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非線性常微分方程基礎(chǔ) 版權(quán)信息
- ISBN：9787030714886
- 條形碼：9787030714886 ; 978-7-03-071488-6
- 裝幀：一般膠版紙
- 冊(cè)數(shù)：暫無(wú)
- 重量：暫無(wú)
- 所屬分類(lèi)：>
非線性常微分方程基礎(chǔ) 本書(shū)特色
適讀人群 ：高等師范院校和綜合性大學(xué)數(shù)學(xué)類(lèi)專(zhuān)業(yè)高年級(jí)本科生和一年級(jí)研究生，微分方程理論愛(ài)好者研究生微分方程核心課教材，常微分方程定性理論的入門(mén)教材，介紹非線性常微分方程的近代方法, 并兼顧某些應(yīng)用.
非線性常微分方程基礎(chǔ) 內(nèi)容簡(jiǎn)介
本書(shū)是作者在多年主講研究生“微分方程定性理論”課程講稿的基礎(chǔ)上整理而成。主要內(nèi)容包括微分方程基本定理、穩(wěn)定性理論、周期微分方程、自治系統(tǒng)定性理論、分支理論初步等內(nèi)容，大部分章節(jié)都配有適量且難易兼顧的習(xí)題。本書(shū)介紹了常微分方程定性理論的經(jīng)典理論及方法，同時(shí)簡(jiǎn)單介紹了分支理論的研究方法和研究進(jìn)展。
非線性常微分方程基礎(chǔ) 目錄
目錄
前言
第1章預(yù)備知識(shí)1
1.1線性空間1
1.1.1線性空間1
1.1.2線性空間的維數(shù)、基與坐標(biāo)1
1.1.3線性子空間3
1.2線性算子5
1.2.1映射的概念5
1.2.2線性算子的概念5
1.2.3線性算子的零空間(核)與值域7
1.2.4線性空間的不變子空間8
1.3線性算子的譜理論、矩陣的Jordan法式9
1.3.1本征值與本征向量9
1.3.2特征多項(xiàng)式無(wú)重根時(shí)矩陣A的簡(jiǎn)化10
1.3.3廣義本征向量與廣義零空間10
1.3.4算子在廣義零空間中的簡(jiǎn)化13
1.3.5Jordan定理17
1.4矩陣函數(shù)22
1.4.1算子多項(xiàng)式22
1.4.2*小多項(xiàng)式24
1.4.3矩陣的整函數(shù)25
1.4.4一般矩陣函數(shù)的定義及簡(jiǎn)化29
1.4.5eB=A的解33
1.5線性賦范空間.35
1.5.1定義及例子35
1.5.2空間C[a，b]的列緊性判斷(Ascoli-Arzela定理)36
1.5.3壓縮映射原理37
習(xí)題139
第2章線性系統(tǒng)40
2.1一階常微分方程組的一般理論40
2.1.1記號(hào)與定義40
2.1.2解的存在**性定理41
2.1.3齊次微分方程組的通解結(jié)構(gòu)理論42
2.1.4Liouville公式46
2.1.5非齊次方程組，常數(shù)變易公式48
2.2高階線性方程.49
2.3常系數(shù)線性系統(tǒng)52
2.3.1一般常系數(shù)齊次方程組52
2.3.2非齊次方程組58
2.3.3高階常系數(shù)齊次方程59
2.3.4高階常系數(shù)非齊次方程的算符解法60
2.4具有周期系數(shù)的線性系統(tǒng)63
2.4.1引言.63
2.4.2Floquet理論64
2.4.3非齊次周期系統(tǒng)70
習(xí)題270
第3章非線性微分方程解的存在定理與解的性質(zhì)73
3.1解的存在性和連續(xù)性73
3.1.1Euler折線與ε-逼近解73
3.1.2Peano存在定理75
3.2解的**性與關(guān)于初值及右端函數(shù)的連續(xù)性77
3.2.1積分不等式77
3.2.2解的**性80
3.2.3解關(guān)于初值與右端函數(shù)的連續(xù)性80
3.3解關(guān)于參數(shù)的連續(xù)性與可微性82
3.4具有解析右端的Cauchy定理86
習(xí)題386
第4章定性理論初步88
4.1自治系統(tǒng)的基本性質(zhì)88
4.1.1自治系統(tǒng)88
4.1.2自治系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)性質(zhì)89
4.1.3奇點(diǎn)(平衡位置)與閉軌線90
4.2二階線性系統(tǒng).91
4.2.1二維自治系統(tǒng)的變分方程組91
4.2.2線性系統(tǒng)的奇點(diǎn)判定93
4.3非線性系統(tǒng)的奇點(diǎn)100
4.3.1小擾動(dòng)下的一次奇點(diǎn)、線性化條件100
4.3.2高次奇點(diǎn)的簡(jiǎn)單討論101
4.4相平面上軌線性狀的一般討論.106
4.4.1軌線的極限集合、截線及其性質(zhì)106
4.4.2平面有界閉域內(nèi)的半軌線及其極限集合的可能類(lèi)型107
4.4.3軌道穩(wěn)定性與奇軌線109
4.5極限環(huán)110
4.5.1基本概念和例子110
4.5.2判別周期解與極限環(huán)存在的幾個(gè)準(zhǔn)則111
4.5.3周期解和極限環(huán)不存在的幾個(gè)準(zhǔn)則115
4.6非線性振動(dòng)型方程的周期解與極限環(huán)117
4.6.1定義和分類(lèi).117
4.6.2VanderPol型方程的一個(gè)周期解存在定理118
4.6.3Liénard方程的中心存在定理119
4.7平面自治系統(tǒng)的分枝.121
4.7.1分枝的概念.121
4.7.2Hopf分枝定理122
4.7.3Poincaré分枝與同宿、異宿分枝125
習(xí)題4131
第5章穩(wěn)定性理論的概念與方法133
5.1穩(wěn)定性定義與V函數(shù).133
5.1.1問(wèn)題的提出.133
5.1.2穩(wěn)定性的定義133
5.1.3穩(wěn)定性的研究方法闡述137
5.1.4V函數(shù)與K函數(shù)138
5.1.5V函數(shù)性質(zhì)的判別法139
5.1.6定號(hào)函數(shù)的幾何解釋140
5.2Lyapunov第二方法的基本定理140
5.2.1穩(wěn)定性定理.140
5.2.2不穩(wěn)定性定理141
5.2.3漸近穩(wěn)定定理143
5.3自治系統(tǒng)的穩(wěn)定性144
5.3.1常系數(shù)線性系統(tǒng)零解的穩(wěn)定性145
5.3.2常系數(shù)線性系統(tǒng)的V函數(shù)的存在性145
5.3.3由一次近似決定的穩(wěn)定性146
5.3.4穩(wěn)定多項(xiàng)式的Routh-Harwitz定理147
5.4周期系統(tǒng)的穩(wěn)定性149
5.4.1周期線性系統(tǒng)149
5.4.2一般周期系統(tǒng)150
5.5全局穩(wěn)定性的概念及主要判定定理151
習(xí)題5158
第6章解析方法160
6.1基本概念160
6.1.1同階函數(shù)與高階函數(shù)160
6.1.2漸近序列與漸近級(jí)數(shù)161
6.1.3漸近展開(kāi)與一致有效漸近展開(kāi)162
6.2正則攝動(dòng)法163
6.3非一致有效漸近解165
6.4應(yīng)變參數(shù)法168
6.5匹配漸近法171
6.6多重尺度法177
6.6.1二變量法.178
6.6.2導(dǎo)數(shù)展開(kāi)法.181
6.7平均化法184
習(xí)題6189
第7章應(yīng)用:橢圓函數(shù)與非線性波方程的精確行波解191
7.1Jacobi橢圓函數(shù)的微分方程定義與性質(zhì)191
7.2淺水波方程模型與對(duì)應(yīng)的行波解系統(tǒng)195
7.2.1小振幅長(zhǎng)波格式:δ1，=O(δ2)197
7.2.2中等振幅格式:δ1，=O(δ)198
7.2.3較大振幅格式:δ1，=O(√δ)199
7.2.4不假設(shè)振幅小的模型:=O(1)199
7.3廣義Camassa-Holm方程的精確尖孤子、偽尖孤子和周期尖波解201
7.3.1由圖7.3.1(a)的相軌道確定的廣義Camassa-Holm方程
的孤立波解，偽尖孤子，周期波解與周期尖波解203
7.3.2由圖7.3.1(b)的相軌道確定的廣義Camassa-Holm方程的周期尖波解與尖孤子解205
7.3.3由圖7.3.1(c)的相軌道確定的廣義Camassa-Holm方程的周期尖波解與有界破缺波解206
7.4廣義HarryDym-型方程的精確行波解及其在參數(shù)平面的分枝208
7.4.1系統(tǒng)(7.4.3)的相圖的分枝209
7.4.2當(dāng)c
展開(kāi)全部
非線性常微分方程基礎(chǔ) 節(jié)選
第1章預(yù)備知識(shí) 1.1 線性空間 1.1.1 線性空間的概念 定義 1.1.1 設(shè) C 為復(fù)數(shù)域， X 為一非空集合. 若 X 中的元素滿足下列公理， 稱 X 為數(shù)域 C 上的線性空間. X 中的元素稱“向量”. 一、X 關(guān)于加法構(gòu)成可交換群， 即若 x， y， z ∈ X， 則有 1. 加法封閉性: .x， y ∈ X， x + y ∈ X， x + y 稱“和”; 2. 加法結(jié)合律: (x + y) + z = x + (y + z); 3. 存在零元素: θ ∈ X， 使得 x + θ = x; 4. 存在負(fù)元素: -x ∈ X， 使得.x + x = θ; 5. 加法交換律: x + y = y + x. 二、在 X 中定義一個(gè)與數(shù)量的乘法運(yùn)算， 即設(shè) x， y ∈ X， α， β ∈ C， 則有 1. 乘法封閉性: .x ∈ X， .α ∈ C， αx ∈ X; 2. 乘法結(jié)合律: α(βx) = (αβ)x; 3. 乘法分配律: (α + β)x = αx + βx， α(x + y) = αx + αy; 4. 1 x = x. 例 1.1.1 全體實(shí)函數(shù)， 按函數(shù)加法與函數(shù)和實(shí)數(shù)的乘法， 構(gòu)成實(shí)數(shù)域上的線性空間. 例 1.1.2 實(shí)數(shù)域 R 上的矩陣 Amn 的全體， 按矩陣的加法與矩陣和數(shù)的乘法， 構(gòu)成 R 上的線性空間. 1.1.2 線性空間的維數(shù)、基與坐標(biāo) 設(shè) X 為線性空間. 定義 1.1.2 設(shè) x1， x2， ， xn ∈ X， 若存在不全為零的數(shù) α1， α2， ， αn ∈ C，使得 (1.1.1) 成立， 則稱 x1， x2， ， xn 線性相關(guān). 反之， 若 (1.1.1) 式僅當(dāng) α1 = α2 = = αn = 0 時(shí)才成立， 則稱 x1， x2， ， xn 線性無(wú)關(guān). 定義 1.1.3 設(shè) e1， e2， ， en ∈ X， 且它們線性無(wú)關(guān)， 若 .x ∈ X 可表示為 (1.1.2) 則稱 e1， e2， ， en 為 X 的一組基， 稱 ξ1， ξ2， ， ξn 為 x 在基 e1， e2， ， en 下的坐標(biāo). 性質(zhì) 1.1.1 設(shè) e1， e2， ， en 為 X 的一組基， 則 X 中任意 n 個(gè)線性無(wú)關(guān)元素 e′1， e′2， ， e′n 也組成 X 的基. 證 任取， 因?yàn)?e′1， e′2， ， e′n ∈ X， 故有 茲證 det{γij} ≠ 0. 事實(shí)上， 假設(shè)不然， 則 η1， η2， ， ηn 的線性方程組 必有非零解 α1， α2， ， αn. 從而 這與 e′1， e′2， ， e′n 線性無(wú)關(guān)矛盾. 由于 det{γij} ≠ 0， 則存在 η1， η2， ， ηn 使， 于是 從而 e′1， e′2， ， e′n 為 X 的一組基. 注意 在性質(zhì) 1.1.1的證明中， 矩陣 A = matr{rij} 稱為由基 e1， e2， ， en 到e′1， e′2， ， e′n 的過(guò)渡矩陣. 同一個(gè)向量 x 在基 {ei} 下有坐標(biāo) ξ1， ξ2， ， ξn， 在新基 {e′i} 下有坐標(biāo) η1， ， ηn， 則兩組坐標(biāo)間有關(guān)系為 (1.1.3) 性質(zhì) 1.1.2 設(shè) e1， e2， ， en 及 e′1， e′2， ， e′m 分別是 X 的基， 則 m = n. 證 不妨設(shè) m≥n. 茲證 m=n. 事實(shí)上， 如果 m > n， 則因 e1， e2， ， en 為X 的基， 由性質(zhì) 1.1.1， n 個(gè)線性無(wú)關(guān)的 e′1， e′2， ， e′n 又組成 X 之基， 故有 這與 e′1， e′2， ， e′n 線性無(wú)關(guān)相矛盾. 定義 1.1.4 若有 n 個(gè)元素組成 X 的一組基， 稱 X 為 n 維線性空間; 若基由無(wú)限多個(gè)元素組成， 稱 X 為無(wú)限維線性空間. 1.1.3 線性子空間 定義 1.1.5 設(shè) X 為數(shù)域 C 上的線性空間， M 為 X 中元素組成的子集合. 若 M 對(duì) X 的兩種運(yùn)算也構(gòu)成線性空間， 稱 M 為 X 的一個(gè)線性子空間. 由單個(gè)零向量組成的集合及 X 本身是兩個(gè)特殊的子空間， 稱為 X 的平凡子空間. 若 M 與 N 是 X 的兩個(gè)子空間， 則它們的交 M ∩ N 也是 X 的子空間. 此外， X 中 m 個(gè)線性無(wú)關(guān)元素的線性組合的全體構(gòu)成 X 的線性子空間， 稱之為由線性無(wú)關(guān)元 e1， e2， ， em 所張成的線性子空間. 定義 1.1.6 設(shè) M， N 為 X 的線性子空間， S = M + N 表示由 M 中的每個(gè)元素 x 與 N 中的每個(gè)元素 y 按和 x + y 組成的集合. 若 S 中的每個(gè)元素， 只能**地表成 M 中一元素與 N 中一元素之和， 稱 S 為 M 與 N 的直和， 記為M . N = S. 定理 1.1.1 設(shè) S = M + N， 則 S = M . N 的充要條件是 M ∩ N = θ. 證 若 M ∩ N ≠ θ， 則存在 e ≠θ， e ∈ M ∩ N. 在 M 及 N 中分別取元素x 及 y， 令 z = x + y + e = (x + e) + y = x + (y + e) ∈ M + N. 但 x + e ∈ M， y + e ∈ N， 可見(jiàn) z 有兩種不同表示法， 與直和定義相矛盾. 必要性得證.
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