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概率論(第二版) 版權(quán)信息
- ISBN：9787030727411
- 條形碼：9787030727411 ; 978-7-03-072741-1
- 裝幀：一般膠版紙
- 冊數(shù)：暫無
- 重量：暫無
- 所屬分類：>
概率論(第二版) 內(nèi)容簡介
概率論是高等院校數(shù)學(xué)和統(tǒng)計學(xué)專業(yè)的基礎(chǔ)課程之一．本書作為概率論教材,共分七章，主要內(nèi)容包括:隨機事件與概率、隨機變量及其分布、隨機變量的數(shù)值特征、多維隨機變量及其分布、多維隨機變量的數(shù)值特征、大數(shù)定律與中心極限定理.每章配有習(xí)題，書末附有部分習(xí)題答案或提示,便于讀者學(xué)習(xí)和檢查所學(xué)知識.本書著眼于理論聯(lián)系實際，通過精選例題并結(jié)合其他學(xué)科的問題介紹概率論的思想、模型、方法和計算.如結(jié)合復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)介紹冪律分布;結(jié)合壽命介紹Gamma分布;結(jié)合股價介紹對數(shù)正態(tài)分布;結(jié)合風(fēng)險偏好介紹效用期望;結(jié)合保險費介紹隨機變量函數(shù)的期望;結(jié)合VaR介紹p-分位數(shù);結(jié)合證券投資組合介紹協(xié)方差矩陣;結(jié)合信息嫡優(yōu)選化介紹如何確定概率分布等．
概率論(第二版) 目錄
目錄
前言
**版前言
第1章 概率論概述 1
1.1 什么是概率? 概率論是什么? 1
1.2 必然性與偶然性的關(guān)系 1
1.3 概率論簡史 2
1.4 概率論的地位、角色和應(yīng)用 2
第2章 隨機事件及其概率 4
2.1 隨機事件 4
2.1.1 樣本空間和隨機事件 4
2.1.2 (隨機)事件的運算 5
2.2 相對頻率和概率準(zhǔn)則 7
2.3 古典概型 9
2.3.1 復(fù)習(xí)排列組合 10
2.3.2 古典概型的概率計算舉例 11
2.4 幾何概型 14
2.5 概率的公理化 17
2.5.1 概率的公理化定義 18
2.5.2 概率的性質(zhì) 20
2.6 條件概率、乘法公式及獨立性 22
2.7 全概率公式及貝葉斯準(zhǔn)則 26
2.8 事件列的極限、概率的連續(xù)性與Borel-Cantelli引理 31
2.8.1 事件列的極限 31
2.8.2 概率的連續(xù)性 32
2.8.3 Borel-Cantelli引理 33
習(xí)題2 34
第3章 隨機變量及其分布 39
3.1 隨機變量的定義 39
3.2 離散型隨機變量 41
3.2.1 離散型隨機變量的概念 41
3.2.2 常用離散型隨機變量的分布 42
3.3 分布函數(shù) 46
3.4 連續(xù)型隨機變量 49
3.4.1 連續(xù)型隨機變量的定義 49
3.4.2 常見的連續(xù)型隨機變量的分布 52
3.5 隨機變量函數(shù)的分布 60
3.5.1 離散型隨機變量函數(shù)的分布 60
3.5.2 連續(xù)型隨機變量函數(shù)的分布 61
*3.6 隨機變量的模擬 64
3.6.1 隨機數(shù)生成 64
3.6.2 離散型隨機變量的模擬 65
3.6.3 連續(xù)型隨機變量的模擬 66
習(xí)題3 67
第4章 隨機變量的數(shù)值特征 70
4.1 數(shù)學(xué)期望 70
4.1.1 數(shù)學(xué)期望的定義 70
4.1.2 常用分布的數(shù)學(xué)期望 73
4.1.3 重要的計算公式 73
4.1.4 隨機變量函數(shù)的期望 75
4.2 方差 79
4.2.1 方差的計算公式 80
4.2.2 常用分布的方差 80
4.2.3 方差的性質(zhì) 81
4.3 隨機變量的其他數(shù)值特征 83
*4.4 期望效用與風(fēng)險偏好 86
*4.5 信息熵與概率分布 88
習(xí)題4 94
第5章 多維隨機變量及其分布 96
5.1 多維隨機變量及聯(lián)合分布函數(shù) 96
5.1.1 多維隨機變量的定義 96
5.1.2 二維隨機變量的(聯(lián)合)分布函數(shù) 98
5.1.3 n維隨機變量的聯(lián)合分布函數(shù) 100
5.2 多維離散型隨機變量 102
5.2.1 二維離散型隨機變量 102
5.2.2 n維離散型隨機變量 104
5.3 多維連續(xù)型隨機變量 105
5.4 多維隨機變量的條件分布 111
5.4.1 離散型隨機變量的條件分布 111
5.4.2 連續(xù)型隨機變量的條件分布 113
5.5 多維隨機變量函數(shù)的分布 116
5.5.1 和差Z=X±Y的分布 116
5.5.2 乘積、商的分布 119
5.5.3 向量值函數(shù)的聯(lián)合分布 120
5.5.4 由條件分布引出的隨機變量 124
5.6 順序統(tǒng)計量 126
5.6.1 X(k)的分布 127
5.6.2 順序統(tǒng)計量的聯(lián)合密度函數(shù) 128
習(xí)題5 130
第6章 多維隨機變量的數(shù)值特征 137
6.1 多維隨機變量函數(shù)的期望 137
6.2 協(xié)方差與相關(guān)系數(shù) 143
6.3 協(xié)方差矩陣 148
6.4 條件期望 153
6.5 生成函數(shù)、矩生成函數(shù)與特征函數(shù) 155
6.5.1 生成函數(shù) 155
6.5.2 矩生成函數(shù) 158
6.5.3 特征函數(shù) 159
6.5.4 依分布收斂 165
習(xí)題6 168
第7章 大數(shù)定律與中心極限定理 173
7.1 大數(shù)定律 173
7.1.1 弱大數(shù)定律 174
7.1.2 強大數(shù)定律 175
7.2 中心極限定理 185
7.2.1 獨立同分布的中心極限定理 185
*7.2.2 Lindeberg條件和Feller條件 193
7.3 大數(shù)定律與中心極限定理的聯(lián)系 201
7.4 隨機變量序列4種收斂性之間的關(guān)系 202
習(xí)題7 206
部分習(xí)題參考答案 210
參考文獻 216
附表1 Poisson分布表 217
附表2 標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布表 218
前言
**版前言
第1章 概率論概述 1
1.1 什么是概率? 概率論是什么? 1
1.2 必然性與偶然性的關(guān)系 1
1.3 概率論簡史 2
1.4 概率論的地位、角色和應(yīng)用 2
第2章 隨機事件及其概率 4
2.1 隨機事件 4
2.1.1 樣本空間和隨機事件 4
2.1.2 (隨機)事件的運算 5
2.2 相對頻率和概率準(zhǔn)則 7
2.3 古典概型 9
2.3.1 復(fù)習(xí)排列組合 10
2.3.2 古典概型的概率計算舉例 11
2.4 幾何概型 14
2.5 概率的公理化 17
2.5.1 概率的公理化定義 18
2.5.2 概率的性質(zhì) 20
2.6 條件概率、乘法公式及獨立性 22
2.7 全概率公式及貝葉斯準(zhǔn)則 26
2.8 事件列的極限、概率的連續(xù)性與Borel-Cantelli引理 31
2.8.1 事件列的極限 31
2.8.2 概率的連續(xù)性 32
2.8.3 Borel-Cantelli引理 33
習(xí)題2 34
第3章 隨機變量及其分布 39
3.1 隨機變量的定義 39
3.2 離散型隨機變量 41
3.2.1 離散型隨機變量的概念 41
3.2.2 常用離散型隨機變量的分布 42
3.3 分布函數(shù) 46
3.4 連續(xù)型隨機變量 49
3.4.1 連續(xù)型隨機變量的定義 49
3.4.2 常見的連續(xù)型隨機變量的分布 52
3.5 隨機變量函數(shù)的分布 60
3.5.1 離散型隨機變量函數(shù)的分布 60
3.5.2 連續(xù)型隨機變量函數(shù)的分布 61
*3.6 隨機變量的模擬 64
3.6.1 隨機數(shù)生成 64
3.6.2 離散型隨機變量的模擬 65
3.6.3 連續(xù)型隨機變量的模擬 66
習(xí)題3 67
第4章 隨機變量的數(shù)值特征 70
4.1 數(shù)學(xué)期望 70
4.1.1 數(shù)學(xué)期望的定義 70
4.1.2 常用分布的數(shù)學(xué)期望 73
4.1.3 重要的計算公式 73
4.1.4 隨機變量函數(shù)的期望 75
4.2 方差 79
4.2.1 方差的計算公式 80
4.2.2 常用分布的方差 80
4.2.3 方差的性質(zhì) 81
4.3 隨機變量的其他數(shù)值特征 83
*4.4 期望效用與風(fēng)險偏好 86
*4.5 信息熵與概率分布 88
習(xí)題4 94
第5章 多維隨機變量及其分布 96
5.1 多維隨機變量及聯(lián)合分布函數(shù) 96
5.1.1 多維隨機變量的定義 96
5.1.2 二維隨機變量的(聯(lián)合)分布函數(shù) 98
5.1.3 n維隨機變量的聯(lián)合分布函數(shù) 100
5.2 多維離散型隨機變量 102
5.2.1 二維離散型隨機變量 102
5.2.2 n維離散型隨機變量 104
5.3 多維連續(xù)型隨機變量 105
5.4 多維隨機變量的條件分布 111
5.4.1 離散型隨機變量的條件分布 111
5.4.2 連續(xù)型隨機變量的條件分布 113
5.5 多維隨機變量函數(shù)的分布 116
5.5.1 和差Z=X±Y的分布 116
5.5.2 乘積、商的分布 119
5.5.3 向量值函數(shù)的聯(lián)合分布 120
5.5.4 由條件分布引出的隨機變量 124
5.6 順序統(tǒng)計量 126
5.6.1 X(k)的分布 127
5.6.2 順序統(tǒng)計量的聯(lián)合密度函數(shù) 128
習(xí)題5 130
第6章 多維隨機變量的數(shù)值特征 137
6.1 多維隨機變量函數(shù)的期望 137
6.2 協(xié)方差與相關(guān)系數(shù) 143
6.3 協(xié)方差矩陣 148
6.4 條件期望 153
6.5 生成函數(shù)、矩生成函數(shù)與特征函數(shù) 155
6.5.1 生成函數(shù) 155
6.5.2 矩生成函數(shù) 158
6.5.3 特征函數(shù) 159
6.5.4 依分布收斂 165
習(xí)題6 168
第7章 大數(shù)定律與中心極限定理 173
7.1 大數(shù)定律 173
7.1.1 弱大數(shù)定律 174
7.1.2 強大數(shù)定律 175
7.2 中心極限定理 185
7.2.1 獨立同分布的中心極限定理 185
*7.2.2 Lindeberg條件和Feller條件 193
7.3 大數(shù)定律與中心極限定理的聯(lián)系 201
7.4 隨機變量序列4種收斂性之間的關(guān)系 202
習(xí)題7 206
部分習(xí)題參考答案 210
參考文獻 216
附表1 Poisson分布表 217
附表2 標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布表 218
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概率論(第二版) 節(jié)選
第1章 概率論概述 1.1 什么是概率?概率論是什么? 概率 隨機現(xiàn)象(或隨機事件)出現(xiàn)(或發(fā)生)的可能性大小的一種度量. 概率論 研究隨機現(xiàn)象統(tǒng)計規(guī)律的一門數(shù)學(xué)分支學(xué)科. 隨機現(xiàn)象 在一定條件下并不總是出現(xiàn)相同結(jié)果(每次結(jié)果具有一定偶然性)的現(xiàn)象，又稱偶然現(xiàn)象，例如投硬幣、擲骰子等.與之對應(yīng)的是確定現(xiàn)象. 統(tǒng)計規(guī)律大量偶然現(xiàn)象所呈現(xiàn)的某種必然性，它是不依從人的意志所轉(zhuǎn)移的客觀規(guī)律.具體說，就是各種隨機現(xiàn)象出現(xiàn)(或發(fā)生)的可能性大小的度量，即概率或概率分布. 圖1.1 例1.1.1 (Galton(高爾頓)釘板)如圖1.1，自上端放入小球，讓其自由下落，在下落的過程中碰到釘子時，從左邊落下和從右邊落下的可能性相同.大量落下小球，就會出現(xiàn)規(guī)律性.無論是張三還是李四，試驗結(jié)果大致相同: 小球的分布像一個“鐘形”，這就是一種統(tǒng)計規(guī)律，是一種不以人的意志為轉(zhuǎn)移的客觀規(guī)律. 1.2 必然性與偶然性的關(guān)系 從哲學(xué)上講:必然性和偶然性是對立統(tǒng)一的.必然性總是通過大量的偶然性表現(xiàn)出來，偶然性是必然性的表現(xiàn)形式和必要補充.必然性和偶然性在一定條件下相互轉(zhuǎn)化.也就是說， (1)必然性和偶然性是同時存在的; (2)必然性存在于偶然性中，它通過大量的偶然性表現(xiàn)出來; (3)偶然性中隱藏著必然性，它是必然性的補充和表現(xiàn)形式; (4)它們在一定條件下可相互轉(zhuǎn)化. 1.3 概率論簡史 “好賭似乎是人類的天性”.追溯概率論，可以說它起源于賭博問題的概率計算. 據(jù)記載，人類*早的賭博游戲開始于公元前1400年，古埃及人為了忘卻饑餓，經(jīng)常聚在一起擲一種類似于現(xiàn)在骰子的東西來進行賭博.15—16世紀(jì)，意大利數(shù)學(xué)家Cardano(卡爾達諾)、Tartaglia(塔塔利亞)等研究過賭博問題，并未引起當(dāng)時人們的注意. 1654年左右，愛好賭博的法國貴族Méray(梅雷)向Pascal(帕斯卡)提出了兩個問題. (1)賭金分配問題:甲乙兩個人同擲(讓中間人擲骰子)，如果甲先擲出了3次“6”點，或乙先擲出3次“4”點，就贏了全部賭金.若甲已有2次“6”點，乙有1次“4”點，問如何分配賭金? (2)一對骰子拋擲25次，把賭注押到“至少出現(xiàn)一次雙6點”是否比“完全不出現(xiàn)雙6點”有利? Pascal和他的好友Fermat(費馬，法)進行通信討論，后來，荷蘭數(shù)學(xué)家、物理學(xué)家Huygens(惠更斯)也加入了討論，并寫了《論賭博中的計算》一書.18、19世紀(jì)，隨著社會的發(fā)展和生產(chǎn)實踐的需要，特別是在人口統(tǒng)計、保險、測量、射擊等方面提出了大量的概率問題，促使人們在概率的極限定理(大數(shù)定律和中心極限定理)等方面進行深入地研究，這時期先后對概率論發(fā)展做出重要貢獻的數(shù)學(xué)家有:Bernoulli(伯努利，瑞士)、Laplace(拉普拉斯，法)、Poisson(泊松，法)、Gauss(高斯，德). 20世紀(jì)初，俄羅斯學(xué)派也做出重要貢獻:Chebyshev(切比雪夫，俄)不等式、Markov(馬爾可夫，俄)過程.1933年，Kolmogorov(柯爾莫哥洛夫，蘇聯(lián))提出了概率論的公理化體系，這不僅部分地回答了Hilbert(希爾伯特)23個問題中的第6個問題:“物理學(xué)的公理化”，Hilbert建議用數(shù)學(xué)的公理化方法推演出全部物理學(xué)，首先是在概率論和力學(xué)領(lǐng)域，更重要的是，它為概率論的蓬勃發(fā)展和廣泛應(yīng)用奠定了堅實的理論基礎(chǔ). 1.4 概率論的地位、角色和應(yīng)用 概率論在數(shù)學(xué)與統(tǒng)計學(xué)中的地位與角色如圖1.2所示. 圖1.2 應(yīng)用 統(tǒng)計物理:用概率統(tǒng)計的方法對由大量微觀粒子所構(gòu)成的宏觀物體的物理性質(zhì)及宏觀規(guī)律做出微觀解釋.由微觀粒子狀態(tài)的等概率性假設(shè)導(dǎo)出宏觀物理性質(zhì)——熱力學(xué)性質(zhì). 1827年，Brown(布朗)發(fā)現(xiàn)花粉在液體中做不規(guī)則運動;1905年，Einstein(愛因斯坦)依據(jù)分子運動論的原理給出了分子運動的統(tǒng)計規(guī)律(分布)，為證實分子的存在性找到了一種方法，同時也闡明了布朗運動的根源及其統(tǒng)計規(guī)律性.量子力學(xué):薛定諤運用概率波函數(shù)得到了薛定諤方程.根據(jù)海森伯不確定性原理，微觀粒子的位置與動量不可同時被精確確定，這時我們需要用概率方法來建模.在高能物理中，量子能級分布可用隨機矩陣的譜分布來刻畫. 天氣預(yù)報:在實際生活中，我們可以用概率方法來預(yù)報降水的概率，描述PM2.5濃度的分布等. 經(jīng)濟金融:1900年，Bachelier的博士論文(投機理論)首次運用布朗運動來描述股價;保險精算中發(fā)生理賠的次數(shù);在證券投資組合中，各資產(chǎn)的收益、期權(quán)定價等，都需要用到概率模型和方法來描述與分析. 醫(yī)學(xué):在臨床醫(yī)學(xué)中，各種疾病發(fā)病率、療效率、死亡率等都需要用概率統(tǒng)計的方法進行估計與分析. 軍事:我們可能運用概率模型和方法分析各種武器的命中率、失效率、殺傷力等性能. 社會學(xué):我們常用出生率、死亡率建立人口數(shù)量變化的隨機模型，描述人口變化規(guī)律.通過分析《紅樓夢》各章回中虛詞出現(xiàn)的頻率及它們的相互關(guān)系來分析、判斷《紅樓夢》的作者.我們可以用隨機網(wǎng)絡(luò)的度分布來描述人際關(guān)系網(wǎng)絡(luò)、論文相互引用網(wǎng)絡(luò)、各公司資金流動網(wǎng)絡(luò)等. 上述都大量涉及利用概率方法與建模. 這一章我們將討論隨機事件及其運算規(guī)律，古典概型和幾何概型，概率的公理化定義及其性質(zhì)，條件概率與隨機事件的獨立性、乘法公式、全概率公式和貝葉斯公式，這些是學(xué)習(xí)以后各章的基礎(chǔ). 2.1 隨機事件 問題什么是隨機事件?其數(shù)學(xué)本質(zhì)是什么?有什么運算規(guī)律? 2.1.1 樣本空間和隨機事件 問題2.1.1我們考察某大學(xué)生每天使用手機某款應(yīng)用軟件(APP)上網(wǎng)的時間 (單位:小時)，該生每天手機上網(wǎng)時間是隨機的，是隨機現(xiàn)象.我們關(guān)心如下問題: (1)該生在某天沒有用該APP的概率? (2)該生在某天用該APP的時間不超過2小時的概率? (3)如何刻畫背后的統(tǒng)計規(guī)律? 問題2.1.2我們考察某公交車站旁邊每天上午9:00的共享單車的數(shù)量，每天共享單車的數(shù)量是不一樣的，具有一定的隨機性.我們關(guān)心如下問題: (1)某天該公交車站旁邊沒有共享單車的概率? (2)某天該公交車站旁邊共享單車數(shù)量在100到200之間的概率? (3)又該如何刻畫背后的統(tǒng)計規(guī)律? 生活中還存在大量的像這樣的隨機現(xiàn)象.我們要研究隨機現(xiàn)象，需要引進如下概念: 隨機試驗對隨機現(xiàn)象的觀測，我們稱為隨機試驗. 樣本空間隨機試驗中的所有可能結(jié)果的全體，記為Ω. 樣本點隨機試驗中一種可能的結(jié)果，或者說樣本空間Ω中的元素ω. 在問題2.1.1中，樣本空間為Ω={x:0.x.24};在問題2.1.2中，樣本空間為Ω={0，1，2，3， }. 例2.1.1(1)觀察新生嬰兒的性別，Ω={男孩，女孩}; (2)“五一”國際勞動節(jié)的天氣，Ω={下雨，不下雨}; (3)“五一”國際勞動節(jié)前*后一個交易日的股票價格，Ω={x:x.0}; (4)本周末光顧某超市的人數(shù)，Ω={0，1，2， }. 隨機事件通俗講，在觀察隨機現(xiàn)象中，可能發(fā)生也可能不發(fā)生，而在大量重復(fù)試驗中具有某種規(guī)律性的事件，稱為隨機事件，簡稱事件.從數(shù)學(xué)上說，隨機事件是樣本點的集合，或者說Ω的子集，記為A，B，C， .基本事件只包含一個樣本點的隨機事件(單點集). 不可能事件不包含任何樣本點的隨機事件(空集)， 必然事件包含所有樣本點的集合，Ω. 設(shè)A.Ω為隨機事件，則 事件A發(fā)生，當(dāng)且僅當(dāng)試驗結(jié)果ω∈A. 例2.1.2 在問題2.1.1中，事件該生在某天沒有用該為基本事件;事件該生在某天用該APP的時間不超過2小時，如果隨機試驗結(jié)果為1.2小時，則事件B發(fā)生;如果試驗結(jié)果為2.3小時，則事件B沒有發(fā)生. 2.1.2 (隨機)事件的運算 由于事件本質(zhì)上是集合，所以事件之間的關(guān)系與運算就轉(zhuǎn)化為集合間的關(guān)系與運算.這里我們要著重理解其概率解釋(含義). (1)事件的并(集合并集)A∪B表示A事件發(fā)生或B事件發(fā)生，A，B至少有一個發(fā)生.如圖2.1所示. Ai表示A1， ，An中至少一個發(fā)生; Ai表示A1，A2， 中至少一個發(fā)生. (2)事件的交(集合交集)A∩B表示A，B事件同時發(fā)生，有時也記為AB. 如圖2.2所示. Ai表示A1， ，An同時發(fā)生; Ai表示A1，A2， (可列無窮多個)同時發(fā)生. 圖2.1 圖2.2 例2.1.3 擲骰子一次，令A(yù)={2，4，6}，B={點數(shù).4}，則A∩B={4，6}. (3)事件的差(集合的差)B.A:=B.(A∩B)表示B發(fā)生且A不發(fā)生，如圖2.3所示. 圖2.3 (4)互不相容(不相交集合)AB=.表示A，B不能同時發(fā)生. 例2.1.4 擲骰子一次，A={1}，B={2}，則A，B互不相容，結(jié)果不可能出現(xiàn)點數(shù)既為1又為2. 若，則兩個事件的并可以寫成兩個事件的加和. (5)逆事件(補集合)，又稱為事件A的對立事件. (6)對稱差表示A，B至少有一個發(fā)生，但A，B不能同時發(fā)生(A，B僅有一個發(fā)生). 事件運算滿足通常的交換律、結(jié)合律和分配律: (1)交換律:A∪B=B∪A; (2)結(jié)合律:A∪(B∪C)=(A∪B)∪C; (3)分配律: A∩(B∪C)=(A∩B)∪(A∩C)， A∪(B∩C)=(A∪B)∩(A∪C); (4)對偶律(DeMorgan律): A∪B=A∩B，A∩B=A∪B. 證明 僅證(4)，易知且.于是，ω∈A且ω∈B，即. 同理證從而.類似可證:A∩B=A∪B. 一般地，事件并可以寫成互不相容的事件的加和: 多個事件的并也有類似的寫法. 2.2 相對頻率和概率準(zhǔn)則 問題隨機事件發(fā)生的概率就是它發(fā)生的可能性的大小，是一個客觀存在的數(shù).能不能用試驗來估計這個數(shù)呢? 定義2.2.1 設(shè)A為(隨機)事件，重復(fù)觀察n次，n(A)表示在n次試驗(或觀察)中A事件發(fā)生的次數(shù).則稱為事件A發(fā)生的(相對)頻率.
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