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數學分析十講 版權信息
- ISBN：9787030313645
- 條形碼：9787030313645 ; 978-7-03-031364-5
- 裝幀：一般膠版紙
- 冊數：暫無
- 重量：暫無
- 所屬分類：>
數學分析十講 內容簡介
隨著當代科學技術的日益數學化，許多工科專業對數學知識的需求與曰俱增，在基礎課設置上，越來越不滿足于傳統的高等數學教材，希望用數學分析取代高等數學。另一方面，數學分析作為數學專業*重要的基礎課，學習一遍，學生往往難以學深吃透、融會貫通。基于上述原因，《數學分析十講》參閱了國內外大量教材和研究性論著，編寫了這本《數學分析十講》，取材大體基于而又略深于一般的高等數學和數學分析教材，是其某些內容的自然引申、擴展、推廣、深化,與通常的高等數學和數學分析教材自然銜接。內容新而不偏、深而不難、廣而不淺、精而不繁，方法簡便，易學易用。 《數學分析十講》在選材和寫法上，注重啟發性、綜合性、代表性、普適性和應用性，理論、方法和范例三者有機結合，并與數學思想融為一體。《數學分析十講》以理引法、以例釋理、以例示法、借題習法、法例交融。既有一題多解（證），又有多題一解（證）、一法多用，例題和習題豐富多樣。多處穿插注記，啟發思維和聯想。
數學分析十講 目錄
目錄
前言
第1講 求極限的若干方法 1
1.1 用導數定義求極限 1
1.2 用拉格朗日中值定理求極限 3
1.3 用等價無窮小代換求極限 5
1.4 用泰勒公式求極限 9
1.5 施駕茲定理及其應用 14
1.6 廣義洛必達法則及其應用 20
第2講 實數系的基本定理 27
2.1 實數系與數集的上下確界 27
2.2 區間套定理 31
2.3 子列與致密性定理 33
2.4 有限覆蓋定理 39
2.5 柯西收斂準則 41
第3講 閉區間上連續函數性質的證明 44
3.1 有界性定理與*值定理 44
3.2 零點存在定理與介值定理 46
3.3 一致連續與康托爾定理 48
第4講 導函數的兩個重要特性 53
4.1 導函數的介值性 53
4.2 導函數極限定理 56
第5講 中值定理的推廣及其應用 62
5.1 微分中值定理的推廣及其應用 62
5.2 積分中值定理的推廣及其應用 79
第6講 凸函數及其應用 87
6.1 凸函數的定義和性質 87
6.2 凸函數的判定條件 93
6.3 詹生不等式及其應用 97
第7講 重積分和線面積分的計算 102
7.1 重積分的計算 102
7.2 曲線積分的計算 112
7.3 曲面積分的計算 118
第8講 數項級數的斂散性判別法 131
8.1 柯西判別法及其推廣 131
8.2 達朗貝爾判別法及其推廣 137
8.3 積分判別法與導數判別法 140
8.4 拉貝判別法與高斯判別法 143
8.5 一般項級數的斂散性判別法 145
8.6 數項級數綜合題 150
第9講 函數項級數的一致收斂性 154
9.1 函數項級數的概念 154
9.2 函數項級數一致收斂的概念 155
9.3 一致收斂級數的性質 159
9.4 函數項級數一致收斂的判別法 163
第10講 典型題解析 169
10.1 應用題 169
10.2 介值和中值存在性問題 182
10.3 不等式與綜合題 194
參考文獻 207
前言
第1講 求極限的若干方法 1
1.1 用導數定義求極限 1
1.2 用拉格朗日中值定理求極限 3
1.3 用等價無窮小代換求極限 5
1.4 用泰勒公式求極限 9
1.5 施駕茲定理及其應用 14
1.6 廣義洛必達法則及其應用 20
第2講 實數系的基本定理 27
2.1 實數系與數集的上下確界 27
2.2 區間套定理 31
2.3 子列與致密性定理 33
2.4 有限覆蓋定理 39
2.5 柯西收斂準則 41
第3講 閉區間上連續函數性質的證明 44
3.1 有界性定理與*值定理 44
3.2 零點存在定理與介值定理 46
3.3 一致連續與康托爾定理 48
第4講 導函數的兩個重要特性 53
4.1 導函數的介值性 53
4.2 導函數極限定理 56
第5講 中值定理的推廣及其應用 62
5.1 微分中值定理的推廣及其應用 62
5.2 積分中值定理的推廣及其應用 79
第6講 凸函數及其應用 87
6.1 凸函數的定義和性質 87
6.2 凸函數的判定條件 93
6.3 詹生不等式及其應用 97
第7講 重積分和線面積分的計算 102
7.1 重積分的計算 102
7.2 曲線積分的計算 112
7.3 曲面積分的計算 118
第8講 數項級數的斂散性判別法 131
8.1 柯西判別法及其推廣 131
8.2 達朗貝爾判別法及其推廣 137
8.3 積分判別法與導數判別法 140
8.4 拉貝判別法與高斯判別法 143
8.5 一般項級數的斂散性判別法 145
8.6 數項級數綜合題 150
第9講 函數項級數的一致收斂性 154
9.1 函數項級數的概念 154
9.2 函數項級數一致收斂的概念 155
9.3 一致收斂級數的性質 159
9.4 函數項級數一致收斂的判別法 163
第10講 典型題解析 169
10.1 應用題 169
10.2 介值和中值存在性問題 182
10.3 不等式與綜合題 194
參考文獻 207
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數學分析十講 節選
第1講 求極限的若干方法 極限理論是數學分析的重要基礎，求極限貫穿于數學分析的始終，其方法多種多樣，如利用極限定義、利用夾逼原理、利用單調有界原理、利用兩個重要極限、利用等價代換、利用洛必達法則、利用定積分定義等，高等數學和數學分析教材中已有詳細介紹.這一講介紹幾種在傳統教材中少有介紹卻比較簡便的方法，關于用積分中值定理求極限的方法，見第5講第2節. 首先回想函數/(x)在點處導數的定義：或. 由于導數是用極限定義的，故可反其道而行之，利用導數定義計算某些數列和函數的極限. 例1.1.1 計算 例1.1.2 計算 1.1 用導數定義求極限 (方法二）原式 例1.1.3計算 解 原式 例1.4計算 解原式= 例1.1.5求 解設 所以，原式 例1.1.6設f(x)在a點可導，f(a)>0，計算 解由題設可知在a點的一個鄰域內大于零，故有 例1.1.7設在處二階可導，求 解原式. 1.2 用拉格朗日中值定理求極限 例設計算 解原式 例1.1.9 設存在，計算 解 習題1.1 l.計算下列極限： 2.設在處二階可導，計算 3.設存在，計算. 4.設存在，計算 拉格朗日（Lagrange)中值定理是理論證明的有力工具.它告訴我們：當函數f(x)在吻附近可導時，則對附近的A存在Cx使這在計算某些函數的極限時非常簡便有效. 例1.2.1計算 解原式之間. 例1.2.2計算 解原式位于與之間. 例1_2.3. 解原式位于與之間. 例1_2.4計算 解原式位于與之間. 例1.2.5計算 解原式 例1.2.6計算位于與之間 例⑴計算. 1.3用等價無窮小代換求極限 解(方法一）原式 (方法二）. 記，由柯西（Cauchy)中值定理有原式于與之間. 習題1.2 求下列極限: 1.3 用等價無窮小代換求極限 大家知道，若，且lim在附近不為，則事實上，因為，即等價代換不改變極限的存在性和極限值. 由拉格朗日中值定理導出的若干等價代換及其應用先利用拉格朗日中值定理給出下述一般命題： 命題1.3.1設在的一個鄰域內連續，且在3的一個鄰域內可導且f(X)在處連續，則. 證由拉格朗日中值定理和題設條件有位于a(X)與之間. 于是 因此有. 根據命題1.3.1，可對常見的初等函數得出下列等價關系，其中可以是自變量，也可以是函數每一個等價關系中極限過程相同為引用方便，特殊情形也單獨編號. (1); (2); (3); (4); (5); (6); (7) (8); (9); (10). 下面給出一些應用例題. 例1.3.1 求 解由等價關系(2)有 原式
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