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高等數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)指南 版權(quán)信息
- ISBN：9787030727718
- 條形碼：9787030727718 ; 978-7-03-072771-8
- 裝幀：一般膠版紙
- 冊數(shù)：暫無
- 重量：暫無
- 所屬分類：>
高等數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)指南 本書特色
這是一本高等數(shù)學(xué)伴學(xué)用書 指引學(xué)習(xí)方法 精選典型習(xí)題 注重通俗詮釋 突顯概念本質(zhì) 探究公式原理 理順知識脈絡(luò) 突破學(xué)習(xí)難點 消除理解困惑 掌握高數(shù)精髓 穩(wěn)扎穩(wěn)打提升
高等數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)指南 內(nèi)容簡介
本書首先通過"概述"給出整個高等數(shù)學(xué)課程內(nèi)容的全貌和各個內(nèi)容模塊的學(xué)習(xí)策略，然后伴隨課堂授課的推進(jìn)，同步給出"本次課的學(xué)習(xí)目標(biāo)是什么，我應(yīng)當(dāng)怎樣學(xué)，其中的難點問題如何突破，書上某些抽象描述是怎樣理解，我怎樣檢測自己是否達(dá)成了本次課的學(xué)習(xí)目標(biāo)，等"內(nèi)容。學(xué)生可以將本書作為自己學(xué)習(xí)高等數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)指南，全程指導(dǎo)自己的學(xué)習(xí)。
高等數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)指南 目錄
目錄
前言
第0章 緒論 1
第1章 空間解析幾何與向量代數(shù) 6
1.1 空間直角坐標(biāo)系向量代數(shù) 6
1.2 平面及其方程 10
1.3 直線及其方程 12
1.4 二次曲面 15
知識點歸納與總結(jié) 24
綜合演練 36
習(xí)題解答 40
第2章 極限與連續(xù) 52
2.1 映射與函數(shù)初等函數(shù) 52
2.2 函數(shù)極限的概念 58
2.3 極限的性質(zhì)和運算法則 64
2.4 數(shù)列的極限 67
2.5 無窮小與無窮大 72
2.6 函數(shù)的連續(xù)性 75
知識點歸納與總結(jié) 82
綜合演練 86
習(xí)題解答 90
第3章 微分學(xué)及其應(yīng)用 105
3.1 偏導(dǎo)數(shù)的定義基本初等函數(shù)導(dǎo)數(shù)的計算 105
3.2 偏導(dǎo)數(shù)的計算 113
3.3 全微分方向?qū)?shù)與梯度 121
3.4 微分中值定理 136
3.5 洛必達(dá)法則 139
3.6 函數(shù)的極值與*大值*小值 142
3.7 一元函數(shù)圖形的描繪曲率 147
3.8 偏導(dǎo)數(shù)的幾何應(yīng)用 153
3.9 泰勒公式 157
知識點歸納與總結(jié) 164
綜合演練 177
習(xí)題解答 181
第4章 積分學(xué)及其應(yīng)用 204
4.1 積分的基本概念 204
4.2 不定積分 212
4.3 線積分 226
4.4 面積分 253
4.5 體積分（三重積分） 272
4.6 積分間關(guān)系與場論初步 283
4.7 積分學(xué)應(yīng)用（專題） 306
知識點歸納、總結(jié)與鞏固 324
綜合演練 359
習(xí)題解答 380
第5章 微分方程 429
5.1 微分方程的基本概念可分離變量的微分方程 429
5.2 一階線性微分方程 431
5.3 可降階的高階微分方程 434
5.4 二階常系數(shù)齊次線性微分方程 435
5.5 二階常系數(shù)非齊次線性微分方程 439
知識點歸納與總結(jié) 443
綜合演練 447
習(xí)題解答 451
第6章 無窮級數(shù) 471
6.1 數(shù)項級數(shù)的概念和簡單性質(zhì) 471
6.2 常數(shù)項級數(shù) 477
6.3 冪級數(shù) 485
6.4 傅里葉級數(shù) 494
知識點歸納、總結(jié)與鞏固 498
綜合演練 517
習(xí)題解答 521
前言
第0章 緒論 1
第1章 空間解析幾何與向量代數(shù) 6
1.1 空間直角坐標(biāo)系向量代數(shù) 6
1.2 平面及其方程 10
1.3 直線及其方程 12
1.4 二次曲面 15
知識點歸納與總結(jié) 24
綜合演練 36
習(xí)題解答 40
第2章 極限與連續(xù) 52
2.1 映射與函數(shù)初等函數(shù) 52
2.2 函數(shù)極限的概念 58
2.3 極限的性質(zhì)和運算法則 64
2.4 數(shù)列的極限 67
2.5 無窮小與無窮大 72
2.6 函數(shù)的連續(xù)性 75
知識點歸納與總結(jié) 82
綜合演練 86
習(xí)題解答 90
第3章 微分學(xué)及其應(yīng)用 105
3.1 偏導(dǎo)數(shù)的定義基本初等函數(shù)導(dǎo)數(shù)的計算 105
3.2 偏導(dǎo)數(shù)的計算 113
3.3 全微分方向?qū)?shù)與梯度 121
3.4 微分中值定理 136
3.5 洛必達(dá)法則 139
3.6 函數(shù)的極值與*大值*小值 142
3.7 一元函數(shù)圖形的描繪曲率 147
3.8 偏導(dǎo)數(shù)的幾何應(yīng)用 153
3.9 泰勒公式 157
知識點歸納與總結(jié) 164
綜合演練 177
習(xí)題解答 181
第4章 積分學(xué)及其應(yīng)用 204
4.1 積分的基本概念 204
4.2 不定積分 212
4.3 線積分 226
4.4 面積分 253
4.5 體積分（三重積分） 272
4.6 積分間關(guān)系與場論初步 283
4.7 積分學(xué)應(yīng)用（專題） 306
知識點歸納、總結(jié)與鞏固 324
綜合演練 359
習(xí)題解答 380
第5章 微分方程 429
5.1 微分方程的基本概念可分離變量的微分方程 429
5.2 一階線性微分方程 431
5.3 可降階的高階微分方程 434
5.4 二階常系數(shù)齊次線性微分方程 435
5.5 二階常系數(shù)非齊次線性微分方程 439
知識點歸納與總結(jié) 443
綜合演練 447
習(xí)題解答 451
第6章 無窮級數(shù) 471
6.1 數(shù)項級數(shù)的概念和簡單性質(zhì) 471
6.2 常數(shù)項級數(shù) 477
6.3 冪級數(shù) 485
6.4 傅里葉級數(shù) 494
知識點歸納、總結(jié)與鞏固 498
綜合演練 517
習(xí)題解答 521
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高等數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)指南 節(jié)選
第〇章緒論 學(xué)習(xí)目標(biāo)導(dǎo)航 知識目標(biāo) 高等數(shù)學(xué)課程內(nèi)容的整體結(jié)構(gòu); 高等數(shù)學(xué)課程的考核方式. 認(rèn)知目標(biāo) A.初步制定高等數(shù)學(xué)課程的學(xué)習(xí)策略; B.了解高等數(shù)學(xué)的知識的整體結(jié)構(gòu)、數(shù)學(xué)文化、數(shù)學(xué)方法. 情感目標(biāo) 認(rèn)同高等數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的重要性，堅定學(xué)好高等數(shù)學(xué)的信心. 學(xué)習(xí)指導(dǎo) 數(shù)學(xué)是科學(xué)大門的鑰匙，忽視數(shù)學(xué)必將傷害所有的知識，因為忽視數(shù)學(xué)的人是無法了解任何其他科學(xué)乃至世界上任何其他事物的.更為嚴(yán)重的是，忽視數(shù)學(xué)的人不能理解他自己這一疏忽，*終將導(dǎo)致無法尋求任何補救的措施. ——羅杰 培根 在一切理論成就中，未必再有什么像17世紀(jì)下半葉微積分的發(fā)明那樣被看作人類精神的*高勝利了.如果在某個地方我們看到人類精神的純粹的和唯一的功績，那正是在這里. ——恩格斯 高等數(shù)學(xué)是基于微積分學(xué)這一經(jīng)典數(shù)學(xué)理論發(fā)展而來的大學(xué)基礎(chǔ)課程，具有高度的理論性、抽象性、系統(tǒng)性和應(yīng)用的廣泛性，各章節(jié)內(nèi)容之間具有明顯的連貫性和系統(tǒng)性，在學(xué)習(xí)時仔細(xì)體會這種脈絡(luò)關(guān)系，能夠加深對課程內(nèi)容的理解和記憶. 2高等數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)指南 1.從構(gòu)建自我知識體系的角度來討論學(xué)習(xí) 事物是普遍聯(lián)系的，同樣知識之間更是存在聯(lián)系.人類的記憶規(guī)律表明，凌亂的孤立的知識點通常記憶不深刻、不長久，而經(jīng)過自我加工(包括歸納、推理、聯(lián)系等)后的知識點則記憶牢固.梳理過的知識點通過相互之間的聯(lián)系形成網(wǎng)絡(luò)，運用知識時是系統(tǒng)的、發(fā)散的，往往對于解決一些疑難問題更見成效. 圖1.0.1自我知識體系的構(gòu)建過程 將新知識與已有知識建立聯(lián)系這個過程并不容易，聯(lián)系的緊密性隨著理解的深刻程度而加強.而理解新知識是學(xué)習(xí)新知識的*基本要求.高等數(shù)學(xué)課程中，加深對知識理解的途徑通常有:1結(jié)合例題思考概念、定理或算法等程序性知識;2同學(xué)之間研討交流或向教師請教;3閱讀發(fā)現(xiàn)史，例如閱讀微積分理論產(chǎn)生和拓展的歷史過程，跟隨數(shù)學(xué)家一起發(fā)現(xiàn)知識;4對與之相關(guān)的實際問題的探究，運用所學(xué)知識解決實際問題等. 通過多種途徑理解新知識后，隨著時間的流逝和擱置的狀態(tài)，將面臨“遺忘”的挑戰(zhàn).與遺忘作斗爭的方式有兩種:一種是不斷地去運用學(xué)到、理解的新知識去解決問題;一種就是通過總結(jié)歸納梳理新知識，與腦海中已有知識相對比，建立聯(lián)系，使之融入自己的知識網(wǎng)絡(luò).學(xué)習(xí)高等數(shù)學(xué)，通常需要兩種方式綜合運用，既要加深對知識的記憶，又要增強知識應(yīng)用的靈活性.整個過程體現(xiàn)到學(xué)習(xí)者身上，就是學(xué)習(xí)者的學(xué)習(xí)力和記憶力.學(xué)習(xí)力、記憶力是學(xué)習(xí)者的基本能力，對能夠取得好的學(xué)習(xí)效果至關(guān)重要. 上述學(xué)習(xí)方法對于學(xué)習(xí)者今后學(xué)習(xí)大多數(shù)課程而言，是通用的. 圖1.0.2描述了高等數(shù)學(xué)課程內(nèi)容中的6個模塊，分別對應(yīng)著教材的不同章節(jié)，讀者在看書學(xué)習(xí)的時候要結(jié)合著整個模塊從宏觀上把握知識點的聯(lián)系和脈絡(luò). 2.高等數(shù)學(xué)課程的學(xué)習(xí)建議 人類的學(xué)習(xí)具有明顯的個體差異性，但是同樣也存在突出的規(guī)律性.關(guān)于高等數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)建議總結(jié)為一個方法論、兩個基本要素和若干實施策略.三者的重要程度依次下降，其中方法論、基本要素決定了學(xué)習(xí)者學(xué)習(xí)高數(shù)達(dá)到的境界，起到方向指引作用，若干具體的實施策略可以根據(jù)自己的實際情況選擇性調(diào)整. 圖1.0.2高等數(shù)學(xué)課程的主要內(nèi)容 1)方法論:內(nèi)外兼修、陰陽相輔 高等數(shù)學(xué)課程的學(xué)習(xí)亦符合中國傳統(tǒng)哲學(xué)的觀點，好比修煉絕世武功，內(nèi)功、外功修煉缺一不可.學(xué)習(xí)高等數(shù)學(xué)，也要修煉好“內(nèi)外”“外功”.那么，什么是高等數(shù)學(xué)課程修煉中的“內(nèi)功”與“外功”呢？所謂“內(nèi)”，可視為“陰”，是指不能忽視在課程學(xué)習(xí)過程中對數(shù)理思維、數(shù)學(xué)的文化價值、美學(xué)價值與哲學(xué)價值的感悟和培養(yǎng)，通過修煉深刻把握和理解數(shù)學(xué)概念的本質(zhì)內(nèi)涵，養(yǎng)成用數(shù)、量的視角觀察、研究和改造客觀世界的認(rèn)知習(xí)慣，這就是“真氣”運轉(zhuǎn)的規(guī)律.以未來戰(zhàn)爭中的指戰(zhàn)員為例，通過高等數(shù)學(xué)等課程修煉的深厚“內(nèi)功”，使其在作戰(zhàn)中思路更為清晰，對敏感信息的把控、深算精算、精準(zhǔn)指揮的火候更足. 所謂“外”，可視為“陽”，是要主動和善于訓(xùn)練自己的運算能力、邏輯推導(dǎo)能力和技巧，熟記基本知識和基本算法.例如需要熟練掌握三種基本運算技能，分別是極限運算、求導(dǎo)運算和積分運算，這些運算可以視為在邏輯規(guī)則約束下，對數(shù)字的轉(zhuǎn)換、推導(dǎo)與變向的一種“數(shù)字游戲”.“外功”的修煉需要在理解運算法則的基礎(chǔ)上進(jìn)行刻意練習(xí)，不斷打磨并積累經(jīng)驗，做到熟能生巧. 高等數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的“內(nèi)功”“外功”修煉，相輔相成，缺一不可，“內(nèi)功”弱則靈感不足，“外功”弱則眼高手低. 2)兩個基本要素:態(tài)度和獨立思考 每個人在面對新問題、新知識時，都有一個自我系統(tǒng)在發(fā)揮重要作用.自我系統(tǒng)決定的是學(xué)習(xí)動機問題，用來決定是否解決新問題、學(xué)習(xí)新知識.若要真正學(xué)好知識，首先應(yīng)當(dāng)端正學(xué)習(xí)態(tài)度，并在勤奮的基礎(chǔ)上不斷獨立思考、深度思考，堅定學(xué)好信念.一些觀點認(rèn)為，學(xué)習(xí)新知識的過程，是大腦神經(jīng)元產(chǎn)生與相互搭建的過程，是個“辛苦”的過程，只有付出了辛勤的努力和汗水，收獲的果實才更為甘甜，更為高階的興趣和自信也會隨之醞釀，所以，要不斷挑戰(zhàn)自我，打破學(xué)習(xí)的舒適區(qū)，使新知識與原有知識聯(lián)系起來，構(gòu)筑起自己的知識體系. 3)若干實施策略 (1)提升學(xué)習(xí)過程的質(zhì)量.要積極規(guī)劃自己的學(xué)習(xí)過程，循序漸進(jìn).僅僅上課聽懂還不夠，一方面還要通過作業(yè)題來檢測自己，通過作業(yè)題來深化、夯實學(xué)習(xí)效果，遇到不會的，通過研究、討論或?qū)ふ掖鸢父愣?另一方面，要結(jié)合自己的理解去進(jìn)一步深挖這堂課中數(shù)學(xué)概念、定理的內(nèi)涵，想一想實際生活中有哪些事物、道理跟其相似，不斷地進(jìn)行深度思考.隨著所學(xué)內(nèi)容增多，穩(wěn)扎穩(wěn)打，穩(wěn)步推進(jìn)，才不會導(dǎo)致知識遺忘、混淆甚至是混亂的狀況出現(xiàn). (2)關(guān)于做練習(xí).學(xué)好高等數(shù)學(xué)這門課程，做一定量的習(xí)題是必要的，但是我們做題要講究策略.要重視教師給你提供的習(xí)題.當(dāng)做完題目之后，可以適當(dāng)抽出時間來思考一下題目的特點，主要考查哪方面的概念與知識，采用了什么樣的思路和方法，這種解題思路和方法是怎樣想到的，是否具有普遍性，能否抽象、固化成一種“套路”.另外一些基礎(chǔ)性的公式、定理(求導(dǎo)公式、積分公式、中值定理、常見的函數(shù)展開式等)在掌握推導(dǎo)方法的基礎(chǔ)上，需要牢牢記住. (3)關(guān)于讀書.“書山有路勤為徑，學(xué)海無涯苦作舟”鼓勵我們不怕吃苦地多讀書，但是學(xué)習(xí)者基礎(chǔ)課程學(xué)習(xí)期間，課程滿，時間緊，所以即便學(xué)習(xí)者想發(fā)揚釘子精神，投入更多的時間和精力放到高等數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)上，借閱大量高等數(shù)學(xué)輔導(dǎo)書去看，也會影響到其他各方面的任務(wù)要求.更科學(xué)的方式是努力去提高學(xué)習(xí)效率，對于課外輔導(dǎo)書而言，是“多則惑，少則得”，選定一本將其讀“薄”，完成之后再把自己學(xué)習(xí)過程中的體會、感悟、歸納出來的方法思路添加進(jìn)去，嘗試讀“厚”，使之豐富起來. (4)樹立終身學(xué)習(xí)的意識.無論是學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)也好，還是其他知識，只要想進(jìn)步，想收獲更好的人生，就得不斷學(xué)習(xí)！不能僅僅將眼光局限在自己的身邊、自己周圍的小環(huán)境，要努力提升看待問題的格局，將視野置于更為寬廣的前提下權(quán)衡自己當(dāng)前的狀態(tài)和行為效益. 在高等數(shù)學(xué)課程的學(xué)習(xí)中，希望學(xué)習(xí)者不要在學(xué)習(xí)過程中產(chǎn)生各種畏難情緒，遇到學(xué)習(xí)問題迎難而上，磨煉意志，按照更加科學(xué)的方法開展學(xué)習(xí)活動，努力找到學(xué)習(xí)興趣，充分感受數(shù)學(xué)之美，體會數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)路程上的美好風(fēng)光，培育和增強自己的數(shù)學(xué)素養(yǎng). 課后思考 1.繪制高等數(shù)學(xué)課程的知識體系框架圖. 2.寫出本門課程的考核方式. 3.梳理中學(xué)階段學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的方法，規(guī)劃高等數(shù)學(xué)課程的學(xué)習(xí)計劃，與教師、同學(xué)討論課程的學(xué)習(xí)策略. 4.網(wǎng)絡(luò)檢索:什么是數(shù)學(xué)建模？了解全國大學(xué)生數(shù)學(xué)建模競賽，體會利用數(shù)學(xué)解決現(xiàn)實問題的方法、步驟和優(yōu)勢. 5.簡要闡述: (1)對自己的學(xué)習(xí)期望; (2)對教師如何開展教學(xué)的期望. **章空間解析幾何與向量代數(shù) 千里之行，始于足下.——老子 1.1空間直角坐標(biāo)系向量代數(shù) 學(xué)習(xí)目標(biāo)導(dǎo)航 知識目標(biāo) 空間直角坐標(biāo)系; 向量(vector)的概念及其表示、向量的坐標(biāo)表示、單位向量、方向角與方 向余弦(directioncosine)、向量的模(norm;module)、向量的代數(shù)運算; 數(shù)量積(dotproduct;scalarproduct，又稱點積、內(nèi)積、標(biāo)量積)、向量積(crossproduct，又稱叉積、矢積、外積). 認(rèn)知目標(biāo) A.能說出向量的概念以及向量的線性運算，利用坐標(biāo)作向量的代數(shù)運算、求向量的模、方向角、方向余弦; B.能夠計算向量的數(shù)量積和向量積，會用坐標(biāo)表示進(jìn)行向量運算，能夠說出兩個向量垂直、平行的條件. 情感目標(biāo) 認(rèn)同高等數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的重要性，堅定學(xué)好高等數(shù)學(xué)的信心，培養(yǎng)幾何直觀能力，提升問題轉(zhuǎn)化能力，體會事物之間的聯(lián)系和轉(zhuǎn)化的關(guān)系.培養(yǎng)幾何直觀能力，觀察問題、分析問題的能力和計算能力.
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