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鞅與隨機微分方程(第二版) 版權信息
- ISBN：9787030745231
- 條形碼：9787030745231 ; 978-7-03-074523-1
- 裝幀：一般膠版紙
- 冊數：暫無
- 重量：暫無
- 所屬分類：>
鞅與隨機微分方程(第二版) 內容簡介
本書系統地介紹了概率論、鞅和隨機積分及隨機微分方程的基本理論。內容包括測度與積分，獨立性，Radon-Nikodym定理和條件數學期望等概率論的基礎知識；停時、離散鞅和連續鞅的基本內容；鞅和連續局部半鞅隨機積分的一般理論及It?型隨機微分方程的初步內容。閱讀本書只需要讀者具有初等概率論的知識，而不需要具備測度論的知識。
鞅與隨機微分方程(第二版) 目錄
目錄
前言
**版前言
全文符號
**篇 概率論基礎
第1章 可測空間與乘積可測空間 3
1.1 σ代數理論 3
1.1.1 σ代數 3
1.1.2 單調類定理 7
1.2 可測空間和乘積可測空間 10
1.2.1 可測空間 10
1.2.2 有限維乘積可測空間 11
1.2.3 無窮維乘積可測空間 13
1.3 可測映射與隨機變量 15
1.3.1 映射、可測映射 15
1.3.2 可測函數——隨機變量 16
1.3.3 可測函數的運算 17
1.3.4 函數形式的單調類定理 20
1.3.5 多維隨機變量 21
第2章 測度與積分 23
2.1 測度與測度空間 23
2.1.1 測度空間 23
2.1.2 代數上的測度 24
2.1.3 完備測度 25
2.1.4 分布函數及其生成的測度 26
2.2 隨機變量的數字特征 29
2.2.1 積分——期望 29
2.2.2 隨機變量的矩 32
2.2.3 隨機向量的數學特征 34
2.3 隨機變量及其收斂性 35
2.3.1 隨機變量的等價類 35
2.3.2 幾乎必然（a.s.）收斂 37
2.3.3 依概率收斂 38
2.3.4 依分布收斂 39
2.3.5 平均收斂 40
2.4 獨立性與零一律 41
2.4.1 獨立性 41
2.4.2 零一律 43
2.5 乘積可測空間上的測度 45
2.5.1 有限維乘積空間上的測度 46
2.5.2 無限維乘積空間上的測度 51
第3章 條件期望 55
3.1 廣義測度 55
3.1.1 Hahn-Jordan分解 55
3.1.2 Lebesgue分解 58
3.1.3 Radon-Nikodym定理 61
3.2 條件期望 65
3.2.1 條件期望的定義 65
3.2.2 條件期望的性質 68
3.2.3 條件概率分布 71
3.2.4 條件獨立性 78
第二篇 鞅
第4章 隨機過程 83
4.1 隨機過程的概念 83
4.2 可料過程 91
4.3 停時 96
4.3.1 連續時間隨機過程的停時 96
4.3.2 離散時間隨機過程的停時 102
4.3.3 停時隨機變量 104
4.3.4 停時過程和截斷過程 106
4.4 Lp收斂和一致可積 108
4.4.1 Lp收斂 108
4.4.2 隨機變量族的一致可積 110
第5章 鞅 120
5.1 鞅、下鞅和上鞅 120
5.1.1 鞅、下鞅和上鞅的定義 120
5.1.2 鞅的凸理論 125
5.1.3 離散時間的增過程和Doob分解 125
5.1.4 鞅變換 128
5.2 下鞅基本不等式 131
5.2.1 可選停時和可選采樣 132
5.2.2 極大和極小不等式 139
5.2.3 上穿和下穿不等式 147
5.3 下鞅的收斂性 156
5.3.1 離散時間下鞅的收斂性 156
5.3.2 連續時間下鞅的收斂性 161
5.3.3 用一個*終元素封閉下鞅 164
5.3.4 離散時間平方可積（L2）鞅 167
5.4 一致可積下鞅 172
5.4.1 一致可積下鞅的收斂性 172
5.4.2 逆時間下鞅 172
5.4.3 無界停時的可選采樣 180
5.4.4 停時隨機變量族的一致可積性 187
5.5 下鞅樣本函數的正則性 190
5.5.1 右連續下鞅的樣本函數 190
5.5.2 下鞅的右連續修正 194
5.6 連續時間的增過程 202
5.6.1 關于增過程的積分 202
5.6.2 右連續類（DL）下鞅的Doob-Meyer分解 207
5.6.3 正則下鞅 225
第三篇 隨機積分
第6章 隨機積分 235
6.1 平方可積鞅和它的二次變差過程 235
6.1.1 右連續平方可積（L2）鞅空間 235
6.1.2 局部有界變差過程 244
6.1.3 右連續平方可積（L2）鞅的二次變差過程 247
6.2 關于鞅的隨機積分 252
6.2.1 有界左連續適應簡單過程關于L2鞅的隨機積分 252
6.2.2 可料過程關于L2鞅的隨機積分 261
6.2.3 截斷被積函數和用停時停止積分 272
6.3 適應Brownian運動 278
6.3.1 獨立增量過程 278
6.3.2 Rd值Brownian運動 280
6.3.3 一維Brownian運動 287
6.3.4 關于Brownian運動的隨機積分 292
6.4 隨機積分的推廣 300
6.4.1 局部平方可積（L2）鞅和它們的二次變差 300
6.4.2 隨機積分對局部鞅的推廣 306
6.5 關于擬鞅的It公式 311
6.5.1 連續局部半鞅和關于擬鞅的It公式 311
6.5.2 關于擬鞅的隨機積分 326
6.5.3 指數擬鞅 328
6.5.4 關于擬鞅的多維It公式 330
6.6 It隨機微積分 335
6.6.1 隨機微分的空間 335
6.6.2 It過程 340
6.6.3 矩不等式 345
6.6.4 Gronwall型不等式 352
第四篇 隨機微分方程理論
第7章 It型隨機微分方程的一般理論 357
7.1 隨機微分方程概述 357
7.1.1 問題介紹 357
7.3 解的估計 370
7.3.1 解的Lp-估計 370
7.3.2 解的幾乎處處漸近估計 375
7.4 It型隨機微分方程的近似解 384
7.4.1 Caratheodory近似解 385
7.4.2 Euler-Maruyama近似解 389
7.4.3 強解和弱解 391
7.5 SDE和PDE：Feynman-Kac公式 393
7.5.1 Dirichlet問題 395
7.5.2 初始邊界值問題 398
7.5.3 Cauchy問題 399
7.6 隨機微分方程解的Markov性 401
第8章 線性隨機微分方程 409
8.1 線性隨機微分方程簡介 409
8.2 隨機Liouville公式 410
8.3 常數變易公式 414
8.4 幾種特殊情形的研究 417
8.4.1 標量線性方程 417
8.4.2 狹義線性方程 417
8.4.3 自治線性方程 418
8.5 某些特殊的線性隨機微分方程 419
第9章 隨機微分方程的穩定性 426
9.1 穩定性的一般概念 426
9.2 解的依概率穩定性 430
9.3 解的幾乎必然指數穩定性 440
9.4 解的矩指數穩定性 448
9.5 隨機穩定化與不穩定化 457
9.6 解穩定性的進一步論題 463
參考文獻 469
名詞索引 470
前言
**版前言
全文符號
**篇 概率論基礎
第1章 可測空間與乘積可測空間 3
1.1 σ代數理論 3
1.1.1 σ代數 3
1.1.2 單調類定理 7
1.2 可測空間和乘積可測空間 10
1.2.1 可測空間 10
1.2.2 有限維乘積可測空間 11
1.2.3 無窮維乘積可測空間 13
1.3 可測映射與隨機變量 15
1.3.1 映射、可測映射 15
1.3.2 可測函數——隨機變量 16
1.3.3 可測函數的運算 17
1.3.4 函數形式的單調類定理 20
1.3.5 多維隨機變量 21
第2章 測度與積分 23
2.1 測度與測度空間 23
2.1.1 測度空間 23
2.1.2 代數上的測度 24
2.1.3 完備測度 25
2.1.4 分布函數及其生成的測度 26
2.2 隨機變量的數字特征 29
2.2.1 積分——期望 29
2.2.2 隨機變量的矩 32
2.2.3 隨機向量的數學特征 34
2.3 隨機變量及其收斂性 35
2.3.1 隨機變量的等價類 35
2.3.2 幾乎必然（a.s.）收斂 37
2.3.3 依概率收斂 38
2.3.4 依分布收斂 39
2.3.5 平均收斂 40
2.4 獨立性與零一律 41
2.4.1 獨立性 41
2.4.2 零一律 43
2.5 乘積可測空間上的測度 45
2.5.1 有限維乘積空間上的測度 46
2.5.2 無限維乘積空間上的測度 51
第3章 條件期望 55
3.1 廣義測度 55
3.1.1 Hahn-Jordan分解 55
3.1.2 Lebesgue分解 58
3.1.3 Radon-Nikodym定理 61
3.2 條件期望 65
3.2.1 條件期望的定義 65
3.2.2 條件期望的性質 68
3.2.3 條件概率分布 71
3.2.4 條件獨立性 78
第二篇 鞅
第4章 隨機過程 83
4.1 隨機過程的概念 83
4.2 可料過程 91
4.3 停時 96
4.3.1 連續時間隨機過程的停時 96
4.3.2 離散時間隨機過程的停時 102
4.3.3 停時隨機變量 104
4.3.4 停時過程和截斷過程 106
4.4 Lp收斂和一致可積 108
4.4.1 Lp收斂 108
4.4.2 隨機變量族的一致可積 110
第5章 鞅 120
5.1 鞅、下鞅和上鞅 120
5.1.1 鞅、下鞅和上鞅的定義 120
5.1.2 鞅的凸理論 125
5.1.3 離散時間的增過程和Doob分解 125
5.1.4 鞅變換 128
5.2 下鞅基本不等式 131
5.2.1 可選停時和可選采樣 132
5.2.2 極大和極小不等式 139
5.2.3 上穿和下穿不等式 147
5.3 下鞅的收斂性 156
5.3.1 離散時間下鞅的收斂性 156
5.3.2 連續時間下鞅的收斂性 161
5.3.3 用一個*終元素封閉下鞅 164
5.3.4 離散時間平方可積（L2）鞅 167
5.4 一致可積下鞅 172
5.4.1 一致可積下鞅的收斂性 172
5.4.2 逆時間下鞅 172
5.4.3 無界停時的可選采樣 180
5.4.4 停時隨機變量族的一致可積性 187
5.5 下鞅樣本函數的正則性 190
5.5.1 右連續下鞅的樣本函數 190
5.5.2 下鞅的右連續修正 194
5.6 連續時間的增過程 202
5.6.1 關于增過程的積分 202
5.6.2 右連續類（DL）下鞅的Doob-Meyer分解 207
5.6.3 正則下鞅 225
第三篇 隨機積分
第6章 隨機積分 235
6.1 平方可積鞅和它的二次變差過程 235
6.1.1 右連續平方可積（L2）鞅空間 235
6.1.2 局部有界變差過程 244
6.1.3 右連續平方可積（L2）鞅的二次變差過程 247
6.2 關于鞅的隨機積分 252
6.2.1 有界左連續適應簡單過程關于L2鞅的隨機積分 252
6.2.2 可料過程關于L2鞅的隨機積分 261
6.2.3 截斷被積函數和用停時停止積分 272
6.3 適應Brownian運動 278
6.3.1 獨立增量過程 278
6.3.2 Rd值Brownian運動 280
6.3.3 一維Brownian運動 287
6.3.4 關于Brownian運動的隨機積分 292
6.4 隨機積分的推廣 300
6.4.1 局部平方可積（L2）鞅和它們的二次變差 300
6.4.2 隨機積分對局部鞅的推廣 306
6.5 關于擬鞅的It公式 311
6.5.1 連續局部半鞅和關于擬鞅的It公式 311
6.5.2 關于擬鞅的隨機積分 326
6.5.3 指數擬鞅 328
6.5.4 關于擬鞅的多維It公式 330
6.6 It隨機微積分 335
6.6.1 隨機微分的空間 335
6.6.2 It過程 340
6.6.3 矩不等式 345
6.6.4 Gronwall型不等式 352
第四篇 隨機微分方程理論
第7章 It型隨機微分方程的一般理論 357
7.1 隨機微分方程概述 357
7.1.1 問題介紹 357
7.3 解的估計 370
7.3.1 解的Lp-估計 370
7.3.2 解的幾乎處處漸近估計 375
7.4 It型隨機微分方程的近似解 384
7.4.1 Caratheodory近似解 385
7.4.2 Euler-Maruyama近似解 389
7.4.3 強解和弱解 391
7.5 SDE和PDE：Feynman-Kac公式 393
7.5.1 Dirichlet問題 395
7.5.2 初始邊界值問題 398
7.5.3 Cauchy問題 399
7.6 隨機微分方程解的Markov性 401
第8章 線性隨機微分方程 409
8.1 線性隨機微分方程簡介 409
8.2 隨機Liouville公式 410
8.3 常數變易公式 414
8.4 幾種特殊情形的研究 417
8.4.1 標量線性方程 417
8.4.2 狹義線性方程 417
8.4.3 自治線性方程 418
8.5 某些特殊的線性隨機微分方程 419
第9章 隨機微分方程的穩定性 426
9.1 穩定性的一般概念 426
9.2 解的依概率穩定性 430
9.3 解的幾乎必然指數穩定性 440
9.4 解的矩指數穩定性 448
9.5 隨機穩定化與不穩定化 457
9.6 解穩定性的進一步論題 463
參考文獻 469
名詞索引 470
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鞅與隨機微分方程(第二版) 節選
**篇概率論基礎 1.1σ代數理論 概率論是研究隨機現象的統計規律的數學學科.在概率論中，事件和概率是*基本的兩個概念.從概率論本身發展的需要來看，明確地規定事件和概率是必需的.為了規定什么是事件，一方面要考慮到對事件應允許進行必要的運算，以滿足分析隨機現象的實際需要，因而事件類不能太小，至少對某些運算應該是封閉的;另一方面為了能對每個事件給出概率，并保證對概率有一定的要求，例如非負性、單調性、可加性等，所以事件類就不能太大，否則就無法給出一個“兼顧各方面要求”的概率. 事件從其運算的特點來看，與集合的運算是十分相近的.如果把試驗可能結果ω的全體記為Ω，讓事件A.與“Ω中某些ω在試驗中出現”對應，即事件A={屬于Ω的子集A的任一ω在試驗中出現}，這樣事件A.與Ω的子集A就是一回事了.在這種對應之下，事件全體就是Ω的某些子集的集合，概率就應該是定義在Ω的某些子集上的一個以集合為自變量的函數，從而規定概率和事件所必須兼顧到的各種要求就變為了對集合類與集合函數應該滿足的要求. 由于在概率論、隨機過程論及隨機微積分學中經常涉及σ代數理論，因此，了解σ代數的結構特征是很有必要的. 1.1.1σ代數 設Ω是一個抽象空間，即一個非空集合.由Ω的某些子集構成的集合稱為一個集類，以后常用花體字母等來表示.特別地，用表示由Ω的子集(包括空集和全集Ω)全體構成的集類. 1.代數 定義1.1.1 稱Ω的一個非空子集類或P(Ω)的某個非空子集A為一個代數或域，如果它滿足 (1) (2) 實際上，容易證明代數是一個包含和Ω，并且對集合的余運算、差運算、對稱差運算及有限并和有限交運算都封閉的集合類. 例1.1.2(1)P(Ω)是一個代數. (2)是一個代數，稱其為退化代數或平凡代數. (3)直線R上形為(a，b](a，b可為無窮)的區間的有限并的全體為一個代數. 我們也可以從任何感興趣的集合類出發得到一個代數. 命題1.1.3如果集類，則必存在包含的*小代數，即是一個代數，且對任意一個代數.必有. 證明首先記為包含的代數的全體構成的集類，則因為，所以是一個非空的集類.又因為任意多個包含的代數的交仍是一個包含的代數(可按代數的定義逐條驗證)，所以如取，則就是所要求的包含的*小代數. 定義1.1.4對任意一個集類，稱包含的*小代數為由張成的代數，記為. 一般說來，為了獲得由集類張成的代數，可以采用下面的步驟. (1) (2) (3) 在具體討論中還常用到下面的概念. 定義1.1.5 的非空子集類稱為一個半代數(或半域)，如果它滿足 (1) (2) (3) 易見，代數必為半代數. 例1.1.6 (1)直線R上形為(a，b](a，b可為無窮)的區間全體構成一個半代數. (2)n維實空間Rn中，開、閉及半開半閉矩形體的全體構成一個半代數的全體也構成一個半代數. 命題1.1.7如果為一個半代數，那么 為中兩兩互不相交的有限族)是包含S的*小代數. 證明首先證明是一個代數. 對有限交封閉是顯然的. 2.σ代數 對有限運算封閉的集類不意味著對可數運算也封閉.例如取是實直線上的所有形如(x，∞)的區間(其中x∈R)全體所成的集類，則是一個對有限交運算封閉的集類.但是因為 所以集類C對可數交運算不封閉. 定義1.1.8 稱的一個非空子集類為一個σ代數或σ域，如果它滿足 (1) (2) 命題1.1.9 如果是一個σ代數，則是一個代數，且當時，必有 其中 由命題1.1.9可知，σ代數是包含和Ω，并且對集合的余運算、差運算、對稱差運算和可數并、可數交及上下極限運算都封閉的集合類. 定義1.1.10 稱包含集類的所有σ代數的交為由生成的σ代數，記為. 為了從一個給定的集類出發得到由它生成的σ代數，我們可以遵循在由集類獲得它張成的代數的過程中同樣的步驟(1)至(3)，除了在第二步中允許n可以取為無窮大. 命題1.1.11 證明 則 命題1.1.12 如果用R表示數直線(-∞，+∞)，則下列集類生成相同的σ代數. (1) (2) (3) (4) (5) (6) (7)
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