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高等數學 版權信息
- ISBN：9787030733238
- 條形碼：9787030733238 ; 978-7-03-073323-8
- 裝幀：一般膠版紙
- 冊數：暫無
- 重量：暫無
- 所屬分類：>
高等數學 內容簡介
《高等數學（全二冊）》依據理工類本科高等數學課程教學基本要求，并結合教學實踐經驗編寫而成．融入了課程思政元素，且將“結構分析-形式統一法”貫穿于教材，相比于同類教材，《高等數學（全二冊）》增加了部分內容，調整了一些內容的講述順序，內容更豐富，系統性更強. 《高等數學（全二冊）》在定理的證明和例題的求解之前增加了結構分析環節，展現了思路形成和解題方法設計的過程，突出了數學理性分析的特點;在重要的定義和知識點之后，增加了信息挖掘和抽象總結，優化學生的認知結構;增加了例題和習題的難度，并增加了結構分析的習題題型，突出分析和解決問題的培養和訓練. 《高等數學（全二冊）》分上、下兩冊.上冊共4章，主要內容有:高等數學基礎知識(數列和函數的極限、極限的運算、函數的連續性)、一元函數微分學及其應用、一元函數積分學及其應用、微分方程.下冊共5章，主要內容有:向量代數與空間解析幾何、多元函數微分學及其應用、多元數量值函數積分學、向量值函數積分學、無窮級數.
高等數學 目錄
目錄
前言
第1章 高等數學基礎知識 1
1.1 實數系 1
1.1.1 映射 1
1.1.2 函數的概念 1
1.1.3 實數系 2
習題1-1 11
1.2 函數的運算與初等性質 11
1.2.1 函數的運算 11
1.2.2 函數的初等性質 12
1.2.3 基本初等函數與初等函數 15
習題1-2 19
1.3 極限 19
1.3.1 數列的極限 21
1.3.2 函數的極限 31
1.3.3 無窮小與無窮大 37
1.3.4 極限的性質 41
1.3.5 極限的運算法則 47
1.3.6 極限存在準則與兩個重要極限 54
1.3.7 無窮小的比較 67
習題1-3 74
1.4 連續函數 77
1.4.1 連續函數的概念 77
1.4.2 連續函數的運算性質 79
1.4.3 間斷點及其類型 80
1.4.4 閉區間上連續函數的性質 82
習題1-4 85
第2章 一元函數微分學及其應用 88
2.1 導數的概念 88
2.1.1 導數概念的背景 88
2.1.2 導數的定義 90
2.1.3 導數存在的條件 91
2.1.4 導函數 92
2.1.5 導數概念的基本應用 92
2.1.6 可導與連續的關系 96
習題2-1 98
2.2 導數的計算 99
2.2.1 導數的四則運算法則 100
2.2.2 反函數求導法則 101
2.2.3 復合函數的求導法則 104
2.2.4 高階導數 106
2.2.5 一些特殊函數的求導方法 110
習題2-2 116
2.3 函數的微分 118
2.3.1 微分產生的背景 118
2.3.2 微分的定義 119
2.3.3 微分運算法則與形式不變性 121
2.3.4 微分的應用 122
習題2-3 125
2.4 微分中值定理 126
2.4.1 費馬引理 126
2.4.2 羅爾定理 129
2.4.3 拉格朗日中值定理 130
2.4.4 柯西中值定理 132
2.4.5 中值定理的應用舉例 135
習題2-4 137
2.5 洛必達法則 138
2.5.1 待定型極限 138
2.5.2 洛必達法則 139
習題2-5 146
2.6 微分中值定理的應用 146
2.6.1 函數的單調性 146
2.6.2 函數的極值 151
2.6.3 函數的凹凸性 156
2.6.4 函數的漸近線 160
2.6.5 函數的圖形 161
習題2-6 162
2.7 泰勒公式 163
2.7.1 背景 163
2.7.2 泰勒公式 165
2.7.3 常用函數的麥克勞林公式 168
2.7.4 函數的泰勒展開 170
2.7.5 泰勒公式的應用 172
習題2-7 177
2.8 平面曲線的曲率 178
2.8.1 曲率的定義 178
2.8.2 曲率公式 179
2.8.3 曲率圓 181
2.8.4 漸屈線和漸伸線 183
習題2-8 184
2.9 方程的近似解 184
2.9.1 二分法 184
2.9.2 切線法(牛頓法)185
習題2-9 188
第3章 一元函數積分學及其應用 189
3.1 定積分的概念和性質 189
3.1.1 定積分問題引例 189
3.1.2 定積分的概念 193
3.1.3 定義的簡單應用 194
3.1.4 可積的條件 196
3.1.5 定積分的性質 198
習題3-1 202
3.2 微積分基本定理 203
3.2.1 變上限積分函數 203
3.2.2 微積分基本定理 207
習題3-2 209
3.3 不定積分 210
3.3.1 不定積分的概念 210
3.3.2 不定積分的性質與運算法則 213
3.3.3 不定積分的幾種計算方法 217
3.3.4 某些特殊類型函數的不定積分 238
習題3-3 248
3.4 定積分的計算 250
3.4.1 定積分的換元法 251
3.4.2 定積分的分部積分法 253
3.4.3 基于特殊結構的定積分的計算 256
習題3-4 260
3.5 定積分的應用 261
3.5.1 平面圖形的面積 261
3.5.2 已知截面積的立體和旋轉體的體積 269
3.5.3 平面曲線的弧長 274
.3.5.4 旋轉體的側面積 277
3.5.5 定積分的物理應用 278
習題3-5 282
3.6 反常積分 283
3.6.1 無窮限反常積分 286
3.6.2 無界函數的反常積分 290
3.6.3 反常積分收斂性的判別法 292
習題3-6 300
第4章 微分方程 301
4.1 微分方程的基本概念 301
4.1.1 微分方程的基本概念 301
4.1.2 微分方程建模簡介 305
習題4-1 308
4.2 一階微分方程的初等解法 309
4.2.1 可分離變量微分方程 309
4.2.2 一階線性微分方程 312
4.2.3 利用變量代換求解一階微分方程 316
習題4-2 323
4.3 可降階的高階微分方程 324
4.3.1y′′=f(x)型微分方程 324
4.3.2y′′=f(x，y′)型微分方程 325
4.3.3y′′=f(y，y′)型微分方程 328
習題4-3 329
4.4 二階線性微分方程 330
4.4.1 二階線性微分方程解的結構 330
4.4.2 二階常系數線性齊次微分方程及其解法 333
4.4.3 二階常系數線性非齊次微分方程及其解法 338
4.4.4 某些變系數線性微分方程的解法 348
習題4-4 352
.4.5 微分方程的數值解 353
4.5.1 歐拉方法與誤差分析 353
4.5.2 龍格–庫塔法 357
4.5.3 多步法 362
習題4-5 364
習題答案 365
參考文獻 385
前言
第1章 高等數學基礎知識 1
1.1 實數系 1
1.1.1 映射 1
1.1.2 函數的概念 1
1.1.3 實數系 2
習題1-1 11
1.2 函數的運算與初等性質 11
1.2.1 函數的運算 11
1.2.2 函數的初等性質 12
1.2.3 基本初等函數與初等函數 15
習題1-2 19
1.3 極限 19
1.3.1 數列的極限 21
1.3.2 函數的極限 31
1.3.3 無窮小與無窮大 37
1.3.4 極限的性質 41
1.3.5 極限的運算法則 47
1.3.6 極限存在準則與兩個重要極限 54
1.3.7 無窮小的比較 67
習題1-3 74
1.4 連續函數 77
1.4.1 連續函數的概念 77
1.4.2 連續函數的運算性質 79
1.4.3 間斷點及其類型 80
1.4.4 閉區間上連續函數的性質 82
習題1-4 85
第2章 一元函數微分學及其應用 88
2.1 導數的概念 88
2.1.1 導數概念的背景 88
2.1.2 導數的定義 90
2.1.3 導數存在的條件 91
2.1.4 導函數 92
2.1.5 導數概念的基本應用 92
2.1.6 可導與連續的關系 96
習題2-1 98
2.2 導數的計算 99
2.2.1 導數的四則運算法則 100
2.2.2 反函數求導法則 101
2.2.3 復合函數的求導法則 104
2.2.4 高階導數 106
2.2.5 一些特殊函數的求導方法 110
習題2-2 116
2.3 函數的微分 118
2.3.1 微分產生的背景 118
2.3.2 微分的定義 119
2.3.3 微分運算法則與形式不變性 121
2.3.4 微分的應用 122
習題2-3 125
2.4 微分中值定理 126
2.4.1 費馬引理 126
2.4.2 羅爾定理 129
2.4.3 拉格朗日中值定理 130
2.4.4 柯西中值定理 132
2.4.5 中值定理的應用舉例 135
習題2-4 137
2.5 洛必達法則 138
2.5.1 待定型極限 138
2.5.2 洛必達法則 139
習題2-5 146
2.6 微分中值定理的應用 146
2.6.1 函數的單調性 146
2.6.2 函數的極值 151
2.6.3 函數的凹凸性 156
2.6.4 函數的漸近線 160
2.6.5 函數的圖形 161
習題2-6 162
2.7 泰勒公式 163
2.7.1 背景 163
2.7.2 泰勒公式 165
2.7.3 常用函數的麥克勞林公式 168
2.7.4 函數的泰勒展開 170
2.7.5 泰勒公式的應用 172
習題2-7 177
2.8 平面曲線的曲率 178
2.8.1 曲率的定義 178
2.8.2 曲率公式 179
2.8.3 曲率圓 181
2.8.4 漸屈線和漸伸線 183
習題2-8 184
2.9 方程的近似解 184
2.9.1 二分法 184
2.9.2 切線法(牛頓法)185
習題2-9 188
第3章 一元函數積分學及其應用 189
3.1 定積分的概念和性質 189
3.1.1 定積分問題引例 189
3.1.2 定積分的概念 193
3.1.3 定義的簡單應用 194
3.1.4 可積的條件 196
3.1.5 定積分的性質 198
習題3-1 202
3.2 微積分基本定理 203
3.2.1 變上限積分函數 203
3.2.2 微積分基本定理 207
習題3-2 209
3.3 不定積分 210
3.3.1 不定積分的概念 210
3.3.2 不定積分的性質與運算法則 213
3.3.3 不定積分的幾種計算方法 217
3.3.4 某些特殊類型函數的不定積分 238
習題3-3 248
3.4 定積分的計算 250
3.4.1 定積分的換元法 251
3.4.2 定積分的分部積分法 253
3.4.3 基于特殊結構的定積分的計算 256
習題3-4 260
3.5 定積分的應用 261
3.5.1 平面圖形的面積 261
3.5.2 已知截面積的立體和旋轉體的體積 269
3.5.3 平面曲線的弧長 274
.3.5.4 旋轉體的側面積 277
3.5.5 定積分的物理應用 278
習題3-5 282
3.6 反常積分 283
3.6.1 無窮限反常積分 286
3.6.2 無界函數的反常積分 290
3.6.3 反常積分收斂性的判別法 292
習題3-6 300
第4章 微分方程 301
4.1 微分方程的基本概念 301
4.1.1 微分方程的基本概念 301
4.1.2 微分方程建模簡介 305
習題4-1 308
4.2 一階微分方程的初等解法 309
4.2.1 可分離變量微分方程 309
4.2.2 一階線性微分方程 312
4.2.3 利用變量代換求解一階微分方程 316
習題4-2 323
4.3 可降階的高階微分方程 324
4.3.1y′′=f(x)型微分方程 324
4.3.2y′′=f(x，y′)型微分方程 325
4.3.3y′′=f(y，y′)型微分方程 328
習題4-3 329
4.4 二階線性微分方程 330
4.4.1 二階線性微分方程解的結構 330
4.4.2 二階常系數線性齊次微分方程及其解法 333
4.4.3 二階常系數線性非齊次微分方程及其解法 338
4.4.4 某些變系數線性微分方程的解法 348
習題4-4 352
.4.5 微分方程的數值解 353
4.5.1 歐拉方法與誤差分析 353
4.5.2 龍格–庫塔法 357
4.5.3 多步法 362
習題4-5 364
習題答案 365
參考文獻 385
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高等數學 節選
第1章 高等數學基礎知識 1.1實數系 1.1.1映射 在中學，我們學習了集合，有了集合的概念之后，就可以在集合間建立聯系了．映射是兩集合間基本的對應關系． 定義1-1 設X，Y是兩個給定的集合，若按照某種對應法則f，使對任意的x∈X，存在唯一的y∈Y與之對應，稱對應法則f是集合X到集合Y的一個映射，記為f:X→Y或x→y=f(x)，其中，y稱為在映射f下x的像，對應的x稱為映射f下y的一個原像;集合X稱為映射f的定義域，記為Df=X，集合Rf={y:y∈Y且y=f(x)，x∈X}Y稱為映射f的值域. 簡單地說，映射f是一個規律、一個關系，建立了兩集合間的聯系，因此，構成映射的要素為兩個集合(定義域、值域)和對應規則f. 我們這里定義的映射，要求像是唯一的，原像不一定唯一，即都是單值映射，且并不是Y中每個元素都有原像. 定義1-2 若映射的原像唯一，即不同的原像，像也不同，此時稱映射為單射;若映射滿足Rf=Y，即Y中每個元素都有原像，稱映射f為滿射;既是單射又是滿射的映射稱為雙射，也稱為可逆映射. 映射建立了集合間的對應關系和聯系，而作為高等數學研究對象的函數，就是一種簡單的、特殊的映射，即建立在實數集合上的映射. 1.1.2函數的概念 函數，對我們來說并不是一個陌生的數學概念.在中學數學中，就學習過函數的概念，并接觸了大量的具體函數，初步研究了一些具體函數的性質. 我們先簡單回顧一下學習過的函數概念.函數就是建立在兩個實數集合之間的對應法則(或實數集合到實數系的對應法則)，如f(x)=x2就是通過對應法則f:x→x2建立了如下兩個集合間的映射f:R→R+，其中R表示全體實數的集合，R+表示全體非負實數的集合;f(x)=lnx就是通過對應法則f:x→lnx建立了全體正實數集合R+到實數集的映射f:R+→R;而就是通過對應法則建立了如下兩個集合間的映射f:(0，1]→R+，這幾個具體的函數例子中，都是通過一個映射，使兩個實數集合之間建立了關系，由此我們可以得出函數的概念. 定義1-3 設集合D是實數集合，Y=R1為實數系，則稱集合D到實數系R1的映射f為定義在D上的函數. 若以x表示D的元素，y表示Y中與之對應的像，映射為f，函數可以簡記為 y=f(x)，x∈D， 其中，原像x稱為自變量，像y稱為因變量.D稱為定義域，對于每個x∈D，按對應法則f，總有唯一確定的值y與之對應，這個值稱為f在x處的函數值，記為f(x)，即y=f(x)，因變量y與自變量x之間的這種依賴關系，通常稱為函數關系.所有函數值f(x)的全體構成的集合稱為函數f的值域，記為Rf或f(D)，顯然. 抽象總結 對應法則、定義域和值域也稱為構成函數的三個基本概念.這三個基本概念中，關鍵是對應法則，就我們現階段所遇到的大部分函數而言，對應法則就是由變量x構成的關系式(表達式)，我們也通常把這個表達式稱為函數. 由于這里定義的函數的自變量只有一個，因此，這樣的函數稱為一元函數，這是我們上冊研究的對象.如果自變量有兩個或兩個以上，對應的函數稱為多元函數，我們將在下冊研究. 函數的定義域和值域都是實數集合，因此，函數概念是建立在實數系的基礎上的，所以，要了解和研究函數，必須從了解函數建立的基礎——實數系開始. 1.1.3實數系 實數系的建立經歷了非常漫長的歷史階段.從古人類為辨別一只羊、兩只羊等數量上的區別(正整數意識的形成)，到結繩記數、刻痕記數等表達形式的形成，直到五千年前正整數的記數系統的形成，數——這里特指正整數，正式進入了人類的實踐活動，并伴隨著勞動成果的記數、物與物交換的貿易活動等實踐形成了記數系統.這個系統使得數與數之間的書寫與運算成為可能，在此基礎上產生了算術，這是*早的數學理論.因此，人類在認識數的歷史上，首先認識的是正整數，悠久的數的歷史，實際上是正整數的歷史.伴隨著人類生產實踐活動的深入，統計、分配、丈量、貿易(交換)以及對天象、地理等現象的觀察的大量的實踐活動廣泛開展，對正整數的一些簡單的運算便由此開始，一些新型的數逐漸被認識.正整數之后，首先被人類認識的數是正分數.四千多年前，古埃及人就有單分數的記載(分子為1的分數為單分數)，兩千六百年前，中國開始出現把兩個整數相除的商看作分數的認識，兩千多年前的《周髀算經》就有分數的運算，其后《九章算術》有了分數完整的運算法則.繼分數之后被發現的數是無理數.兩千五百年前，畢達哥拉斯學派在研究勾股數時發現了無理數，但在當時，這樣的數只是被認為是不可公約數而不被認可.但是，隨著數字及其運算的發展，求方程的根、數的開方運算、對數運算等涉及越來越多的無限不循環小數，這些原來不被認可、不能表示為(m，n為正整數)的數，越來越多地與人類的活動聯系在一起，迫使人們必須承認這些數.到了十五世紀，這些數更多地被應用于各種運算.十六世紀，有了記號“√”，當然，到十九世紀，才有無理數的嚴格的數學定義(用到了極限).相比于正數人們對負數的認識就又晚了一些，負數產生的直接原因應該是數的運算，包括求方程的根.我國劉徽首先提出負數概念并將負數引入運算，印度在七世紀才使用負數，歐洲直到十七世紀還不承認負數是數，認為負數是假數、荒謬的數.而特殊的數——零，首先作為空白位置的表示符號進入數學，在古巴比倫人的數學里可以找到記錄;七世紀的印度數學家使用零作為一個數字，并給出了與零有關的一些運算法則(加，減)，零作為一個特殊的數字與符號逐漸進入了數學.這樣，雖然作為數字系統組成部分的各種數逐漸為人類認識而熟知，但是，嚴謹、完整的實數系的建立是在十九世紀為解決微積分的基礎時完成的，換句話說，直到十九世紀，完整的實數系理論才建立起來. 定義1-4實數系是指由全體實數構成的集合，記作R(或R1)，表示為 R={x:x為實數}. 實數系是一個龐大而復雜的系統，可以根據實數不同的性質進行不同的分類. 1.實數系的分類 按無限小數表示法可將實數分為無限循環小數(有理數)和無限不循環小數(無理數)兩部分.若記有理數集合和無理數集合分別為 Q={x:x為無限循環小數(有理數)}， Qc={x:x為無限不循環小數(無理數)}， 則有 有理數集合也可以表示為 其中Z為整數集合，表示空集.整數和有限小數可以看成后面略去的部分全為0的無限循環小數. 按是否為整數可將實數系分為整數和非整數兩部分. 若記Zc={x:x為非整數}，則 常用的一些集合符號還有 Z+={x:x為正整數}，稱為正整數集; N={x:x為非負整數集}，稱為自然數集; R+={x:x為非負實數，即x≥0}; R+={x:x為正實數，即x>0}. 我們再從運算的角度看實數系建立的必要性.首先給出一個系統對運算的封閉性的概念.所謂系統對運算是封閉的，是指系統中的元素經過此運算后，仍屬于此系統.顯然，如果系統對運算封閉，此運算對系統來說是一個好的運算. 對正整數構成的集合(系統)，只對加法和乘法運算封閉;正整數集合加入零和負整數之后，對減法運算也封閉;再加入分數后，對除法運算也封閉，再加入無理數之后，對更復雜的冪數、指數、對數運算也封閉了.因此，完整的實數系的建立，使得在實數系內進行各種運算有了意義，也正因為如此，實數系的建立為整個數學理論，當然也包括高等數學，奠定堅實的基礎.正因為如此，我們有必要掌握實數系的一些簡單性質. 2.實數系的簡單性質 經過漫長的發展至十九世紀才形成的系統的、嚴謹的實數系，不僅具備*基本的四則運算所要求的簡單性質，滿足了初等數學的需要，還具有更高級的性質，滿足高等數學對實數系的更高要求.下面，我們不加證明地引入一些實數系的性質. 性質1-1實數系對基本的四則運算是封閉的.進行除法運算時，0不能作為除數. 這個性質保證了在實數系中進行四則運算是有意義的，這是整個數學的基礎. 性質1-2(實數的有序性)對任意的兩個實數a，b，下面三個關系式: ab 有且僅有一個成立. 這個性質保證了每個實數在整個實數系中的秩序的確定性. 下面幾個性質從不同角度說明了實數系的完備性，而這正是微積分建立的基礎. 性質1-3(實數系的完備性) 實數系是完備的，實數和數軸上的點一一對應，即任給一個實數，都可以在數軸上找到一點和它對應;反之，也成立，數軸上的點都表示對應的一個實數.因而，實數充滿了整個數軸. 這個性質從幾何角度說明了實數系是一個完備的系統，實數充滿了整個數軸，在數軸上沒有空隙. 定義1-5 設A，B是R的兩個子集，滿足 且對任意a∈A，b∈B，都有a 定理1-1(戴德金連續性公理) 對于R的任意一個戴德金分割(A，B)，都存在唯一的x∈R，使得 符號表示“對任意的”. 直觀上看，戴德金分割就是將實數軸從某點處一分為二，定理1-1中的x0就是分點，如取則(A，B)就是R的一個戴德金分割.此性質同樣表明實數系是沒有空隙的，因此，實數系的完備性和連續性是等價的.定義1-5和定理1-1都很明顯，易于理解，本書將以定理1-1作為公理. 定理1-1的結構分析 從結論看，定理的結論是確定一個點，使得此點為分割的分界點.我們把這類確定“滿足某種性質的點”的定理稱為“點定理”，這是此類定理的結構特征. 還經常用到實數系的另一重要概念——稠密性. 性質1-4(實數系是稠密的) 任意兩個不同的實數間都含有另外一個實數，也即任意給定的兩個不同實數a，b，不妨設a 性質1-5有理數集Q是實數系R的稠密子集，即有理數在實數中是稠密的，也即任意給定的兩個不同實數a，b，不妨設a 注無理數集Qc也是實數系R的稠密子集. 從直觀上理解，所謂“稠密性”就是“密密麻麻地分布于”之意.從這個意義上說，有理數密密麻麻地分布在實數系中.因而，在實數系(軸)上，找不到一個區間(數軸上一段)使得這個區間(段)內不含有理數，對無理數也是如此.因此，從稠密性看，有理數和無理數都有無限多個，但是，盡管如此，這二者在“數量”上還是有本質差別的. 性質1-6 有理數集和正整數集之間存在一一對應，因而，有理數集是無限可列數集. 性質1-6涉及一類無限集——無限可列集.我們稱與正整數集存在一一對應的數集為無限可列集，因而，無限可列集的元素有無限多個，但可以用正整數的下標標號，將元素用正整數的標號進行一一列出.所有的正偶數的集合就是無限可列集，可以表示為{xn=2n:n∈正整數}.性質1-6還表明，在一一對應的意義下，有理數和正整數“個數相等”，這似乎是個矛盾，因為正整數集是有理數集的一個真子集.我們知道，對有限集來說，一個真子集的元素個數一定小于其母集的元素個數，由此看來，這個結論推廣到無限集不成立.一個簡單的解釋是:對有限集來說，其子集和母集的元素個數都是確定的數，兩個確定的數之間總可以比較大小;而對一個無限集來說，如果其一個真子集也是無限集，則兩個集合的元素個數都是無窮(無限)，無窮不是一個確定的數，僅是一個符號，兩個不確定的“無窮數”(兩個符號)無法在通常意義下比較大小，因而，性質1-6所體現的這種現象確實存在，其結論并不矛盾，這正體現了“有限”和“無限”的差別.因此，對有
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