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微積分(經管類第2版河南省十四五普通高等教育規劃教材) 版權信息
- ISBN：9787030723505
- 條形碼：9787030723505 ; 978-7-03-072350-5
- 裝幀：一般膠版紙
- 冊數：暫無
- 重量：暫無
- 所屬分類：>
微積分(經管類第2版河南省十四五普通高等教育規劃教材) 內容簡介
本書第二版根據教育部高等學校數學與統計學教學指導委員會制定的經濟管理類本科數學基礎課程教學基本要求，結合作者多年在微積分課程的教學實踐與教學改革所積累的教學經驗，并借鑒國內外同類教材的精華編寫而成.全書共11章，內容包括：函數、極限與連續、導數與微分、微分中值定理與導數應用、不定積分、定積分及其應用、無窮級數、向量代數與空間解析幾何、多元函數徽分學、二重積分、常微分方程與差分方程，書末還有4個附錄，書中以經濟、管理類學生易于接受與理解的方式，科學系統地編寫了微積分的基本內容，各章重點介紹了微積分在經濟、金融及管理方面的應用.本書可作為高等學校經濟、管理專業以及相關專業本科生教材，也可作為報考上述專業碩士研究生人學數學考試備考用書，也可作為其他非數學專業學生微積分教材或參考書.
微積分(經管類第2版河南省十四五普通高等教育規劃教材) 目錄
目錄
第1章 函數 1
1.1 預備知識 1
1.1.1 集合的概念 1
1.1.2 集合的運算 1
1.1.3 實數的絕對值及其性質 2
1.1.4 區間與鄰域 3
習題1.1 4
1.2 函數的概念與具有某種特性的函數 4
1.2.1 常量與變量 4
1.2.2 函數的概念 4
1.2.3 具有某種特性的函數 7
習題1.2 10
1.3 反函數與復合函數 11
1.3.1 反函數 11
1.3.2 復合函數 12
習題1.3 13
1.4 基本初等函數與初等函數 14
1.4.1 基本初等函數 14
1.4.2 初等函數 17
習題1.4 18
1.5 函數關系的建立及經濟學中常用的函數 18
1.5.1 函數關系的建立 18
1.5.2 經濟學中常用的函數 19
習題1.521
閱讀材料 第1章 知識要點 21
第2章 極限與連續 22
2.1 數列的極限 22
2.1.1 數列的基本概念 22
2.1.2 數列極限的定義 23
2.1.3 收斂數列的幾個性質 26
習題2.1 27
2.2 函數的極限與極限的性質 27
2.2.1 x→∞時，函數f(x)的極限 27
2.2.2 x→x0時函數f(x)的極限 28
2.2.3 極限的性質 31
習題2.2 33
2.3 無窮小量與無窮大量 33
2.3.1 無窮小量的概念 33
2.3.2 無窮小的運算性質 34
2.3.3 無窮小與函數極限之間的關系 35
2.3.4 無窮大量 35
習題2.3 37
2.4 極限的運算法則與兩個重要極限 37
2.4.1 極限的四則運算法則 37
2.4.2 復合函數的極限運算法則 40
2.4.3 極限存在準則與兩個重要極限 42
*2.4.4 極限在經濟學中的應用 49
習題2.4 50
2.5 無窮小的比較 53
2.5.1 無窮小比較的概念 53
2.5.2 等價無窮小替換定理 54
習題2.5 57
2.6 函數的連續性 58
2.6.1 連續函數的概念 59
2.6.2 連續函數的運算性質及初等函數的連續性 60
2.6.3 函數的間斷點及其分類 62
2.6.4 閉區間上連續函數的性質 64
習題2.6 66
閱讀材料 第2章 知識要點 68
第3章 導數與微分 69
3.1 導數的概念 69
3.1.1 概念的引入 69
3.1.2 導數的定義 70
3.1.3 導數的意義 72
3.1.4 函數的可導性與連續性之間的關系 73
3.1.5 一些基本初等函數的導數及求導舉例 74
習題3.1 76
3.2 求導法則及隱函數與參數式函數的求導法 78
3.2.1 函數的四則運算的求導法則 78
3.2.2 反函數的求導法則 80
3.2.3 復合函數的求導法則 81
3.2.4 導數基本公式匯總及求導舉例 84
3.2.5 隱函數與參數式函數的求導法 85
習題3.2 88
3.3 高階導數 90
3.3.1 高階導數的概念 90
3.3.2 高階導數運算法則與幾個初等函數的n階導數公式 91
3.3.3 隱函數及參數式函數的二階導數 93
習題3.3 94
3.4 函數的微分 95
3.4.1 微分的概念 96
3.4.2 可微與可導之間的關系 96
3.4.3 微分的幾何意義 98
3.4.4 微分基本公式與微分運算法則 98
3.4.5 一階微分的形式不變性 99
3.4.6 微分在近似計算中的應用 100
習題3.4 101
3.5 導數在經濟分析中的初步應用——邊際分析 102
3.5.1 邊際的概念 102
3.5.2 經濟學中常見的邊際函數 103
習題3.5 105
閱讀材料 第3章 知識要點 105
第4章 微分中值定理與導數應用 106
4.1 微分中值定理 106
4.1.1 羅爾定理 106
4.1.2 拉格朗日中值定理 107
4.1.3 柯西中值定理 110
習題4.1 111
4.2 洛必達法則 112
4.2.1 **類未定式的極限 113
4.2.2 第二類未定式的極限 116
4.2.3 第三類未定式的極限 117
習題4.2 119
4.3 函數單調性的判定 120
4.3.1 函數單調性的判定法 120
4.3.2 函數單調性判定法的其他應用 122
習題4.3 123
4.4 函數的極值與*值 124
4.4.1 函數的極值及其求法 124
4.4.2 函數的*大值與*小值 127
4.4.3 函數*值在經濟分析中的應用舉例 129
習題4.4 132
4.5 曲線的凹凸性與拐點 133
4.5.1 曲線的凹凸性及其判定法 133
4.5.2 曲線的拐點及其求法 135習題4.5136
4.6 函數圖形的描繪 137
4.6.1 曲線的漸近線 137
4.6.2 函數作圖 140
習題4.6 141
4.7 導數在經濟分析中的進一步應用——彈性分析 142
4.7.1 彈性的概念 142
4.7.2 經濟學中常見的彈性函數及需求彈性與收益的關系 143
習題4.7146
閱讀材料 第4章 知識要點 147
第5章 不定積分 148
5.1 不定積分的概念與性質 148
5.1.1 原函數與不定積分的概念 148
5.1.2 不定積分的幾何意義 150
5.1.3 不定積分的性質 150
5.1.4 基本積分公式 151
5.1.5 不定積分在經濟方面的簡單應用舉例 153
習題5.1 154
5.2 換元積分法 155
5.2.1 **換元法(湊微分法)155
5.2.2 第二換元法 160
習題5.2 165
5.3 分部積分法 167
習題5.3 172
*5.4 兩種特殊類型函數的積分方法 173
5.4.1 有理函數的積分 174
5.4.2 三角函數有理式的積分 176
習題5.4 178
閱讀材料 第5章 知識要點 178
第6章 定積分及其應用 179
6.1 定積分的概念與性質 179
6.1.1 定積分概念的引入舉例 179
6.1.2 定積分的定義 181
6.1.3 定積分的性質 183
6.1.4 定積分的幾何意義 187
習題6.1188
6.2 微積分基本定理與基本公式 189
6.2.1 微積分基本定理 189
6.2.2 微積分基本公式 192
習題6.2194
6.3 定積分的換元積分法與分部積分法 197
6.3.1 定積分的換元積分法 197
6.3.2 定積分的分部積分法 200
習題6.3 202
6.4 定積分的應用 204
6.4.1 定積分的微元法 205
6.4.2 定積分的幾何應用 206
6.4.3 定積分在經濟方面的應用舉例 211
習題6.4214
6.5 廣義積分初步 216
6.5.1 無窮區間上的廣義積分 216
6.5.2 無界函數的廣義積分 218
6.5.3 Γ函數 220
習題6.5 222
閱讀材料 第6章 知識要點 223
第7章 無窮級數 224
7.1 常數項級數的概念與性質 224
7.1.1 常數項級數的概念 224
7.1.2 常數項級數的收斂與發散 225
7.1.3 級數的基本性質 226
習題7.1 230
7.2 正項級數及其斂散性的判別法 231
7.2.1 正項級數收斂的基本定理 231
7.2.2 比較判別法 232
7.2.3 比值判別法 236
7.2.4 根值判別法 238
*7.2.5 積分判別法 239
習題7.2 240
7.3 任意項級數及其斂散性的判別法 241
7.3.1 交錯級數及其收斂性判別法 242
7.3.2 絕對收斂與條件收斂 243
習題7.3 247
7.4 冪級數 249
7.4.1 函數項級數的概念 249
7.4.2 冪級數及其收斂域 250
7.4.3 冪級數及其和函數的運算性質 254
習題7.4 258
7.5 函數展開成冪級數 259
7.5.1 泰勒中值定理 259
7.5.2 泰勒級數 260
7.5.3 函數展開成冪級數的方法 262
*7.5.4 冪級數的應用舉例 268
習題7.5 270
閱讀材料 第7章 知識要點 271
第8章 向量代數與空間解析幾何 272
8.1 空間直角坐標系 272
8.1.1 空間直角坐標系的概念 272
8.1.2 空間兩點間的距離 273
習題8.1 273
8.2 向量及其線性運算 274
8.2.1 向量的概念 274
8.2.2 向量的線性運算 274
8.2.3 向量在軸上的投影 275
8.2.4 向量的坐標 276
8.2.5 向量線性運算的坐標表示 277
8.2.6 向量的模及方向余弦的坐標表示 278
習題8.2 279
8.3 向量的乘積運算 279
8.3.1 向量的數量積 279
8.3.2 向量的向量積 281
習題8.3 283
8.4 平面與空間直線 283
8.4.1 平面及其方程 284
8.4.2 空間直線及其方程 287
習題8.4 291
8.5 曲面與空間曲線 291
8.5.1 曲面及其方程 291
8.5.2 空間曲線及其方程 295
8.5.3 常見的二次曲面的標準方程及其圖形 297
習題8.5 299
閱讀材料 第8章 知識要點 299
第9章 多元函數微分學 300
9.1 多元函數的概念 300
9.1.1 平面點集 300
9.1.2 多元函數的定義 301
9.1.3 二元函數的極限 303
9.1.4 二元函數的連續性 305
習題9.1 307
9.2 偏導數 307
9.2.1 偏導數的概念 307
9.2.2 高階偏導數 310
*9.2.3 偏導數在經濟分析中的應用 311
習題9.2 313
9.3 全微分 314
9.3.1 全微分的概念 314
9.3.2 可微與連續、偏導數之間存在的關系 315
*9.3.3 全微分在近似計算中的應用 318
習題9.3 318
9.4 多元復合函數與隱函數的求導法則 319
9.4.1 多元復合函數的求導法則 319
9.4.2 隱函數的求導法則 323
習題9.4 326
9.5 多元函數的極值 327
9.5.1 二元函數的極值 327
9.5.2 二元函數的*大值與*小值 329
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微積分(經管類第2版河南省十四五普通高等教育規劃教材) 節選
第1章 函數 函數是現實世界中變量之間的相互依存關系在數學中的反映，也是微積分學研究的主要對象.中學時我們對函數的概念和性質已經有了初步的了解，本章將在復習中學有關函數內容的基礎上，進一步介紹函數的簡單性態以及基本初等函數和初等函數，并介紹一些經濟學中常用的函數. 1.1 預備知識 1.1.1 集合的概念 1.集合及其表示法 在數學上，通常將具有某種確定性質的對象的全體稱為集合，組成集合的每一個對象稱為該集合的元素. 習慣上，用大寫字母A，B，C， 表示集合，用小寫字母a，b，c， 表示集合的元素.若a是集合A中的元素，則用a∈A來表示;若a不是集合A中的元素，則用aA(或a∈A)來表示. 含有有限個元素的集合稱為有限集，含有無限個元素的集合稱為無限集，不含任何元素的集合稱為空集，用表示. 表示集合的方法有兩種:一是列舉法，二是描述法.列舉法，就是把它的所有元素一一列舉出來，寫在一個大括號內.例如，方程x2-1=0的解構成的集合可以表示為A={-1，1}.而描述法，就是指出集合中的元素所具有的性質.一般地將具有某種性質P的對象x所構成的集合表示為 A={x|x具有某種性質P}. 例如，直線x+y=1上的所有點構成的集合，可以表示為 A={(x，y)|x+y=1}. 只有一個元素x的集合稱為單元素集，記作A={x}. 設有A，B兩個集合.若A的每個元素都是B的元素，則稱A是B的子集，記作AB(或者BA);空集是任何集合的子集.若AB且AB，則稱A與B相等，記作A=B. 2.數集 元素是數的集合稱為數集，本書中所涉及的集合都是數集.通常用N表示自然數集，即N={0，1，2， }.用Z表示整數集，用R表示實數集，用Q表示有理數集，用C表示復數集.本書是在實數范圍內研究函數. 對于數集，有時在表示數集字母的右上角添加“+”或者“-”，用來表示該數集中的所有正數或者所有負數構成的特定數集.例如，R+表示全體正實數構成的集合，R-表示全體負實數構成的集合，N+表示全體正整數構成的集合. 1.1.2 集合的運算 集合的基本運算主要有三種，即并集、交集與差集. 集合的并由集合A與B中的所有元素構成的集合，稱為A與B的并集，記作A∪B，即 A∪B={x|x∈A或x∈B}. 集合的交由集合A與B中所有公共元素構成的集合，稱為A與B的交集，記作A∩B，即 A∩B={x|x∈A且x∈B}. 集合的差由含于A但不含于B的元素所構成的集合，稱為A與B的差集，記作A-B(或A\\B)，即 A-B={x|x∈A但xB}. 例如，N-{0}=N+，Z-N=Z-. 1.1.3實數的絕對值及其性質 1.實數的絕對值 對于任何一個實數x，它的絕對值定義為. 絕對值有以下基本性質: 對于任意的x∈R，有 (1)|x|≥0;當且僅當x=0時，才有|x|=0; (2)-|x|≤x≤|x|; (3)設k>0，則. 此處，記號表示“等價于”或“當且僅當”或“充分必要(條件)”，本書后面各章出現該記號時，也作同樣的理解. 2.絕對值的運算性質 對于任意的x，y∈R，恒有 (1)|x+y|≤|x|+|y|(三角不等式); (2)|x|-|y|≤|x|-|y|≤|x-y|; (3)|x|+|y|2≥|xy|，當且僅當|x|=|y|時等號成立. 一般地，當xi∈R+時(i=1，2， ，n)，恒有 (均值不等式)， 其中，僅當x1=x2= =xn時等號成立; (4); (5). 下面僅就三角不等式進行證明. 證由絕對值的基本性質(2)，有， 從而有， 由絕對值的基本性質(3)，由于|x|+|y|≥0，于是得 |x+y|≤|x|+|y|. 1.1.4區間與鄰域 區間與鄰域都是微積分中常見的一類實數集. 1.區間 區間的記號和定義如下(其中a，b∈R且a 開區間(a，b)={x|a 以上區間統稱為有限區間，a，b分別稱為區間的左端點和右端點，b-a稱為上述區間的長度.微積分中可以將區間的左端點延伸為-∞，右端點延伸為+∞.這類左端點為-∞或右端點為+∞的區間稱為無限區間或無窮區間，具體定義和記號如下，其中+∞，-∞分別讀作“正無窮大”與“負無窮大”，或“正無窮”與“負無窮”，它們僅僅是記號，不表示數.以后在不需要指明區間是開區間、閉區間或半開半閉區間，以及有限或無限區間的場合下，就簡稱它為區間，并且常用字母I表示這樣一個泛指的區間. 2.鄰域 以后討論問題時，常常需要考慮由某點a附近的所有點構成的集合，這些點的集合就是鄰域.具體地即為:設a為一個實數，δ>0，稱開區間(a-δ，a+δ)為點a的δ鄰域，記作U(a，δ)，即，點a稱為鄰域的中心，δ稱為鄰域的半徑(圖1.1). 當不要求說明鄰域的半徑時，就將點a的鄰域簡記為U(a). 在鄰域U(a，δ)中去掉中心a后得到的實數集 {x|00)鄰域是(). A.(x0-δ，x0+δ］B.［x0-δ，x0+δ)C.［x0-δ，x0+δ］D.(x0-δ，x0+δ). 4.證明:當n∈N+，且a≥1時，有 na≤1+a-1n. (B) 試用均值不等式證明下列不等式: (1)當n∈N+時，有 nn 1.2 函數的概念與具有某種特性的函數 1.2.1 常量與變量 在實際問題中，人們經常會遇到各種各樣的量，這些量一般可以分為兩種:一種是在考察的某一變化過程中保持不變(取同一數值)的量，這種量叫常量;另一種是在考察的某一變化過程中可以發生變化的量(可以取不同數值)，這種量叫變量. 常量常用字母a，b，c，d等來表示;變量常用字母x，y，z，t，u，v等來表示. 常量與變量不是絕對的，而是相對的.一個量是常量還是變量要具體問題具體地分析.一般在研究問題時，為了簡化，常常把變化很小或者對研究問題影響不大的量看作常量. 1.2.2 函數的概念 在同一個過程中，我們發現許多變量的變化不是孤立的，而是遵循一定的規律相互制約又相互依賴，這種變化規律通常可由變量在變化過程中的數值對應關系反映出來.例如，商品的總收入R與銷售量Q、價格P之間的關系為R=PQ.數學上把這種變量之間的確定的對應關系稱為函數關系. 定義1.2.1 設x和y是兩個變量，D是一個給定的非空實數集合.如果對于每一個x∈D，變量y按照一定的法則f，總有唯一確定的實數值與之對應，則稱f為定義在D上的一個函數，或稱y是x的函數，記作 y=f(x)，x∈D， 其中x稱為函數f的自變量，y稱為函數f的因變量.x的取值范圍D稱為函數f的定義域，記作Df或D(f)，即Df=D. 對于函數y=f(x)，當x取數值x0∈Df時，與x0對應的因變量y的數值稱為函數y=f(x)在點x0處的函數值，記作f(x0)或y|x=x0，此時也稱函數f(x)在點x0處有定義.當x取遍Df的各個值時，對應的函數值全體構成的集合稱為函數f的值域，記作Rf或R(f)，即. 若，則稱該函數在x0處無定義. 關于函數概念做以下幾點說明: (1)“函數”一詞是指對應法則f，而f(x)是與自變量x對應的函數值，應注意f與f(x)是有區別的.由于經常通過f(x)來表示與x的對應法則，為敘述方便，常將f(x)說成函數. (2)從函數的定義可以看出，確定一個函數的兩個基本要素是定義域Df與對應法則f.如果兩個函數的定義域相同，對應法則也相同，那么不論使用什么樣的函數記號以及不論它們的自變量與因變量選用什么字母表示，它們都是同一個函數. 例如，f(x)=1與g(x)=sin2x+cos2x表面形式雖不相同，但二者卻是同一個函數;而f(x)=1與g(x)=xx，因為Df≠Dg，故二者是不同的函數.再如f(x)=1-cos2x與g(x)=sinx，因其對應法則不同，故二者是不同的函數；但y=x2與u=t2，二者是相同的函數. (3)函數的定義域Df就是自變量所能取得的那些數值構成的集合.它可分為兩種:一種是在實際問題中，要根據問題的條件與實際意義來確定;另一種在理論研究中，如果函數是由數學表達式給出的，又無須考慮它的實際意義，那么函數的定義域就是使該表達式有意義的自變量x的一切可能取值所構成的數集.例如，由公式f(x)=25-x2給出的函數的定義域是閉區間［-5，5］.但是，如果x表示的是斜邊長為5的直角三角形的一條直角邊長時，此時f(x)表示的是另一條直角邊的邊長，此時該函數的定義域是開區間(0，5). 例1.2.1 求函數f(x)=4-x+1ln(x-2)的定義域. 解要使表示函數f(x)的表達式有意義，必須有，故函數的定義域為Df=(2，3)∪(3，4］. (4)在函數定義中，對于Df中的任一個x，對應的函數值y只有一個值時，這樣的函數稱為單值函數.如果對于Df中的某些x，它們中的每一個數x可能對應幾個甚至無窮多個函數值y，這種情況不符合函數的定義，但為了方便也把它們稱為多值函數.對于多值函數，可以通過附加條件將其分解成單值函數(稱為單值分支)來研究.例如，單位圓的方程x2+y2=1確定了變量x和y之間的對應法則，顯然當x∈(-1，1)時，對應的y值有兩個.我們可以把它分解為兩個單值分支y=1-x2和y=-1-x2，x∈［-1，1］進行分析討論.如無特別說明，本書所討論的函數都是指單值函數. (5)因變量y已由自變量x直接表達為y=f(x)形式的函數稱為顯函數，如y=lnx是顯函數.而有時函數關系并不能直接表達為y=f(x)的形式，而是通過某個方程F(x，y)=0表示出來的.一般地，在一定的條件下，由一個方程F(x，y)=0確定的函數y=y(x)，并且y未被解成x的顯函數的形式，則稱為隱
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