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初等數(shù)論 版權(quán)信息
- ISBN：9787030746306
- 條形碼：9787030746306 ; 978-7-03-074630-6
- 裝幀：一般膠版紙
- 冊(cè)數(shù)：暫無
- 重量：暫無
- 所屬分類：>
初等數(shù)論 本書特色
全國優(yōu)秀教師帶您進(jìn)入初等數(shù)論教學(xué)課堂 深入淺出再現(xiàn)課堂氛圍培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)思維 國際數(shù)學(xué)奧林匹克中國隊(duì)領(lǐng)隊(duì)指痛處 點(diǎn)迷津 提供典型難題詳解 帶您了解熱點(diǎn)前沿問題
初等數(shù)論 內(nèi)容簡介
初等數(shù)論是用初等方法研究整數(shù)性質(zhì)的一個(gè)數(shù)論分支。本書涵蓋初等數(shù)論的基本理論與方法。**章包含整除與同余的基本概念與性質(zhì)、帶余除法定理、輾轉(zhuǎn)相處法、裴蜀定理、接近剩余系與簡化剩余系、算術(shù)基本定理及其應(yīng)用、歐拉定理與費(fèi)馬小定理、一次同余方程與中國剩余定理等。第二章包含二次剩余概念及簡單性質(zhì)、歐拉判別條件、二次互反律、兩平方和定理、四平方和定理、階的概念及簡單性質(zhì)、原根存在定理、高次同余方程。第三章包含二元一次不定方程、簡單的高次不定方程、無窮遞降法。第四章包含素?cái)?shù)分布的初等性質(zhì)、切比雪夫定理、Bertrand假設(shè)。第五章包含實(shí)數(shù)的有理逼近的簡單知識(shí)。
初等數(shù)論 目錄
目錄
前言
第1章 整除與同余 1
1.1 整除 1
1.2 同余 8
1.3 素?cái)?shù)與算術(shù)基本定理 15
1.4 歐拉定理與費(fèi)馬小定理 22
1.5 一次同余方程及威爾遜定理 24
1.6 中國剩余定理 29
第1章總習(xí)題 32
第2章 二次剩余與原根 34
2.1 同余方程 34
2.2 二次剩余的概念與歐拉判別法 40
2.3 二次互反律 44
2.4 兩個(gè)整數(shù)的平方和 51
2.5 拉格朗日四平方和定理 53
2.6 階的性質(zhì)及升冪定理 57
2.7 原根 61
第2章總習(xí)題 67
第3章 不定方程 70
3.1 一次不定方程 70
3.2 不定方程 x2 + y2 = z2 75
3.3 費(fèi)馬無窮遞降法與不定方程 x4 + y4 = z4 78
3.4 佩爾方程 79
第3章總習(xí)題 84
第4章 素?cái)?shù)分布 86
4.1 n! 的標(biāo)準(zhǔn)分解式 86
4.2 整變量求和 88
4.3 切比雪夫定理 91
4.4 素?cái)?shù)的倒數(shù)和 93
4.5 正整數(shù)的素因數(shù)個(gè)數(shù) 96
4.6 Bertrand 假設(shè) 103
第4章總習(xí)題 108
第5章 實(shí)數(shù)的有理逼近 109
5.1 法里數(shù)列 109
5.2 代數(shù)數(shù)的有理逼近與劉維爾定理 112
5.3 連分?jǐn)?shù) 116
第5章總習(xí)題 124
第6章 數(shù)論題選講與數(shù)論中未解決的問題 125
6.1 數(shù)論總復(fù)習(xí)題 125
6.2 數(shù)論總復(fù)習(xí)題解答 129
6.3 數(shù)論中未解決的問題 168
習(xí)題提示與解答 170
參考文獻(xiàn) 185
前言
第1章 整除與同余 1
1.1 整除 1
1.2 同余 8
1.3 素?cái)?shù)與算術(shù)基本定理 15
1.4 歐拉定理與費(fèi)馬小定理 22
1.5 一次同余方程及威爾遜定理 24
1.6 中國剩余定理 29
第1章總習(xí)題 32
第2章 二次剩余與原根 34
2.1 同余方程 34
2.2 二次剩余的概念與歐拉判別法 40
2.3 二次互反律 44
2.4 兩個(gè)整數(shù)的平方和 51
2.5 拉格朗日四平方和定理 53
2.6 階的性質(zhì)及升冪定理 57
2.7 原根 61
第2章總習(xí)題 67
第3章 不定方程 70
3.1 一次不定方程 70
3.2 不定方程 x2 + y2 = z2 75
3.3 費(fèi)馬無窮遞降法與不定方程 x4 + y4 = z4 78
3.4 佩爾方程 79
第3章總習(xí)題 84
第4章 素?cái)?shù)分布 86
4.1 n! 的標(biāo)準(zhǔn)分解式 86
4.2 整變量求和 88
4.3 切比雪夫定理 91
4.4 素?cái)?shù)的倒數(shù)和 93
4.5 正整數(shù)的素因數(shù)個(gè)數(shù) 96
4.6 Bertrand 假設(shè) 103
第4章總習(xí)題 108
第5章 實(shí)數(shù)的有理逼近 109
5.1 法里數(shù)列 109
5.2 代數(shù)數(shù)的有理逼近與劉維爾定理 112
5.3 連分?jǐn)?shù) 116
第5章總習(xí)題 124
第6章 數(shù)論題選講與數(shù)論中未解決的問題 125
6.1 數(shù)論總復(fù)習(xí)題 125
6.2 數(shù)論總復(fù)習(xí)題解答 129
6.3 數(shù)論中未解決的問題 168
習(xí)題提示與解答 170
參考文獻(xiàn) 185
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初等數(shù)論 節(jié)選
第1章 整除與同余 整除與同余是數(shù)論中*基本的概念， 本章將介紹整除的性質(zhì)， 包括帶余除法定理、裴蜀 (Bézout) 定理及 p 進(jìn)制表示; 介紹同余的性質(zhì)及其應(yīng)用， 包括歐拉(Euler) 定理、費(fèi)馬 (Fermat) 小定理、中國剩余定理. 這些都是數(shù)論中*基本的性質(zhì)與定理. 1.1 整除 整除是數(shù)論中*基本的概念， 本節(jié)將介紹整除的概念及相關(guān)內(nèi)容. 定義 1.1.1 設(shè) a， b 為整數(shù)， a .= 0， 若存在整數(shù) k， 使得 b = ak， 則稱 b 能被a 整除， 或 a 能整除 b， 記為 a | b. 若這樣的 k 不存在， 則稱 b 不能被 a 整除， 或a 不能整除 b， 記為 a . b. 若 a | b， 則稱 a 為 b 的因數(shù)， b 為 a 的倍數(shù). 基本性質(zhì) (1) 若 a | b， b | c， 則 a | c. (2) 若 m | a1， ，m | an， k1， ， kn 為整數(shù)， 則 定理 1.1.1(帶余除法定理) 設(shè) a， b 為整數(shù)， a .= 0， 則存在唯一的整數(shù)對(duì) q， r， 使得 我們稱 r 為 b 被 a 除所得的余數(shù). 證明 存在性. 不妨設(shè) a > 0. 設(shè) q 是使得 aq . b 成立的*大的整數(shù)， 則，即.令 r = b-aq， 我們有 唯一性. 設(shè) 則 aq1 + r1 = aq2 + r2， 即 (1.1.1) 假設(shè) q1 .= q2， 則 |a(q1.q2)| . |a|. 又 0 . r1， r2 b， 由帶余除法定理知 由于 b > r1 > r2 > 及不超過 b 的正整數(shù)只有 b 個(gè)， 故上述過程一定會(huì)終止. 由定理 1.1.2 知 即輾轉(zhuǎn)相除法的*后一個(gè)非零余數(shù)就是 a， b 的*大公約數(shù). 由輾轉(zhuǎn)相除法的關(guān)系式可得 特別地， (a， b) = aun + bvn. 由此很容易得到如下定理. 定理 1.1.3 (裴蜀定理) 對(duì)于任給的不全為零的整數(shù) a， b， 總存在整數(shù) u， v， 使得 au + bv = (a， b). 證明 若 a， b 中有一個(gè)為零， 不妨設(shè) b = 0， 則取 u ∈ {.1， 1}， 使得 au = |a|. 這樣， 對(duì)任何整數(shù) v， 有 au + bv = |a| = (a， 0) = (a， b). 下設(shè) a， b 均不為零. 由輾轉(zhuǎn)相除法知， 存在整數(shù) s， t， 使得 |a|s + |b|t = (|a|， |b|). 由*大公約數(shù)的定義知， (|a|， |b|) = (a， b). 取 u ∈ {.s， s}， v ∈ {.t， t}， 使得 |a|s = au， |b|t = bv. 這樣， au + bv = (a， b). 裴蜀定理得證. 例 2 求 1491 與 3619 的*大公約數(shù)， 并求整數(shù) u， v， 使得 1491u + 3619v = (1491， 3619). 解 首先對(duì) 1491 與 3619 進(jìn)行輾轉(zhuǎn)相除法: 3619 = 1491 × 2 + 637， 1491 = 637 × 2 + 217， 637 = 217 × 2 + 203， 217 = 203 × 1 + 14， 203 = 14 × 14 + 7， 14 = 7 × 2. 因此， (1491， 3619) = 7， 所以， 可取 u = -250， v = 103. 附注 例 2 中的 u， v 不唯一. 一般地， 有如下定理. 定理 1.1.4 對(duì)于任給的不全為零的整數(shù) a1， ， an， 總存在整數(shù) u1， ， un， 使得 證明 由于 a1a1 + + anan > 0， 故存在形如的正整數(shù)， 設(shè)是這樣的正整數(shù)中*小的一個(gè)， 下證是 a1， ， an 的*大公約數(shù)， 即 令 d = a1u1 + + anun. 根據(jù)*大公約數(shù)的定義， 需要證明如下兩點(diǎn). **點(diǎn): d 是 a1， ， an 的公約數(shù). 第二點(diǎn): a1， ， an 的公約數(shù)均不超過 d. 首先證明: d 為 a1， ， an 的公約數(shù). 對(duì)每個(gè) i， 由帶余除法定理知. 由此知 簡單整理后知， ri 也具有形式 又， 故由 d 的定義知， ri = 0， 即 d | ai. 這就證明了: d 為 a1， ， an 的公約數(shù). 其次， 設(shè) d′ 為 a1， ， an 的一個(gè)公約數(shù)， 則 d′ 為 a1u1 + + anun 的因數(shù). 又 a1u1 + + anun > 0， 故 綜上， d 為 a1， ， an 的*大公約數(shù). 所以 定理 1.1.4 得證. 定理 1.1.3 的證明是構(gòu)造性的證明， 給定 a， b 后， 由輾轉(zhuǎn)相除法可得到 u， v. 定理 1.1.4 的證明是存在性的證明， 給定 a1， ， an， 不能利用證明得到 u1， ， un. 定理 1.1.5 對(duì)于任給的正整數(shù) k 及不全為零的整數(shù) a1， ， an， 總有 證明 只要證明: k(a1， ， an) 是 ka1， ， kan 的*大公約數(shù). 根據(jù)*大公約數(shù)的定義， 只要證明如下兩點(diǎn). (1) k(a1， ， an) 為 ka1， ， kan 的一個(gè)公約數(shù). (2) ka1， ， kan 的公約數(shù)均不超過 k(a1， ， an). 由于 故 即 k(a1， ， an) 為 ka1， ， kan 的一個(gè)公約數(shù). 現(xiàn)設(shè) d 為 ka1， ， kan 的一個(gè)公約數(shù). 試圖證明: d . k(a1， ， an). 由定理 1.1.4 知， 存在整數(shù) u1， ， un， 使得 由此得 由于 d | kai (1 . i . n)， 故 即 d | k(a1， ， an). 從而 d . k(a1， ， an). 綜上， k(a1， ， an) 為 ka1， ， kan 的*大公約數(shù)， 即 定理 1.1.5 得證. 定理 1.1.6 設(shè) a1， ， an 是不全為零的整數(shù)， 則 d | a1， ， d | an 的充要條件是 d | (a1， ， an). 證明 充分性. 設(shè) 由于 故 必要性. 設(shè). 由定理 1.1.4 知， 存在整數(shù) u1， ， un， 使得 由知 即 d | (a1， ， an). 定理 1.1.6 得證. 定理 1.1.7 若 (a， b) = 1， 則 (a， bc) = (a， c). 證明 由 (a， c) | a， (a， c) | c 知 根據(jù)*大公約數(shù)的定義得 (a， c) . (a， bc). 由定理 1.1.3 知， 存在整數(shù) u， v， 使得au + bv = (a， b) = 1. 由此得 acu + bcv = c. 因此， (a， bc) | c. 又 (a， bc) | a， 故根據(jù)*大公約數(shù)的定義得 (a， bc) . (a， c). 綜上， (a， bc) = (a， c). 定理 1.1.7 得證. 定理 1.1.8 若 a | bc， (a， b) = 1， 則 a | c. 證明 由條件及定理 1.1.7 知， (a， c) = (a， bc) = |a|. 因此， |a| | c， 即 a | c. 定理 1.1.8 得證. 定理 1.1.9 若， 則 (a， b1 bn) = 1. 證明 反復(fù)利用定理 1.1.7 得 定理 1.1.9 得證. 下面介紹 p 進(jìn)制， 通常我們用十進(jìn)制表示數(shù)， 如 125 表示 102 + 2 10 + 5， 計(jì)算機(jī)使用的是二進(jìn)制.
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