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線性代數與空間解析幾何(第二版) 版權信息
- ISBN：9787030708755
- 條形碼：9787030708755 ; 978-7-03-070875-5
- 裝幀：一般膠版紙
- 冊數：暫無
- 重量：暫無
- 所屬分類：>
線性代數與空間解析幾何(第二版) 內容簡介
全書共六章，每章后面有拓展知識。主要內容為行列式及其計算，幾何向量空間與幾何圖形，矩陣，n維向量空間與線性方程組，矩陣的特征值與特征向量，二次型。全書共六章，每章后面有拓展知識。主要內容為行列式及其計算，幾何向量空間與幾何圖形，矩陣，n維向量空間與線性方程組，矩陣的特征值與特征向量，二次型。
線性代數與空間解析幾何(第二版) 目錄
目錄
第二版前言
**版前言
本書所用符號說明
第1章 行列式及其計算 1
1.1 n階行列式 1
1.1.1 二、三階行列式 1
1.1.2 排列與反序數 4
1.1.3 n階行列式的定義 5
1.2 行列式的性質 10
1.2.1 行列式的性質 10
1.2.2 利用性質計算行列式 15
1.3 行列式按行（列）展開 20
1.3.1 余子式、代數余子式的概念 20
1.3.2 行列式按行（列）展開定理 21
.1.3.3 拉普拉斯定理 27
1.4 克拉默法則 34
1.4.1 克拉默法則 34
1.4.2 齊次線性方程組有非零解的條件 37
復習題1 39
*1 拓展知識 45
*1.5 MATLAB軟件介紹及行列式的程序示例 45
1.5.1 MATLAB簡介 45
1.5.2 MATLAB桌面 45
1.5.3 命令窗口 45
1.5.4 M文件 46
1.5.5 MATLAB基礎知識 47
1.5.6 計算行列式的MATLAB程序示例 49
*1.6 行列式的應用 52
第2章 幾何向量空間與幾何圖形 54
2.1 幾何向量空間 54
2.1.1 向量及其線性運算 54
2.1.2 空間直角坐標系與向量的坐標 56
2.1.3 向量的模、方向角與方向余弦 59
2.1.4 幾何向量的投影 62
2.2 幾何向量的乘法 63
2.2.1 數量積 63
2.2.2 向量積 67
2.2.3 混合積 69
2.3 空間的平面與直線 71
2.3.1 平面及其方程 71
2.3.2 直線及其方程 75
2.3.3 距離與平面束 80
2.4 空間曲面與曲線 84
2.4.1 球面及其方程 84
2.4.2 柱面及其方程 85
2.4.3 錐面及其方程 87
2.4.4 旋轉曲面及其方程 89
2.4.5 二次曲面及其方程 92
2.4.6 空間曲線及其方程 98
復習題2 103
*2 拓展知識 107
*2.5 向量代數和空間圖形的MATLAB程序示例 107
2.5.1 向量基本運算的MATLAB程序示例 107
2.5.2 二維圖形的MATLAB程序示例 108
2.5.3 三維圖形的MATLAB程序示例 109
*2.6 行列式在幾何上的應用 117
第3章 矩陣 120
3.1 矩陣 120
3.1.1 矩陣的概念 120
3.1.2 幾種特殊的矩陣 122
3.2 矩陣的運算 126
3.2.1 矩陣的加法 126
3.2.2 矩陣的數乘 127
3.2.3 矩陣的乘法 128
3.2.4 方陣的冪 131
3.2.5 矩陣的轉置 133
*3.2.6 共軛矩陣 135
3.3 矩陣的分塊 137
3.3.1 矩陣的分塊方法 137
3.3.2 分塊矩陣的運算 139
3.3.3 方陣的行列式 140
3.3.4 分塊對角陣 141
3.4 矩陣的初等變換 144
3.4.1 線性方程組的高斯消元法 145
3.4.2 矩陣的初等變換 146
3.4.3 初等矩陣 150
3.5 逆矩陣 154
3.5.1 逆矩陣的概念 154
3.5.2 可逆矩陣的判定及求法 155
3.5.3 矩陣方程的解法 160
3.6 矩陣的秩 164
3.6.1 矩陣秩的概念 164
3.6.2 矩陣秩的求法 166
3.6.3 線性方程組解的判定定理 168
復習題3 174
*3 拓展知識 181
*3.7 矩陣的MATLAB程序示例 181
3.7.1 矩陣基本運算的程序示例 181
3.7.2 矩陣的秩的程序示例 183
3.7.3 解線性方程組的程序示例 184
.3.8 矩陣的應用模型 188
3.8.1 矩陣在視圖制作中的應用 188
3.8.2 矩陣在密碼和解密模型中的應用 190
3.8.3 經濟學中的投入–產出模型 192
第4章 n維向量與線性方程組 195
4.1 n維向量 195
4.1.1 n維向量的概念 195
4.1.2 n維向量的線性運算 196
4.1.3 向量空間及其子空間 197
.4.1.4 線性空間及其子空間 198
4.2 向量組的線性相關性. 202
4.2.1 向量組的線性表示 202
4.2.2 向量組的線性相關性 208
4.2.3 向量組線性相關性的有關定理 212
4.3 向量組的秩 217
4.3.1 向量組的秩與極大線性無關組 217
4.3.2 向量組的秩與矩陣秩的關系 219
4.3.3 求極大線性無關組的方法 220
4.3.4 向量空間的基、維數與向量的坐標 223
4.4 齊次線性方程組解的結構 225
4.4.1 齊次線性方程組解的性質 225
4.4.2 齊次線性方程組的基礎解系與解的結構. 226
4.5 非齊次線性方程組解的結構 231
4.5.1 非齊次線性方程組解的性質 231
4.5.2 非齊次線性方程組解的結構 232
復習題4 238
*4 拓展知識 247
*4.6 線性方程組的MATLAB程序示例 247
4.6.1 向量組的秩的程序示例 247
4.6.2 解線性方程組的程序示例 249
*4.7 應用模型 252
4.7.1 向量組線性相關性的應用模型 252
4.7.2 線性方程組的應用模型 257
第5章 矩陣的特征值與特征向量 262
5.1 n維向量的內積 262
5.1.1 n維向量的內積 262
5.1.2 正交向量組與標準正交向量組 264
5.1.3 施密特正交化方法 266
5.1.4 線性變換與正交變換 267
5.2 矩陣的特征值與特征向量 271
5.2.1 特征值與特征向量的概念 271
5.2.2 求特征值與特征向量的方法 275
5.3 相似矩陣 279
5.3.1 相似矩陣的概念 279
5.3.2 矩陣的相似對角化 281
5.3.3 實對稱矩陣的對角化 284
復習題5 293
*5 拓展知識 300
*5.4 特征值與特征向量的MATLAB程序示例 300
5.4.1 正交的程序示例 300
5.4.2 特征值與特征向量的程序示例 301
.5.5 特征值與特征向量的應用模型 304
5.5.1 矩陣的極限 305
5.5.2 離散動態系統的演化 306
5.5.3 基于線性子空間的人臉識別 309
第6章 二次型 311
6.1 二次型及其標準形 311
6.1.1 二次型及其標準形 311
6.1.2 化二次型為標準形的方法 315
6.2 正定二次型 319
6.2.1 正定二次型的概念 319
6.2.2 正定二次型的判定 320
復習題6 323
*6 拓展知識 328
*6.3 二次型的MATLAB程序示例 328
*6.4 二次型的應用 330
習題參考答案與提示 334
參考文獻 360
第二版前言
**版前言
本書所用符號說明
第1章 行列式及其計算 1
1.1 n階行列式 1
1.1.1 二、三階行列式 1
1.1.2 排列與反序數 4
1.1.3 n階行列式的定義 5
1.2 行列式的性質 10
1.2.1 行列式的性質 10
1.2.2 利用性質計算行列式 15
1.3 行列式按行（列）展開 20
1.3.1 余子式、代數余子式的概念 20
1.3.2 行列式按行（列）展開定理 21
.1.3.3 拉普拉斯定理 27
1.4 克拉默法則 34
1.4.1 克拉默法則 34
1.4.2 齊次線性方程組有非零解的條件 37
復習題1 39
*1 拓展知識 45
*1.5 MATLAB軟件介紹及行列式的程序示例 45
1.5.1 MATLAB簡介 45
1.5.2 MATLAB桌面 45
1.5.3 命令窗口 45
1.5.4 M文件 46
1.5.5 MATLAB基礎知識 47
1.5.6 計算行列式的MATLAB程序示例 49
*1.6 行列式的應用 52
第2章 幾何向量空間與幾何圖形 54
2.1 幾何向量空間 54
2.1.1 向量及其線性運算 54
2.1.2 空間直角坐標系與向量的坐標 56
2.1.3 向量的模、方向角與方向余弦 59
2.1.4 幾何向量的投影 62
2.2 幾何向量的乘法 63
2.2.1 數量積 63
2.2.2 向量積 67
2.2.3 混合積 69
2.3 空間的平面與直線 71
2.3.1 平面及其方程 71
2.3.2 直線及其方程 75
2.3.3 距離與平面束 80
2.4 空間曲面與曲線 84
2.4.1 球面及其方程 84
2.4.2 柱面及其方程 85
2.4.3 錐面及其方程 87
2.4.4 旋轉曲面及其方程 89
2.4.5 二次曲面及其方程 92
2.4.6 空間曲線及其方程 98
復習題2 103
*2 拓展知識 107
*2.5 向量代數和空間圖形的MATLAB程序示例 107
2.5.1 向量基本運算的MATLAB程序示例 107
2.5.2 二維圖形的MATLAB程序示例 108
2.5.3 三維圖形的MATLAB程序示例 109
*2.6 行列式在幾何上的應用 117
第3章 矩陣 120
3.1 矩陣 120
3.1.1 矩陣的概念 120
3.1.2 幾種特殊的矩陣 122
3.2 矩陣的運算 126
3.2.1 矩陣的加法 126
3.2.2 矩陣的數乘 127
3.2.3 矩陣的乘法 128
3.2.4 方陣的冪 131
3.2.5 矩陣的轉置 133
*3.2.6 共軛矩陣 135
3.3 矩陣的分塊 137
3.3.1 矩陣的分塊方法 137
3.3.2 分塊矩陣的運算 139
3.3.3 方陣的行列式 140
3.3.4 分塊對角陣 141
3.4 矩陣的初等變換 144
3.4.1 線性方程組的高斯消元法 145
3.4.2 矩陣的初等變換 146
3.4.3 初等矩陣 150
3.5 逆矩陣 154
3.5.1 逆矩陣的概念 154
3.5.2 可逆矩陣的判定及求法 155
3.5.3 矩陣方程的解法 160
3.6 矩陣的秩 164
3.6.1 矩陣秩的概念 164
3.6.2 矩陣秩的求法 166
3.6.3 線性方程組解的判定定理 168
復習題3 174
*3 拓展知識 181
*3.7 矩陣的MATLAB程序示例 181
3.7.1 矩陣基本運算的程序示例 181
3.7.2 矩陣的秩的程序示例 183
3.7.3 解線性方程組的程序示例 184
.3.8 矩陣的應用模型 188
3.8.1 矩陣在視圖制作中的應用 188
3.8.2 矩陣在密碼和解密模型中的應用 190
3.8.3 經濟學中的投入–產出模型 192
第4章 n維向量與線性方程組 195
4.1 n維向量 195
4.1.1 n維向量的概念 195
4.1.2 n維向量的線性運算 196
4.1.3 向量空間及其子空間 197
.4.1.4 線性空間及其子空間 198
4.2 向量組的線性相關性. 202
4.2.1 向量組的線性表示 202
4.2.2 向量組的線性相關性 208
4.2.3 向量組線性相關性的有關定理 212
4.3 向量組的秩 217
4.3.1 向量組的秩與極大線性無關組 217
4.3.2 向量組的秩與矩陣秩的關系 219
4.3.3 求極大線性無關組的方法 220
4.3.4 向量空間的基、維數與向量的坐標 223
4.4 齊次線性方程組解的結構 225
4.4.1 齊次線性方程組解的性質 225
4.4.2 齊次線性方程組的基礎解系與解的結構. 226
4.5 非齊次線性方程組解的結構 231
4.5.1 非齊次線性方程組解的性質 231
4.5.2 非齊次線性方程組解的結構 232
復習題4 238
*4 拓展知識 247
*4.6 線性方程組的MATLAB程序示例 247
4.6.1 向量組的秩的程序示例 247
4.6.2 解線性方程組的程序示例 249
*4.7 應用模型 252
4.7.1 向量組線性相關性的應用模型 252
4.7.2 線性方程組的應用模型 257
第5章 矩陣的特征值與特征向量 262
5.1 n維向量的內積 262
5.1.1 n維向量的內積 262
5.1.2 正交向量組與標準正交向量組 264
5.1.3 施密特正交化方法 266
5.1.4 線性變換與正交變換 267
5.2 矩陣的特征值與特征向量 271
5.2.1 特征值與特征向量的概念 271
5.2.2 求特征值與特征向量的方法 275
5.3 相似矩陣 279
5.3.1 相似矩陣的概念 279
5.3.2 矩陣的相似對角化 281
5.3.3 實對稱矩陣的對角化 284
復習題5 293
*5 拓展知識 300
*5.4 特征值與特征向量的MATLAB程序示例 300
5.4.1 正交的程序示例 300
5.4.2 特征值與特征向量的程序示例 301
.5.5 特征值與特征向量的應用模型 304
5.5.1 矩陣的極限 305
5.5.2 離散動態系統的演化 306
5.5.3 基于線性子空間的人臉識別 309
第6章 二次型 311
6.1 二次型及其標準形 311
6.1.1 二次型及其標準形 311
6.1.2 化二次型為標準形的方法 315
6.2 正定二次型 319
6.2.1 正定二次型的概念 319
6.2.2 正定二次型的判定 320
復習題6 323
*6 拓展知識 328
*6.3 二次型的MATLAB程序示例 328
*6.4 二次型的應用 330
習題參考答案與提示 334
參考文獻 360
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線性代數與空間解析幾何(第二版) 節選
**章行列式及計算 行列式起源于解n個方程n個未知量的線性方程組，是研究矩陣、線性方程組、向量間的線性關系、特征值和二次型等問題的有力工具，它不僅貫穿于線性代數的始終，在數學的其他分支領域以及經濟管理、物理、工程技術等學科中也都有著廣泛的應用。 本章從解二元與三元線性方程組入手引入二階與三階行列式的概念，進而用排列的奇偶性把行列式推廣到n階，再討論行列式的性質、計算方法以及用行列式求解線性方程組的克拉默法則。 1.1n階行列式 1.1.1二、三階行列式 對于二元線性方程組 （1.1.1） 利用消元法可得 當時，可得方程組的唯一解 為了便于記憶上述解的公式，引入記號 并給出如下二階行列式的定義。 定義1.1.1 由2×2個數構成的記號稱為二階行列式，它表示代數和，即 （1.1.2） 它的橫排稱為行，豎排稱為列，數稱為行列式的元素。元素的**個下標i稱為行標，表明該元素位于第i行；第二個下標j稱為列標，表明該元素位于第j列。通常用“D”或“det”表示行列式。 等式（1.1.2）中，等號右端的表示式又稱為行列式的展開式。二階行列式的展開式可以用如下對角線法則來記憶： 稱上式的實線為主對角線，虛線為副對角線。于是二階行列式便是主對角線上兩元素之積減去副對角線上兩元素之積所得的差。 利用二階行列式，可以把上述方程組的解表示為 其中行列式D是由方程組（1.1.1）中未知量的系數按原位置構成的行列式，稱為方程組的系數行列式。是將系數行列式D的第j列各元素依次換成方程組右端的常數項所得到的二階行列式。 例1.1.1計算二階行列式 解 為解三個方程三個未知量的線性方程組 （1.1.3） 我們用類似的方法，引入三階行列式的概念。 定義1.1.2 由3×3個數構成的記號稱為三階行列式，它 表示代數和 即 三階行列式也可用對角線法則得到。三階行列式的對角線法則如圖1.1.1所示。圖中有三條實線可看作平行于主對角線的連線，三條虛線可看作平行于副對角線的連線，實線上三元素的乘積帶正號，虛線上三元素的乘積帶負號，所得六項的代數和就是三階行列式的展開式。 圖1.1.1 若三元線性方程組（1.1.3）的系數行列式，則方程組有 唯一解 其中Dj（j=1，2，3）是將系數行列式D的第j列（j=1，2，3）各元素依次換成方程組右端的常數項所得到的三階行列式，即 例1.1.2計算三階行列式 解 按對角線法則，有 對角線法則只適用于二階與三階行列式。為研究四階及更高階的行列式，下面先介紹有關排列的知識，然后引出n階行列式的概念。 1.1.2排列與反序數 定義1.1.3 由正整數1，2， ，（n.1），n組成的一個有序數組，稱為一個n級排列。 如2431是一個4級排列，45123是一個5級排列，12 （n.1）n是一個n級排列，它具有自然順序，稱為自然排列（或標準排列）。 n級排列共有n!個，例如，3級排列共3!個，它們分別是123，132，213，231，312，321，其中只有123是自然排列，其他的3級排列都或多或少破壞了自然順序。 定義1.1.4在一個排列中，如果一個大數排在了一個小數前面，就稱這兩個數構成一個反序（或逆序）。一個排列的反序總數稱為這個排列的反序數（或逆序數）。以后用表示排列的反序數。 反序數為奇數的排列稱為奇排列，反序數為偶數的排列稱為偶排列。 例1.1.3 計算下列排列的反序數，并判斷其奇偶性。 （1）2431；（2）45132；（3）635412。 解 （1）利用定義，找出排列中所有反序，反序總數即為排列的反序數。 在4級排列2431中，共有反序21，43，41，31，故τ（2431）=4，所以2431為偶排列。 （2）依次求出排列中每個數前面比它大的數的個數，然后求和就是排列的反序數。因為 所以，故τ（45132）=0+0+2+2+3=7，從而排列45132為奇排列。 （3）依次求出排列中每個數后面比它小的數的個數，然后求和就是排列的反序數。因為 所以，故τ（635412）=5+2+3+2+0+0=12，從而排列635412為偶排列。 例1.1.4求排列n（n.1） 321的反序數，并討論其奇偶性。 解 排列n（n.1） 321的反序數 故當n=4k或n=4k+1時，排列n（n.1） 321是偶排列，而當n=4k+2或n=4k+3時，排列n（n.1） 321是奇排列。 定義1.1.5 在一個排列中，交換其中某兩個數的位置，而其余各數的位置不動，就得到一個同級的新排列。對排列施行這樣的一個交換稱為一個對換，將相鄰的兩個數對換，稱為相鄰對換。 關于對換有如下結論。 定理1.1.1 對換改變排列的奇偶性，即經過一次對換，奇排列變成偶排列，偶排列變成奇排列。 證明略。 推論1 任意一個n級排列可經過一系列對換變成自然排列，并且所作對換次數的奇偶性與這個排列的奇偶性相同。 證明由定理1.1.1知，對換的次數就是排列奇偶性的變換次數，而自然排列是偶排列，因此結論成立。 推論2 在全部的n級排列中，奇偶排列各占一半，即各有個。 證明 設奇、偶排列各有p，q個，則p+q=n!。將p個奇排列的前兩個數對換，則這p個奇排列全變成偶排列，并且它們互不相同，所以同理，將q個偶排列的前兩個數對換，則這q個偶排列全變成奇排列，并且它們互不相同，所以。綜上可得 1.1.3n階行列式的定義 為了給出n階行列式的定義，先來研究三階行列式的展開式中項的構成規律。 三階行列式的展開式為 容易看出： （1）它的每一項都是3個元素的乘積，并且這三個元素位于三階行列式的不同行、不同列。 （2）每一項的三個元素的行標排成自然排列123時，列標都是1，2，3的某一排列，這樣的排列共有種，故三階行列式展開式中含有6項。 （3）當每一項中元素的行標按自然順序排列時，帶正號的三項的列標排列是123，231，312，它們全是偶排列。而帶負號的三項的列標排列是132，213，321，它們全是奇排列。即三階行列式展開式中每一項的符號是當每一項中元素的行標按自然順序排列時，如果對應的列標為偶排列時取正號，為奇排列時取負號。 綜上所述，三階行列式的展開式中的一般項可表示為，從而三階行列式的展開式可簡寫為 其中表示對所有的3級排列求和。類似地，二階行列式的展開式可寫成 其中表示對所有的2級排列求和。 由此可歸納出一般n階行列式的定義。 定義1.1.6 由n×n個數排成的n行n列的記號 稱為n階行列式。它表示所有取自不同行不同列的n個元素乘積的代數和，其中是數的一個排列，且當這n個元素的行標按 自然順序排列時，列標是偶排列時該項帶正號，列標是奇排列時該項帶負號，共有n!項。即
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