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泛函分析簡(jiǎn)明教程 版權(quán)信息
- ISBN：9787030734426
- 條形碼：9787030734426 ; 978-7-03-073442-6
- 裝幀：一般膠版紙
- 冊(cè)數(shù)：暫無(wú)
- 重量：暫無(wú)
- 所屬分類(lèi)：>
泛函分析簡(jiǎn)明教程 本書(shū)特色
利用合理安排的目錄、空間結(jié)構(gòu)圖、理論體系圖和復(fù)習(xí)提綱對(duì)全書(shū)進(jìn)行了全面而系統(tǒng)的歸納。
泛函分析簡(jiǎn)明教程 內(nèi)容簡(jiǎn)介
本書(shū)共4章.第1章為度量空間,講解度量空間的拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)、度量空間中集合的性質(zhì)、完備的度量空間.第2章為賦范線(xiàn)性空間,包括賦范線(xiàn)性空間的結(jié)構(gòu)、有界線(xiàn)性算子與泛函、泛函延拓定理、有限維賦范線(xiàn)性空間.第3章為Hilbert空間理論,首先講解內(nèi)積空間的構(gòu)造和標(biāo)準(zhǔn)正交基,然后是Hilbert空間的主要定理,*后是Hilbert空間上的主要算子.第4章為Banach空間理論,包括共軛空間與Banach共軛算子、Banach空間上的基本定理、弱收斂和弱列緊以及Banach空間有界算子的譜.本書(shū)堅(jiān)持“強(qiáng)化基礎(chǔ),由淺入深,深而不難,繁而不亂”的思想理念.設(shè)計(jì)了豐富的圖示,還借用傳統(tǒng)文化演說(shuō)泛函的基石性的公理和引理,增添學(xué)習(xí)泛函的意趣.
泛函分析簡(jiǎn)明教程 目錄
目錄
前言
第1章 度量空間 1
1.1 度量空間的拓?fù)浣Y(jié)構(gòu) 1
1.1.1 拓?fù)淇臻g 1
1.1.2 度量空間 4
習(xí)題1.1 9
1.2 度量空間中集合的性質(zhì) 9
1.2.1 度量空間中的子集性質(zhì)的蘊(yùn)含 9
1.2.2 度量空間中的子集性質(zhì)的交叉 12
1.2.3 度量空間中的子集性質(zhì)的遺傳 14
習(xí)題1.2 15
1.3 完備的度量空間 16
1.3.1 完備度量空間的性質(zhì) 16
1.3.2 壓縮映射原理 18
1.3.3 Baire綱定理 20
1.3.4 度量空間的完備化（選） 21
習(xí)題1.3 24
第2章 賦范線(xiàn)性空間 25
2.1 賦范線(xiàn)性空間的結(jié)構(gòu) 25
2.1.1 線(xiàn)性空間 25
2.1.2 線(xiàn)性度量空間 27
2.1.3 賦范線(xiàn)性空間 28
習(xí)題2.1 31
2.2 有界線(xiàn)性算子與泛 31
2.2.1 有界線(xiàn)性算子 31
2.2.2 線(xiàn)性泛函 34
習(xí)題2.2 36
2.3 泛函延拓定理 36
2.4 有限維賦范線(xiàn)性空間 41
習(xí)題2.4 43
第3章 Hilbert空間理論 44
3.1 內(nèi)積空間 44
習(xí)題3.1 47
3.2 標(biāo)準(zhǔn)正交基 47
習(xí)題3.2 50
3.3 Hilbert空間的主要定理 50
3.3.1 正交分解定理 50
3.3.2 泛函Riesz表示 52
習(xí)題3.3 53
3.4 Hilbert空間上的主要算子 53
3.4.1 共軛算子 53
3.4.2 等距算子 56
3.4.3 正交投影算子 58
習(xí)題3.4 60
第4章 Banach空間理論 61
4.1 共輒空間與Banach共輒算子 61
4.1.1 共軛空間 61
4.1.2 Banach共輾算子 65
習(xí)題4.1 67
4.2 Banach空間上的基本定理 68
4.2.1 開(kāi)映射定理 68
4.2.2 逆算子定理 71
4.2.3 閉圖像定理 72
4.2.4 共鳴定理 73
4.2.5 收斂性定理 74
習(xí)題4.2 75
4.3 弱收斂和弱列緊 75
4.3.1 弱收斂 75
4.3.2 弱列緊（選） 77
53 4.3 82
4.4 Banach空間有界算子的譜 82
4.4.1 譜分解 82
4.4.2 譜分析（選） 85
參考文獻(xiàn) 88
附錄A本書(shū)的小結(jié) 89
A.1 知識(shí)體系 89
A.2 復(fù)習(xí)提綱 91
附錄B 習(xí)題參考答案詳解 92
索引 107
前言
第1章 度量空間 1
1.1 度量空間的拓?fù)浣Y(jié)構(gòu) 1
1.1.1 拓?fù)淇臻g 1
1.1.2 度量空間 4
習(xí)題1.1 9
1.2 度量空間中集合的性質(zhì) 9
1.2.1 度量空間中的子集性質(zhì)的蘊(yùn)含 9
1.2.2 度量空間中的子集性質(zhì)的交叉 12
1.2.3 度量空間中的子集性質(zhì)的遺傳 14
習(xí)題1.2 15
1.3 完備的度量空間 16
1.3.1 完備度量空間的性質(zhì) 16
1.3.2 壓縮映射原理 18
1.3.3 Baire綱定理 20
1.3.4 度量空間的完備化（選） 21
習(xí)題1.3 24
第2章 賦范線(xiàn)性空間 25
2.1 賦范線(xiàn)性空間的結(jié)構(gòu) 25
2.1.1 線(xiàn)性空間 25
2.1.2 線(xiàn)性度量空間 27
2.1.3 賦范線(xiàn)性空間 28
習(xí)題2.1 31
2.2 有界線(xiàn)性算子與泛 31
2.2.1 有界線(xiàn)性算子 31
2.2.2 線(xiàn)性泛函 34
習(xí)題2.2 36
2.3 泛函延拓定理 36
2.4 有限維賦范線(xiàn)性空間 41
習(xí)題2.4 43
第3章 Hilbert空間理論 44
3.1 內(nèi)積空間 44
習(xí)題3.1 47
3.2 標(biāo)準(zhǔn)正交基 47
習(xí)題3.2 50
3.3 Hilbert空間的主要定理 50
3.3.1 正交分解定理 50
3.3.2 泛函Riesz表示 52
習(xí)題3.3 53
3.4 Hilbert空間上的主要算子 53
3.4.1 共軛算子 53
3.4.2 等距算子 56
3.4.3 正交投影算子 58
習(xí)題3.4 60
第4章 Banach空間理論 61
4.1 共輒空間與Banach共輒算子 61
4.1.1 共軛空間 61
4.1.2 Banach共輾算子 65
習(xí)題4.1 67
4.2 Banach空間上的基本定理 68
4.2.1 開(kāi)映射定理 68
4.2.2 逆算子定理 71
4.2.3 閉圖像定理 72
4.2.4 共鳴定理 73
4.2.5 收斂性定理 74
習(xí)題4.2 75
4.3 弱收斂和弱列緊 75
4.3.1 弱收斂 75
4.3.2 弱列緊（選） 77
53 4.3 82
4.4 Banach空間有界算子的譜 82
4.4.1 譜分解 82
4.4.2 譜分析（選） 85
參考文獻(xiàn) 88
附錄A本書(shū)的小結(jié) 89
A.1 知識(shí)體系 89
A.2 復(fù)習(xí)提綱 91
附錄B 習(xí)題參考答案詳解 92
索引 107
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泛函分析簡(jiǎn)明教程 節(jié)選
第1章度量空間 從集合論角度，利用運(yùn)算封閉性將集合規(guī)定為空間，如向量空間就是關(guān)于線(xiàn)性組合封閉的集合。從分析學(xué)角度，通過(guò)規(guī)定集合元素之間的比較關(guān)系，將原集合賦予空間結(jié)構(gòu)，如在R3中規(guī)定了歐氏距離就可以得到歐氏空間。因此可以認(rèn)為數(shù)學(xué)中的空間就是規(guī)定了運(yùn)算封閉性和比較關(guān)系的集合。有了空間的概念之后，我們還要研究空間與空間之間的關(guān)系，由此給出算子（或泛函）的定義。所以泛函分析以各種空間結(jié)構(gòu)和空間之間的算子性質(zhì)為研究對(duì)象。 將歐氏空間中的距離抽象為一般距離，歐氏空間就抽象為度量空間，度量空間保留了歐氏空間中由距離推導(dǎo)出的許多性質(zhì)。而將度量空間中的大部分性質(zhì)直接抽象，使之不依賴(lài)于距離概念，就得到“更純粹”的拓?fù)淇臻g。 1.1度量空間的拓?fù)浣Y(jié)構(gòu) 1.1.1拓?fù)淇臻g 在本書(shū)的各種定義、命題和證明中經(jīng)常用到集合論、邏輯學(xué)以及分析學(xué)的對(duì)應(yīng)關(guān)系（見(jiàn)表1.1）。 定義1.1設(shè)X是一非空集合，X的一個(gè)子集族丁稱(chēng)為X的一個(gè)拓?fù)洌绻鼭M(mǎn)足下面三個(gè)條件： （1） （2） （3） X中的子集F稱(chēng)為閉集，如果存在五使得F=Ec。 設(shè)集合五，點(diǎn)稱(chēng)為E的內(nèi)點(diǎn)，如果存在某領(lǐng)域使得。由的內(nèi)點(diǎn)組成的集合稱(chēng)為E的內(nèi)部，記為五。稱(chēng)五G的內(nèi)點(diǎn)為E的外點(diǎn)，而E的所有外點(diǎn)組成E的外部。既非內(nèi)點(diǎn)，也非外點(diǎn)的X中的點(diǎn)為E的邊界點(diǎn)，由E的邊界點(diǎn)組成的集合稱(chēng)為E的邊界，記為。 如果的任一鄰域內(nèi)都含有無(wú)窮個(gè)點(diǎn)屬于五（或者說(shuō)的任一鄰域都含有異于的五中的點(diǎn)），則稱(chēng)為E的一個(gè)聚點(diǎn)，由E的聚點(diǎn)組成的集合稱(chēng)為導(dǎo)集，記為E'。如果但不是聚點(diǎn)，則稱(chēng)為E的孤立點(diǎn)。而E中的點(diǎn)稱(chēng)為E的接觸點(diǎn)。這時(shí)E中的每一個(gè)點(diǎn)可由五中的點(diǎn)來(lái)接觸（也就是，點(diǎn)的任意鄰域內(nèi)都含有E中的點(diǎn)）。借助于圖1.1，可驗(yàn)證閉包的等價(jià)性定義 X的子集E稱(chēng)為稠密子集，若如果空間X有一個(gè)可數(shù)的稠密子集，則稱(chēng)X可分。集合其中是X的開(kāi)集族，則稱(chēng)是E的一個(gè)開(kāi)覆蓋。如果E的任意開(kāi)覆蓋都包含E的有限開(kāi)覆蓋，就稱(chēng)E是緊致集（緊集）。 E為中的開(kāi)集，的鄰域且屬于五，所以；是E的內(nèi)點(diǎn)，這表明。若E是閉集，則是開(kāi)集，因而不含邊界。 給定X到y(tǒng)上的對(duì)應(yīng)法則，并考慮X的某子集M，如果對(duì)任意的，存在唯一的與：對(duì)應(yīng)，則稱(chēng)/是M上的映射，并記作，或y=f（x）。映射由法則f和M確定，M稱(chēng)為定義域，集合稱(chēng)為值域。 令N為Y的子集，稱(chēng)映射到的 （1） （2） （3）一一映射，如果/既是單射又是滿(mǎn)射。 或者說(shuō)，稱(chēng)映射到的 （1） （2） （3） 開(kāi)集及其衍生的概念稱(chēng)為拓?fù)涓拍睿ㄒ?jiàn)圖1。2），由拓?fù)涓拍蠲枋龅男再|(zhì)稱(chēng)為拓?fù)湫再|(zhì)。在拓?fù)淇臻g中，我們一般不用點(diǎn)序列的收斂和極限的概念（即便在某些場(chǎng)合引入這些概念，在拓?fù)淇臻g中也失去了基本的作用），拓?fù)淇臻g中映射的連續(xù)性不依賴(lài)于極限的概念。 定義1.2T： 定義1.3 拓?fù)湫再|(zhì)在同胚變換下具有不變性。 1.1.2度量空間 定義1.4設(shè)X是一非空集合。X上的雙變量函數(shù)，對(duì)任意的，滿(mǎn)足下面三個(gè)條件（公設(shè)）。 （1） （2） （3） 則稱(chēng)p是X上的一個(gè)度量（距離）。X或（X，p）為度量（距離）空間。 我們的討論從定義鄰域開(kāi)始。稱(chēng) 為以為中心、為半徑的（開(kāi)）鄰域，有時(shí)簡(jiǎn)記為。 在度量空間中，借助于鄰域的概念，子集五的內(nèi)點(diǎn)、外點(diǎn)、邊界點(diǎn)、聚點(diǎn)、接觸點(diǎn)、孤立點(diǎn)、緊致、稠密、可分等概念都可仿拓?fù)淇臻g中的同名概念得到，同時(shí)采用相同的記號(hào)：內(nèi)部五。外部。導(dǎo)集拉、閉包啟等。 稱(chēng)E是開(kāi)集，如果。稱(chēng)E是閉集。 度量空間上的開(kāi)集族滿(mǎn)足拓?fù)淇臻g定義的三個(gè)性質(zhì)，所以每一個(gè)度量空間連同其開(kāi)集族都是拓?fù)淇臻g。 注1.1有別于拓?fù)淇臻g，度量空間中的鄰域與開(kāi)集的定義不同。 度量空間中的點(diǎn)列稱(chēng)為收斂列，是指存在X中的點(diǎn)a；使得 度量空間的子集E是完備的，如果E中的每個(gè)基本列都是收斂列。如果E中的任意點(diǎn)列在X中有一個(gè)收斂子列，稱(chēng)E是列緊集。如果這個(gè)收斂子列還收斂到E中的點(diǎn)，則稱(chēng)E是自列緊集。對(duì)全集而言，列緊就是自列緊。 設(shè)E是度量空間的一個(gè)子集，若存在和使得，則稱(chēng)五是有界集。 T：是度量空間（X，P）到的映射。 定義1.5 （1.1） 則稱(chēng)映射在點(diǎn)連續(xù)。如果映射T在每一點(diǎn)處都連續(xù)，則稱(chēng)T在上連續(xù)。 注1.2（1.1） 定理l.1 （1）在上（的任意一點(diǎn)）連續(xù)； （2）對(duì)包含的每個(gè)鄰域，必存在包含x的鄰域，使得； （3）Y中每個(gè)開(kāi)集的原像是開(kāi)集； （4）對(duì)任意的和任意的，有 （1.2） 證明（1）（2）。由（1.1）知 （2）（3） （3）（4） 也就是（1.2）成立。 （4）（1） 例1.1 （1.3） 可見(jiàn)它也滿(mǎn)足距離公設(shè)（3），所以是上的距離。因此是度量空間，稱(chēng)為空間。 例1.2 例1.3
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