空間的維數、基與坐標1
1.1.3線性子空間3
1.2線性算子5
1.2.1映射的概念5
1.2.2線性算子的概念5
1.2.3線性算子的零空間(核)與值域7
1.2.4線性空間的不變子空間8
1.3線性算子的譜理論、矩陣的Jordan法式9
1.3.1本征值與本征向量9
1.3.2特征多項式無重根時矩陣A的簡化10
1.3.3廣義本征向量與廣義零空間10
1.3.4算子在廣義零空間中的簡化13
1.3.5Jordan定理17
1.4矩陣函數22
1.4.1算子多項式22
1.4.2*小多項式24
1.4.3矩陣的整函數25
1.4.4一般矩陣函數的定義及簡化29
1.4.5eB=A的解33
1.5線性賦范空間.35
1.5.1定義及例子35
1.5.2空間C[a，b]的列緊性判斷(Ascoli-Arzela定理)36
1.5.3壓縮映射原理37
習題139
第2章線性系統40
2.1一階常微分方程組的一般理論40
2.1.1記號與定義40
2.1.2解的存在**性定理41
2.1.3齊次微分方程組的通解結構理論42
2.1.4Liouville公式46
2.1.5非齊次方程組，常數變易公式48
2.2高階線性方程.49
2.3常系數線性系統52
2.3.1一般常系數齊次方程組52
2.3.2非齊次方程組58
2.3.3高階常系數齊次方程59
2.3.4高階常系數非齊次方程的算符解法60
2.4具有周期系數的線性系統63
2.4.1引言.63
2.4.2Floquet理論64
2.4.3非齊次周期系統70
習題270
第3章非線性微分方程解的存在定理與解的性質73
3.1解的存在性和連續性73
3.1.1Euler折線與ε-逼近解73
3.1.2Peano存在定理75
3.2解的**性與關于初值及右端函數的連續性77
3.2.1積分不等式77
3.2.2解的**性80
3.2.3解關于初值與右端函數的連續性80
3.3解關于參數的連續性與可微性82
3.4具有解析右端的Cauchy定理86
習題386
第4章定性理論初步88
4.1自治系統的基本性質88
4.1.1自治系統88
4.1.2自治系統的動力學性質89
4.1.3奇點(平衡位置)與閉軌線90
4.2二階線性系統.91
4.2.1二維自治系統的變分方程組91
4.2.2線性系統的奇點判定93
4.3非線性系統的奇點100
4.3.1小擾動下的一次奇點、線性化條件100
4.3.2高次奇點的簡單討論101
4.4相平面上軌線性狀的一般討論.106
4.4.1軌線的極限集合、截線及其性質106
4.4.2平面有界閉域內的半軌線及其極限集合的可能類型107
4.4.3軌道穩定性與奇軌線109
4.5極限環110
4.5.1基本概念和例子110
4.5.2判別周期解與極限環存在的幾個準則111
4.5.3周期解和極限環不存在的幾個準則115
4.6非線性振動型方程的周期解與極限環117
4.6.1定義和分類.117
4.6.2VanderPol型方程的一個周期解存在定理118
4.6.3Liénard方程的中心存在定理119
4.7平面自治系統的分枝.121
4.7.1分枝的概念.121
4.7.2Hopf分枝定理122
4.7.3Poincaré分枝與同宿、異宿分枝125
習題4131
第5章穩定性理論的概念與方法133
5.1穩定性定義與V函數.133
5.1.1問題的提出.133
5.1.2穩定性的定義133
5.1.3穩定性的研究方法闡述137
5.1.4V函數與K函數138
5.1.5V函數性質的判別法139
5.1.6定號函數的幾何解釋140
5.2Lyapunov第二方法的基本定理140
5.2.1穩定性定理.140
5.2.2不穩定性定理141
5.2.3漸近穩定定理143
5.3自治系統的穩定性144
5.3.1常系數線性系統零解的穩定性145
5.3.2常系數線性系統的V函數的存在性145
5.3.3由一次近似決定的穩定性146
5.3.4穩定多項式的Routh-Harwitz定理147
5.4周期系統的穩定性149
5.4.1周期線性系統149
5.4.2一般周期系統150
5.5全局穩定性的概念及主要判定定理151
習題5158
第6章解析方法160
6.1基本概念160
6.1.1同階函數與高階函數160
6.1.2漸近序列與漸近級數161
6.1.3漸近展開與一致有效漸近展開162
6.2正則攝動法163
6.3非一致有效漸近解165
6.4應變參數法168
6.5匹配漸近法171
6.6多重尺度法177
6.6.1二變量法.178
6.6.2導數展開法.181
6.7平均化法184
習題6189
第7章應用:橢圓函數與非線性波方程的精確行波解191
7.1Jacobi橢圓函數的微分方程定義與性質191
7.2淺水波方程模型與對應的行波解系統195
7.2.1小振幅長波格式:δ1，=O(δ2)197
7.2.2中等振幅格式:δ1，=O(δ)198
7.2.3較大振幅格式:δ1，=O(√δ)199
7.2.4不假設振幅小的模型:=O(1)199
7.3廣義Camassa-Holm方程的精確尖孤子、偽尖孤子和周期尖波解201
7.3.1由圖7.3.1(a)的相軌道確定的廣義Camassa-Holm方程
的孤立波解，偽尖孤子，周期波解與周期尖波解203
7.3.2由圖7.3.1(b)的相軌道確定的廣義Camassa-Holm方程的周期尖波解與尖孤子解205
7.3.3由圖7.3.1(c)的相軌道確定的廣義Camassa-Holm方程的周期尖波解與有界破缺波解206
7.4廣義HarryDym-型方程的精確行波解及其在參數平面的分枝208
7.4.1系統(7.4.3)的相圖的分枝209
7.4.2當c
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非線性常微分方程基礎 節選
第1章預備知識 1.1 線性空間 1.1.1 線性空間的概念 定義 1.1.1 設 C 為復數域， X 為一非空集合. 若 X 中的元素滿足下列公理， 稱 X 為數域 C 上的線性空間. X 中的元素稱“向量”. 一、X 關于加法構成可交換群， 即若 x， y， z ∈ X， 則有 1. 加法封閉性: .x， y ∈ X， x + y ∈ X， x + y 稱“和”; 2. 加法結合律: (x + y) + z = x + (y + z); 3. 存在零元素: θ ∈ X， 使得 x + θ = x; 4. 存在負元素: -x ∈ X， 使得.x + x = θ; 5. 加法交換律: x + y = y + x. 二、在 X 中定義一個與數量的乘法運算， 即設 x， y ∈ X， α， β ∈ C， 則有 1. 乘法封閉性: .x ∈ X， .α ∈ C， αx ∈ X; 2. 乘法結合律: α(βx) = (αβ)x; 3. 乘法分配律: (α + β)x = αx + βx， α(x + y) = αx + αy; 4. 1 x = x. 例 1.1.1 全體實函數， 按函數加法與函數和實數的乘法， 構成實數域上的線性空間. 例 1.1.2 實數域 R 上的矩陣 Amn 的全體， 按矩陣的加法與矩陣和數的乘法， 構成 R 上的線性空間. 1.1.2 線性空間的維數、基與坐標 設 X 為線性空間. 定義 1.1.2 設 x1， x2， ， xn ∈ X， 若存在不全為零的數 α1， α2， ， αn ∈ C，使得 (1.1.1) 成立， 則稱 x1， x2， ， xn 線性相關. 反之， 若 (1.1.1) 式僅當 α1 = α2 = = αn = 0 時才成立， 則稱 x1， x2， ， xn 線性無關. 定義 1.1.3 設 e1， e2， ， en ∈ X， 且它們線性無關， 若 .x ∈ X 可表示為 (1.1.2) 則稱 e1， e2， ， en 為 X 的一組基， 稱 ξ1， ξ2， ， ξn 為 x 在基 e1， e2， ， en 下的坐標. 性質 1.1.1 設 e1， e2， ， en 為 X 的一組基， 則 X 中任意 n 個線性無關元素 e′1， e′2， ， e′n 也組成 X 的基. 證 任取， 因為 e′1， e′2， ， e′n ∈ X， 故有 茲證 det{γij} ≠ 0. 事實上， 假設不然， 則 η1， η2， ， ηn 的線性方程組 必有非零解 α1， α2， ， αn. 從而 這與 e′1， e′2， ， e′n 線性無關矛盾. 由于 det{γij} ≠ 0， 則存在 η1， η2， ， ηn 使， 于是 從而 e′1， e′2， ， e′n 為 X 的一組基. 注意 在性質 1.1.1的證明中， 矩陣 A = matr{rij} 稱為由基 e1， e2， ， en 到e′1， e′2， ， e′n 的過渡矩陣. 同一個向量 x 在基 {ei} 下有坐標 ξ1， ξ2， ， ξn， 在新基 {e′i} 下有坐標 η1， ， ηn， 則兩組坐標間有關系為 (1.1.3) 性質 1.1.2 設 e1， e2， ， en 及 e′1， e′2， ， e′m 分別是 X 的基， 則 m = n. 證 不妨設 m≥n. 茲證 m=n. 事實上， 如果 m > n， 則因 e1， e2， ， en 為X 的基， 由性質 1.1.1， n 個線性無關的 e′1， e′2， ， e′n 又組成 X 之基， 故有 這與 e′1， e′2， ， e′n 線性無關相矛盾. 定義 1.1.4 若有 n 個元素組成 X 的一組基， 稱 X 為 n 維線性空間; 若基由無限多個元素組成， 稱 X 為無限維線性空間. 1.1.3 線性子空間 定義 1.1.5 設 X 為數域 C 上的線性空間， M 為 X 中元素組成的子集合. 若 M 對 X 的兩種運算也構成線性空間， 稱 M 為 X 的一個線性子空間. 由單個零向量組成的集合及 X 本身是兩個特殊的子空間， 稱為 X 的平凡子空間. 若 M 與 N 是 X 的兩個子空間， 則它們的交 M ∩ N 也是 X 的子空間. 此外， X 中 m 個線性無關元素的線性組合的全體構成 X 的線性子空間， 稱之為由線性無關元 e1， e2， ， em 所張成的線性子空間. 定義 1.1.6 設 M， N 為 X 的線性子空間， S = M + N 表示由 M 中的每個元素 x 與 N 中的每個元素 y 按和 x + y 組成的集合. 若 S 中的每個元素， 只能**地表成 M 中一元素與 N 中一元素之和， 稱 S 為 M 與 N 的直和， 記為M . N = S. 定理 1.1.1 設 S = M + N， 則 S = M . N 的充要條件是 M ∩ N = θ. 證 若 M ∩ N ≠ θ， 則存在 e ≠θ， e ∈ M ∩ N. 在 M 及 N 中分別取元素x 及 y， 令 z = x + y + e = (x + e) + y = x + (y + e) ∈ M + N. 但 x + e ∈ M， y + e ∈ N， 可見 z 有兩種不同表示法， 與直和定義相矛盾. 必要性得證.
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