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叢代數理論導引 版權信息
- ISBN：9787030748942
- 條形碼：9787030748942 ; 978-7-03-074894-2
- 裝幀：一般膠版紙
- 冊數：暫無
- 重量：暫無
- 所屬分類：>
叢代數理論導引 本書特色
適讀人群 ：高等學校數學類高年級本科生和研究生，數學專業(yè)研究人員和其他相關專業(yè)有興趣者本書是作者多年研究工作的總結
叢代數理論導引 內容簡介
叢代數理論產生已有20年，是目前非常重要的前沿理論，與數學和理論物理各方面有重要聯系。但目前這一領域還沒有中文教材和專著，本書就是為了彌補這一空白。本書共分為十二章：**章為引言，這部分較全面地介紹了叢代數目前的各個前沿的課題及與其他領域的聯系；第二章詳細地介紹了叢代數和量子叢代數的定義以及一些預備知識；第三章和第四章分別介紹了叢代數的換位圖和換位矩陣；第五章介紹了無圈符號斜對稱矩陣的展開定理；第六章介紹了叢代數的一些*基本的性質，比如Laurent現象、分母向量等；第七章和第八章分別較詳細地介紹了有限型和有限變異型叢代數；第九章介紹了叢代數中一些重要的向量以及它們之間的關系；第十章介紹了叢代數的幾種常見的基以及它們的性質；第十一章介紹了叢代數的加法范疇化；剩下的章節(jié)介紹了叢代數的應用：在重胞腔、矩陣論以及數論中的典型應用。
叢代數理論導引 目錄
目錄
《現代數學基礎叢書》序
序言
前言
第1章 叢模式和叢代數 1
1.1 叢模式和叢代數的定義和例子 1
1.2 量子叢代數的定義和例子 10
1.3 Laurent現象 15
第2章 叢代數的換位圖 20
2.1 定義和例子 20
2.2 一些基本結論 23
第3章 叢代數的換位矩陣 26
3.1 符號斜對稱矩陣的完全性 26
3.2 換位矩陣變異的矩陣表達 31
第4章 叢代數的叢同態(tài)、子結構和商結構 35
4.1 叢同態(tài)和種子同態(tài) 35
4.2 叢子代數 41
4.3 叢商代數 43
4.3.1 由賦幺化構造的叢商代數 43
4.3.2 由粘合方法刻畫的叢商代數 45
4.4 叢自同構的一個刻畫 48
第5章 叢代數的覆蓋理論和叢變量的正性問題 53
5.1 折疊和展開 53
5.2 無圈符號斜對稱矩陣的強幾乎有限箭圖 56
5.3 無圈符號斜對稱矩陣的展開定理 59
5.4 叢變量Laurent展開的正性問題 60
第6章 叢代數的各類組合參數及相互關系 66
6.1 叢變量的分母向量 66
6.2 c-向量與極大綠色序列 69
6.3 F-多項式和/-向量 73
6.4 向量和G-矩陣 76
6.5 C-矩陣與G-矩陣的關系及相關性質 82
6.6 F-多項式與叢變量、d-向量和化向量之間的關系 90
6.6.1 廣義度 90
6.6.2 關系與關系圖 91
第7章 來自曲面的叢代數 96
7.1 基本概念 96
7.1.1 曲面的三角剖分及翻轉 96
7.1.2 帶標記的三角剖分 99
7.2 來自曲面的叢代數的定義 102
7.3 蛇圖及其完美匹配 106
7.3.1 蛇圖的抽象定義 106
7.3.2 完美匹配及其扭轉 106
7.3.3 蛇圖Gto，r的構造 107
7.3.4 完美匹配集P(Gto，r)的格結構 108
7.4 展開公式 109
7.4.1 A與A(p)的一個叢代數同構 109
7.4.2 不帶標記的弧的情形 111
7.4.3 一端帶標記的弧的情形 114
7.4.4 兩端帶標記的弧的情形 116
7.4.5 注記 117
第8章 有限型和有限變異型叢代數 119
8.1 有限型叢代數 119
8.1.1 有限型叢代數的一個刻畫 119
8.1.2 秩≤2的有限型叢代數分類 120
8.1.3 定理8.1的證明 123
8.2 有限變異型叢代數 125
8.2.1 斜對稱情況 126
8.2.2 可斜對稱化情況 126
第9章 散射圖理論簡介 132
9.1 固定數據 132
9.2 墻 134
9.3 散射圖 135
9.4 胞腔和散射圖的拉回 139
9.5 散射圖的變異 140
9.6 折斷線與Theta函數 143
第10章 叢代數結構的一些基本性質 145
10.1 叢變量的分母向量正性 145
10.1.1 叢代數的足夠浐對性質 146
10.1.2 分母向量正性的證明 150
10.2 真Laurent單項式性質和叢單項式的線性無關性 153
10.3 叢代數的結構唯一性 155
10.3.1 相容性函數與叢的刻畫 155
10.3.2 結構唯一性定理 159
第11章 叢代數的基 162
11.1 一組“好”的基的標準 162
11.2 標準單項式和標準單項式基 163
11.3 膨脹基 166
11.4 三角基 168
11.4.1 Berenstein-Zelevinsky三角基 168
11.4.2 覃三角基 173
11.5 來自曲面的叢代數的基 174
11.5.1 圈鐲集 175
11.5.2 糾結關系與環(huán)鏈集 176
11.5.3 鏈帶集 177
11.5.4 叢代數的三個基 178
11.6 Theta函數、Theta基與膨脹基 179
11.6.1 Theta基 179
11.6.2 秩為2時的膨脹基和Theta基的關系 180
11.7 一個總結性圖表 183
第12章 量子重Bruhat胞腔上的量子叢代數結構 185
12.1 預備知識 185
12.1.1 廣義Cartan矩陣與Weyl群 185
12.1.2 重字符 186
12.2 量子包絡代數 187
12.3 李群的量子坐標環(huán) 189
12.4 矩陣二元組及其相容性 191
12.5 量子重Bruhat胞腔 198
12.6 量子重Bruhat胞腔上的量子叢代數結構 203
第13章 叢范疇與叢代數的范疇化 207
13.1 叢范疇與叢傾斜對象及其變異 207
13.2 三類常用叢范疇 213
13.2.1 軌道范疇 214
13.2.2 廣義叢范疇 215
13.2.3 Probenius 2-Calabi-Yau范疇 217
13.3 叢代數的范疇化及其應用 219
13.3.1 叢特征 219
13.3.2 向量的范疇化 221
13.3.3 叢的s-向量符號一致性的證明 223
13.3.4 多項式常數項為1的證明 227
第14章 模式與投射線構形 228
14.1 模式的定義及實例 228
14.2 投射線構形的f-模式 231
第15章 全正矩陣的叢代數刻畫 236
15.1 全正矩陣與初始子式 236
15.2 矩陣的雙線圖 237
15.3 主要定理的證明 245
第16章 與數論中若干問題的關系 246
16.1 Markov方程 246
16.2 Somos序列 249
16.3 Fermat數 252
參考文獻 254
索引 263
后記 269
《現代數學基礎叢書》已出版書目
Contents
(Fang Li， Min Huang)
Foreword
Preface
1 Cluster Pattern and Cluster Algebra 1
1.1 Cluster pattern and cluster algebra: Definition and examples 1
1.2 Quantum cluster algebra: Definition and examples 10
1.3 Laurent phenomenon 15
2 Exchange Graphs of Cluster Algebras 20
2.1 Definition and examples 20
2.2 Some basic conclusions 23
3 Exchange Matrices of Cluster Algebras 26
3.1 Totality of sign-skew-symmetric matrices 26
3.2 Matrix formula of mutations of exchange matrices 31
4 Cluster Homomorphisms， Substructure， Quotient Structure of Cluster Algebras 35
4.1 Cluster homomorphisms and seed homomorphisms 35
4.2 Cluster subalgebras 41
4.3 Cluster quotient algebras 43
4.3.1 Cluster quotient algebras constructed from specialization 43
4.3.2 Cluster quotient algebras characterizedvia gluing method 45
4.4 A characterization of cluster automorphisms 48
5 Unfolding Theory for Cluster Algebras and Positivity of Cluster Variables 53
5.1 Folding and unfolding 53
5.2 Strongly almost finite quivers from acyclic sign-skew-symmetric matrices 55
5.3 Unfolding theorem for acyclic sign-skew-symmetric matrices 59
5.4 Positivity for Laurent expansion of a cluster variable 60
6 Combinatorial Parameterization of Cluster Algebras and Their Relationships 66
6.1 Denominator vector of a cluster variable 66
6.2 c-vectors and maximal green sequences 69
6.3 F-polynomials and /-vectors 73
6.4 g-vectors and G-matrices 76
6.5 Relationship between C-matrices and G-matrices and some related properties 82
6.6 Relationship among F-polynomials，d-vectors，g-vectors and cluster variables 90
6.6.1 Generalized degree 90
6.6.2 Relationship and the relation diagram 91
7 Cluster Algebras From Surfaces 96
7.1 Basic concepts 96
7.1.1 Triangulations of surfaces and flips 96
7.1.2 Tagged triangulations 99
7.2 Definition of cluster algebras from surfaces 102
7.3 Snake graphs and their perfect matchings 106
7.3.1 Abstract definition of snake graphs 106
7.3.2 Perfect matchings and twists 106
7.3.3 Construction of snake graphs Gto，r 107
7.3.4 Lattice structure on the set of perfect matchings P(Gto，r) 108
7.4 Expansion formulas 109
7.4.1 A cluster isomorphism from A to 109
7.4.2 Tagged arcs with two ends tagged plain 111
7.4.3 Tagged arcs with one end tagged plain andone end tagged notched 114
7.4.4 Tagged arcs with two ends tagged notched 116
7.4.5 Remark 117
8 Cluster Algebras of Finite Type and Finite Mutation Type 119
8.1 Finitetype cluster algebras 119
8.1.1 A characterization of finite type cluster algebras 119
8.1.2 Classification of finite type cluster algebras of rank ≤2 120
8.1.3 Proof of Theorem 8.1 123
8.2 Finitemutation type cluster algebras 125
8.2.1 Skew-symmetric case 126
《現代數學基礎叢書》序
序言
前言
第1章 叢模式和叢代數 1
1.1 叢模式和叢代數的定義和例子 1
1.2 量子叢代數的定義和例子 10
1.3 Laurent現象 15
第2章 叢代數的換位圖 20
2.1 定義和例子 20
2.2 一些基本結論 23
第3章 叢代數的換位矩陣 26
3.1 符號斜對稱矩陣的完全性 26
3.2 換位矩陣變異的矩陣表達 31
第4章 叢代數的叢同態(tài)、子結構和商結構 35
4.1 叢同態(tài)和種子同態(tài) 35
4.2 叢子代數 41
4.3 叢商代數 43
4.3.1 由賦幺化構造的叢商代數 43
4.3.2 由粘合方法刻畫的叢商代數 45
4.4 叢自同構的一個刻畫 48
第5章 叢代數的覆蓋理論和叢變量的正性問題 53
5.1 折疊和展開 53
5.2 無圈符號斜對稱矩陣的強幾乎有限箭圖 56
5.3 無圈符號斜對稱矩陣的展開定理 59
5.4 叢變量Laurent展開的正性問題 60
第6章 叢代數的各類組合參數及相互關系 66
6.1 叢變量的分母向量 66
6.2 c-向量與極大綠色序列 69
6.3 F-多項式和/-向量 73
6.4 向量和G-矩陣 76
6.5 C-矩陣與G-矩陣的關系及相關性質 82
6.6 F-多項式與叢變量、d-向量和化向量之間的關系 90
6.6.1 廣義度 90
6.6.2 關系與關系圖 91
第7章 來自曲面的叢代數 96
7.1 基本概念 96
7.1.1 曲面的三角剖分及翻轉 96
7.1.2 帶標記的三角剖分 99
7.2 來自曲面的叢代數的定義 102
7.3 蛇圖及其完美匹配 106
7.3.1 蛇圖的抽象定義 106
7.3.2 完美匹配及其扭轉 106
7.3.3 蛇圖Gto，r的構造 107
7.3.4 完美匹配集P(Gto，r)的格結構 108
7.4 展開公式 109
7.4.1 A與A(p)的一個叢代數同構 109
7.4.2 不帶標記的弧的情形 111
7.4.3 一端帶標記的弧的情形 114
7.4.4 兩端帶標記的弧的情形 116
7.4.5 注記 117
第8章 有限型和有限變異型叢代數 119
8.1 有限型叢代數 119
8.1.1 有限型叢代數的一個刻畫 119
8.1.2 秩≤2的有限型叢代數分類 120
8.1.3 定理8.1的證明 123
8.2 有限變異型叢代數 125
8.2.1 斜對稱情況 126
8.2.2 可斜對稱化情況 126
第9章 散射圖理論簡介 132
9.1 固定數據 132
9.2 墻 134
9.3 散射圖 135
9.4 胞腔和散射圖的拉回 139
9.5 散射圖的變異 140
9.6 折斷線與Theta函數 143
第10章 叢代數結構的一些基本性質 145
10.1 叢變量的分母向量正性 145
10.1.1 叢代數的足夠浐對性質 146
10.1.2 分母向量正性的證明 150
10.2 真Laurent單項式性質和叢單項式的線性無關性 153
10.3 叢代數的結構唯一性 155
10.3.1 相容性函數與叢的刻畫 155
10.3.2 結構唯一性定理 159
第11章 叢代數的基 162
11.1 一組“好”的基的標準 162
11.2 標準單項式和標準單項式基 163
11.3 膨脹基 166
11.4 三角基 168
11.4.1 Berenstein-Zelevinsky三角基 168
11.4.2 覃三角基 173
11.5 來自曲面的叢代數的基 174
11.5.1 圈鐲集 175
11.5.2 糾結關系與環(huán)鏈集 176
11.5.3 鏈帶集 177
11.5.4 叢代數的三個基 178
11.6 Theta函數、Theta基與膨脹基 179
11.6.1 Theta基 179
11.6.2 秩為2時的膨脹基和Theta基的關系 180
11.7 一個總結性圖表 183
第12章 量子重Bruhat胞腔上的量子叢代數結構 185
12.1 預備知識 185
12.1.1 廣義Cartan矩陣與Weyl群 185
12.1.2 重字符 186
12.2 量子包絡代數 187
12.3 李群的量子坐標環(huán) 189
12.4 矩陣二元組及其相容性 191
12.5 量子重Bruhat胞腔 198
12.6 量子重Bruhat胞腔上的量子叢代數結構 203
第13章 叢范疇與叢代數的范疇化 207
13.1 叢范疇與叢傾斜對象及其變異 207
13.2 三類常用叢范疇 213
13.2.1 軌道范疇 214
13.2.2 廣義叢范疇 215
13.2.3 Probenius 2-Calabi-Yau范疇 217
13.3 叢代數的范疇化及其應用 219
13.3.1 叢特征 219
13.3.2 向量的范疇化 221
13.3.3 叢的s-向量符號一致性的證明 223
13.3.4 多項式常數項為1的證明 227
第14章 模式與投射線構形 228
14.1 模式的定義及實例 228
14.2 投射線構形的f-模式 231
第15章 全正矩陣的叢代數刻畫 236
15.1 全正矩陣與初始子式 236
15.2 矩陣的雙線圖 237
15.3 主要定理的證明 245
第16章 與數論中若干問題的關系 246
16.1 Markov方程 246
16.2 Somos序列 249
16.3 Fermat數 252
參考文獻 254
索引 263
后記 269
《現代數學基礎叢書》已出版書目
Contents
(Fang Li， Min Huang)
Foreword
Preface
1 Cluster Pattern and Cluster Algebra 1
1.1 Cluster pattern and cluster algebra: Definition and examples 1
1.2 Quantum cluster algebra: Definition and examples 10
1.3 Laurent phenomenon 15
2 Exchange Graphs of Cluster Algebras 20
2.1 Definition and examples 20
2.2 Some basic conclusions 23
3 Exchange Matrices of Cluster Algebras 26
3.1 Totality of sign-skew-symmetric matrices 26
3.2 Matrix formula of mutations of exchange matrices 31
4 Cluster Homomorphisms， Substructure， Quotient Structure of Cluster Algebras 35
4.1 Cluster homomorphisms and seed homomorphisms 35
4.2 Cluster subalgebras 41
4.3 Cluster quotient algebras 43
4.3.1 Cluster quotient algebras constructed from specialization 43
4.3.2 Cluster quotient algebras characterizedvia gluing method 45
4.4 A characterization of cluster automorphisms 48
5 Unfolding Theory for Cluster Algebras and Positivity of Cluster Variables 53
5.1 Folding and unfolding 53
5.2 Strongly almost finite quivers from acyclic sign-skew-symmetric matrices 55
5.3 Unfolding theorem for acyclic sign-skew-symmetric matrices 59
5.4 Positivity for Laurent expansion of a cluster variable 60
6 Combinatorial Parameterization of Cluster Algebras and Their Relationships 66
6.1 Denominator vector of a cluster variable 66
6.2 c-vectors and maximal green sequences 69
6.3 F-polynomials and /-vectors 73
6.4 g-vectors and G-matrices 76
6.5 Relationship between C-matrices and G-matrices and some related properties 82
6.6 Relationship among F-polynomials，d-vectors，g-vectors and cluster variables 90
6.6.1 Generalized degree 90
6.6.2 Relationship and the relation diagram 91
7 Cluster Algebras From Surfaces 96
7.1 Basic concepts 96
7.1.1 Triangulations of surfaces and flips 96
7.1.2 Tagged triangulations 99
7.2 Definition of cluster algebras from surfaces 102
7.3 Snake graphs and their perfect matchings 106
7.3.1 Abstract definition of snake graphs 106
7.3.2 Perfect matchings and twists 106
7.3.3 Construction of snake graphs Gto，r 107
7.3.4 Lattice structure on the set of perfect matchings P(Gto，r) 108
7.4 Expansion formulas 109
7.4.1 A cluster isomorphism from A to 109
7.4.2 Tagged arcs with two ends tagged plain 111
7.4.3 Tagged arcs with one end tagged plain andone end tagged notched 114
7.4.4 Tagged arcs with two ends tagged notched 116
7.4.5 Remark 117
8 Cluster Algebras of Finite Type and Finite Mutation Type 119
8.1 Finitetype cluster algebras 119
8.1.1 A characterization of finite type cluster algebras 119
8.1.2 Classification of finite type cluster algebras of rank ≤2 120
8.1.3 Proof of Theorem 8.1 123
8.2 Finitemutation type cluster algebras 125
8.2.1 Skew-symmetric case 126
展開全部
叢代數理論導引 節(jié)選
第1章叢模式和叢代數 1.1叢模式和叢代數的定義和例子 先舉一個簡單的例子. 例1.1令T2是2-正則樹： 設；x1，x2為兩個可交換的代數獨立的變量，簡稱獨立變量（本書中以后所獨立變量都指代數獨立的).對任意，遞歸地令在每個頂上放置變量集，特別地， (1) (2) (3) (4) (5) (6) (7) 同理，在t0的另一方向，我們有. 由所有變量生成的代，就是一個叢代數（clusteralgebra)的例子.它是有理分式域的. 定義1.1 (1.1) 習題1.1 定義1.2 定義1.3 (1) (2) 斜對稱矩陣總是可斜對稱化的，它的斜對稱化子是單位矩陣.并且，可斜對稱化矩陣總是符號斜對稱矩陣，因為推出：或和、冋時為，或. 我們將在第3章中給出完全符號斜對稱矩陣及其特例斜對稱陣和可斜對稱化矩陣的更多討論. 接著，我們引入半域（semifield)的概念.一個半域是一個三元組，或者簡記為，其中為一個交換乘法群，為一個交換加法半群并且乘法關于加法滿足左右分配律.常見的半域有泛半域（universal semifield)和熱帶半域(tropical semifield). 定義1.4 (1) (2) 注1.1 (1) (2) 定義1.5 (1) (2) 4 第1章叢模式和叢代數 域T中的一'個標記種子（labeled seed)，簡稱為種子，是一個三元組（X，Y，B)， 其中 (1)(Y，B)是一個標記種子； (2) 我們稱X為叢（cluster)，X中的元素為叢變量（cluster variable)，Y為系數組（coefficient tuple)，矩陣B為換位矩陣（exchange matrix). 定義1.6 (1) (2) 定義1.7 (1) (2) (1.3) 習題l.2證明種子變異是一個對合，即. 我們稱兩個種子與是變異等價的（mutation equivalent)，如果S'可以通過S作有限步變異得到.因為種子變異是對合的，故變異等價是一個等價關系. 對，令是正則樹，即：一個每個頂點的度均為n的無圈圖.分別用指標1，2， ，n標記其每個頂點的n個連邊，如圖1.1所示. 定義1.8 注1.2 注1.3 定義1.9 為叢模式中所有種子的叢變量的集合.該叢模式決定的秩為n的叢代數（cluster algebra)A定義為即的由生成的ZP-子代數.這時ZP被稱為乂的系數環(huán). 對任意，我們稱種子為叢代數欠的一個種子，稱種子為的一個叢，其任一叢變量為叢代數乂的一個叢變量，的換位矩陣Bt為乂的一個換位矩陣. (1.4) 為一個K上的叢代數，或稱X-叢代數. 根據定義，對任意，一個秩為n的叢代數完全由其在t處的種子決定.因此，當我們取定叢代數的某個種子來作為決定這個叢代數的出發(fā)點時，我們亦稱該種子為這個叢代數的初始種子（initial seed)，而這個種子的叢稱為叢代數的初始叢（initial cluster). 接下來，我們介紹一類特殊的叢代數——幾何型叢代數. 定義1.10 （1.5） 因此，系數組y(t)與一個的整數矩陣相互唯一決定. 關于幾何型的叢代數，我們有如下等價描述. 定理1.1 (1) (2) (i) (ii) (1.6) (iii) (1.7)
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