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微積分和數學分析引論 第二卷 第一分冊,第二分冊 版權信息
- ISBN：9787030085405
- 條形碼：9787030085405 ; 978-7-03-008540-5
- 裝幀：一般膠版紙
- 冊數：暫無
- 重量：暫無
- 所屬分類：>
微積分和數學分析引論 第二卷 第一分冊,第二分冊 內容簡介
《微積分和數學分析引論.第二卷》系統地闡述了微積分學的基本理論。在敘述上，作者盡量作到既嚴謹而又通俗易懂，并指出概念之間的內在聯系和直觀背景。原書分兩卷，**卷為單變量情形，第二卷為多變量情形。 第二卷中譯本分為兩冊出版。《微積分和數學分析引論.第二卷》是第二卷**分冊，包括前三章。第—章詳論多元函數及其導數，包括線性微分型及其積分，補充了數學分析中*基本的概念的嚴密證明；第二章在線性代數方面為現代數學分析的基礎準備了充分的材料；第三章敘述多元微分學的發展及應用，包括隱函數存在定理的嚴密證明，多元變換與映射的基本理論，曲線、曲面的微分幾何基礎知識以及外微分型等基本概念。原書有練習解答，分別編入各分冊。 譯者（按內容順序)：邵士敏、周建堂、張錦炎（**章)、劉婉如（第二章)、林建詳、張順燕、朱德威（第三章)、林源渠（解答)。
微積分和數學分析引論 第二卷 第一分冊,第二分冊 目錄
目錄
**章 多元函數及其導數 1
1.1 平面和空間的點和點集 1
a.點的序列:收斂性 1
b.平面上的點集 3
c.集合的邊界.閉集與開集 5
d.閉包作為極限點的集合 7
e.空間的點與點集 8
練習1.1 9
問題1.1 9
1.2 幾個自變量的函數 10
a.函數及其定義域 10
b.*簡單的函數 11
c.函數的幾何表示法 11
練習1.2 13
1.3 連續性 14
a.定義 14
b.多元函數的極限概念 16
c.無窮小函數的階 18
練習1.3 20
問題1.3 22
1.4 函數的偏導數 22
a.定義.幾何表示 22
練習1.4a 25
問題1.4a 27
b.例 27
c.偏導數的連續性與存在性 29
練習1.4c 30
d.微分次序的改變 31
練習1.4d 33
問題1.4d 34
1.5 函數的全微分及其幾何意義 34
a.可微性的概念 34
練習1.5a 37
問題1.5a 37
b.方向導數 37
練習1.5b 39
c.可微性的幾何解釋.切平面 40
練習1.5c 42
d.函數的微分 42
練習1.5d 45
e.在誤差計算方面的應用 45
練習1.5e 46
1.6 函數的函數(復合函數)與新自變量的引入 46
a.復合函數.鏈式法則 46
練習1.6a 50
問題1.6a 51
b.例 51
c.自變量的替換 53
練習1.6c 55
問題1.6c 56
1.7 多元函數的中值定理與泰勒定理 57
a.關于用多項式作近似的預備知識 57
練習1.7a 58
b.中值定理 58
練習1.7b 59
問題1.7b 60
c.多個自變量的泰勒定理 60
練習1.7c 62
問題1.7c 62
1.8 依賴于參量的函數的積分 63
a.例和定義 63
b.積分關于參量的連續性和可微性 65
練習1.8b 70
c.積分(次序)的互換.函數的光滑化 70
1.9 微分與線積分 72
a.線性微分型 72
b.線性微分型的線積分 75
練習1.9b 80
c.線積分對端點的相關性 80
1.10 線性微分型的可積性的基本定理 83
a.全微分的積分 83
b.線積分只依賴于端點的必要條件 84
c.可積條件的不足 85
d.單連通集 88
e.基本定理 90
附錄 92
A.1 多維空間的聚點原理及其應用 92
a.聚點原理 92
b.柯西收斂準則.緊性 93
c.海涅–博雷爾覆蓋定理 94
d.海涅–博雷爾定理在開集所包含的閉集上的應用 95
A.2 連續函數的基本性質 96
A.3 點集論的基本概念 97
a.集合與子集合 97
b.集合的并與交 99
c.應用于平面上的點集 101
A.4 齊次函數 103
第二章 向量、矩陣與線性變換 105
2.1 向量的運算 105
a.向量的定義 105
b.向量的幾何表示 106
c.向量的長度， 方向夾角 108
d.向量的數量積 111
e.超平面方程的向量形式 113
f.向量的線性相關與線性方程組 115
練習2.1 120
2.2 矩陣與線性變換 121
a.基的變換， 線性空間 121
b.矩陣 125
c.矩陣的運算 128
d.方陣.逆陣.正交陣 130
練習2.2 135
2.3 行列式 136
a.二階與三階行列式 136
b.向量的線性型與多線性型 139
c.多線性交替型.行列式的定義 142
d.行列式的主要性質 146
e.行列式對線性方程組的應用 150
練習2.3 151
2.4 行列式的幾何解釋 155
a.向量積與三維空間中平行六面體的體積 155
b.行列式關于一列的展開式.高維向量積 161
c.高維空間中的平行四邊形的面積與平行多面體的體積 163
d.n 維空間中平行多面體的定向 168
e.平面與超平面的定向 171
f.線性變換下平行多面體體積的改變 172
練習2.4 173
2.5 分析中的向量概念 175
a.向量場 175
b.數量場的梯度 176
c.向量場的散度和旋度 179
d.向量族.在空間曲線論和質點運動中的應用 181
練習2.5 184
第三章 微分學的發展和應用 187
3.1 隱函數 187
a.一般說明 187
練習3.1a 187
b.幾何解釋 188
練習3.1b 189
c.隱函數定理 189
練習3.1c 192
d.隱函數定理的證明 193
練習3.1d 195
e.多于兩個自變量的隱函數定理 196
練習3.1e 197
3.2 用隱函數形式表出的曲線與曲面 197
a.用隱函數形式表出的平面曲線 197
練習3.2a 201
b.曲線的奇點 202
練習3.2b 204
c.曲面的隱函數表示法 204
練習3.2c 206
3.3 函數組、變換與映射 208
a.一般說明 208
練習3.3a 211
b.曲線坐標 211
練習3.3b 213
c.推廣到多于兩個變量的情形 213
練習3.3c 215
d.反函數的微商公式 216
練習3.3d 218
e.映射的符號乘積 221
練習3.3e 223
f.關于變換及隱函數組的逆的一般定理.分解成元素映射 224
練習3.3f 228
g.用逐次逼近法迭代構造逆映射 229
練習3.3g 234
h.函數的相依性 234
練習3.3h 236
i.結束語 236
練習3.3i 238
3.4 應用 238
a.曲面理論的要素 238
練習3.4a 246
b.一般保角變換 247
練習3.4b 249
3.5 曲線族、曲面族， 以及它們的包絡 249
a.一般說明 249
練習3.5a 251
b.單參量曲線的包絡 251
練習3.5b 254
c.例 254
練習3.5c 259
d.曲面族的包絡 260
練習3.5d 262
3.6 交錯微分型 263
a.交錯微分型的定義 263
練習3.6a 266
b.微分型的和與積 266
練習3.6b 268
c.微分型的外微商 268
練習3.6c 272
d.任意坐標系中的外微分型 272
練習3.6d 280
3.7 *大與*小 280
a.必要條件 280
b.例 282
練習3.7b 284
c.帶有附加條件的*大與*小 285
練習3.7c 288
d.*簡單情形下不定乘數法的證明 288
練習3.7d 290
e.不定乘數法的推廣 291
練習3.7e 294
f.例 294
練習3.7f 297
附錄 299
A.1 極值的充分條件 299
練習A.1 303
A.2 臨界點的個數與向量場的指數 305
練習A.2 311
A.3 平面曲線的奇點 312
練習A.3 314
A.4 曲面的奇點 314
練習A.4 314
A.5 流體運動的歐拉表示法與拉格朗日表示法之間的聯系 315
練習A.5 316
A.6 閉曲線的切線表示法與周長不等式 316
練習A.6 318
第四章 多重積分 319
4.1 平面上的面積 319
a.面積的若爾當測度的定義 319
b.一個沒有面積的集合 322
c.面積的運算法則 322
練習4.1 324
4.2 二重積分 325
a.作為體積的二重積分 325
b.積分的一般分析概念 326
c.例 329
d.記號、推廣和基本法則 331
e.積分估計與中值定理 332
4.3 三維及高維區域上的積分 334
4.4 空間微分、質量與密度 335
4.5 化重積分為累次單積分 336
a.在矩形上的積分 336
b.積分交換次序.積分號下求微分 338
c.在更一般的區域上化二重積分為單重積分 340
d.在多維區域中的推廣 343
4.6 重積分的變換 345
a.平面上的積分的變換 345
b.高于二維的區域 349
練習4.6 350
4.7 廣義多重積分 352
a.有界集上函數的廣義積分 353
b.廣義積分一般收斂定理的證明 356
c.無界區域上的積分 359
練習4.7 361
4.8 在幾何中的應用 362
a.體積的初等計算 362
b.體積計算的一般性附注.旋轉體在球坐標系中的體積 364
c.曲面的面積 365
練習4.8 372
4.9 在物理中的應用 373
a.矩和質心 373
b.慣性矩 376
c.復合擺 377
d.吸引質量的勢 379
練習4.9 383
4.10 在曲線坐標中的重積分 385
a.重積分的分解 385
b.應用到移動曲線掃過的面積和移動曲面掃過的體積.古魯金公式.配極求積儀 388
4.11 任意維數的體積和曲面面積 392
a.高于三維的曲面面積和曲面積分 392
b.n 維空間中的球體面積和體積 394
c.推廣.參數表示 397
練習4.11 400
4.12 作為參數的函數的廣義單積分 401
a.一致收斂性.對參數的連續依賴性 401
b.廣義積分對參數的微分法和積分法 403
c.例 406
d.菲涅耳積分值的計算 411
練習4.12 411
4.13 傅里葉積分 413
a.引言 413
b.例 415
c.傅里葉積分定理的證明 417
d.傅里葉積分定理的收斂速度 421
e.傅里葉變換的帕塞瓦爾等式 423
f.多元函數的傅里葉變換 425
練習4.13 431
4.14 歐拉積分(伽馬函數)431
a.定義和函數方程 431
b.凸函數.波爾– 摩爾路波定理的證明 433
c.伽馬函數的無窮乘積 437
d.延拓定理 440
e.貝塔函數 442
f.分數次微商和積分， 阿貝爾積分方程 444
練習4.14 446
附錄積分過程的詳細分析 448
A.1 面積 448
a.平面的分劃和相應的內、外面積 448
b.若爾當可測集及其面積 450
c.面積的基本性質 451
A.2 多元函數的積分 455
a.函數f(x， y)的積分的定義 455
b.連續函數的可積性與在集合上的積分 457
c.重積分的基本法則 459
展開全部
微積分和數學分析引論 第二卷 第一分冊,第二分冊 節選
**章 多元函數及其導數 在**卷中曾討論過的極限、連續、導數和積分等概念，同樣也是二元或多元函數的基本概念.然而，有很多在一元函數理論中并不存在的新的現象，必須在多維中加以討論.通常一個定理只要對于兩個變量的函數可以證明它，那么在證明中不需要作任何本質的改變，就容易推廣到多于兩個變量的函數中去.因此，在以后的論述中我們常限于討論兩個變量的函數，其中各種關系都比較容易用幾何圖形來顯示，而只當由此得到一些另外的見解時，才對三個或更多個變量的函數加以討論;所得結果也同樣可以作簡單的幾何學的解釋. 1.1 平面和空間的點和點集 a.點的序列:收斂性 在一個笛卡兒平面坐標系中，一對有順序的數值(x，y)在幾何上可以用一個點P來表示，這個點的坐標為x和y.兩點P=(x，y)與P′=(x′，y′)之間的距離可以由公式求得.這是歐幾里得幾何學的基本公式.我們利用距離的概念可以定義一個點的鄰域.一個點C=(α，β)的ε鄰域是由所有那些與C的距離小于ε的點P=(x，y)構成的;從幾何學上說，這是一個以C為中心、以ε為半徑的圓盤1)，它可用不等式來描述.我們考慮無窮的點序列. 例如Pn=(n，n2)定義了一個序列，其中所有的點都在拋物線y=x2上.一序列中的點并不一定都不相同.例如，無窮序列只有兩個不同的元素. 如果能找到一個圓盤，它包含所有的Pn，也就是說，如果存在一個點Q與一個數M，使得對所有的n都有PnQ 與序列有關的*重要的概念是收斂的概念.我們說，一個點序列P1，P2， 收斂到一個點Q，或limPn=Q，是指距離PnQ收斂到零.這樣，limPn=Q就意味著對于每一個ε>0，都必然存在一個數N，使對于所有n>N，Pn都在Q的ε鄰域內1).舉一個例子.對于由定義的點序列，我們有limPn=(0，0)=Q，因為，在這里. 我們指出，Pn是沿著極坐標方程為r=e.θ/4的對數螺線趨于原點Q的(見圖1.1). 圖1.1 收斂序列Pn 點序列Pn=(xn，yn)收斂到點Q=(a，b)意味著，兩個數序列xn與yn分別收斂，且. 誠然，PnQ很小隱含著xn.a與yn.b都很小，因為;反之，從而當xn→a與yn→b時有PnQ→0. 如同數序列的情形一樣，我們可以利用柯西的內在收斂判別法來證明一個點序列收斂，而不需要知道它的極限值.這個判別法，在兩維中斷言:一個點序列Pn=(xn，yn)是收斂的必要充分條件是，對每一個ε>0，不等式PnPm b.平面上的點集 在討論單變量x的函數時，我們常允許x在一個“區間”內變化，區間可以是閉的或開的，可以是有界的或無界的.而對于高維空間中的函數所可能取的區域而言，必須考慮更多種類的集合，并且必須引進描述這些種類集合的簡單性質的一些述語.在平面中我們通常考慮的可以是曲線也可以是二維區域.平面曲線在**卷第四章中已廣泛地討論過.通常它們可以用“非參數”形式的一個函數y=f(x)給出，或者用“參數”形式的一對函數給出，或者用一個隱式方程F(x，y)=0給出(在第三章中我們將更多地講到隱式表示法). 除曲線之外，我們還有組成一個區域的二維點集.這個區域可以是整個xy平面，或者是由一簡單閉曲線圍成的一部分平面(在這種情況下，形成一個單連通區域如圖1.2所示)，或者是由幾個這類曲線圍成的一部分平面.在后一種情況下，我們稱之為多連通區域，邊界曲線的數目就叫做連通數;例如圖1.3就表示一個三連通區域.一個平面集合也可以是全然不連通的1)，而是由幾個分離部分組成的(圖1.4). 圖1.2 單連通區域 圖1.3 三連通區域 圖1.4 非連通區域 一般說來，要考慮的區域的邊界曲線都是逐段光滑的，亦即每一個這樣的曲線是由有限個弧組成的，每一段弧上所有的點，包括端點在內，都有一個連續轉動的切線.因此，這樣的曲線至多也只有有限個角. 在絕大多數情況下，我們用一個或多個不等式來描述一個區域，而在邊界的一些部分保持等號.有兩種*重要的區域形式是經常遇到的:一個是矩形區域(其各邊平行于坐標軸)，一個是圓盤.矩形區域(圖1.5)是由這樣一些點(x，y)構成的，它們的坐標滿足不等式a 顯然，對于S中任一個點P，我們可以找到一個以P=(α，β)為中心的小圓盤，它全部包含于S之中;我們只需要取一個P的ε鄰域，其中ε為足夠小的正值，使. 這表明在這里S的每一個點都是內點.S的邊界點P是那些剛好位于矩形的一個邊上或一個角上的點.在**種情況下，P的每一個足夠小的鄰域一半屬于S，一半不屬于S;在第二種情況下，每一個鄰域的四分之一屬于S而四分之三不屬于S(圖1.7). 圖1.7 矩形區域的內點A、外點D和邊界點B，C 根據定義，集合S的每一個內點P必須是S的點，這是因為存在P的一個鄰域，它的點全部都是S的點，而P又屬于這個鄰域.同樣，S的任何一個外點明確地不屬于S.另一方面，一個集合的邊界上的點，有時屬于有時不屬于這集合1). 開矩形并不包含其邊界點，而閉矩形則包含其邊界點. 一般說來，我們稱一個點集S是開的，如果S的邊界點都不屬于S(亦即，如果S由其全部內點組成).S叫做閉的，如果它包含它的邊界.對于任何一個集合S，我們總可以把一切原先并不屬于S的那些邊界點加到S上而得到一個閃集.這樣我們就得到一個新的集合，稱為S的閉包S.讀者可以容易地證明，S的閉包是一個閉集.外點是那些不屬于S的閉包的點.同樣地，我們可以定義S的內點組成的集合為S的內部S0，這個集合可以從S中減去全部邊界點而得到.S的內部是開的.
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