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線性代數(第二版) 版權信息
- ISBN：9787030733221
- 條形碼：9787030733221 ; 978-7-03-073322-1
- 裝幀：一般膠版紙
- 冊數：暫無
- 重量：暫無
- 所屬分類：>
線性代數(第二版) 內容簡介
本書以易學易教為出發點，以線性方程組的求解為主線，展開線性代數的經典內容。主要內容有：線性方程組、矩陣、行列式、向量組的線性關系、對角化、二次型、線性空間與線性變換？紤]到對內容的不同要求,在編寫體例上，由淺人深，由基本要求到更高要求，逐步展開。更高要求的內容放在橫線下以楷體編排或加*，這些內容可根據需要選學或作為資料查閱。同時增加了用MATLAB軟件解題的內容。
線性代數(第二版) 目錄
目錄
前言
**版前言
引言 線性方程組簡介 1
第1章 矩陣與線性方程組 5
1.1 矩陣的定義與運算 5
1.2 矩陣的初等變換與高斯消元法 11
1.3 實驗解題 18
習題1 22
第2章 行列式與線性方程組 25
2.1 線性方程組的行列式解法 25
2.2 行列式的定義 28
2.3 行列式的性質 31
2.4 行列式的展開 43
2.5 行列式的計算 54
2.5.1 化為三角形 54
2.5.2 降階與升階 55
2.5.3 遞推與歸納 58
2.5.4 利用特殊行列式 60
2.6 克拉默法則 63
2.7 實驗解題 67
習題2 69
第3章 矩陣的進一步討論 75
3.1 分塊矩陣與初等矩陣 75
3.2 矩陣的秩 80
3.3 矩陣的可逆性 83
3.4 實驗解題 88
習題3 91
第4章 向量組與線性方程組的解的結構 95
4.1 齊次線性方程組的解空間與向量空間 95
4.2 向量組的線性關系 97
4.3 向量組的秩 103
4.4 向量空間的基與維數 109
4.5 線性方程組的解的結構 113
4.6 實驗解題 116
習題4 119
第5章 矩陣的對角化 124
5.1 矩陣的相似與對角化問題 124
5.2 特征值與特征向量 126
5.3 內積與正交矩陣 134
5.4 實對稱矩陣的對角化 138
5.5 實驗解題 144
習題5 147
第6章 實二次型 151
6.1 二次型的表示法 151
6.2 配方法化簡二次型 154
6.3 正定二次型 157
6.4 實驗解題 166
習題6 167
*第7章 線性空間與線性變換 169
7.1 線性空間的定義與簡單性質 169
7.2 基與坐標 171
7.3 線性變換的定義與性質 173
7.4 線性變換的矩陣 175
習題7 177
部分習題參考答案與提示 178
前言
**版前言
引言 線性方程組簡介 1
第1章 矩陣與線性方程組 5
1.1 矩陣的定義與運算 5
1.2 矩陣的初等變換與高斯消元法 11
1.3 實驗解題 18
習題1 22
第2章 行列式與線性方程組 25
2.1 線性方程組的行列式解法 25
2.2 行列式的定義 28
2.3 行列式的性質 31
2.4 行列式的展開 43
2.5 行列式的計算 54
2.5.1 化為三角形 54
2.5.2 降階與升階 55
2.5.3 遞推與歸納 58
2.5.4 利用特殊行列式 60
2.6 克拉默法則 63
2.7 實驗解題 67
習題2 69
第3章 矩陣的進一步討論 75
3.1 分塊矩陣與初等矩陣 75
3.2 矩陣的秩 80
3.3 矩陣的可逆性 83
3.4 實驗解題 88
習題3 91
第4章 向量組與線性方程組的解的結構 95
4.1 齊次線性方程組的解空間與向量空間 95
4.2 向量組的線性關系 97
4.3 向量組的秩 103
4.4 向量空間的基與維數 109
4.5 線性方程組的解的結構 113
4.6 實驗解題 116
習題4 119
第5章 矩陣的對角化 124
5.1 矩陣的相似與對角化問題 124
5.2 特征值與特征向量 126
5.3 內積與正交矩陣 134
5.4 實對稱矩陣的對角化 138
5.5 實驗解題 144
習題5 147
第6章 實二次型 151
6.1 二次型的表示法 151
6.2 配方法化簡二次型 154
6.3 正定二次型 157
6.4 實驗解題 166
習題6 167
*第7章 線性空間與線性變換 169
7.1 線性空間的定義與簡單性質 169
7.2 基與坐標 171
7.3 線性變換的定義與性質 173
7.4 線性變換的矩陣 175
習題7 177
部分習題參考答案與提示 178
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線性代數(第二版) 節選
引言 線性方程組簡介 線性方程組是線性代數的重要研究對象， 所謂線性方程是指未知量的次數都是一次的方程， 線性方程組就是有限個線性方程的群組， 例如 一般的 n 元線性方程組可表示為 (I) 其中 x1， x2， * ， xn 是未知量， aij 和 bi 都是數， 稱 aij 是 xj 的系數， b1， b2， * ， bm是常數項. m 可以等于 n， 也可以大于或小于 n. 我們約定: 系數為 0 的項可以不寫. 一組數 (c1， c2， * ， cn) 稱為是線性方程組 (I) 的解， 如果用 x1 = c1， x2 =c2， * ， xn = cn 代入方程組 (I)， 則方程組 (I) 的每個式子都成為恒等式. 例如， (.18， 0， 12) 是線性方程組 的一個解. 一個線性方程組可以有解， 也可以沒有解， 可能只有一個解， 也可能有無窮多個解. 例如， 線性方程組* 顯然沒有解， 而線性方程組* 則有無窮多個解， 因為，對任意數*都是它的解. 兩個線性方程組稱為是同解的， 如果它們的解的集合相等. 求解線性方程組的過程就是逐步找出與之同解的且更易于求解的線性方程組的過程. 顯然， *容易求解的線性方程組是 它有唯一解 (c1， c2， * ， cn). 稍微復雜一點的下列形式的線性方程組也是容易求解的: 其中 *由*后一個方程解得*， 代入倒數第二個方程解得*， 如此繼續下去即可求得方程組的唯一解.更一般地， 下面稱為階梯形的線性方程組也是立即可以知道其解的情況的: (II) 其中*，其解的情況為 (1) 方程組 (II) 有解的充分必要條件是 br+1 = 0; (2) 方程組 (II) 有唯一解的充分必要條件是 br+1 = 0 且 r = n， 此時， 其唯一解由上面的形式給出; (3) 方程組 (II) 有無窮多個解的充分必要條件是 br+1 = 0 且 r < n， 此時， 當未知量 *任取一組數*時， 代入方程組 (II) 即可唯一地解出*.所以， 我們稱*，為自由未知量. 這樣的解的表達式稱為是方程組 (II) 的一般解. 例如， 線性方程組 的一般解是*， 其中 y 是自由未知量. 上面的階梯形方程組 (II) 以*后 n.r 個未知量 *， 為自由未知量， 有時自由未知量不一定出現在*后， 這樣的方程組也稱為是階梯形的， 例如， 下面的線性方程組也是階梯形的， x2 是自由未知量: 也就是說， 方程組 (II) 的每個臺階都是一步， 而一般的階梯形的臺階可能不止一步， 只要認清自由未知量， 一般的階梯形的線性方程組的解的情況與方程組 (II)的解的情況是類似的. 但是， 為了書寫簡單， 我們一般都假設階梯形方程組的自由未知量都出現在*后. 由于階梯形線性方程組總是可以求解的， 所以我們的問題是， 如何把一個線性方程組化成一個與之同解的階梯形線性方程組. 線性方程組的初等變換是可以把線性方程組變成同解的線性方程組的一種變換， 是求解線性方程組的一個基本的、有效的方法. 線性方程組的初等變換是指下列三類變換: (1) 用一個非零數乘方程組中的某一個方程; (2) 交換方程組中的某兩個方程; (3) 把方程組中的一個方程的某個倍數加到另一個方程上去. 定理 對線性方程組作初等變換后得到的方程組與原方程組同解. 證明 設線性方程組為 (I) (1) 用一個非零數 c 乘方程組 (I) 中的某一個方程， 例如乘**個方程， 得方程組 (II) 顯然方程組 (I) 與 (II) 同解. (2) 交換方程組 (I) 中的某兩個方程的位置， 不妨設交換前兩個方程的位置，得方程組 (III) 易見方程組 (I) 與 (III) 也同解. (3) 把方程組 (I) 中的一個方程的某個倍數加到另一個方程上去. 交換方程的位置， 不妨設， 把第二個方程的 d 倍加到**個方程上去， 得方程組 (IV) 易見方程組 (I) 的解一定是方程組 (IV) 的解. 由于方程組 (I) 可以由方程組(IV) 把其第二個方程的-d 倍加到**個方程上去來得到， 所以類似地得到方程組 (IV) 的解也一定是方程組 (I) 的解， 因而方程組 (I) 與方程組 (IV) 同解. □ 有了這個定理的保證， 我們知道了， 對線性方程組作初等變換既不會丟掉解，也不會增加解. 求解線性方程組是本教材的主線， 下面的內容將沿著這個主線展開. 第1章 矩陣與線性方程組 矩陣的概念很簡單， 就是一個表格， 但矩陣的用途卻很廣. 線性代數中許多問題都可以表示成矩陣的問題， 用了矩陣的語言， 許多問題變得更加清晰， 解決問題的思路也變得更加清楚. 線性方程組的問題用矩陣來討論會變得簡潔. 矩陣現已成為數學中的一個*基本的概念了. 1.1 矩陣的定義與運算 現實生活中記錄事件的*簡單的一個方法是畫表格， 表格分成一些行、一些列， 看起來一目了然. 例如， 某位商人分別從 3 處進 4 種貨物， 他只要畫一個3行4列的如下表格: 其中 aij 表示從 i 處進的 j 貨物的數量. 回到線性方程組的問題. 從解方程的角度看， 線性方程組 與下列線性方程組: 是沒有區別的， 因為它們的解的集合相同. 方程組的解是一列數， 與變量用 x1， x2， * ， xn 還是用 y1， y2， * ， yn 表示沒有關系. 進一步地， 上述線性方程組中的變量和等號“=”只起到給系數*和常數 bi 確定位置的作用. 所以， 上面的線性方程組完全由下面的表格所確定: 這樣的表格就是我們要來定義的矩陣. 定義 1.1.1 設 m . 1， n . 1， 由 m × n 個數 (有時是表達式) aij ， i =1， 2， *， m， j = 1， 2， * ， n 排成的 m 行 n 列的表格 稱為一個 m × n 矩陣， 記為 aij 稱為這個矩陣的 i 行 j 列的元素， 或 (i， j) 元素. 矩陣一般記為 A， B， * ， m × n 矩陣有時為標出它的行數和列數也記為 Am×n， 為了標出元素也記為 (aij) 或 (aij)m×n 等. 1 × n 矩陣就是 (a1 a2 * an)， 稱為行向量；而 m × 1 矩陣就是 稱為列向量. 我們把 1 × 1 矩陣 (a) 等同于數 a. 稱 *為上面矩陣的第 i 個行向量， 稱
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