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矩陣之美(基礎篇) 版權信息
- ISBN：9787030749444
- 條形碼：9787030749444 ; 978-7-03-074944-4
- 裝幀：一般膠版紙
- 冊數：暫無
- 重量：暫無
- 所屬分類：>
矩陣之美(基礎篇) 內容簡介
本書從線性變換的角度對矩陣的諸多重要概念進行了全新的詮釋。具體而言，在**章首先旗幟鮮明地指出矩陣并非空穴來風，而是源于自然界中的線性變換。第二章講述了線性變換的矩陣表達與坐標系的關系，從而引出矩陣相似的概念；此外，作為選講內容講述了矩陣合同與度規的關聯。第三章從特征分析的角度給出了一個矩陣可能包含的線性變換類型，并給出了各種不同類型的數與自然界基本線性動作的對應關系。第四章利用矩陣對角化和若當標準形理論對自然界中線性變換的種類給出了明確的結論。第五章從線性變換的連續性角度，對矩陣在實域內是否可以開任意次方，以及如何計算矩陣的任意次方給出了嚴謹的闡述。第六章指出行列式代表線性變換的整體縮放效果，并分別給出了行列式的代數解釋和幾何解釋；此外，還闡述了行列式與叉積、楔形積、混合積等概念的關聯。前面的章節講述的均是單一矩陣的各種概念和性質，而第七章則從矩陣集合的角度講述了矩陣李群的相關概念和意義。由于矩陣李群不僅是群，而且是流形，因此為了便于對矩陣李群的研究，我們在第八章講述了矩陣李代數的相關概念及含義。
矩陣之美(基礎篇) 目錄
目錄
前言
第1章 矩陣與線性變換 1
1.1 自然界中的線性變換 1
1.2 線性變換與矩陣 7
1.3 小結 8
第2章 矩陣相似與矩陣合同 10
2.1 矩陣相似 10
2.1.1 坐標系與向量 10
2.1.2 坐標轉換 12
2.1.3 相似矩陣 14
2.2 矩陣合同[選讀] 17
2.2.1 直線的長度 17
2.2.2 合同矩陣 18
2.3 小結 20
第3章 矩陣特征分析 22
3.1 矩陣的特征值與特征向量 22
3.1.1 實特征值與特征向量 22
3.1.2 復特征值與特征向量 24
3.1.3 矩陣的基本線性分解 31
3.2 特征多項式 38
3.3 小結 41
第4章 矩陣對角化與若爾當標準形 42
4.1 矩陣對角化 42
4.2 若爾當標準形 43
4.3 小結 49
第5章 矩陣的冪 51
5.1 可對角矩陣的冪 51
5.1.1 實特征值情形 53
5.1.2 復特征值情形 55
5.1.3 兩種類型特征值情形 57
5.1.4 負特征值情形 61
5.1.5 負特征值對情形 62
5.2 任意矩陣的冪 66
5.2.1 矩陣二項式定理 66
5.2.2 矩陣開方定理 69
5.3 小結 72
第6章 行列式 73
6.1 行列式的定義 73
6.2 行列式的幾何意義 74
6.3 行列式的代數解釋 75
6.4 行列式的相關概念 78
6.4.1 叉積 78
6.4.2 楔形積 81
6.4.3 混合積 87
6.5 小結 89
第7章 矩陣李群 90
7.1 群 90
7.2 置換群 96
7.3 矩陣李群 99
7.4 李群[選讀] 102
7.5 小結 103
第8章 矩陣李代數 104
8.1 矩陣指數 104
8.2 矩陣李群的李代數 109
8.3 李代數 115
8.4 矩陣李群同態定理 117
8.5 小結 118
參考文獻 119
前言
第1章 矩陣與線性變換 1
1.1 自然界中的線性變換 1
1.2 線性變換與矩陣 7
1.3 小結 8
第2章 矩陣相似與矩陣合同 10
2.1 矩陣相似 10
2.1.1 坐標系與向量 10
2.1.2 坐標轉換 12
2.1.3 相似矩陣 14
2.2 矩陣合同[選讀] 17
2.2.1 直線的長度 17
2.2.2 合同矩陣 18
2.3 小結 20
第3章 矩陣特征分析 22
3.1 矩陣的特征值與特征向量 22
3.1.1 實特征值與特征向量 22
3.1.2 復特征值與特征向量 24
3.1.3 矩陣的基本線性分解 31
3.2 特征多項式 38
3.3 小結 41
第4章 矩陣對角化與若爾當標準形 42
4.1 矩陣對角化 42
4.2 若爾當標準形 43
4.3 小結 49
第5章 矩陣的冪 51
5.1 可對角矩陣的冪 51
5.1.1 實特征值情形 53
5.1.2 復特征值情形 55
5.1.3 兩種類型特征值情形 57
5.1.4 負特征值情形 61
5.1.5 負特征值對情形 62
5.2 任意矩陣的冪 66
5.2.1 矩陣二項式定理 66
5.2.2 矩陣開方定理 69
5.3 小結 72
第6章 行列式 73
6.1 行列式的定義 73
6.2 行列式的幾何意義 74
6.3 行列式的代數解釋 75
6.4 行列式的相關概念 78
6.4.1 叉積 78
6.4.2 楔形積 81
6.4.3 混合積 87
6.5 小結 89
第7章 矩陣李群 90
7.1 群 90
7.2 置換群 96
7.3 矩陣李群 99
7.4 李群[選讀] 102
7.5 小結 103
第8章 矩陣李代數 104
8.1 矩陣指數 104
8.2 矩陣李群的李代數 109
8.3 李代數 115
8.4 矩陣李群同態定理 117
8.5 小結 118
參考文獻 119
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矩陣之美(基礎篇) 節選
第1章矩陣與線性變換 線性變換普遍存在于自然界中。無論熱的傳導、光的傳播，還是力的作用、人的感知，從宏觀的天體運動到微觀的粒子世界，都包含著大量的線性變換過程。一定程度而言，矩陣的引入正是為了描述線性變換這一基本的物理過程。 1.1自然界中的線性變換 自然界中存在著大量的線性變換物理過程，比如圖1.1中綠色圖形到藍色圖形之間的轉換即為一常見的線性變換。在此變換中，綠色圖形上的4個點A，B，C，D變換為藍色圖形上4個點A′，B′，C′，D′，其他點也一一對應。此變換可以用自然語言表述為：水平方向擴大兩倍、垂直方向縮小為原來的二分之一的擠壓變換。為了更加精確、定量地描述線性變換，我們需要引入坐標系或者基的概念。 當給上述圖形賦予一個坐標系之后，圖形上的每個點就都有了坐標的概念。如圖1.2，當我們選擇Oxy直角坐標系時，A，B，C，D的坐標分別為(2，2)，(.2，2)，(.2，.2)，(2，.2)，A′，B′，C′，D′的坐標分別為(4，1)，(.4，1)，(.4，.1)，(4，.1)。容易驗證，在該直角坐標系下，上述擠壓變換的表達式為T(x，y)=(2x，0.5y)，對應的變換矩陣為 除了上述擠壓變換，自然界中還存在著多種線性變換，下面給出一些常見的線性變換的例子以及相應的矩陣表達。 例1.1縮放變換 縮放變換為線性變換，表達式為T(x，y)=(kx，ky)。該線性變換將平面上的點(x，y)縮放為(kx，ky)。其對應的矩陣為縮放矩陣，即 當k=0.5時，該變換將平面上的綠色圖形縮小為藍色圖形(如圖1.3)。 例1.2反射變換 反射變換為線性變換，平面上關于y軸的反射變換表達式為T(x，y)=(.x，y)。該變換將平面上的點(x，y)相對于y軸鏡面反射為(.x，y)。 其對應的矩陣為反射矩陣，即 在該變換作用下，平面上的綠色圖形鏡面反射為藍色圖形(如圖1.4)。 例1.3旋轉變換 旋轉變換為線性變換，平面上的旋轉變換表達式為 T(x，y)=(cos(θ)x.sin(θ)y，sin(θ)x+cos(θ)y) 該線性變換將平面上與點(x，y)對應的向量逆時針旋轉θ角，其對應的矩陣為旋轉矩陣，可以表示為 當θ=45.時，在該變換作用下，平面上的綠色圖形旋轉為藍色圖形(如圖1.5)。 例1.4剪切變換 剪切變換為線性變換，平面上的水平剪切變換表達式為T(x，y)=(x+ky，y)。該線性變換將平面上的點(x，y)變為(x+ky，y)，其中k為剪切度。其對應的矩陣為剪切矩陣，可以表示為 當k=1.25時，在該變換作用下，平面上的綠色圖形被水平剪切變換為藍色圖形(如圖1.6)。 例1.5擠壓變換 擠壓變換為線性變換，平面上的擠壓變換表達式為T(x，y)=(k1x，k2y)。其中圖1.1的例子就是一種特定的(k1=2，k2=0.5)擠壓變換。另外，縮放變換也可以看作擠壓變換的特殊情形。 例1.6投影變換 投影變換為線性變換，平面上沿著垂直方向往水平方向投影的變換表達式為T(x，y)=(x，0)。該線性變換將平面上的點(x，y)沿垂直方向投影為(x，0)。其對應的矩陣為投影矩陣，即 在該變換作用下，平面上的綠色圖形都被投影到水平藍色線段(如圖1.7)。 例1.7置換變換 置換變換為線性變換，如T(x1，x2，x3，x4)=(x3，x2，x1，x4)。該變換將4維空間的點(x1，x2，x3，x4)中**和第三個元素置換變為(x3，x2，x1，x4)。其對應的矩陣為置換矩陣，可以表示為 由于維數較高，將不再圖示本變換的效果。置換矩陣有三個特殊形式：交換矩陣、互換矩陣和移位矩陣。下面給出移位變換和移位矩陣的例子。 例1.8移位變換 移位變換為線性變換，如T(x1，x2，x3，x4)=(x2，x3，x4，x1)，該線性變換將4維空間的點(x1，x2，x3，x4)移位變換為(x2，x3，x4，x1)。其對應的矩陣為移位矩陣(也叫循環移位矩陣)，可以表示為
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