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高等數學習題課教程(上)(第二版) 版權信息
- ISBN：9787030694751
- 條形碼：9787030694751 ; 978-7-03-069475-1
- 裝幀：一般膠版紙
- 冊數：暫無
- 重量：暫無
- 所屬分類：>
高等數學習題課教程(上)(第二版) 內容簡介
本書是與《高等數學（上）》（嚴培勝、陶前功主編，科學出版社“十二五”普通高等教育本科規劃教材）配套的習題課教程。習題課教程共分上、下兩冊。本書是上冊，內容包含：函數、極限與連續，導數與微分，微分中值定理與導數的應用，不定積分，定積分及應用。每章配有知識點小結、考研數學大綱要求、典型例題、A組練習題、總復習題，滿足經濟管理類數學課程教學基本要求，題型豐富，難度梯度恰到好處。本書很后還提供兩套模擬題、各章練習題（B組練習題）和部分習題的參考答案。
高等數學習題課教程(上)(第二版) 目錄
目錄
前言
第1章 函數、極限與連續 1
1.1 知識點小結 1
1.2 考研數學大綱要求 7
1.3 典型例題 7
1.4 A組練習題 11
1.5 總復習題1 18
第2章 導數與微分 21
2.1 知識點小結 21
2.2 考研數學大綱要求 27
2.3 典型例題 28
2.4 A組練習題 33
2.5 總復習題2 37
第3章 微分中值定理與導數的應用 40
3.1 知識點小結 40
3.2 考研數學大綱要求 43
3.3 典型例題 43
3.4 A組練習題 50
3.5 總復習題3 53
第4章 不定積分 56
4.1 知識點小結 56
4.2 考研數學大綱要求 61
4.3 典型例題 62
4.4 A組練習題 71
4.5 總復習題4 73
第5章 定積分及應用 76
5.1 知識點小結 76
5.2 考研數學大綱要求 82
5.3 典型例題 82
5.4 A組練習題 87
5.5 總復習題5 91
模擬題一 94
模擬題二 96
各章練習題 99
第1章 B組練習題 99
第2章 B組練習題 117
第3章 B組練習題 129
第4章 B組練習題 137
第5章 B組練習題 145
參考答案 155
前言
第1章 函數、極限與連續 1
1.1 知識點小結 1
1.2 考研數學大綱要求 7
1.3 典型例題 7
1.4 A組練習題 11
1.5 總復習題1 18
第2章 導數與微分 21
2.1 知識點小結 21
2.2 考研數學大綱要求 27
2.3 典型例題 28
2.4 A組練習題 33
2.5 總復習題2 37
第3章 微分中值定理與導數的應用 40
3.1 知識點小結 40
3.2 考研數學大綱要求 43
3.3 典型例題 43
3.4 A組練習題 50
3.5 總復習題3 53
第4章 不定積分 56
4.1 知識點小結 56
4.2 考研數學大綱要求 61
4.3 典型例題 62
4.4 A組練習題 71
4.5 總復習題4 73
第5章 定積分及應用 76
5.1 知識點小結 76
5.2 考研數學大綱要求 82
5.3 典型例題 82
5.4 A組練習題 87
5.5 總復習題5 91
模擬題一 94
模擬題二 96
各章練習題 99
第1章 B組練習題 99
第2章 B組練習題 117
第3章 B組練習題 129
第4章 B組練習題 137
第5章 B組練習題 145
參考答案 155
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高等數學習題課教程(上)(第二版) 節選
第1章 函數、極限與連續 1.1 知識點小結 1.1.1 函數 1.區間與鄰域 設實數，稱集合為開區間，記為.同理有集合為閉區間，記為;集合和稱為半閉區間，分別記為和.集合記為.同理集合記為，代表全體實數. 設為實數，稱集合為點的鄰域，記為，即，稱為該鄰域的中心，為該鄰域的半徑.鄰域是數軸上關于點對稱的開區間，若鄰域去掉中心，則記為. 2.函數的定義及其特性 設D為非空集合，若f為D上的對應法則且使得，都有唯一確定的實數y與之對應，則稱f是D上的一個函數，記為.函數常見的特性包括單調性、奇偶性、周期性、有界性等，要理解它們的含義.例如，有界性是指對于在區間I上有定義的函數，若存在正數M，使得對恒有，則稱在區間I上有界，否則稱為無界.若存在正數M，使得對恒有，則稱在區間I上有上界;若存在正數M，使得對恒有，則稱在區間I上有下界.在I上有界等價于在I上既有上界又有下界. 3.反函數和復合函數 設定義域為D，對任一，總有確定的與之對應使得，視y為自變量而x為因變量，則x是y的函數，稱其為的反函數，記為.習慣上仍用x表示自變量，故仍記為.例如，的反函數為，其中y作為自變量，反函數仍習慣寫為.函數與其反函數關于直線對稱. 設函數的定義域為，函數的值域為，若與交非空，則以u作為中間變量，y是x的函數，稱其為由和復合而成的復合函數，記為.復合函數的一個重要問題就是對其分層表達，即顯示由哪些函數按何種順序復合.準確地分層表達對今后學習復合函數求導及積分至關重要. 4.初等函數 基本初等函數包括常數函數冪函數指數函數對數函數三角函數反三角函數.基本初等函數經過有限次四則運算或復合而構成的可由一個式子表達的函數稱為初等函數.分段函數一般不是初等函數，但也有例外，如. 1.1.2 數列的極限 數列極限的定義:設數列，若對，當時恒有成立，則稱常數為數列當時的極限，記為或.也可以理解為對任意給定的，數列從第N+1項開始滿足 數列極限的性質:①收斂數列的極限是唯一的;②收斂數列必定有界，即若，則對任意正整數，總使;③收斂數列的子數列必定收斂，且極限相同. 1.1.3 函數的極限 1.時函數的極限 設函數在大于某正數時有定義.若對，總，當時恒有，則稱常數為函數當時的極限，記為或.注意理解此極限的幾何意義.另外，對比可知，將理解為n的函數，則數列極限相當于自變量時的函數極限. 2.時函數的極限 設函數在去心鄰域有定義.若對，總，當時恒有，則稱常數為函數當時的極限，記為或.注意理解此極限的幾何意義. 設函數在區間有定義.若對，總，當時恒有，則稱常數為函數當時的左極限，記為或，可簡記為.同理，有時的右極限，記為或，可簡記為. 注意: (1). (2)分段函數的分段點因其兩側函數表達式不一致，故函數在分段點處是否收斂必須利用左、右極限進行討論. (3)函數極限的性質:唯一性、局部有界性和保號性.尤其注意保號性及其推論.保號性是指若且，則使得任意均有0，即用極限的正(負)確保函數的正(負).其推論為若在某鄰域內滿足且，則，即用函數的非負(非正)確保極限的非負(非正).該推論不能如保號性那樣表述為用函數的正(負)保極限的正(負)，因為一些函數即使在某鄰域內為正，其極限未必為正，如. 1.1.4 無窮小與無窮大 1.無窮小及其性質 若，則稱為時的無窮小量，簡稱無窮小.無窮小與函數極限的關系，其中. 特別注意，無窮小是以0為極限的變量，不是0.另外，表述變量為無窮小必須指明自變量的變化.例如，但不存在，所以是時的無窮小. 無窮小的性質: (1)有限個無窮小的代數和仍為無窮小(無限個無窮小時未必成立). (2)無窮小與有界函數的乘積仍是無窮小(注意常見的有界函數). 推論:常數與無窮小的乘積為無窮小;無窮小與無窮小的乘積還是無窮小. 2.無窮大 若在時，無限增大，則稱為時的無窮大，記為.進一步，若明確是無限增大的，稱為時的正無窮大，類似有若是無限減小的，稱為時的負無窮大. 無窮大與無窮小的關系:在自變量的同一變化過程中，若為無窮大，則為無窮小;反之，當時，若為無窮小，則為無窮大. 1.1.5 極限的運算法則 若，則 (1) (2) (3)，其中. 注意:①該運算法則使用的前提是與均存在;②對于自變量的其他變化過程該運算法則也成立;③對于有限個函數的情形該運算法則也成立. 1.1.6 極限存在的準則與兩個重要極限 1.極限存在的準則 準則1:夾逼準則.設時有且滿足， 則有.此準則對于自變量的其他變化過程也成立. 準則2:單調有界數列必定收斂. 注意:僅單調或僅有界的數列都未必收斂. 2.兩個重要極限 (1). 注意:①和的區別;②該結論的重要性在于其泛化形式，即.例如，. (2). 注意:該結論的重要性在于其泛化形式，即 例如. 1.1.7 無窮小的比較 設在自變量的同一變化過程中有 (1)若，則稱此時是比高階的無窮小，記為. (2)若，則稱此時是比低階的無窮小. (3)若，則稱此時是與同階的無窮小.特別地，若，則稱此時是與等價的無窮小，記為. (4)若，則稱此時是的k階無窮小. 常見的等價無窮小關系:當時. 等價無窮小的代換定理:設，則.將其應用到極限的求解中，以結構簡單的無窮小代換結構復雜的無窮小，能使計算事半功倍.進一步，將上述等價關系泛化為更一般的形式，可大大拓展其應用范圍.“泛化”指若在的某變化過程中有，則有，等.例如： 注意:只能對作商(積)運算的各無窮小進行替換，如. 1.1.8 函數的連續性與間斷點 1.函數的連續性 在點處連續:或. 在點處左連續:或. 在點處右連續:或. 左、右連續均為單側連續，單側連續與連續的關系為:在點處連續在點處左連續且右連續. 注意:分段點處的連續性需通過是否左連續且右連續來判斷. 在連續:均滿足連續，即. 在連續:在連續且在右端點處左連續，左端點處右連續. 2.函數的間斷點 凡不滿足連續定義的點均為函數的間斷點，具體為如下情形之一: (1)在點處沒有定義. (2)在點處有定義但不存在. (3)在點處有定義且存在，但. 依據函數在間斷點處極限的情況，間斷點分為兩大類四小類，具體如下: **類間斷點:與均存在，又可細分為 若，則稱為可去間斷點. 若，則稱為跳躍間斷點. 第二類間斷點:與至少有一個不存在，又可細分為 若與至少有一個為無窮大，則稱為無窮間斷點. 若與至少有一個因振蕩而不存在，則稱為振蕩間斷點. 3.初等函數的連續性 (1)基本初等函數在定義域內連續. (2)初等函數在定義區間內連續. 注意:①定義域和定義區間的區別，定義域可以由定義區間或孤立點組成;②若為初等函數定義區間內的點，則，即代入法求極限.
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