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高等數學(第2版上下河南省十四五普通高等教育規劃教材)/工科類大學數學公共課程教學叢書 版權信息
- ISBN：9787030727374
- 條形碼：9787030727374 ; 978-7-03-072737-4
- 裝幀：一般膠版紙
- 冊數：暫無
- 重量：暫無
- 所屬分類：>
高等數學(第2版上下河南省十四五普通高等教育規劃教材)/工科類大學數學公共課程教學叢書 內容簡介
本書是河南省“十四五”普通高等教育規劃教材，分上下兩冊。上冊由序章、函數的極限與連續、導數與微分、微分中值定理與導數的應用、積分、定積分的應用、微分方程等七章組成。在內容的編排上，注重概念實際背景的介紹，突出基本概念的系統理解和解題方法的把握。為配合在線課程的學習，本書的各個重要知識點與在線課程的每一講相對應，讀者掃描書上的二維碼即可觀看教學視頻。本書參考了近期新的全國碩士研究生人學考試大綱和歷年研究生入學試題，例題、習題及題型豐富。習題除按小節配置外，各章末還設有綜合練習題。《高等數學同步學習輔導（上冊）》（曹殿立、蘇克勤主編）為本書上冊的所有習題作了詳細解答。本書可作為高等院校工科類、管理類以及對高等數學有較高要求的經濟類、非數學專業理科類各專業本科生的高等數學課程教材、教學參考書以及考研學習或自學用書。
高等數學(第2版上下河南省十四五普通高等教育規劃教材)/工科類大學數學公共課程教學叢書 目錄
目錄
前言
**版前言
序章 學好高等數學 1
0.1 初識高等數學 1
0.1.1 高等數學的定義 1
0.1.2 高等數學的主要內容 1
0.1.3 微積分的發展歷史 2
0.2 學好高等數學 6
0.2.1 為什么要學習高等數學 6
0.2.2 如何學好高等數學 7
0.2.3 為實現“中國夢”努力學習 7
第1章 函數的極限與連續 9
1.1 函數 9
1.1.1 區間與鄰域 9
1.1.2 函數的定義 10
1.1.3 函數的幾何性質 13
1.1.4 反函數 15
1.1.5 復合函數 16
1.1.6 基本初等函數與初等函數 17
習題1.1 18
1.2 數列的極限 19
1.2.1 數列的概念 19
1.2.2 數列極限的定義 20
1.2.3 數列極限的性質 24
1.2.4 數列極限存在的準則 25
1.2.5 數列的子列 27
習題1.2 28
1.3 函數的極限 29
1.3.1 自變量趨向于無窮大時函數的極限 29
1.3.2 自變量趨向于有限值時函數的極限 30
1.3.3 函數極限的性質 33
1.3.4 函數極限存在的準則 33
習題1.3 34
1.4 無窮小量與無窮大量 34
1.4.1 無窮小量 34
1.4.2 無窮大量 36
習題1.437
1.5 極限的運算法則 37
1.5.1 極限的四則運算法則 37
1.5.2 運用極限的四則運算法則求極限舉例 38
1.5.3 復合函數的極限法則 45
習題1.547
1.6 兩個重要極限 48
1.6.1 limx→0sinxx=148
1.6.2 limx→∞1+1xx=e 51
習題1.6 55
1.7 無窮小量階的比較 56
1.7.1 無窮小量階的比較定義 57
1.7.2 無窮小量的等價替代 58
習題1.7 61
1.8 函數的連續性與間斷點 62
1.8.1 函數的連續性 62
1.8.2 函數的間斷點 65
習題1.8 68
1.9 連續函數的運算與初等函數的連續性 69
1.9.1 連續函數的運算 69
1.9.2 初等函數的連續性 69
1.9.3 閉區間上連續函數的性質 71
習題1.9 73
綜合練習題一 73
第2章 導數與微分 76
2.1 導數的概念 76
2.1.1 引例 76
2.1.2 導數的定義 78
2.1.3 導數的幾何意義 84
2.1.4 函數的可導性與連續性的關系 85
習題2.1 87
2.2 導數的運算法則 88
2.2.1 導數的四則運算法則 89
2.2.2 反函數的求導法則 91
2.2.3 復合函數的求導法則 92
習題2.2 97
2.3 隱函數以及由參數方程所確定的函數的求導法 98
2.3.1 隱函數的求導法 98
2.3.2 由參數方程所確定的函數的求導法 100
2.3.3 由極坐標方程所確定的函數的求導法 102
2.3.4 相關變化率 103
習題2.3 104
2.4 函數的微分 105
2.4.1 微分的定義 105
2.4.2 可微與可導的關系 106
2.4.3 基本初等函數的微分公式 107
2.4.4 微分的運算法則 108
2.4.5 微分的幾何意義 111
*2.4.6 微分在近似計算中的應用 112
習題2.4 113
2.5 高階導數與高階微分 114
2.5.1 高階導數 114
2.5.2 高階微分 120
習題2.5 121
綜合練習題二 122
第3章 微分中值定理與導數的應用 125
3.1 微分中值定理 125
3.1.1 費馬（Fermat）引理 125
3.1.2 羅爾(Rolle)中值定理 126
3.1.3 拉格朗日(Lagrange)中值定理 127
3.1.4 柯西（Cauchy）中值定理 130
習題3.1 130
3.2 洛必達法則 131
3.2.1 洛必達法則 131
3.2.2 其他類型的未定式 133
3.2.3 需要注意的問題 135
習題3.2 137
3.3 泰勒公式 137
3.3.1 帶有拉格朗日余項的泰勒公式 138
3.3.2 帶有佩亞諾余項的泰勒公式 140
習題3.3 142
3.4 函數的單調性與極值 142
3.4.1 函數的單調性 142
3.4.2 函數的極值 145
3.4.3 函數的*大值和*小值 150
習題3.4 152
3.5 曲線的凹凸、拐點與漸近線 154
3.5.1 曲線的凹凸與拐點 154
3.5.2 曲線的漸近線 159
3.5.3 函數圖形的描繪 160
習題3.5 163
3.6 平面曲線的曲率 163
3.6.1 弧微分 164
3.6.2 曲率及其計算 165
3.6.3 曲率圓與曲率半徑 169
習題3.6 170
綜合練習題三 171
第4章 積分 175
4.1 定積分的概念與性質 175
4.1.1 定積分問題舉例 175
4.1.2 定積分的定義 177
4.1.3 定積分的幾何意義 179
4.1.4 定積分的性質 180
習題4.1 184
4.2 原函數與微積分基本定理 185
4.2.1 原函數 185
4.2.2 積分上限的函數及其導數 187
4.2.3 牛頓-萊布尼茨公式 191
習題4.2 193
4.3 不定積分的概念 194
4.3.1 不定積分的定義 194
4.3.2 不定積分與微分的關系 195
4.3.3 不定積分的性質 197
4.3.4 不定積分的幾何意義 197
4.3.5 不定積分的直接積分法 198
習題4.3 200
4.4 不定積分的換元積分法 200
4.4.1 **類換元積分法 201
4.4.2 第二類換元積分法 209
習題4.4 216
4.5 不定積分的分部積分法及分段函數的不定積分 217
4.5.1 不定積分的分部積分法 217
4.5.2 分段函數的不定積分 222
習題4.5 222
4.6 有理函數的不定積分 223
4.6.1 有理函數的不定積分 223
4.6.2 三角函數有理式的積分 231
習題4.6 233
4.7 定積分的換元法和分部積分法 234
4.7.1 定積分的換元積分法 234
4.7.2 定積分的分部積分法 238
習題4.7 240
4.8 廣義積分與Γ函數 241
4.8.1 無窮區間上的廣義積分 241
4.8.2 無界函數的廣義積分 243
4.8.3Γ函數 246
習題4.8 247
綜合練習題四 248
第5章 定積分的應用 252
5.1 微元法 252
5.2 定積分的幾何應用 253
5.2.1 平面圖形的面積 253
5.2.2 體積 257
5.2.3 平面曲線的弧長 260
習題5.2 262
5.3 定積分的物理應用 263
5.3.1 變力沿直線所做的功 263
5.3.2 液體的壓力 264
習題5.3 265
綜合練習題五 265
第6章 微分方程 267
6.1 微分方程的基本概念 267
習題6.1 270
6.2 一階微分方程 270
6.2.1 可分離變量的微分方程 270
6.2.2 齊次方程 273
6.2.3 一階線性微分方程 275
*6.2.4 伯努利(Bernoulli)方程 279
習題6.2 280
6.3 可降階的高階微分方程 282
6.3.1 y(n)=f(x)型的微分方程 282
6.3.2 y″=f(x，y′)型的微分方程 283
6.3.3 y″=f(y，y′)型的微分方程 284
習題6.3 285
6.4 二階常系數線性微分方程 286
6.4.1 二階線性微分方程的解的結構 286
6.4.2 二階常系數齊次線性微分方程 288
6.4.3 二階常系數非齊次線性微分方程 292
習題6.4 297
綜合練習題六 298
附錄 301
常用初等數學公式 301
一、代數公式 301
二、三角公式 303
三、反三角函數與公式 304
四、初等幾何公式 305
習題與綜合練習題參考答案 307
參考文獻 329
前言
**版前言
序章 學好高等數學 1
0.1 初識高等數學 1
0.1.1 高等數學的定義 1
0.1.2 高等數學的主要內容 1
0.1.3 微積分的發展歷史 2
0.2 學好高等數學 6
0.2.1 為什么要學習高等數學 6
0.2.2 如何學好高等數學 7
0.2.3 為實現“中國夢”努力學習 7
第1章 函數的極限與連續 9
1.1 函數 9
1.1.1 區間與鄰域 9
1.1.2 函數的定義 10
1.1.3 函數的幾何性質 13
1.1.4 反函數 15
1.1.5 復合函數 16
1.1.6 基本初等函數與初等函數 17
習題1.1 18
1.2 數列的極限 19
1.2.1 數列的概念 19
1.2.2 數列極限的定義 20
1.2.3 數列極限的性質 24
1.2.4 數列極限存在的準則 25
1.2.5 數列的子列 27
習題1.2 28
1.3 函數的極限 29
1.3.1 自變量趨向于無窮大時函數的極限 29
1.3.2 自變量趨向于有限值時函數的極限 30
1.3.3 函數極限的性質 33
1.3.4 函數極限存在的準則 33
習題1.3 34
1.4 無窮小量與無窮大量 34
1.4.1 無窮小量 34
1.4.2 無窮大量 36
習題1.437
1.5 極限的運算法則 37
1.5.1 極限的四則運算法則 37
1.5.2 運用極限的四則運算法則求極限舉例 38
1.5.3 復合函數的極限法則 45
習題1.547
1.6 兩個重要極限 48
1.6.1 limx→0sinxx=148
1.6.2 limx→∞1+1xx=e 51
習題1.6 55
1.7 無窮小量階的比較 56
1.7.1 無窮小量階的比較定義 57
1.7.2 無窮小量的等價替代 58
習題1.7 61
1.8 函數的連續性與間斷點 62
1.8.1 函數的連續性 62
1.8.2 函數的間斷點 65
習題1.8 68
1.9 連續函數的運算與初等函數的連續性 69
1.9.1 連續函數的運算 69
1.9.2 初等函數的連續性 69
1.9.3 閉區間上連續函數的性質 71
習題1.9 73
綜合練習題一 73
第2章 導數與微分 76
2.1 導數的概念 76
2.1.1 引例 76
2.1.2 導數的定義 78
2.1.3 導數的幾何意義 84
2.1.4 函數的可導性與連續性的關系 85
習題2.1 87
2.2 導數的運算法則 88
2.2.1 導數的四則運算法則 89
2.2.2 反函數的求導法則 91
2.2.3 復合函數的求導法則 92
習題2.2 97
2.3 隱函數以及由參數方程所確定的函數的求導法 98
2.3.1 隱函數的求導法 98
2.3.2 由參數方程所確定的函數的求導法 100
2.3.3 由極坐標方程所確定的函數的求導法 102
2.3.4 相關變化率 103
習題2.3 104
2.4 函數的微分 105
2.4.1 微分的定義 105
2.4.2 可微與可導的關系 106
2.4.3 基本初等函數的微分公式 107
2.4.4 微分的運算法則 108
2.4.5 微分的幾何意義 111
*2.4.6 微分在近似計算中的應用 112
習題2.4 113
2.5 高階導數與高階微分 114
2.5.1 高階導數 114
2.5.2 高階微分 120
習題2.5 121
綜合練習題二 122
第3章 微分中值定理與導數的應用 125
3.1 微分中值定理 125
3.1.1 費馬（Fermat）引理 125
3.1.2 羅爾(Rolle)中值定理 126
3.1.3 拉格朗日(Lagrange)中值定理 127
3.1.4 柯西（Cauchy）中值定理 130
習題3.1 130
3.2 洛必達法則 131
3.2.1 洛必達法則 131
3.2.2 其他類型的未定式 133
3.2.3 需要注意的問題 135
習題3.2 137
3.3 泰勒公式 137
3.3.1 帶有拉格朗日余項的泰勒公式 138
3.3.2 帶有佩亞諾余項的泰勒公式 140
習題3.3 142
3.4 函數的單調性與極值 142
3.4.1 函數的單調性 142
3.4.2 函數的極值 145
3.4.3 函數的*大值和*小值 150
習題3.4 152
3.5 曲線的凹凸、拐點與漸近線 154
3.5.1 曲線的凹凸與拐點 154
3.5.2 曲線的漸近線 159
3.5.3 函數圖形的描繪 160
習題3.5 163
3.6 平面曲線的曲率 163
3.6.1 弧微分 164
3.6.2 曲率及其計算 165
3.6.3 曲率圓與曲率半徑 169
習題3.6 170
綜合練習題三 171
第4章 積分 175
4.1 定積分的概念與性質 175
4.1.1 定積分問題舉例 175
4.1.2 定積分的定義 177
4.1.3 定積分的幾何意義 179
4.1.4 定積分的性質 180
習題4.1 184
4.2 原函數與微積分基本定理 185
4.2.1 原函數 185
4.2.2 積分上限的函數及其導數 187
4.2.3 牛頓-萊布尼茨公式 191
習題4.2 193
4.3 不定積分的概念 194
4.3.1 不定積分的定義 194
4.3.2 不定積分與微分的關系 195
4.3.3 不定積分的性質 197
4.3.4 不定積分的幾何意義 197
4.3.5 不定積分的直接積分法 198
習題4.3 200
4.4 不定積分的換元積分法 200
4.4.1 **類換元積分法 201
4.4.2 第二類換元積分法 209
習題4.4 216
4.5 不定積分的分部積分法及分段函數的不定積分 217
4.5.1 不定積分的分部積分法 217
4.5.2 分段函數的不定積分 222
習題4.5 222
4.6 有理函數的不定積分 223
4.6.1 有理函數的不定積分 223
4.6.2 三角函數有理式的積分 231
習題4.6 233
4.7 定積分的換元法和分部積分法 234
4.7.1 定積分的換元積分法 234
4.7.2 定積分的分部積分法 238
習題4.7 240
4.8 廣義積分與Γ函數 241
4.8.1 無窮區間上的廣義積分 241
4.8.2 無界函數的廣義積分 243
4.8.3Γ函數 246
習題4.8 247
綜合練習題四 248
第5章 定積分的應用 252
5.1 微元法 252
5.2 定積分的幾何應用 253
5.2.1 平面圖形的面積 253
5.2.2 體積 257
5.2.3 平面曲線的弧長 260
習題5.2 262
5.3 定積分的物理應用 263
5.3.1 變力沿直線所做的功 263
5.3.2 液體的壓力 264
習題5.3 265
綜合練習題五 265
第6章 微分方程 267
6.1 微分方程的基本概念 267
習題6.1 270
6.2 一階微分方程 270
6.2.1 可分離變量的微分方程 270
6.2.2 齊次方程 273
6.2.3 一階線性微分方程 275
*6.2.4 伯努利(Bernoulli)方程 279
習題6.2 280
6.3 可降階的高階微分方程 282
6.3.1 y(n)=f(x)型的微分方程 282
6.3.2 y″=f(x，y′)型的微分方程 283
6.3.3 y″=f(y，y′)型的微分方程 284
習題6.3 285
6.4 二階常系數線性微分方程 286
6.4.1 二階線性微分方程的解的結構 286
6.4.2 二階常系數齊次線性微分方程 288
6.4.3 二階常系數非齊次線性微分方程 292
習題6.4 297
綜合練習題六 298
附錄 301
常用初等數學公式 301
一、代數公式 301
二、三角公式 303
三、反三角函數與公式 304
四、初等幾何公式 305
習題與綜合練習題參考答案 307
參考文獻 329
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高等數學(第2版上下河南省十四五普通高等教育規劃教材)/工科類大學數學公共課程教學叢書 節選
序章 學好高等數學 0.1初識高等數學 序章學好高等數學 從今天開始，我們將學習高等數學課程.怎樣才能學好高等數學呢？這必定是同學們*為關心的問題.要回答這個問題，先要對高等數學有一個初步的認識. 0.1.1高等數學的定義 數學是什么？已知的定義不下幾十種，這是因為數學的內容是廣泛的，而且伴隨著客觀世界的發展在不斷創新.如果選取一個質樸的、適于寫進辭典并易于理解的定義，那么恩格斯給出的定義*為貼切.恩格斯在《反杜林論》中提出：“數學是關于空間形式和數量關系的科學.” 高等數學是相對于初等數學而言的.初等數學研究的是常量與均勻變量，高等數學研究的是非均勻變量.簡單地說，初等數學之外的數學都是高等數學.通常認為，高等數學是由微積分學、較深入的代數學、幾何學以及它們之間的交叉內容所形成的一門基礎學科. 0.1.2高等數學的主要內容 狹義的高等數學包括函數與極限、微分學、積分學、空間解析幾何、無窮級數、常微分方程等內容；廣義的高等數學包含狹義的高等數學、線性代數、概率論與數理統計、微分方程等課程.通常所說的高等數學是指狹義的高等數學.高等數學是高等院校工學、理學、農學、醫學、經濟學、管理學等六大學科門類各專業必修的一門公共基礎課. 高等數學的主要內容是微積分，它是微分學和積分學的總稱，是高等數學中研究函數的微分、積分及其應用的數學分支.微積分是一種思想，更是一種方法.“無限細分”就是微分，“無限求和”即為積分；微積分將“無限細分”與“無限求和”有機結合，既對立，又統一，為解決非均勻變量的問題提供一套行之有效的科學方法. 高等數學以極限思想為靈魂，以微積分方法為核心，其基本內容是幾種不同類型的極限問題.連續是自變量增量趨于零時，函數相應增量的極限；導數是自變量增量趨于零時，函數的增量（偏增量）與自變量增量之比的極限；一元或多元積分都是和式的極限，而無窮級數則是序列極限的另一種表達形式. 0.1.3微積分的發展歷史 公元1637年，法國數學家笛卡兒（René Descartes，1596—1650）的著作《幾何學》的出版，宣告了解析幾何學的誕生.解析幾何學的誕生是數學歷史上的一次偉大轉折，正如恩格斯所說：“數學中的轉折點是笛卡兒的變數.有了變數，運動進入了數學，有了變數，辯證法進入了數學，有了變數，微分和積分立刻成為必要的了，而它們也就立刻產生.”出自恩格斯《自然辯證法》所以人們習慣上以1637年笛卡兒創立解析幾何學作為初等數學與高等數學的分界點，之前的數學屬于初等數學范疇，以后創立或發展的數學稱為高等數學.可見，高等數學的范疇無法用簡單的幾句話或列舉其所含分支學科來說明.19世紀以前確立的幾何學、代數學、分析學等三大數學分支中，前兩個原是初等數學的分支，其后又發展了屬于高等數學的部分，只有分析學從誕生之日起就屬于高等數學. 微積分是高等數學的核心體系，其產生和發展，在經歷了萌芽和醞釀之后，又經歷了創立、完善、發展等三個階段，而逐步走向成熟和完善. 1）微積分思想的萌芽 中國戰國時期著名的思想家莊周（約前369—前286）所著的《莊子 天下》中有一句名言，“一尺之棰，日取其半，萬世不竭”，這是歷史上較早出現的極限思想. 公元前4世紀左右，古希臘哲學家安提豐（Antiphon，前426—前373）在解決“化圓為方”的問題上，提出了一種頗有價值的方法：先作一圓內接正方形，再將邊數加倍，得內接8邊形；再加倍，得16邊形 如此下去，*后用正多邊形窮竭了圓，由此得出了正多邊形的面積等于圓的面積即“圓化方”的結論.“圓化方”的結論雖然是錯誤的，但它向人們展示了“曲”與“直”的辯證關系和一種求圓面積的近似方法，啟發了人們以“直”代“曲”解決問題的思想.后人稱之為“窮竭法”，是極限理論的萌芽. 之后，偉大的古希臘哲學家、科學家阿基米德（Archimedes，前287—前212）借助窮竭法解決了一系列幾何圖形的面積、體積的計算問題.阿基米德所應用的窮竭法與現代積分思想基本一致，只是沒有“求極限”這一關鍵步驟. 大約在公元3世紀，中國魏晉時期偉大的數學家、中國古典數學理論的奠基者劉徽創立的“割圓術”提出了明確的極限思想，開創了圓周率研究的新紀元.用他的話說，就是“割之彌細，所失彌少！割之又割，以至于不可割，則與圓合體而無所失矣”.割圓術與古希臘的窮竭法極為相似，但是割圓術展示了明確的求極限過程. 公元5世紀左右，中國南北朝時期杰出的數學家、天文學家祖沖之（429—500）運用割圓術推算出了圓周率π的值為3.1415926<> 2）微積分思想的醞釀 從15世紀初的歐洲文藝復興時期開始，歐洲的工業、農業、航海業獲得了大規模的發展，刺激著自然科學蓬勃發展，從而對數學提出了新的要求，而數學的局限性卻愈加明顯.到了17世紀，所有面臨的數學困難，匯總成四類核心問題.**類問題是：已知物體移動的距離為時間的函數，求物體在任意時刻的速度和加速度；反過來，已知物體的加速度，求物體的速度和移動的距離；第二類問題是求曲線的切線；第三類問題是求函數的*大值與*小值；第四類問題是求曲線的長度、曲線圍成的面積、曲面圍成的體積、物體的重心等. 17世紀上半葉，幾乎所有的科學大師都致力于尋求解決這些難題的新的數學工具，特別是描述運動與變化的無限小算法. 17世紀上半葉的一系列先驅性的工作，沿著不同的方向逐步逼近于微積分. 德國天文學家、數學家開普勒（J. Kepler，1571—1630）研究了各種旋轉體的性質，他的無限小元法體現了微積分的思想.意大利數學家、天文學家和物理學家伽利略（G. Galileo，1564—1642）更加清楚地研究了有限和無限的本質區別，更加關注無限集合之間的對應關系，為19世紀微積分的*終明確表達奠定了基礎.法國數學家費馬（P. de Fermat，1601—1665）于1637年在其手稿《求*大值和*小值的方法》中給出了一個統一的無窮小方法，用以解決*大值和*小值問題和作曲線的切線問題，并具體給出了求切線的方法.法國數學家笛卡兒的代數方法推動了微積分的早期發展，為后人的工作奠定了堅實基礎. 1629年，意大利數學家卡瓦列里（B. Cavalieri，1598—1647）在其著作《用新方法推進連續體的不可分量的幾何學》中發展了系統的不可分量方法.卡瓦列里認為，線是由無限多個點組成的，面是由無限多條平行直線組成的，立體則是由無限多個平行平面組成的.他把這些元素分別叫做線、面和體的“不可分量”.卡瓦列里建立了關于這些不可分量的普遍原理，這是古希臘窮竭法向牛頓、萊布尼茨現代微積分理論的過渡. 1669年，英國數學家巴羅（I. Barrow，1630—1677）發表了《幾何講義》，首次以幾何語言表達了“求切線”和“求面積”的互逆關系，更加接近于微積分基本定理. 3）微積分的創立 17世紀下半葉，英國大科學家牛頓（I. Newton，1642—1727）和德國數學家萊布尼茨（G. W. Leibniz，1646—1716）在前人工作的基礎上，分別在自己的國度里獨自研究和完成了微積分的創立工作.牛頓和萊布尼茨建立微積分的出發點是直觀的無窮小量，因此這門學科在早期也稱為“無窮小分析”，這正是現在數學中“分析學”名稱的來源.牛頓研究微積分側重于運動學，萊布尼茨卻是偏重幾何學.微積分誕生的標志是“牛頓-萊布尼茨公式”的創立，數學上稱之為“微積分基本定理”： “∫baf(x)dx=F(b)-F(a)，其中F′(x)=f(x)，x∈［a，b］”. 牛頓自1664年起開始研究微積分，他鉆研了伽利略、開普勒、沃利斯（J.Wallis，英國數學家，1616—1703），尤其是笛卡兒的著作. 據牛頓自述，1665年11月，他發明“正流數術”（微分法），1666年5月，發明“反流數術”（積分法），1666年10月將此整理成文，名為《流數簡論》，當時雖未正式出版，但在同事中傳閱，因此《流數簡論》是歷史上**部系統的微積分文獻.牛頓將自古希臘以來求解無限小問題的各種特殊技巧統一為兩類普遍的算法——正、反流數術，亦即微分與積分，證明了二者的互逆關系并將這兩類運算進一步統一為一體.正是在這樣的意義下，牛頓發明了微積分. 1673年，萊布尼茨借助于特征三角形，認識到曲線的切線依賴于曲線縱坐標的差值與橫坐標的差值（都變成無窮小時）的比，而求曲線下的面積則依賴于橫坐標的無窮小區間上的無限窄矩形面積之和，并且這種求差與求和的運算是互逆的.這一思想的產生是萊布尼茨創立微積分的標志. 1677年，萊布尼茨給出了微積分基本定理. 此外，萊布尼茨還十分重視微積分符號的選取，積分符號∫，微分符號dx和dy，以及導數符號dydx都是萊布尼茨的貢獻. 4）微積分的發展和完善 牛頓和萊布尼茨創立微積分之后，微積分得到了突飛猛進的發展，人們將微積分應用到自然科學的各個方面，建立了不少以微積分方法為主的分支學科，如微分方程、無窮級數、微分幾何、變分法、復變函數等等，形成了繼代數學、幾何學之后數學的第三大分支——“分析學”.但是，初創時期的微積分還缺乏清晰、嚴謹的邏輯基礎，一些概念不夠嚴謹，引起了人們對微積分理論的懷疑與批評. 從17世紀末到19世紀后半葉，許多著名的數學家如達朗貝爾（J.L.R.d’Alembert，法國數學家，1717—1783）、拉格朗日(J.L.Lagrange，法國數學家，1736—1813)、柯西（A.L.Cauchy，法國數學家，1789—1857）等人致力于微積分理論的嚴謹化工作，并取得了卓越的成就. 1754年，達朗貝爾指出，必須用可靠的理論去代替粗糙的極限理論；拉格朗日曾試圖把整個微積分建立在泰勒展開式的基礎上；1816年，捷克數學家波爾查諾（B.Bolzano，1781—1848）在二項展開式的證明中，明確地提出了級數收斂的概念，首次給出了連續和導數的合理定義，提出了著名的“波爾查諾—柯西收斂原理”；法國數學家柯西建立了接近現代形式的極限定義，把無窮小定義為趨近于0的變量，從而結束了百余年關于無窮小概念的爭論.他在他的三大著作《工科大學分析教程》、《無窮小計算教程概論》和《微積分學講義》中賦予了今天大學教科書中的微積分模型以及“變量”和“函數”的正確定義，正確地表述并嚴格地證明了微積分基本定理、中值定理等一系列重要定理，為微積分走向嚴謹化邁出了極為關鍵的一步. 微積分是在實數域上進行討論的，但是在過去，對于什么是實數，一直是用直觀的方式來理解.1861年，德國數學家魏爾斯特拉斯（K. T. W. Weierstrass，1815—1897）提出，實數是分析之源，要使微積分嚴謹化，必須使實數的定義嚴格化.他創造了極限定義的ε-N和ε-δ語言，并且用這套語言重新建立了微積分體系，基本上實現了分析的算術化，使分析從幾何直觀的極限中得到了解放，消除了微積分中的錯誤與混亂.在此基礎上，德國數學家黎曼（G. F. B. Riemann，1826—1866）和法國數學家達布（J. G. Darboux，1842—1917）對有界函數建立了嚴密的積分理論；19世紀后半葉，德國數學家戴德金（J. W. R. Dedekind，1831—1916）給出了著名的戴德金基本定理.形象地講，就是在數軸上隨便砍一刀，不會落在空隙中，一定會落在某一實數上，而且數軸是連綿不斷的.這樣，數軸上的點與實數集合建立了一一對應關系，實現了幾何與代數的完全統一.這個定理是實數理論的**個重要定理，后來的確界存在定理、閉區間套定理、有限覆蓋定理
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