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高等數學 上冊(第二版) 版權信息
- ISBN：9787030728258
- 條形碼：9787030728258 ; 978-7-03-072825-8
- 裝幀：一般膠版紙
- 冊數：暫無
- 重量：暫無
- 所屬分類：>
高等數學 上冊(第二版) 本書特色
“十二五”普通高等教育***規劃教材，河南省“十四五”普通高等教育規劃教材，河南省首屆教材建設獎（高等教育類）一等獎，***混合式一流課程配套教材，高等院校非數學理科類、工科類等專業的高等數學教材
高等數學 上冊(第二版) 內容簡介
本教材根據高等學校非數學類專業高等數學課程的教學要求和教學大綱編寫，分為上、下兩冊。本書為上冊，共8章，內容包括函數、極限與連續，導數與微分，微分中值定理與導數的應用，不定積分，定積分，定積分的應用，常微分方程，MATLAB軟件與一元函數微積分實驗等。附錄中有二階和二階行列式計算、幾種常見的曲線、積分表和部分常用數學公式等。書中節后配有習題，章后編有小結（包括內容概要與解題指導）、知識拓展（包括數學小知識、數學家小故事、數學思想與方法），且以二維碼的形式鏈接了重要知識點的講解視頻，書末附有習題答案與提示，以便讀者預習和自學。
高等數學 上冊(第二版) 目錄
目錄
前言
**版前言
第1章 函數、極限與連續 1
1.1 集合 1
1.1.1 集合的概念 1
1.1.2 集合之間的運算 2
1.1.3 區間和鄰域 2
1.2 函數及其特性 3
1.2.1 映射 4
1.2.2 函數 5
1.2.3 函數的幾個性質 8
1.3 反函數與復合函數 11
1.3.1 反函數 11
1.3.2 復合函數 11
1.4 初等函數 13
1.4.1 基本初等函數 13
1.4.2 初等函數的概念 17
1.4.3 雙曲函數和反雙曲函數 17
1.5 數列極限 18
1.5.1 數列極限的概念 19
1.5.2 收斂數列的性質 22
1.6 函數的極限 24
1.6.1 當x→∞時函數f(x)的極限 25
1.6.2 當x→x0時函數f(x)的極限 26
1.6.3 函數極限的性質 28
1.7 兩種特殊的量——無窮小量與無窮大量 29
1.7.1 無窮小量 29
1.7.2 無窮大量 30
1.7.3 無窮小量與無窮大量的關系 31
1.8 極限的運算法則 31
1.8.1 無窮小的運算法則 31
1.8.2 函數極限的四則運算法則 32
1.8.3 復合函數的極限運算法則 35
1.9 極限存在準則與兩個重要極限 36
1.9.1 極限的夾逼準則及應用 36
1.9.2 單調有界準則及應用 38
1.10 無窮小的比較 42
1.10.1 無窮小比較的定義 42
1.10.2 無窮小的等價代換 43
1.11 函數的連續與間斷 45
1.11.1 函數在一點連續的概念 45
1.11.2 函數在區間上連續的概念 46
1.11.3 連續函數的運算性質及初等函數的連續性 47
1.11.4 函數的間斷點及其分類 49
1.12 閉區間上連續函數的性質 51
1.12.1 *大值、*小值定理 51
1.12.2 有界性定理 51
1.12.3 介值定理 52
*1.12.4 一致連續性 53
本章小結 54
知識拓展 55
復習題1 56
第2章 導數與微分 58
2.1 函數的瞬時變化率——導數的概念 58
2.1.1 概念引入 58
2.1.2 導數的定義 60
2.1.3 函數的可導性與連續性的關系 62
2.1.4 幾個基本初等函數的導數公式的推導 63
2.2 導數的運算法則 65
2.2.1 導數的四則運算法則 65
2.2.2 反函數和復合函數的求導法則 68
2.2.3 導數基本公式表 72
2.3 高階導數 73
2.3.1 高階導數的概念 73
2.3.2 高階導數的求導運算法則 75
2.4 隱函數以及由參數方程確定的函數的求導法 76
2.4.1 隱函數求導法 76
2.4.2 由參數方程確定的函數的求導法則 80
2.4.3 相關變化率 84
2.5 函數的微分及其應用 85
2.5.1 微分的定義 85
2.5.2 可微與可導的關系 86
2.5.3 微分的幾何意義 87
2.5.4 微分基本公式和運算法則 88
2.5.5 復合函數的微分——微分的形式不變性 88
2.5.6 微分在近似計算中的應用 89
2.6 導數在經濟學中的應用 91
2.6.1 邊際成本 91
2.6.2 邊際收益 91
2.6.3 邊際利潤 92
本章小結 93
知識拓展 94
復習題2 95
第3章 微分中值定理與導數的應用 97
3.1 微分中值定理 97
3.1.1 羅爾中值定理 97
3.1.2 拉格朗日中值定理 100
3.1.3 柯西中值定理 104
3.1.4 中值定理在高考模擬試題中的應用 106
3.2 洛必達法則 109
3.2.1 型未定式的洛必達法則 109
3.2.2 型未定式 111
3.2.3 其他類型的未定式 112
3.2.4 注意事項舉例 114
3.3 泰勒公式 115
3.3.1 問題的提出 116
3.3.2 系數的選取 116
3.3.3 誤差的確定 117
3.3.4 泰勒中值定理 118
3.4 函數性態的研究 123
3.4.1 函數的單調性 123
3.4.2 函數的極值 126
3.4.3 函數的*大(小)值 129
3.4.4 曲線的凹凸性及拐點 132
3.5 函數圖形的描繪 141
3.5.1 曲線的漸近線 141
3.5.2 函數作圖 141
3.6 平面曲線的曲率 143
3.6.1 弧微分 143
3.6.2 曲率及其計算公式 144
3.6.3 曲率圓與曲率半徑 147
*3.7 方程的近似解 149
3.7.1 二分法 149
3.7.2 牛頓迭代法 151
本章小結 154
知識拓展 155
復習題3 159
第4章 不定積分 162
4.1 不定積分的概念 162
4.1.1 原函數與不定積分的概念 162
4.1.2 基本積分表 165
4.1.3 不定積分的性質 167
4.2 換元積分法 169
4.2.1 **類換元積分法 169
4.2.2 第二類換元積分法 175
4.3 分部積分法 181
4.4 有理函數積分法 185
4.4.1 有理函數的積分 185
4.4.2 可化為有理函數的積分 187
本章小結 190
知識拓展 191
復習題4 192
第5章 定積分 194
5.1 定積分的概念與性質 194
5.1.1 中學基礎知識回顧 194
5.1.2 定積分的定義 197
5.1.3 定積分的基本性質 201
5.2 微積分基本定理 208
5.2.1 積分上限函數 208
5.2.2 微積分基本定理的微分形式與積分形式 209
5.3 定積分的換元積分法與分部積分法 216
5.3.1 定積分的換元積分法 216
5.3.2 定積分的分部積分法 220
5.3.3 定積分第二中值定理 222
5.4 反常積分 224
5.4.1 無限區間上的反常積分 225
5.4.2 無界函數的反常積分 227
*5.4.3 反常積分的柯西主值 229
*5.5 反常積分的收斂判別法 230
5.5.1 無限區間上反常積分的斂散性判別法 231
5.5.2 無界函數的反常積分的斂散性判別法 235
本章小結 237
知識拓展 239
復習題5 240
第6章 定積分的應用 243
6.1 定積分的微元法 243
6.2 定積分的幾何應用 245
6.2.1 平面圖形的面積 245
6.2.2 體積 249
6.2.3 平面曲線的弧長 254
6.2.4 旋轉曲面的面積 257
6.3 定積分的物理應用 259
6.3.1 變力沿直線做功 259
6.3.2 液體的壓力 262
6.3.3 引力 263
6.3.4 質量 264
6.4 定積分的經濟應用 265
6.4.1 總產量 265
6.4.2 *大利潤 266
6.4.3 消費過剩 266
本章小結 267
知識拓展 268
復習題6 269
第7章 常微分方程 271
7.1 微分方程的基本概念 271
7.2 可分離變量的一階方程與齊次方程 276
7.2.1 可分離變量的微分方程 276
7.2.2 齊次方程 279
*7.2.3 可化為齊次的方程 282
7.3 一階線性微分方程 285
7.3.1 一階線性微分方程的概念及求解 285
*7.3.2 伯努利方程 290
7.4 可降階的高階微分方程 292
7.4.1 y(n)=f(x)型的微分方程 292
7.4.2 y′′=f(x，y′)型的微分方程 293
7.4.3 y′′=f(y，y′)型的微分方程 294
7.5 高階線性微分方程 298
7.5.1 二階線性微分方程舉例 298
7.5.2 線性微分方程的解的結構 300
*7.5.3 常數變易法 303
7.6 常系數線性齊次微分方程 306
7.7 常系數線性非齊次微分方程 313
7.7.1 f(x)=eλxPm(x)型 314
7.7.2 f(x)=eλx[Pl(x)cosωx+Pn(x)sinωx]型 316
7.7.3 微分算子法 318
*7.8 歐拉方程 323
本章小結 326
知識拓展 327
復習題7 330
*第8章 MATLAB軟件與一元函數微積分實驗 332
8.1 MATLAB工作環境與編程 332
8.1.1 MATLAB的安裝與啟動 332
8.1.2 MATLAB工作環境 332
8.1.3 MATLAB的幫助功能 333
8.1.4 對輸入指令的編輯及部分通用指令 334
8.1.5 MATLAB的基本設計 335
8.2 一元函數微分學實驗 335
8.2.1 曲線繪圖 335
8.2.2 MATLAB求函數極限 339
8.2.3 MATLAB求導數 340
8.2.4 MATLAB求極值和*值 341
8.2.5 MATLAB求方程的根 344
8.2.6 常微分方程符號求解 345
8.3 一元函數積分學實驗 347
8.3.1 MATLAB求不定積分 347
8.3.2 MATLAB求數值積分 348
本章小結 353
復習題8 353
附錄I 二階和三階行列式簡介 354
附錄II 幾種常見的曲線 358
附錄III 積分表 361
附錄IV 部分常用數學公式 370
習題答案與提示 373
前言
**版前言
第1章 函數、極限與連續 1
1.1 集合 1
1.1.1 集合的概念 1
1.1.2 集合之間的運算 2
1.1.3 區間和鄰域 2
1.2 函數及其特性 3
1.2.1 映射 4
1.2.2 函數 5
1.2.3 函數的幾個性質 8
1.3 反函數與復合函數 11
1.3.1 反函數 11
1.3.2 復合函數 11
1.4 初等函數 13
1.4.1 基本初等函數 13
1.4.2 初等函數的概念 17
1.4.3 雙曲函數和反雙曲函數 17
1.5 數列極限 18
1.5.1 數列極限的概念 19
1.5.2 收斂數列的性質 22
1.6 函數的極限 24
1.6.1 當x→∞時函數f(x)的極限 25
1.6.2 當x→x0時函數f(x)的極限 26
1.6.3 函數極限的性質 28
1.7 兩種特殊的量——無窮小量與無窮大量 29
1.7.1 無窮小量 29
1.7.2 無窮大量 30
1.7.3 無窮小量與無窮大量的關系 31
1.8 極限的運算法則 31
1.8.1 無窮小的運算法則 31
1.8.2 函數極限的四則運算法則 32
1.8.3 復合函數的極限運算法則 35
1.9 極限存在準則與兩個重要極限 36
1.9.1 極限的夾逼準則及應用 36
1.9.2 單調有界準則及應用 38
1.10 無窮小的比較 42
1.10.1 無窮小比較的定義 42
1.10.2 無窮小的等價代換 43
1.11 函數的連續與間斷 45
1.11.1 函數在一點連續的概念 45
1.11.2 函數在區間上連續的概念 46
1.11.3 連續函數的運算性質及初等函數的連續性 47
1.11.4 函數的間斷點及其分類 49
1.12 閉區間上連續函數的性質 51
1.12.1 *大值、*小值定理 51
1.12.2 有界性定理 51
1.12.3 介值定理 52
*1.12.4 一致連續性 53
本章小結 54
知識拓展 55
復習題1 56
第2章 導數與微分 58
2.1 函數的瞬時變化率——導數的概念 58
2.1.1 概念引入 58
2.1.2 導數的定義 60
2.1.3 函數的可導性與連續性的關系 62
2.1.4 幾個基本初等函數的導數公式的推導 63
2.2 導數的運算法則 65
2.2.1 導數的四則運算法則 65
2.2.2 反函數和復合函數的求導法則 68
2.2.3 導數基本公式表 72
2.3 高階導數 73
2.3.1 高階導數的概念 73
2.3.2 高階導數的求導運算法則 75
2.4 隱函數以及由參數方程確定的函數的求導法 76
2.4.1 隱函數求導法 76
2.4.2 由參數方程確定的函數的求導法則 80
2.4.3 相關變化率 84
2.5 函數的微分及其應用 85
2.5.1 微分的定義 85
2.5.2 可微與可導的關系 86
2.5.3 微分的幾何意義 87
2.5.4 微分基本公式和運算法則 88
2.5.5 復合函數的微分——微分的形式不變性 88
2.5.6 微分在近似計算中的應用 89
2.6 導數在經濟學中的應用 91
2.6.1 邊際成本 91
2.6.2 邊際收益 91
2.6.3 邊際利潤 92
本章小結 93
知識拓展 94
復習題2 95
第3章 微分中值定理與導數的應用 97
3.1 微分中值定理 97
3.1.1 羅爾中值定理 97
3.1.2 拉格朗日中值定理 100
3.1.3 柯西中值定理 104
3.1.4 中值定理在高考模擬試題中的應用 106
3.2 洛必達法則 109
3.2.1 型未定式的洛必達法則 109
3.2.2 型未定式 111
3.2.3 其他類型的未定式 112
3.2.4 注意事項舉例 114
3.3 泰勒公式 115
3.3.1 問題的提出 116
3.3.2 系數的選取 116
3.3.3 誤差的確定 117
3.3.4 泰勒中值定理 118
3.4 函數性態的研究 123
3.4.1 函數的單調性 123
3.4.2 函數的極值 126
3.4.3 函數的*大(小)值 129
3.4.4 曲線的凹凸性及拐點 132
3.5 函數圖形的描繪 141
3.5.1 曲線的漸近線 141
3.5.2 函數作圖 141
3.6 平面曲線的曲率 143
3.6.1 弧微分 143
3.6.2 曲率及其計算公式 144
3.6.3 曲率圓與曲率半徑 147
*3.7 方程的近似解 149
3.7.1 二分法 149
3.7.2 牛頓迭代法 151
本章小結 154
知識拓展 155
復習題3 159
第4章 不定積分 162
4.1 不定積分的概念 162
4.1.1 原函數與不定積分的概念 162
4.1.2 基本積分表 165
4.1.3 不定積分的性質 167
4.2 換元積分法 169
4.2.1 **類換元積分法 169
4.2.2 第二類換元積分法 175
4.3 分部積分法 181
4.4 有理函數積分法 185
4.4.1 有理函數的積分 185
4.4.2 可化為有理函數的積分 187
本章小結 190
知識拓展 191
復習題4 192
第5章 定積分 194
5.1 定積分的概念與性質 194
5.1.1 中學基礎知識回顧 194
5.1.2 定積分的定義 197
5.1.3 定積分的基本性質 201
5.2 微積分基本定理 208
5.2.1 積分上限函數 208
5.2.2 微積分基本定理的微分形式與積分形式 209
5.3 定積分的換元積分法與分部積分法 216
5.3.1 定積分的換元積分法 216
5.3.2 定積分的分部積分法 220
5.3.3 定積分第二中值定理 222
5.4 反常積分 224
5.4.1 無限區間上的反常積分 225
5.4.2 無界函數的反常積分 227
*5.4.3 反常積分的柯西主值 229
*5.5 反常積分的收斂判別法 230
5.5.1 無限區間上反常積分的斂散性判別法 231
5.5.2 無界函數的反常積分的斂散性判別法 235
本章小結 237
知識拓展 239
復習題5 240
第6章 定積分的應用 243
6.1 定積分的微元法 243
6.2 定積分的幾何應用 245
6.2.1 平面圖形的面積 245
6.2.2 體積 249
6.2.3 平面曲線的弧長 254
6.2.4 旋轉曲面的面積 257
6.3 定積分的物理應用 259
6.3.1 變力沿直線做功 259
6.3.2 液體的壓力 262
6.3.3 引力 263
6.3.4 質量 264
6.4 定積分的經濟應用 265
6.4.1 總產量 265
6.4.2 *大利潤 266
6.4.3 消費過剩 266
本章小結 267
知識拓展 268
復習題6 269
第7章 常微分方程 271
7.1 微分方程的基本概念 271
7.2 可分離變量的一階方程與齊次方程 276
7.2.1 可分離變量的微分方程 276
7.2.2 齊次方程 279
*7.2.3 可化為齊次的方程 282
7.3 一階線性微分方程 285
7.3.1 一階線性微分方程的概念及求解 285
*7.3.2 伯努利方程 290
7.4 可降階的高階微分方程 292
7.4.1 y(n)=f(x)型的微分方程 292
7.4.2 y′′=f(x，y′)型的微分方程 293
7.4.3 y′′=f(y，y′)型的微分方程 294
7.5 高階線性微分方程 298
7.5.1 二階線性微分方程舉例 298
7.5.2 線性微分方程的解的結構 300
*7.5.3 常數變易法 303
7.6 常系數線性齊次微分方程 306
7.7 常系數線性非齊次微分方程 313
7.7.1 f(x)=eλxPm(x)型 314
7.7.2 f(x)=eλx[Pl(x)cosωx+Pn(x)sinωx]型 316
7.7.3 微分算子法 318
*7.8 歐拉方程 323
本章小結 326
知識拓展 327
復習題7 330
*第8章 MATLAB軟件與一元函數微積分實驗 332
8.1 MATLAB工作環境與編程 332
8.1.1 MATLAB的安裝與啟動 332
8.1.2 MATLAB工作環境 332
8.1.3 MATLAB的幫助功能 333
8.1.4 對輸入指令的編輯及部分通用指令 334
8.1.5 MATLAB的基本設計 335
8.2 一元函數微分學實驗 335
8.2.1 曲線繪圖 335
8.2.2 MATLAB求函數極限 339
8.2.3 MATLAB求導數 340
8.2.4 MATLAB求極值和*值 341
8.2.5 MATLAB求方程的根 344
8.2.6 常微分方程符號求解 345
8.3 一元函數積分學實驗 347
8.3.1 MATLAB求不定積分 347
8.3.2 MATLAB求數值積分 348
本章小結 353
復習題8 353
附錄I 二階和三階行列式簡介 354
附錄II 幾種常見的曲線 358
附錄III 積分表 361
附錄IV 部分常用數學公式 370
習題答案與提示 373
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高等數學 上冊(第二版) 節選
第1章 函數、極限與連續 在自然界以及人類社會的生產生活中，運動和變化無處不在，因而刻畫這種運動和變化的量與量之間依賴關系的數學概念——函數，也就無處不在.函數是被廣泛應用的數學概念之一.在高等數學中，函數處于基礎的核心地位，是本課程要系統研究的對象，其中的連續函數則是重點研究的一類函數.極限是研究函數的一個有效的方法和手段，我們將以極限為工具研究函數的各種性質，這種思想和方法貫穿了高等數學的始終，并對其他學科的學習也有著深遠的影響.因此，可以說，函數、極限和連續是高等數學的基礎. 本章將在復習中學有關函數內容的基礎上，進一步介紹函數的定義域、分類及其性質，特別是三角函數與反三角函數等，并重點介紹函數的極限、連續等有關內容. 1.1 集合 有關集合的內容，在中學已經有了初步的了解，在此，我們給以簡單的回顧. 1.1.1 集合的概念 1.集合及其表示法 集合是數學上*基本的概念，難以給出確切的概念，一般地，把具有某種特定性質的事物所組成的全體稱為集合，如： (1)大于6的所有正實數的集合; (2)拋物線上的點構成的集合; (3)2021年河南省高考招生錄取的全日制本科生. 組成集合的各個事物稱為該集合的元素.一般地，用大寫字母A，B，C， 來表示集合，用小寫字母a，b，c， 表示集合中的元素.若事物a是集合A的一個元素，記作a∈A(讀作a屬于A);若事物a不是集合A的一個元素，記作或a∈A(讀作a不屬于A);集合有時也簡稱為集. 集合按照元素的個數分為有限集和無限集，若集合中只有有限個元素，就稱該集合為有 限集;否則稱為無限集.不含任何元素的集合稱為空集，記作. 在數學上，表示集合的方法有列舉法和描述法兩種:列舉法就是列出集合中的全體元素，并寫在一個大括號內.如有限集合A={a1，a2， ，an}，自然數集N={0，1，2， ，n， };描述法則是用如下形式表示一個集合:A={x|x所具有的特征}，即有此性質的必在A中，且A中的元素必須有此性質，如，B={x|x為河南科技大學2022級學生}. 2.數集 元素是數的集合稱為數集.我們在中學學習過的數集有全體自然數集，記作N，全體整數集，記作Z，即x∈N或;全體有理數集，記作Q，即，p與q互質;全體實數集，記作R，即R={x|x為有理數或無理數}等. 對于數集，有時我們在表示數集的字母的右上角標上“+”或“.”來表示該數集中的所有正數或所有負數構成的特殊數集.如R+表示全體正實數構成的集合，R.表示全體負實數構成的集合. 注 本書中所考慮的集合若無特殊說明均指的是實數集. 3.集合之間的關系 若集合A的元素都是集合B的元素，即若有x∈A，必有x∈B，就稱A為B的子集，記為A.B或B.A(讀B包含A).若A為B的子集，但B中至少一個元素不屬于A，稱A為B的真子集，記為A.B，或.若且，則稱A與B相等，記作A=B. 集合之間顯然有下列關系. (1); (2)且. 1.1.2集合之間的運算 給定兩個集合A，B，定義如下幾種運算. (1)并集由包含于A或包含于B的所有元素構成的集合稱為集合A與集合B的并集，記作A∪B，即或; (2)交集由同時包含于A與B的元素構成的集合稱為集合A與集合B的交集，記作A∩B，即; (3)差集由屬于A但不屬于B的所有元素構成的集合稱為集合A與集合B的差集，記作 (或A-B)，即; (4)余集設U是一個特定的集合，若A.U，稱此時U\A為A關于U的余集(補集)，記作; (5)直積，表示由橫坐標屬于集合A，縱坐標屬于集合B的平面上的點所構成的集合，如R×R表示由整個平面上的點構成的集合. 設A，B，C為任意三個集合，則有下列運算法則成立. (1)交換律A∪B=B∪A，A∩B=B∩A; (2)結合律(A∪B)∪C=A∪(B∪C)，(A∩B)∩C=A∩(B∩C); (3)分配律(A∪B)∩C=(A∩C)∪(B∩C)，(A∩B)∪C=(A∪C)∩(B∪C); (4)對偶律(A∪B)c=Ac∩Bc，(A∩B)c=Ac∪Bc. 以上運算法則均可根據集合相等的定義驗證，讀者可獨立驗證，在此省略. 1.1.3 區間和鄰域 區間和鄰域是高等數學中用得較多的一類數集. 1.區間 設a，b為實數，并滿足a (a，b)={x|a0.數集稱為點x0的δ鄰域(neighborhood) (圖1.1)，記為U(x0，δ)，x0為該鄰域的中心，δ為該鄰域的半徑. 圖1.1 可見，而該區間的長度為. 在后續應用時，需要把鄰域的中心去掉，故稱數集為x0的去心δ鄰域，或x0的空心δ鄰域，記作，此時.為方便，有時把開區間稱為點x0的左δ鄰域，而把開區間(x0，x0+δ)稱為x0的右δ鄰域. 注 在應用時如果不強調鄰域的中心，可以把以x0為中心，δ為半徑的鄰域簡記作. 習題1.1 1.如果A={x|34}，求： (1)A∪B; (2)A∩B. 2.用區間表示下列鄰域： (1)U(0，1); (2); (3); (4). 1.2 函數及其特性 映射和函數的有關概念在中學大家已經有所了解，特別是中學學習過的許多函數及其性質在高等數學中也將頻繁出現，下面我們簡單回顧一下這一部分知識，以便大家能更好地學習高等數學. 1.2.1 映射 1.映射的概念 設兩個集合X，Y，f是一個對應法則.若對x∈X，按照對應法則f，有唯一的y∈Y與x對應，則稱f是X到Y的一個映射.記為f:X→Y，元素y稱為元素x在映射f下的像，記作y=f(x). 如圖1.2所示. 圖1.2 元素x稱為元素y在映射f下的原像.集合X稱為映射f的定義域;Y的子集f(X)={f(x)|x∈X}稱為f的值域，一般地，值域. 在映射的定義中，應注意 (1)任何一個映射都必須具備三要素：定義域、對應法則、值域; (2)元素x的像y是唯一的，但y的原像不一定唯一. 2.一一映射 設f是集合X到集合Y的映射. (1)若值域f(X)=Y，則稱f為滿射.例如，映射f(x)=x+sinx是R到R的一個滿射. (2)若.，均有，則稱映射f為單射.例如，f(x)=x+3是R到R的一個單射. (3)若f既是滿射又是單射，則稱f為雙射或一一映射.例如，f(x)=cosx是[0，π]到[-1，1]的一一映射. 注意，在數學中，映射又稱為算子，根據集合X，Y的不同情形，映射又有不同的名稱，如從賦范線性空間X到數集Y的映射稱為X上的泛函，而從非空集合X到自身的映射稱為X上的變換. 3.逆映射和復合映射 1)逆映射 若映射f:X→f(X)為單射，則存在一新映射使y∈f(X)，有，其中f(x)=y，稱此映射f-1為f的逆映射，習慣上y=f(x)，x∈X的逆映射記，如，其逆映射為. 2)復合映射 設有兩個映射，其中，則由映射g和f可以定義一個從X→Y的對應法則，它將.x∈X映成f[g(x)]∈Y，稱此對應法則為X→Y的復合映射，記作y=f[g(x)]或.如y=sin2x就是由y=u2和u=sinx復合而成的. 注 構成復合映射的條件不可少.以上定義也可推廣到多個映射的情形. 1.2.2 函數 1.函數概念 在生產實踐和科學研究中，會遇到各種各樣的量.在某個問題的研究過程中，保持不變的量稱為常量;可以取不同數值的量稱為變量，函數就是刻畫變量之間相互依賴關系的數學模型，如半徑為r的球的體積為，當r在[0，+∞)上取值時，由公式可得相應的V的值.公式給出了變量V與變量r之間相互依賴的一個函數關系.一般地，我們有如下定義. 定義1 設D是給定的非空數集，則稱映射(對應法則)f:D→R為定義在D上的函數.記為y=f(x)，x∈D，其中，數集D稱為函數f的定義域，記作Df，x稱為自變量，y稱為因變量.當自變量取x0∈D時，與x0對應的變量y的值稱為y=f(x)在x0的函數值，記作y=f(x0)或y|x=x0.當自變量x取遍D中的每一個值時，所得到的因變量y的所有值的全體:{y|y=f(x)，x∈D}稱為函數y=f(x)的值域，記作f(D)或Rf.如函數y=sinx，其定義域D=R，而其值域Rf=[.1，1]. 定義2 平面上的點集C={(x，y)|y=f(x);x∈D}.D×f(D)稱為函數f的圖形. 有關函數概念我們作以下幾點說明. (1)函數記號中的“f”也可用其他符號表示，如可用φ，g等表示，此時函數記作y=φ(x)，y=g(x)等. (2)由函數概念可以看出，函數的對應法則和定義域是確定一個函數的兩大要素.若兩個函數的定義域相同，對應法則也相同，則不論用什么樣的函數記號，它們都表示同一個函數，如y=x，s=t是同一個函數，而y=x，y=(√x)2是兩個不同的函數，因它們的定義域不同. (3)一般地，由數學式子表示的函數，其定義域是使數學式子有意義的自變量所構成的集合，如函數y=1x的定義域是為(-∞，0)∪(0，+∞).若由實際問題確定的函數，應根據它的實際意義確定它的定義域. 例1求函數的定義域. 解 要使函數有意義，需有，故函數的定義域為D=(-2，2). 例2 試判斷函數f(x)≡1與是否為同一個函數？ 解由于f(x)≡1的定義域為的定義域為，因此不是同一個函數. 例3已知函數，求及，并寫出定義域及值域.解，定義域D=[0，+∞)，值域f(D)=[0，+∞). 2.函數的表示法 為了更好地研究函數關系，我們通常用以下三種方法來表示函數. (1)公式法(解析法) 就是用數學式子表示函數的方法，如等.解析法的優點在于能具體運算，便于從理論上研究函數，它是研究函數的*基本的方法. 圖1.3 (2)圖像法 就是通過自變量x與對應的函數值所組成的有序數對(x，y)在坐標平面上描出相應的點所形成的軌跡來表示函數.它所表達的對應規律一般以曲線形態出現，一目了然，非常直觀.如某地某日的氣溫T和時間t是兩個變量，由氣溫自動記錄儀描繪一條曲線(圖1.3)，這個圖形表示了氣溫T(℃)和時間t(h)之間的函數關系，記錄的時間范圍是[0，24).圖像法的優點在于可以借助直觀圖形去了解函數的性質. (3)表格法 就是把自變量x與因變量y的對應數據列成表格，它們之間的函數關系從表格上一目了然.表格法的優點在于可以方便地從表格中查找所需的數據.例4某大型超市2021年**季度某個品牌小麥面粉的零售量(kg)如下表:
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