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等幾何邊界元法 版權信息
- ISBN：9787030742926
- 條形碼：9787030742926 ; 978-7-03-074292-6
- 裝幀：一般膠版紙
- 冊數：暫無
- 重量：暫無
- 所屬分類：>
等幾何邊界元法 內容簡介
等幾何邊界元法直接使用計算機輔助設計幾何建模時的非均勻有理B樣條基函數來近似未知的物理場，避免了網格劃分的過程，其求解精度優于傳統意義上的邊界元法，已被用于位勢、穩態及瞬態熱傳導、彈性力學、粘彈性力學、斷裂力學、聲學、優化設計、電磁場等問題。本書是作者課題組近年來在等幾何邊界元法領域取得的主要成果的部分總結。第1章簡要介紹了等幾何有限元法，并較為詳細地介紹了等幾何邊界元法中的已有研究工作和應用情況。第2章介紹了等幾何分析的基礎知識。第3和4章分別介紹了位勢和非均質熱傳導問題的等幾何邊界元法。第5章介紹了非均質彈性問題的等幾何邊界元法。第6章介紹了涂層薄體結構的等幾何邊界元法。第7章介紹了斷裂力學的等幾何邊界元法。第8章介紹了彈性動力學問題的等幾何邊界元法。第9章介紹了液體夾雜的等幾何邊界元法。第10章介紹了聲學等幾何邊界元法。第11章介紹了等幾何邊界元的快速直接解法。
等幾何邊界元法 目錄
目錄
前言
第1章 緒論 1
1.1 引言 1
1.2 等幾何有限元法簡介 1
1.3 等幾何邊界元法簡介 2
1.3.1 奇異積分及擬奇異積分的計算 2
1.3.2 等幾何邊界元法的快速計算 4
1.3.3 等幾何邊界元法的一些應用 6
1.4 本書內容安排 10
參考文獻 11
第2章 等幾何分析基礎知識 20
2.1 引言 20
2.2 NURBS曲線和NURBS曲面 20
2.2.1 B 樣條基函數 20
2.2.2 NURBS基函數 22
2.2.3 NURBS曲線 22
2.2.4 NURBS曲面 23
2.3 PHT樣條 25
2.3.1 T網格 25
2.3.2 層次T網格 26
2.3.3 PHT樣條空間 26
2.3.4 PHT樣條曲面 26
2.4 小結 32
參考文獻 32
第3章 位勢問題的等幾何邊界元法 34
3.1 引言 34
3.2 等幾何邊界元法的實施 34
3.2.1 邊界積分方程 34
3.2.2 等幾何描述 35
3.2.3 邊界積分的計算 38
3.2.4 自適應積分法 41
3.3 數值算例 43
3.3.1 基于高階NURBS基函數的矩形平面上的奇異積分計算 44
3.3.2 基于高階NURBS基函數的曲面上的奇異積分計算 46
3.3.3 圓環面上的位勢問題 47
3.3.4 橢球面上的位勢問題 50
3.4 小結 52
參考文獻 52
第4章 非均質熱傳導問題的等幾何邊界元法 54
4.1 引言 54
4.2 穩態非均質問題的邊界積分方程 54
4.3 穩態非均質熱傳導能量變化公式 57
4.4 穩態非均質熱傳導的等幾何邊界元法 58
4.5 含有各向異性夾雜的穩態熱傳導公式 61
4.6 域積分邊界化處理 64
4.7 規則化界面積分方程的等幾何分析 66
4.8 數值算例 67
4.8.1 等幾何同心球形廣義自洽模型 67
4.8.2 等幾何復雜幾何形狀的廣義自洽模型 70
4.8.3 無限域中正交各向異性球形夾雜 72
4.8.4 多球形夾雜的等幾何邊界元解 73
4.9 小結 75
參考文獻 76
第5章 非均質彈性問題的等幾何邊界元法 78
5.1 引言 78
5.2 非均質材料彈性能變化的積分方程 78
5.3 子域等幾何邊界元法 80
5.4 非均質材料彈性能變化的數值算例 83
5.4.1 無限域內的球形夾雜 83
5.4.2 無限域內的復雜形狀夾雜 85
5.5 非均質材料形狀優化 86
5.5.1 基于等幾何邊界元法的形狀敏感度分析 86
5.5.2 等幾何邊界元法的形狀優化分析 89
5.6 夾雜形狀優化的數值算例 89
5.6.1 球形夾雜形狀優化 89
5.6.2 復雜圓環形狀夾雜模型 91
5.7 小結 95
參考文獻 96
第6章 涂層薄體結構的等幾何邊界元法 97
6.1 引言 97
6.2 熱彈性和熱傳導問題的邊界積分方程 98
6.3 等幾何邊界元法在熱彈性問題中的應用 100
6.4 擬奇異積分 102
6.4.1 等幾何單元上的sinh 變換法 102
6.4.2 其他擬奇異計算方法 106
6.5 擬奇異積分計算方法誤差分析 107
6.6 擬奇異積分計算方法效率比較 110
6.7 拓展sinh 變換法 112
6.8 混合積分法 115
6.9 數值算例 118
6.9.1 sinh+法在柱面單元上的應用 119
6.9.2 延拓sinh+法在柱面單元上的應用 120
6.9.3 內部覆蓋涂層的圓筒對流熱傳導模型 122
6.9.4 立方體上的熱應力分析 124
6.9.5 厚壁圓筒模型 126
6.9.6 內外覆蓋涂層的圓管結構中的熱彈性問題 127
6.9.7 噴嘴模型 130
6.10 小結 131
參考文獻 132
第7章 裂紋問題的等幾何邊界元法 135
7.1 引言 135
7.2 裂紋-夾雜問題的等幾何邊界元法 136
7.2.1 裂紋-夾雜相互作用的邊界積分方程 136
7.2.2 裂紋-夾雜相互作用的邊界積分方程的NURBS離散 139
7.3 裂紋擴展分析 140
7.3.1 裂紋前端單元 140
7.3.2 應力強度因子 141
7.3.3 裂紋前端擴展公式 142
7.3.4 裂紋前端更新算法 143
7.4 數值例子 143
7.4.1 裂紋應力強度因子 144
7.4.2 裂紋擴展 148
7.4.3 夾雜對裂紋前端應力強度因子的影響 150
7.5 小結 153
參考文獻 153
第8章 彈性動力學問題的等幾何邊界元法 156
8.1 引言 156
8.2 動力學分析 157
8.2.1 動力學控制方程 158
8.2.2 邊界域積分方程 158
8.2.3 域積分變換為邊界積分 160
8.2.4 邊界積分方程的等幾何邊界元法的實施 162
8.2.5 求解方程組 164
8.2.6 積分實施 168
8.2.7 時間積分方法 168
8.3 數值例子 170
8.3.1 圓柱體的三維動力學模型 170
8.3.2 1/4 空心圓柱的三維動力學模型 172
8.3.3 含有球形孔洞立方體的三維動力學模型 174
8.3.4 含有球形夾雜立方體的三維動力學模型 176
8.4 小結 178
參考文獻 178
第9章 液體夾雜復合材料的等幾何邊界元法 182
9.1 引言 182
9.2 問題描述 182
9.3 基體的基本公式 183
9.3.1 邊界積分公式 183
9.3.2 邊界積分公式的等幾何實施 183
9.3.3 內點位移及應力 184
9.3.4 邊界點應力 185
9.4 含液體夾雜基體的數值實施 187
9.5 數值算例 189
9.5.1 球狀液體夾雜 189
9.5.2 橢球狀液體夾雜 191
9.5.3 隨機分布的橢球狀液體夾雜 192
9.6 小結 196
參考文獻 196
第10章 聲學問題的等幾何邊界元法 198
10.1 引言 198
10.2 聲場問題的基本方程 198
10.3 聲場問題的IGDBEM 199
10.4 聲場問題的IGIBEM 201
10.5 基于PHT樣條的IGIBEM 203
10.6 數值算例 204
10.6.1 六面體盒子中的一維平面波(IGDBEM) 204
10.6.2 脈動球輻射問題(IGDBEM) 208
10.6.3 脈動球輻射問題(IGIBEM) 211
10.6.4 局部細分對IGIBEM 求解精度的影響 213
10.7 小結 217
參考文獻 217
第11章 等幾何邊界元快速直接算法 219
11.1 引言 219
11.2 快速直接算法 220
11.2.1 矩陣低秩分解 220
11.2.2 分層非對角低秩矩陣 222
11.2.3 快速直接算法的實施過程 223
11.2.4 快速直接算法實施的改進加速算法 225
11.3 等幾何邊界元快速直接算法的數值實施 229
11.4 數值算例 232
11.4.1 三維位勢問題 232
11.4.2 三維彈性夾雜問題 235
11.5 小結 239
參考文獻 240
前言
第1章 緒論 1
1.1 引言 1
1.2 等幾何有限元法簡介 1
1.3 等幾何邊界元法簡介 2
1.3.1 奇異積分及擬奇異積分的計算 2
1.3.2 等幾何邊界元法的快速計算 4
1.3.3 等幾何邊界元法的一些應用 6
1.4 本書內容安排 10
參考文獻 11
第2章 等幾何分析基礎知識 20
2.1 引言 20
2.2 NURBS曲線和NURBS曲面 20
2.2.1 B 樣條基函數 20
2.2.2 NURBS基函數 22
2.2.3 NURBS曲線 22
2.2.4 NURBS曲面 23
2.3 PHT樣條 25
2.3.1 T網格 25
2.3.2 層次T網格 26
2.3.3 PHT樣條空間 26
2.3.4 PHT樣條曲面 26
2.4 小結 32
參考文獻 32
第3章 位勢問題的等幾何邊界元法 34
3.1 引言 34
3.2 等幾何邊界元法的實施 34
3.2.1 邊界積分方程 34
3.2.2 等幾何描述 35
3.2.3 邊界積分的計算 38
3.2.4 自適應積分法 41
3.3 數值算例 43
3.3.1 基于高階NURBS基函數的矩形平面上的奇異積分計算 44
3.3.2 基于高階NURBS基函數的曲面上的奇異積分計算 46
3.3.3 圓環面上的位勢問題 47
3.3.4 橢球面上的位勢問題 50
3.4 小結 52
參考文獻 52
第4章 非均質熱傳導問題的等幾何邊界元法 54
4.1 引言 54
4.2 穩態非均質問題的邊界積分方程 54
4.3 穩態非均質熱傳導能量變化公式 57
4.4 穩態非均質熱傳導的等幾何邊界元法 58
4.5 含有各向異性夾雜的穩態熱傳導公式 61
4.6 域積分邊界化處理 64
4.7 規則化界面積分方程的等幾何分析 66
4.8 數值算例 67
4.8.1 等幾何同心球形廣義自洽模型 67
4.8.2 等幾何復雜幾何形狀的廣義自洽模型 70
4.8.3 無限域中正交各向異性球形夾雜 72
4.8.4 多球形夾雜的等幾何邊界元解 73
4.9 小結 75
參考文獻 76
第5章 非均質彈性問題的等幾何邊界元法 78
5.1 引言 78
5.2 非均質材料彈性能變化的積分方程 78
5.3 子域等幾何邊界元法 80
5.4 非均質材料彈性能變化的數值算例 83
5.4.1 無限域內的球形夾雜 83
5.4.2 無限域內的復雜形狀夾雜 85
5.5 非均質材料形狀優化 86
5.5.1 基于等幾何邊界元法的形狀敏感度分析 86
5.5.2 等幾何邊界元法的形狀優化分析 89
5.6 夾雜形狀優化的數值算例 89
5.6.1 球形夾雜形狀優化 89
5.6.2 復雜圓環形狀夾雜模型 91
5.7 小結 95
參考文獻 96
第6章 涂層薄體結構的等幾何邊界元法 97
6.1 引言 97
6.2 熱彈性和熱傳導問題的邊界積分方程 98
6.3 等幾何邊界元法在熱彈性問題中的應用 100
6.4 擬奇異積分 102
6.4.1 等幾何單元上的sinh 變換法 102
6.4.2 其他擬奇異計算方法 106
6.5 擬奇異積分計算方法誤差分析 107
6.6 擬奇異積分計算方法效率比較 110
6.7 拓展sinh 變換法 112
6.8 混合積分法 115
6.9 數值算例 118
6.9.1 sinh+法在柱面單元上的應用 119
6.9.2 延拓sinh+法在柱面單元上的應用 120
6.9.3 內部覆蓋涂層的圓筒對流熱傳導模型 122
6.9.4 立方體上的熱應力分析 124
6.9.5 厚壁圓筒模型 126
6.9.6 內外覆蓋涂層的圓管結構中的熱彈性問題 127
6.9.7 噴嘴模型 130
6.10 小結 131
參考文獻 132
第7章 裂紋問題的等幾何邊界元法 135
7.1 引言 135
7.2 裂紋-夾雜問題的等幾何邊界元法 136
7.2.1 裂紋-夾雜相互作用的邊界積分方程 136
7.2.2 裂紋-夾雜相互作用的邊界積分方程的NURBS離散 139
7.3 裂紋擴展分析 140
7.3.1 裂紋前端單元 140
7.3.2 應力強度因子 141
7.3.3 裂紋前端擴展公式 142
7.3.4 裂紋前端更新算法 143
7.4 數值例子 143
7.4.1 裂紋應力強度因子 144
7.4.2 裂紋擴展 148
7.4.3 夾雜對裂紋前端應力強度因子的影響 150
7.5 小結 153
參考文獻 153
第8章 彈性動力學問題的等幾何邊界元法 156
8.1 引言 156
8.2 動力學分析 157
8.2.1 動力學控制方程 158
8.2.2 邊界域積分方程 158
8.2.3 域積分變換為邊界積分 160
8.2.4 邊界積分方程的等幾何邊界元法的實施 162
8.2.5 求解方程組 164
8.2.6 積分實施 168
8.2.7 時間積分方法 168
8.3 數值例子 170
8.3.1 圓柱體的三維動力學模型 170
8.3.2 1/4 空心圓柱的三維動力學模型 172
8.3.3 含有球形孔洞立方體的三維動力學模型 174
8.3.4 含有球形夾雜立方體的三維動力學模型 176
8.4 小結 178
參考文獻 178
第9章 液體夾雜復合材料的等幾何邊界元法 182
9.1 引言 182
9.2 問題描述 182
9.3 基體的基本公式 183
9.3.1 邊界積分公式 183
9.3.2 邊界積分公式的等幾何實施 183
9.3.3 內點位移及應力 184
9.3.4 邊界點應力 185
9.4 含液體夾雜基體的數值實施 187
9.5 數值算例 189
9.5.1 球狀液體夾雜 189
9.5.2 橢球狀液體夾雜 191
9.5.3 隨機分布的橢球狀液體夾雜 192
9.6 小結 196
參考文獻 196
第10章 聲學問題的等幾何邊界元法 198
10.1 引言 198
10.2 聲場問題的基本方程 198
10.3 聲場問題的IGDBEM 199
10.4 聲場問題的IGIBEM 201
10.5 基于PHT樣條的IGIBEM 203
10.6 數值算例 204
10.6.1 六面體盒子中的一維平面波(IGDBEM) 204
10.6.2 脈動球輻射問題(IGDBEM) 208
10.6.3 脈動球輻射問題(IGIBEM) 211
10.6.4 局部細分對IGIBEM 求解精度的影響 213
10.7 小結 217
參考文獻 217
第11章 等幾何邊界元快速直接算法 219
11.1 引言 219
11.2 快速直接算法 220
11.2.1 矩陣低秩分解 220
11.2.2 分層非對角低秩矩陣 222
11.2.3 快速直接算法的實施過程 223
11.2.4 快速直接算法實施的改進加速算法 225
11.3 等幾何邊界元快速直接算法的數值實施 229
11.4 數值算例 232
11.4.1 三維位勢問題 232
11.4.2 三維彈性夾雜問題 235
11.5 小結 239
參考文獻 240
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等幾何邊界元法 節選
第1章緒論 1.1引言 實際中的各種工程問題都需要用解析或數值方法來預測其力學行為。由于解析方法適用范圍有限，所以有必要發展數值方法來獲得問題的近似解。常用的數值方法有很多，比如有限元法和邊界元法。有限元法已被證明是一種可行的方法，被廣泛應用于解決各種工程問題，其發展已趨于成熟。邊界元法在一些領域里具有獨*的優勢，比如彈性力學[1]、斷裂力學[2]、接觸力學[3]、形狀優化[4]和聲學[5]等。然而，在進行計算機輔助工程(CAE)分析之前，有限元法和邊界元法需要將計算機輔助設計(CAD)連續參數的幾何模型通過網格生成器離散為分析時的計算模型，導致CAD幾何模型和CAE分析模型不一致，其幾何離散誤差使得計算精度降低[6]。為此，Hughes等[6]于2005年提出了等幾何分析方法，其核心思想是利用非均勻有理B樣條(NURBS)基函數同時表達CAD幾何模型和CAE分析模型，實現了CAD和CAE的無縫連接。等幾何分析方法完全消除了網格劃分的概念，其有助于實現精確的幾何實體造型，并可以得到更好的數值解，也節省了大量的計算時間。 本章首先簡要介紹等幾何有限元法的一些工作，然后著重介紹等幾何邊界元法及其應用，*后簡單介紹本書的章節內容。 1.2等幾何有限元法簡介 等幾何分析技術[6]的出現引起了許多研究者的關注，并應用于各種問題[7]，例如：①接觸問題的等幾何分析能夠得到更精確的結果，原因在于其基于NURBS基函數固有的高階連續性，實現了接觸表面的光滑表示[8-10]；②NURBS基函數的高階連續性使其能夠以非常簡單和統一的方式構建C1或更高階的近似模型，特別適合于薄板和薄殼的有限元分析，而且與標準有限元板殼單元相比，等幾何板殼單元表現出更不明顯的剪切鎖定[11，12]；③結構振動問題的等幾何分析比傳統有限元方法更有優勢，已有結果表明，在波傳播問題中，k細化法比高階有限元p法具有更強的魯棒性和更準確的頻譜[13，14]；④在優化問題中，由于設計模型直接用于等幾何分析，實現了設計模型與分析模型之間的緊密耦合[15，16]。NURBS在CAD和計算機圖形學中是普遍存在的，但從計算幾何的角度來看，它存在很多問題。 也許遇到的*大困難是NURBS模型通常是由很多片組成，這些片之間并不是無縫拼接的，這通常會使網格生成復雜化。從分析的角度來看，NURBS的張量積結構是低效的，無法進行局部加密，這會導致低效的誤差估計和自適應算法。為了克服NURBS模型的缺點，一些學者相繼在等幾何分析的研究工作中引入了T樣條[17，18]、PHT樣條[19，20]和LR樣條[21]等。這些樣條具有局部加細的特點，已應用于多個領域，如彈性力學[22]、形狀優化[23]、斷裂力學[24-27]、動力學分析[28-31]等。 以上只是對等幾何有限元法做了簡單介紹，它具有廣泛的應用前景。有興趣的讀者可以關注計算力學的一些知名期刊，例如：Computer Methods in Applied Mechanics and Engineering、International Journal for Numerical Methods in Engineering及Computational Mechanics。這些期刊時常發表一些新的等幾何分析的研究成果。另外，一些有關等幾何分析的專著[32-35]及評述性的論文[36-38]也很有參考價值。 1.3等幾何邊界元法簡介 邊界元模型只需要邊界幾何信息，從而使CAD與邊界元法實現真正的無縫對接，而有限元法所要求的體積表示與CAD中幾何模型的邊界表示使得等幾何有限元法(IGABEM)在分析三維實體模型時面臨挑戰。鑒于此，許多學者對等幾何邊界元法產生了興趣。Politis等[39]于2009年首次將等幾何概念引入到邊界元法中，并用之解決外場黎曼問題。Li和Qian[40]提出了一種基于邊界積分的等幾何分析和形狀優化方法，利用NURBS基函數來表示邊界形狀和近似分析中的物理場，該方法已經成功地應用于解決彈性和位勢問題。Simpson等[41]將等幾何邊界元法應用于求解二維彈性力學問題，詳細介紹了等幾何邊界元法具體實施中涉及的配點的選取方法和積分方程中奇異積分的求解方法。Beer等[42]在其等幾何邊界元法專著中介紹了穩態勢問題、彈性力學、非均質問題、材料非線性、黏性流動及與時間相關的問題等。張見明研究組[43]采用等幾何邊界元法研究了三維位勢問題，數值實驗表明，該方法在精度和收斂性方面都有較好的性能。與基于NURBS基函數的等幾何邊界元法不同，張見明提出的邊界面法[44]也是一種等幾何邊界元法，它用于積分計算的幾何量和物理量都是通過CAD模型邊界表征的參數曲面得到的，已被用于彈性力學[45]、穩態和瞬態熱傳導[46，47]、聲學[48]和彈性接觸[49]等問題的解決中。本書著重介紹基于NURBS基函數的等幾何邊界元法的基本理論及其應用研究。 1.3.1奇異積分及擬奇異積分的計算 由于等幾何邊界元法將等幾何分析中的NURBS基函數引入到傳統的邊界元 法中，使得該方法既繼承了邊界元法和等幾何分析的優點，同時又繼承了它們的弱點。各類奇異積分的存在是影響邊界元法和等幾何邊界元法的計算精度和計算效率的重要因素，處理這些奇異積分需要特殊的計算方法。在這些特殊的方法中，Guiggiani等[50]提出的局部規則化方法受到眾多邊界元法領域里學者的青睞，已被用于處理各種奇異積分，但這種方法需要將被積函數中的所有量都進行泰勒級數展開，而且只保留至二階精度，數值計算繁瑣。高效偉[51]提出的基于徑向積分法的高階奇異曲面積分的直接計算方法具有一些優點，例如：不需要對被積函數中的每個量進行泰勒級數展開；具有可以采用級數展開的高階項以及便于程序編制。 對于等幾何邊界元法，Simpson等[41]討論了彈性問題等幾何邊界元法中奇異積分的計算，其中的弱奇異積分通過Telles變換法[52]進行處理，強奇異積分則是通過Guiggiani等[53]提出的奇異性分離法解決。上述奇異積分求解技術也應用于聲學等幾何邊界元法[54，55]和液體夾雜等幾何邊界元法[56]分析。公顏鵬等[57]采用高效偉提出的冪級數展開法[51]計算了勢問題等幾何邊界元法中的奇異積分，并與傳統邊界元法進行了比較，結果表明等幾何邊界元法具有較高的計算精度。Simpson等[41]認為傳統邊界元法中的剛體位移法不適用于計算等幾何邊界元法中的強奇異積分，但事實并非如此。徐闖等[58，59]通過簡單變換法運用常溫法和剛體位移法間接求解了熱傳導和彈性動力學等幾何邊界元法中的強奇異積分。另一種避免求解奇異積分的方法是基于規則化等幾何邊界積分方程的方法。Heltai等[60]提出了一個三維Stokes流動問題的非奇異等幾何邊界積分方程，并對其收斂性進行了數值驗證。在數值實現中，標準高斯求積法足以對規則化等幾何邊界積分方程進行積分。Simpson等[54]針對聲學低頻問題提出了一個基于規則化的Burton-Miller公式，其中所有積分都是弱奇異性的，該公式保證了聲學等幾何邊界元法對所有波數的穩定性。 等幾何邊界元法在處理薄體或涂層結構時會遇到擬奇異積分，其精確計算有待進一步研究。公顏鵬等[61]將指數變換法[62，63]推廣到等幾何邊界元法中，成功地解決了等幾何邊界元法的邊界層問題。隨后，公顏鵬和董春迎[64]又將自適應積分法[65]引入到三維勢問題的等幾何邊界元法中。由于自適應積分方法是基于單元細分的思想，隨著擬奇異性的增強，通過單元細分得到的子單元數量會急劇增加。因此，對于具有強擬奇異性的積分，該方法的計算效率將大大降低。針對這一問題以及二維、三維薄體和涂層結構，公顏鵬等[66，67]研究了擬奇異積分的計算精度和效率，提出了一種混合積分計算方法，保證了計算精度和效率之間的平衡。Keuchel等[55]采用sinh變換法計算了聲學問題等幾何邊界元法中出現的擬奇異積分。Han等[68]利用減法技術將等幾何邊界元法中的擬奇異積分分離為非奇異部分和奇異部分。奇異部分的積分核用泰勒級數多項式表示，其中不同階導數用NURBS插值。通過一系列分部積分，導出了具有近似核的奇異部分的解析表達式，而非奇異部分則采用高斯積分求解。該半解析方法能準確地計算出更靠近邊界的內點的位移和應力。Han等[69]也利用半解析方法研究了二維勢問題等幾何邊界元法中存在的擬奇異積分，并與指數法和sinh變換法進行了比較。結果表明，該方法具有競爭力，特別是在勢流密度模擬過程中的近強奇異積分和高階奇異積分計算方面。 1.3.2等幾何邊界元法的快速計算 等幾何邊界元法在繼承傳統邊界元法優點的同時也繼承了它的缺點。不適合模擬大規模問題是邊界元法的一個突出弱點，這是因為由邊界積分方程離散得到的線性方程組系數矩陣通常是非對稱滿秩矩陣，對于N自由度問題，系數矩陣的存儲需要.(N2)量級。如果使用直接求解技術，如高斯消去法，計算量會達到.(N3)量級，即使使用迭代算法也需要.(N2)的計算量，這樣就導致了邊界元法無法解決大規模工程問題。 在過去30多年里，快速多極算法(FastMultipoleMethod，FMM)[70-72]、小波變換法[73]、基于傅里葉變換的算法(Fourier Transformation Based Method)[74]和分層矩陣法(Hierarchical Matrix，H-matrix)[75]等快速算法得到了廣泛的發展。借助于迭代方法求解線性方程組，快速多極算法有效地加速了邊界元方程的求解。在使用快速多極算法后，邊界元法的計算復雜度可接近于的量級。快速多極邊界元法的難點在于邊界積分方程中基本解的多極、局部、指數展開格式的實現和展開系數相互之間的傳遞關系。不同問題的邊界積分方程的基本解是不一樣的，即使同一問題的二維和三維的基本解也不相同，如拉普拉斯(Laplace)方程基本解和Helmholtz方程基本解等。因此，對于不同問題，相應的快速算法實施并不是一件簡單的事情。Hackbusch等[75，76]提出分層矩陣的概念，將一個稠密矩陣逐層地分成一些子矩陣，并指出其中的一些子矩陣可以被低秩矩陣很好地近似。在分層矩陣的基礎上，Bebendorf[77]提出自適應交叉近似算法(Adaptive Cross Approximation，ACA)用于對秩很小的矩陣進行快速向量內積分解和存儲，并將其應用于邊界元法中。由于ACA是一種純代數的矩陣壓縮方法，不需要將邊界積分方程的核函數解析展開，而且與物理背景無關，因此，基于ACA的分層矩陣法得到廣泛的應用[78，79]。值得注意的是，快速多極邊界元法和基于ACA的分層矩陣邊界元法都使用迭代法求解線性方程組，如廣義極小殘差法。當迭代收斂的速度很快，迭代步足夠小時，兩種方法能夠達到很高的求解效率。然而，迭代的收斂速度依賴于系數矩陣的條件數，系數矩陣的條件數越小，收斂速度越快。因此，邊界元迭代算法的預處理技術經常被用于加速迭代的收斂。然而，對于許多問題即便使用了預處理技術，迭代求解的收斂速度仍然緩慢。 為了避免迭代算法收斂性的問題，一些學者開始研究稠密矩陣的直接快速算法[80-83]。算法的主要思想是先將矩陣逐層分解，并構造其低秩子矩陣的低秩近似，然后遞歸地更新方程組的解。Martinsson和Rokhlin[80]提出了基于可分離的分層塊矩陣的快速直接算法，并用之對二維勢問題進行了求解。Kong等[81]給出了基于分層非對角低秩(Hierarchically Off-Diagonal Low-Rank，HODLR)矩陣的快速直接算法來求解二維勢問題。Lai等[82]基于HODLR矩陣結合ACA算法求解了二維高頻散射問題。Huang和Liu[83]基于HODLR矩陣概念提出了一個邊界元直接快速算法，并對三維勢問題進行了快速求解。HODLR矩陣是分層矩陣的一種特殊形式，它的主要特點是所有的非對角子矩陣都用低秩矩陣近似。
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