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泛函分析簡明教程 版權信息
- ISBN：9787030734426
- 條形碼：9787030734426 ; 978-7-03-073442-6
- 裝幀：一般膠版紙
- 冊數：暫無
- 重量：暫無
- 所屬分類：>
泛函分析簡明教程 本書特色
利用合理安排的目錄、空間結構圖、理論體系圖和復習提綱對全書進行了全面而系統的歸納。
泛函分析簡明教程 內容簡介
本書共4章.第1章為度量空間,講解度量空間的拓撲結構、度量空間中集合的性質、完備的度量空間.第2章為賦范線性空間,包括賦范線性空間的結構、有界線性算子與泛函、泛函延拓定理、有限維賦范線性空間.第3章為Hilbert空間理論,首先講解內積空間的構造和標準正交基,然后是Hilbert空間的主要定理,*后是Hilbert空間上的主要算子.第4章為Banach空間理論,包括共軛空間與Banach共軛算子、Banach空間上的基本定理、弱收斂和弱列緊以及Banach空間有界算子的譜.本書堅持“強化基礎,由淺入深,深而不難,繁而不亂”的思想理念.設計了豐富的圖示,還借用傳統文化演說泛函的基石性的公理和引理,增添學習泛函的意趣.
泛函分析簡明教程 目錄
目錄
前言
第1章 度量空間 1
1.1 度量空間的拓撲結構 1
1.1.1 拓撲空間 1
1.1.2 度量空間 4
習題1.1 9
1.2 度量空間中集合的性質 9
1.2.1 度量空間中的子集性質的蘊含 9
1.2.2 度量空間中的子集性質的交叉 12
1.2.3 度量空間中的子集性質的遺傳 14
習題1.2 15
1.3 完備的度量空間 16
1.3.1 完備度量空間的性質 16
1.3.2 壓縮映射原理 18
1.3.3 Baire綱定理 20
1.3.4 度量空間的完備化（選） 21
習題1.3 24
第2章 賦范線性空間 25
2.1 賦范線性空間的結構 25
2.1.1 線性空間 25
2.1.2 線性度量空間 27
2.1.3 賦范線性空間 28
習題2.1 31
2.2 有界線性算子與泛 31
2.2.1 有界線性算子 31
2.2.2 線性泛函 34
習題2.2 36
2.3 泛函延拓定理 36
2.4 有限維賦范線性空間 41
習題2.4 43
第3章 Hilbert空間理論 44
3.1 內積空間 44
習題3.1 47
3.2 標準正交基 47
習題3.2 50
3.3 Hilbert空間的主要定理 50
3.3.1 正交分解定理 50
3.3.2 泛函Riesz表示 52
習題3.3 53
3.4 Hilbert空間上的主要算子 53
3.4.1 共軛算子 53
3.4.2 等距算子 56
3.4.3 正交投影算子 58
習題3.4 60
第4章 Banach空間理論 61
4.1 共輒空間與Banach共輒算子 61
4.1.1 共軛空間 61
4.1.2 Banach共輾算子 65
習題4.1 67
4.2 Banach空間上的基本定理 68
4.2.1 開映射定理 68
4.2.2 逆算子定理 71
4.2.3 閉圖像定理 72
4.2.4 共鳴定理 73
4.2.5 收斂性定理 74
習題4.2 75
4.3 弱收斂和弱列緊 75
4.3.1 弱收斂 75
4.3.2 弱列緊（選） 77
53 4.3 82
4.4 Banach空間有界算子的譜 82
4.4.1 譜分解 82
4.4.2 譜分析（選） 85
參考文獻 88
附錄A本書的小結 89
A.1 知識體系 89
A.2 復習提綱 91
附錄B 習題參考答案詳解 92
索引 107
前言
第1章 度量空間 1
1.1 度量空間的拓撲結構 1
1.1.1 拓撲空間 1
1.1.2 度量空間 4
習題1.1 9
1.2 度量空間中集合的性質 9
1.2.1 度量空間中的子集性質的蘊含 9
1.2.2 度量空間中的子集性質的交叉 12
1.2.3 度量空間中的子集性質的遺傳 14
習題1.2 15
1.3 完備的度量空間 16
1.3.1 完備度量空間的性質 16
1.3.2 壓縮映射原理 18
1.3.3 Baire綱定理 20
1.3.4 度量空間的完備化（選） 21
習題1.3 24
第2章 賦范線性空間 25
2.1 賦范線性空間的結構 25
2.1.1 線性空間 25
2.1.2 線性度量空間 27
2.1.3 賦范線性空間 28
習題2.1 31
2.2 有界線性算子與泛 31
2.2.1 有界線性算子 31
2.2.2 線性泛函 34
習題2.2 36
2.3 泛函延拓定理 36
2.4 有限維賦范線性空間 41
習題2.4 43
第3章 Hilbert空間理論 44
3.1 內積空間 44
習題3.1 47
3.2 標準正交基 47
習題3.2 50
3.3 Hilbert空間的主要定理 50
3.3.1 正交分解定理 50
3.3.2 泛函Riesz表示 52
習題3.3 53
3.4 Hilbert空間上的主要算子 53
3.4.1 共軛算子 53
3.4.2 等距算子 56
3.4.3 正交投影算子 58
習題3.4 60
第4章 Banach空間理論 61
4.1 共輒空間與Banach共輒算子 61
4.1.1 共軛空間 61
4.1.2 Banach共輾算子 65
習題4.1 67
4.2 Banach空間上的基本定理 68
4.2.1 開映射定理 68
4.2.2 逆算子定理 71
4.2.3 閉圖像定理 72
4.2.4 共鳴定理 73
4.2.5 收斂性定理 74
習題4.2 75
4.3 弱收斂和弱列緊 75
4.3.1 弱收斂 75
4.3.2 弱列緊（選） 77
53 4.3 82
4.4 Banach空間有界算子的譜 82
4.4.1 譜分解 82
4.4.2 譜分析（選） 85
參考文獻 88
附錄A本書的小結 89
A.1 知識體系 89
A.2 復習提綱 91
附錄B 習題參考答案詳解 92
索引 107
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泛函分析簡明教程 節選
第1章度量空間 從集合論角度，利用運算封閉性將集合規定為空間，如向量空間就是關于線性組合封閉的集合。從分析學角度，通過規定集合元素之間的比較關系，將原集合賦予空間結構，如在R3中規定了歐氏距離就可以得到歐氏空間。因此可以認為數學中的空間就是規定了運算封閉性和比較關系的集合。有了空間的概念之后，我們還要研究空間與空間之間的關系，由此給出算子（或泛函）的定義。所以泛函分析以各種空間結構和空間之間的算子性質為研究對象。 將歐氏空間中的距離抽象為一般距離，歐氏空間就抽象為度量空間，度量空間保留了歐氏空間中由距離推導出的許多性質。而將度量空間中的大部分性質直接抽象，使之不依賴于距離概念，就得到“更純粹”的拓撲空間。 1.1度量空間的拓撲結構 1.1.1拓撲空間 在本書的各種定義、命題和證明中經常用到集合論、邏輯學以及分析學的對應關系（見表1.1）。 定義1.1設X是一非空集合，X的一個子集族丁稱為X的一個拓撲，如果它滿足下面三個條件： （1） （2） （3） X中的子集F稱為閉集，如果存在五使得F=Ec。 設集合五，點稱為E的內點，如果存在某領域使得。由的內點組成的集合稱為E的內部，記為五。稱五G的內點為E的外點，而E的所有外點組成E的外部。既非內點，也非外點的X中的點為E的邊界點，由E的邊界點組成的集合稱為E的邊界，記為。 如果的任一鄰域內都含有無窮個點屬于五（或者說的任一鄰域都含有異于的五中的點），則稱為E的一個聚點，由E的聚點組成的集合稱為導集，記為E'。如果但不是聚點，則稱為E的孤立點。而E中的點稱為E的接觸點。這時E中的每一個點可由五中的點來接觸（也就是，點的任意鄰域內都含有E中的點）。借助于圖1.1，可驗證閉包的等價性定義 X的子集E稱為稠密子集，若如果空間X有一個可數的稠密子集，則稱X可分。集合其中是X的開集族，則稱是E的一個開覆蓋。如果E的任意開覆蓋都包含E的有限開覆蓋，就稱E是緊致集（緊集）。 E為中的開集，的鄰域且屬于五，所以；是E的內點，這表明。若E是閉集，則是開集，因而不含邊界。 給定X到y上的對應法則，并考慮X的某子集M，如果對任意的，存在唯一的與：對應，則稱/是M上的映射，并記作，或y=f（x）。映射由法則f和M確定，M稱為定義域，集合稱為值域。 令N為Y的子集，稱映射到的 （1） （2） （3）一一映射，如果/既是單射又是滿射。 或者說，稱映射到的 （1） （2） （3） 開集及其衍生的概念稱為拓撲概念（見圖1。2），由拓撲概念描述的性質稱為拓撲性質。在拓撲空間中，我們一般不用點序列的收斂和極限的概念（即便在某些場合引入這些概念，在拓撲空間中也失去了基本的作用），拓撲空間中映射的連續性不依賴于極限的概念。 定義1.2T： 定義1.3 拓撲性質在同胚變換下具有不變性。 1.1.2度量空間 定義1.4設X是一非空集合。X上的雙變量函數，對任意的，滿足下面三個條件（公設）。 （1） （2） （3） 則稱p是X上的一個度量（距離）。X或（X，p）為度量（距離）空間。 我們的討論從定義鄰域開始。稱 為以為中心、為半徑的（開）鄰域，有時簡記為。 在度量空間中，借助于鄰域的概念，子集五的內點、外點、邊界點、聚點、接觸點、孤立點、緊致、稠密、可分等概念都可仿拓撲空間中的同名概念得到，同時采用相同的記號：內部五。外部。導集拉、閉包啟等。 稱E是開集，如果。稱E是閉集。 度量空間上的開集族滿足拓撲空間定義的三個性質，所以每一個度量空間連同其開集族都是拓撲空間。 注1.1有別于拓撲空間，度量空間中的鄰域與開集的定義不同。 度量空間中的點列稱為收斂列，是指存在X中的點a；使得 度量空間的子集E是完備的，如果E中的每個基本列都是收斂列。如果E中的任意點列在X中有一個收斂子列，稱E是列緊集。如果這個收斂子列還收斂到E中的點，則稱E是自列緊集。對全集而言，列緊就是自列緊。 設E是度量空間的一個子集，若存在和使得，則稱五是有界集。 T：是度量空間（X，P）到的映射。 定義1.5 （1.1） 則稱映射在點連續。如果映射T在每一點處都連續，則稱T在上連續。 注1.2（1.1） 定理l.1 （1）在上（的任意一點）連續； （2）對包含的每個鄰域，必存在包含x的鄰域，使得； （3）Y中每個開集的原像是開集； （4）對任意的和任意的，有 （1.2） 證明（1）（2）。由（1.1）知 （2）（3） （3）（4） 也就是（1.2）成立。 （4）（1） 例1.1 （1.3） 可見它也滿足距離公設（3），所以是上的距離。因此是度量空間，稱為空間。 例1.2 例1.3
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