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高等數學基礎(第二版)(上下冊) 版權信息
- ISBN：9787030722225
- 條形碼：9787030722225 ; 978-7-03-072222-5
- 裝幀：一般膠版紙
- 冊數：暫無
- 重量：暫無
- 所屬分類：>
高等數學基礎(第二版)(上下冊) 內容簡介
本書是以高等學校高等數學本科課程教學大綱和少數民族預科教育一年制數學教學大綱為依據，在首屆遼寧省教材建設獎高等教育類優秀教材《高等數學基礎》的基礎上修訂編寫而成。
本書著眼素質教育，注重數學內容、思維之間內在的聯系，條理、結構、脈絡清晰，注重培養學生數學思維能力，便于教學。在教材內容選取和講述上，本著從簡單到復雜、從特殊到一般的原則，力求深入淺出，難易結合，易教易學。本書分上、下兩冊，上冊主要內容包括：函數、極限、連續函數、導數與微分、微分中值定理與導數的應用、不定積分；下冊主要內容包括：定積分、定積分的應用、微分方程、二元函數微積分、無窮級數。為了增加可讀性與趣味性，同時還增加了一些數學思維方法、數學家簡介及解題常見方法，兼顧本科、預科各個層次學生學習狀況，配備習題。
高等數學基礎(第二版)(上下冊) 目錄
目錄
前言
**章 函數 1
**節 集合——微積分的基礎，數學大廈的基石 1
第二節 函數——微積分的研究對象，變量依賴關系的數學模型 5
第三節 初等函數 17
第四節 隱函數、參數方程確定的函數與極坐標方程確定的函數 35
第五節 常用經濟函數 42
復習題一 45
附錄一 一些常用初等代數公式及結論 47
附錄二 一些常用的曲線及其方程 49
課外閱讀(一) 55
第二章 極限 58
**節 數列極限 58
第二節 數列極限運算法則 數列極限存在準則 71
第三節 函數極限——微積分研究問題使用的工具，變量無限變化的數學模型 81
第四節 函數極限的性質和運算 97
第五節 兩個重要極限 106
第六節 無窮小的比較 116
復習題二 123
課外閱讀(二) 125
第三章 連續函數 128
**節 連續函數——具有特殊極限的函數類，變量連續變化的數學模型 128
第二節 連續函數的運算與初等函數的連續性 135
第三節 閉區間上連續函數的性質 138
復習題三 143
課外閱讀(三) 145
第四章 導數與微分 147
**節 導數的概念 147
第二節 求導法則與導數公式 162
第三節 高階導數 172
第四節 隱函數與由參數方程所確定的函數的導數相關變化率 179
第五節 函數的微分 186
復習題四 193
課外閱讀(四) 194
第五章 微分中值定理與導數的應用 198
**節 微分中值定理——導數的性質及應用 198
第二節 洛必達法則 210
第三節 泰勒公式 219
第四節 函數的單調性與極值 228
第五節 函數的*大值與*小值 237
第六節 函數曲線的凹凸性與拐點 241
第七節 漸近線、函數圖形的描繪 247
第八節 曲率 253
第九節 導數與微分在經濟中的簡單應用 258
復習題五 268
課外閱讀(五) 270
第六章 不定積分 275
**節 不定積分——微分法則的逆運算 275
第二節 不定積分的換元積分法 282
第三節 分部積分法 301
第四節 有理函數的不定積分 306
復習題六 316
課外閱讀(六) 317
參考文獻 321
附錄 積分表 322
前言
**章 函數 1
**節 集合——微積分的基礎，數學大廈的基石 1
第二節 函數——微積分的研究對象，變量依賴關系的數學模型 5
第三節 初等函數 17
第四節 隱函數、參數方程確定的函數與極坐標方程確定的函數 35
第五節 常用經濟函數 42
復習題一 45
附錄一 一些常用初等代數公式及結論 47
附錄二 一些常用的曲線及其方程 49
課外閱讀(一) 55
第二章 極限 58
**節 數列極限 58
第二節 數列極限運算法則 數列極限存在準則 71
第三節 函數極限——微積分研究問題使用的工具，變量無限變化的數學模型 81
第四節 函數極限的性質和運算 97
第五節 兩個重要極限 106
第六節 無窮小的比較 116
復習題二 123
課外閱讀(二) 125
第三章 連續函數 128
**節 連續函數——具有特殊極限的函數類，變量連續變化的數學模型 128
第二節 連續函數的運算與初等函數的連續性 135
第三節 閉區間上連續函數的性質 138
復習題三 143
課外閱讀(三) 145
第四章 導數與微分 147
**節 導數的概念 147
第二節 求導法則與導數公式 162
第三節 高階導數 172
第四節 隱函數與由參數方程所確定的函數的導數相關變化率 179
第五節 函數的微分 186
復習題四 193
課外閱讀(四) 194
第五章 微分中值定理與導數的應用 198
**節 微分中值定理——導數的性質及應用 198
第二節 洛必達法則 210
第三節 泰勒公式 219
第四節 函數的單調性與極值 228
第五節 函數的*大值與*小值 237
第六節 函數曲線的凹凸性與拐點 241
第七節 漸近線、函數圖形的描繪 247
第八節 曲率 253
第九節 導數與微分在經濟中的簡單應用 258
復習題五 268
課外閱讀(五) 270
第六章 不定積分 275
**節 不定積分——微分法則的逆運算 275
第二節 不定積分的換元積分法 282
第三節 分部積分法 301
第四節 有理函數的不定積分 306
復習題六 316
課外閱讀(六) 317
參考文獻 321
附錄 積分表 322
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高等數學基礎(第二版)(上下冊) 節選
**章 函數 微積分研究的主要對象是函數，使用的主要工具是極限，研究問題所使用的主要方法是分類、類比，具體的內容就是通過極限這個工具對函數進行分類(無窮小類、無窮大類、連續類、可導類、可積類等).它與初等數學所研究函數的重要區別是:初等數學研究的大多都是具體函數的具體性質，如研究函數的單調性、奇偶性、周期性等，而微積分除研究具體函數的具體性質外，主要研究抽象函數的抽象性質，如連續性、可導性、可積性等. 古典數學與現代數學討論問題的重要區別之一是:古典數學主要是在數集上討論問題，而現代數學主要是在一般的集合上討論問題.所以為了方便把古典數學的思想方法推廣到現代數學上去，并且準確而深刻地理解函數概念，集合知識是不可缺少的.本章將簡要地介紹集合的一些基本概念，并在此基礎上重點介紹函數的概念. **節 集合——微積分的基礎，數學大廈的基石 Sets—the foundation of calculus， the cornerstone of mathematics 一、集合 Sets 1.集合的概念 Concepts of sets 集合在數學領域具有無可比擬的特殊重要性.集合論的基礎是由德國數學家康托爾(Cantor，1845—1918)在19世紀70年代奠定的，經過一大批卓越的數學家半個世紀的努力，到20世紀20年代已確立了其在現代數學理論體系中的基礎地位.可以說，當今數學各個分支的幾乎所有結果都構筑在嚴格的集合論理論上.所以，學習高等數學，應首先從集合入手. 所謂集合(簡稱集)是指具有某種確定性質的對象的全體.組成集合的各個對象稱為該集合的元素(element). 習慣上，用大寫字母 A， B， C，表示集合，用小寫字母 a， b， c，表示集合的元素. 用;用(或)表示. 例1某學校全體男同學組成一個集合 A，而該學校的每個男同學是集合的所有實根構成一個集合 B，而方程的每個實根是集合 B的元素. 例3全體偶數組成一個集合 E，而每個偶數是集合上所有的點構成一個集合 C，而圓周上的點是集合 C 合稱為有限集(finite set)，如上述例題中的集合 A， B;含有無限多個元素的集合稱為無限集(infinite set)，如上述例題中的集合 C， E.不含有任何元素的集合稱為空集(empty set)，記作 2.集合的表示方法 表示集合的方法通常有兩種.一種是列舉法，即將集合的元素一一列舉出來，寫在一個花括號內.例如，所有自然數組成的集合可以表示為 N，則 N 這種方法是用集合元素所具有的共同性質來刻畫這個集合，即將具有性質. 例如，自然數集 N 數g;所有實數組成的集合可表示成為實數g. 又如例4中集合數g. 二、集合的運算 1.集合的運算 1)子集 圖1-1 對于集合，若集合，則，這時就稱 (subset)，記作，讀作 (或).若，且存在，使得，則稱 (proper subset)，記作集合. 全體自然數的集合，全體整數的集合，全體有理數的集合， 全體實數的集合和全體復數的集合都是經常遇到的集合，我們 約定分別用粗體字母示這些集合，即N 用符號.表示“任意的”，符號.表示“存在”.例如，集合，可以表示為;集合，可以表示為. 正整數、正有理數和正實數的集合分別記為 Z+， Q+和 R+，顯然有和. 若且，則稱集合 A， B (equality of sets)，記作 A B.此時.設 (union set)，記作，即或. 它是將(圖1-2). 3)交集 設是兩個集合，稱且為 A B (intersection set)，記作，即且. 它是由. 4)差集 設(difference set)，記作，即且. 它是由. 圖1-2 圖1-3 圖1-4 例5 設，求. 解. 2.集合運算的性質 (1)交換律. (2)結合律. (3)分配律. (4)冪等律. (5)吸收律. 若，則. 特別地，由于，所以有. 三、區間與鄰域 Intervals and neighborhoods 1.區間 Interval 在本書中經常遇到以下形式的實數集的子集——區間.為了書寫簡練，將各種區間的符號、名稱、定義列表如下(表1)(且). 表1區間的符號、名稱及定義 2.鄰域 Neighborhood 設.數集表示為 U(a，δ)，即， 稱為徑.當不需要注明鄰域的半徑δ時，常把它表示為 U(a)，簡稱為 a (a，δ)，即，也就是在中去掉中心 a，稱為 a 半徑δ時，常將它表示為. 簡稱為的子集開區間的右半鄰域，開區間稱為合，下列式子中正確的是(). (A)(B)(C)(D) 2.數集還可表示為(). (A)去心鄰域(B)鄰域(C)開區間(D)開區間 3.下列集合是空集的是(). (A)(B)(C)(D) 4.設集合. (A) (B)(C)(D) 5.用區間表示下列不等式的解: (1);(2);(3);(4). 第二節 函數——微積分的研究對象，變量依賴關系的數學模型 Functions—the research object of calculus， the mathematical model of dependent relation between variables 在一個自然現象或技術過程中，常常有幾個量同時變化，它們的變化并非彼此無關，而是互相聯系的，這是物質世界的一個普遍規律.17世紀初，數學首先從對運動(如天文、航海問題等)的研究中引出了“函數”這個基本概念.在那以后的二百多年里，這個概念在幾乎所有的科學研究工作中占據了中心位置. 一、函數的概念 Concepts of functions 1.函數定義 The definition of functions 定義1設非空數集，若對任意的，按照某種確定的法則 f，有唯一確定的與之對應，則稱 (function)，記作，其中 x (independent variable)， y (dependent variable)， (domain of definition)，函數.對于任意的，稱其對應值 (functional value)，記作 f(x)，即.全體函數值構成的集合稱為函數 f (range)，常記作，即. 關于函數概念的幾點說明: (1)用符號表示書中，為方便起見，我們約定，將指明函數，有時甚至籠統地說是 x 數定義，雖然函數都存在定義域，但常常并不明確指出函數 y f(x)的定義域，這時認為函數的定義域是自明的，即定義域是使函數有意義的實數 x 定義域，那么它的定義域就是使函數有意義的實數 x 義的函數，它的定義域要受實際意義的約束. (3)函數定義指出:對于任意的 x D，按照對應法則 f，對應唯一一個，這樣的對應就是所謂的單值對應.反過來，一個就不一定只有一個，使 y f(x).例如函數.對于任意的，對應唯一一個，反之，對于的定義中，要求與單值函數(single valued function).如果取消唯一這個要求，即對應于稱為多值函數(multiple valued function). 例如函數是多(雙)值函數. 為討論的方便起見，我們總設法避免函數的多值性.在一定條件下，多值函數可以分裂為若干單值分支.例如，雙值函數就可以分成兩個單值支:一支是不小于零的，另一支是不大于零的.我們知道方程的圖形是中心在原點、半徑為 r 圖形.兩個單值支就相當于把整個圓周分為上下兩個半圓周.所以只要把各個分支弄清楚，由各個分支合起來的多值函數也就了如指掌了.本書若無特別說明，所討論的函數都限于單值函數. 必須注意，定義域和對應法則是確定函數的兩大要素.在數學中，兩個函數相同是指它們的定義域和對應法則分別相同，至于自變量和因變量用什么字母來表示，則是無關緊要的.例如，函數與的定義域為， 義域不同.而函數定義域和對應法則都相同. 從函數的定義我們可以看出函數概念*重要的要素是對應法則，這種對應法則包含建立已知與未知的對應關系、簡單與復雜的對應關系.所以說函數概念本身也蘊含解決問題的思想方法. 2.函數的表示法 函數的表示法一般有三種:表格法、圖像法和解析法.這三種方法各有特點，表格法一目了然;圖像法形象直觀;解析法便于計算和推導.在實際中可結合使用這三種方法.
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