掃一掃
關注中圖網
官方微博
本類五星書更多>
-
>
宇宙、量子和人類心靈
-
>
氣候文明史
-
>
南極100天
-
>
考研數學專題練1200題
-
>
希格斯:“上帝粒子”的發明與發現
-
>
神農架疊層石:10多億年前遠古海洋微生物建造的大堡礁
-
>
聲音簡史
近世代數與應用 版權信息
- ISBN：9787030550743
- 條形碼：9787030550743 ; 978-7-03-055074-3
- 裝幀：一般膠版紙
- 冊數：暫無
- 重量：暫無
- 所屬分類：>
近世代數與應用 本書特色
本書可作為數學專業、信息與計算科學專業、電子通信等專業本科生教材， 也可供計算機科學技術、信息安全等專業研究生的應用數學教材及相關領域的 科研人員和工程技術人員參考.
近世代數與應用 內容簡介
本書首先介紹了近世代數的傳統知識，全書分為七章，分別集合論、二元關系、代數系統基礎知識、同余和同余方程、群論、環論論和域論.除此之外,還介紹了近世代數在現代通信技術中的典型應用。應用具體是第四章同余和同余方程中介紹了ElGamal公鑰密碼算法體制，含ElGamal數據的加密解密及ElGamal電子簽名和對兩種方案的安全性進行的討論。在第五章群論介紹了RSA公鑰密碼體制加密解密方案和對這個方案的安全性問題討論。在第七章介紹了通信系統中的的線性碼和循環碼的編碼與糾錯方案，包括編碼譯碼效率。為了讓不具備信息安全和編碼理論基礎的讀者有較好的的適應過程，書中所有的應用都是先介紹背景知識，然后才是介紹應用本身。書中每一個定理都給出了詳盡的證明過程，一般學生理解和接受不會有任何問題。本書書稿、電子ppt課件、習題解答材料齊全。書稿和習題解答采用美國數學學會AMS推薦的專業數學排版軟件Latex排版，Ppt采用專業排版軟件Beamer排版。編排效果美觀大方，非常方便教師授課與學生學習。
近世代數與應用 目錄
目錄
前言
第1章 集合論 1
1.1 基本概念 1
1.2 集合間的關系 3
1.3 集合的運算 4
1.3.1 集合的基本運算 4
1.3.2 集合的運算律 7
1.3.3 例題 7
1.4 包含排斥原理 8
1.4.1 兩個集合的包含排斥原理 8
1.4.2 三個集合的包含排斥原理 10
1.4.3 多個集合的包含排斥原理 10
1.5 冪集合與笛卡兒積 13
1.5.1 冪集合 13
1.5.2 笛卡兒積 13
1.6 集合運算與基數概念的擴展 15
1.6.1 并集、交集的擴展 15
1.6.2 基數概念的擴展 16
1.7 習題 19
第2章 二元關系 23
2.1 基本概念 23
2.1.1 二元關系的定義 23
2.1.2 關系的運算 24
2.2 一些特殊的關系 25
2.2.1 自反關系 25
2.2.2 對稱關系 25
2.2.3 傳遞關系 26
2.2.4 反自反關系 27
2.2.5 反對稱關系 27
2.3 復合關系 29
2.4 芙系的表示 31
2.4.1 用矩陣表示關系 31
2.4.2 用圖表示關系 32
2.4.3 特定關系的矩陣及其關系圖的屬性 33
2.4.4 復合關系的關系矩陣 36
2.5 逆關系 37
逆關系的性質 38
2.6 關系的閉包 39
2.6.1 自反、對稱和傳遞閉包 39
2.6.2 閉包的性質及求法 40
2.7 集合的劃分和覆蓋 44
2.7.1 劃分 44
2.7.2 交叉劃分 44
2.7.3 加細 45
2.8 等價關系與等價類 45
2.8.1 等價關系 45
2.8.2 等價類 47
2.8.3 劃分與等價關系 48
2.9 偏序 49
2.9.1 引言 49
2.9.2 字典順序 52
2.9.3 哈斯圖 54
2.9.4 極大元素與極小元素 55
2.9.5 格 57
2.10 函數 58
2.10.1 函數的定義 58
2.10.2 函數的合成 59
2.10.3 特殊函數類 60
2.11 習題 61
第3章 同余與同余方裎 66
3.1 整數和除法 66
3.2 整數 66
3.3 素數 68
3.4 *大公約數和*小公倍數 71
3.4.1 *大公約數和*小公倍數的定義 71
3.4.2 *大公約數和*小公倍數的求法 72
3.5 同余 73
同余定義及基本性質 73
3.6 剩余系 74
3.6.1 完全剩余系 74
3.6.2 既約剩余系、Euler函數和Euler定理 76
3.7 歐拉函數的計算 77
3.8 一次同余方程 80
3.8.1 一次同余方程的概念 80
3.8.2 一次同余方程的解 81
3.9 剩余定理 82
3.9.1 一次同余方程組 82
3.9.2 剩余定理的計算機大整數加法 84
3.10 原根 86
3.10.1 原根的定義 86
3.10.2 具有原根的正整數的分布 90
3.11 指數的算術 99
3.12 原根在密碼學中的應用 101
3.12.1 公鑰密碼學的背景知識 101
3.12.2 模重復平方計算方法 103
3.12.3 離散對數EIGamal公鑰加密方案 105
3.12.4 離散對數EIGamal公鑰簽名方案 107
3.12.5 EIGamal安全性討論 108
3.13 習題 109
第4章 二次剩余 112
4.1 模為合數的高次同余方程的解數 112
4.2 二次同余方程 117
4.3 勒讓德符號 12l
4.4 二次同余方程的求解 131
4.5 二次剩余的應用 137
4.5.1 二次剩余在拋幣協議中的應用 l37
4.5.2 二次剩余在零知識證明中的應用 140
第5章 代數系統的基本知識 145
5.1 二元運算及性質 145
5.1.1 二元運算的定義 145
5.1.2 二元運算的性質 146
5.2 代數系統 l50
5.2.1 代數系統的定義與實例 150
5.2.2 代數系統的同構與同態 151
5.3 習題 155
第6章 群論 157
6.1 半群 157
6.2 單位元和逆元 158
6.3 群 162
6.3.1 群的定義 162
6.3.2 群的同態 165
6.3.3 循環群 168
6.3.4 變換群 171
6.3.5 置換群 174
6.3.6 子群 178
6.3.7 子群的陪集 181
6.3.8 不變子群和商群 184
6.4 群在密碼學中的應用 186
6.4.1 兩個特殊的群Zn和玩 186
6.4.2 Z和Euler定理 188
6.4.3 基于Z的公鑰密碼系統RSA 188
6.4.4 RSA的安全性討論 190
6.5 習題 191
第7章 環論 193
7.1 環的定義 193
7.2 環的同構、子環 195
7.3 理想子環 197
7.4 習題 199
第8章 域 200
8.1 域的定義 200
8.2 子域 200
8.3 域的特征 201
8.4 域上的多項式環 202
8.5 域上多項式的帶余除法 203
8.6 多項式環的理想與商環 205
8.7 環與域在編碼糾錯理論中的應用 211
8.7.1 通信系統的基本模型 211
8.7.2 編碼理論的基本知識 212
8.7.3 線性分組碼的編碼與譯碼方案 219
8.7.4 線性分組碼的譯碼效率 227
8.7.5 循環碼的編碼與譯碼方案 229
8.7.6 循環碼的譯碼效率 238
8.8 習題 241
參考文獻 242
前言
第1章 集合論 1
1.1 基本概念 1
1.2 集合間的關系 3
1.3 集合的運算 4
1.3.1 集合的基本運算 4
1.3.2 集合的運算律 7
1.3.3 例題 7
1.4 包含排斥原理 8
1.4.1 兩個集合的包含排斥原理 8
1.4.2 三個集合的包含排斥原理 10
1.4.3 多個集合的包含排斥原理 10
1.5 冪集合與笛卡兒積 13
1.5.1 冪集合 13
1.5.2 笛卡兒積 13
1.6 集合運算與基數概念的擴展 15
1.6.1 并集、交集的擴展 15
1.6.2 基數概念的擴展 16
1.7 習題 19
第2章 二元關系 23
2.1 基本概念 23
2.1.1 二元關系的定義 23
2.1.2 關系的運算 24
2.2 一些特殊的關系 25
2.2.1 自反關系 25
2.2.2 對稱關系 25
2.2.3 傳遞關系 26
2.2.4 反自反關系 27
2.2.5 反對稱關系 27
2.3 復合關系 29
2.4 芙系的表示 31
2.4.1 用矩陣表示關系 31
2.4.2 用圖表示關系 32
2.4.3 特定關系的矩陣及其關系圖的屬性 33
2.4.4 復合關系的關系矩陣 36
2.5 逆關系 37
逆關系的性質 38
2.6 關系的閉包 39
2.6.1 自反、對稱和傳遞閉包 39
2.6.2 閉包的性質及求法 40
2.7 集合的劃分和覆蓋 44
2.7.1 劃分 44
2.7.2 交叉劃分 44
2.7.3 加細 45
2.8 等價關系與等價類 45
2.8.1 等價關系 45
2.8.2 等價類 47
2.8.3 劃分與等價關系 48
2.9 偏序 49
2.9.1 引言 49
2.9.2 字典順序 52
2.9.3 哈斯圖 54
2.9.4 極大元素與極小元素 55
2.9.5 格 57
2.10 函數 58
2.10.1 函數的定義 58
2.10.2 函數的合成 59
2.10.3 特殊函數類 60
2.11 習題 61
第3章 同余與同余方裎 66
3.1 整數和除法 66
3.2 整數 66
3.3 素數 68
3.4 *大公約數和*小公倍數 71
3.4.1 *大公約數和*小公倍數的定義 71
3.4.2 *大公約數和*小公倍數的求法 72
3.5 同余 73
同余定義及基本性質 73
3.6 剩余系 74
3.6.1 完全剩余系 74
3.6.2 既約剩余系、Euler函數和Euler定理 76
3.7 歐拉函數的計算 77
3.8 一次同余方程 80
3.8.1 一次同余方程的概念 80
3.8.2 一次同余方程的解 81
3.9 剩余定理 82
3.9.1 一次同余方程組 82
3.9.2 剩余定理的計算機大整數加法 84
3.10 原根 86
3.10.1 原根的定義 86
3.10.2 具有原根的正整數的分布 90
3.11 指數的算術 99
3.12 原根在密碼學中的應用 101
3.12.1 公鑰密碼學的背景知識 101
3.12.2 模重復平方計算方法 103
3.12.3 離散對數EIGamal公鑰加密方案 105
3.12.4 離散對數EIGamal公鑰簽名方案 107
3.12.5 EIGamal安全性討論 108
3.13 習題 109
第4章 二次剩余 112
4.1 模為合數的高次同余方程的解數 112
4.2 二次同余方程 117
4.3 勒讓德符號 12l
4.4 二次同余方程的求解 131
4.5 二次剩余的應用 137
4.5.1 二次剩余在拋幣協議中的應用 l37
4.5.2 二次剩余在零知識證明中的應用 140
第5章 代數系統的基本知識 145
5.1 二元運算及性質 145
5.1.1 二元運算的定義 145
5.1.2 二元運算的性質 146
5.2 代數系統 l50
5.2.1 代數系統的定義與實例 150
5.2.2 代數系統的同構與同態 151
5.3 習題 155
第6章 群論 157
6.1 半群 157
6.2 單位元和逆元 158
6.3 群 162
6.3.1 群的定義 162
6.3.2 群的同態 165
6.3.3 循環群 168
6.3.4 變換群 171
6.3.5 置換群 174
6.3.6 子群 178
6.3.7 子群的陪集 181
6.3.8 不變子群和商群 184
6.4 群在密碼學中的應用 186
6.4.1 兩個特殊的群Zn和玩 186
6.4.2 Z和Euler定理 188
6.4.3 基于Z的公鑰密碼系統RSA 188
6.4.4 RSA的安全性討論 190
6.5 習題 191
第7章 環論 193
7.1 環的定義 193
7.2 環的同構、子環 195
7.3 理想子環 197
7.4 習題 199
第8章 域 200
8.1 域的定義 200
8.2 子域 200
8.3 域的特征 201
8.4 域上的多項式環 202
8.5 域上多項式的帶余除法 203
8.6 多項式環的理想與商環 205
8.7 環與域在編碼糾錯理論中的應用 211
8.7.1 通信系統的基本模型 211
8.7.2 編碼理論的基本知識 212
8.7.3 線性分組碼的編碼與譯碼方案 219
8.7.4 線性分組碼的譯碼效率 227
8.7.5 循環碼的編碼與譯碼方案 229
8.7.6 循環碼的譯碼效率 238
8.8 習題 241
參考文獻 242
展開全部
近世代數與應用 節選
第1章 集合論 集合論簡稱集論.這一數學分支是在19世紀初開始發展起來的.德國數學家康托爾(G.Cantor)是集合論的奠基人. 集合的概念在現實世界中有廣泛的背景，每個人對集合都有一定的樸素印象.把人們直觀上或思維上的那些確定的、與其他事物有明顯區別的對象匯集在一起就可以說是一個集合. 集合論研究集合的性質、集合間的關系和運算等.集合論的概念和研究方法已經滲透到所有的數學分支，并且改變了它們的面貌. 本章主要對集合論作簡單介紹. 1.1 基本概念 數學中的概念有兩種定義形式.其中，一種概念可以用嚴格的數學邏輯形式來定義，稱為可定義概念.另一種則不能用嚴格形式來定義，而只能用語言對它進行大致的描述，稱為不可定義概念.集合便屬于后一種.雖然我們不能給集合以確切的定義，但是一提到一個集合，我們便都清楚所指的是什么，這是因為所提集合中的事物都具有某種共同的性質. 定義1.1把具有某種共同屬性的事物的全體稱為一個集合. 通常用大寫字母A，B，C， ，M等表示集合.集合中的每一個事物稱為集合的元素.常用小寫字母a，b，c， ，m等表示集合中的元素. 上面對集合給出了一個描述性的定義.在研究具體問題時，還需把集合具體表示出來.集合的常用表示法有三種. 列舉法：把集合中的元素一一列舉出來，兩端用花括號括起來. 例1.1 小于5的所有非負整數組成的集合. 例1.2 全體正奇數集合. 描述法：若集合中元素x具有某種性質p(x)，可在花括號內用語言敘述，即表示成具有性質，簡記為. 例1.3 全體有理數的集合. 例1.4 方程x2-1=0的解的集合. 圖示法：文氏圖是用圖形表示集合*常見的方法.文氏圖(或稱維恩圖)是以英國數學家John Venn的名字命名的，他在1881年介紹了這種圖的使用.我們把所考慮的所有對象的集合記為U，U稱為全集.在文氏圖中，全集用長方形表示.在長方形內部，用圓或其他幾何圖形表示集合，用點來表示集合中的特定的元素.文氏圖的優點是能形象和直觀地表示集合與集合之間的關系. 下面的例子解釋了怎樣用文氏圖表示集合. 例1.5 畫一個表示英文字母中元音字母集合V的文氏圖. 解此種情況下，可以認為全集U為考慮的所有26個英文字母組成的集合，畫一個長方形表示全集U.在長方形內部畫一個圓表示元音字母集合V，在圓中用點表示集合V的五個元素，參見圖1.1. 圖1.1 英文元音字母的文氏圖 例1.6在有理數集合內討論它的一些元素所成的集合，如自然數集合、整數集合、奇數集合、方程x2-1=0的解集等，都是一些有理數組成的集合.全體有理數構成的集合包含了我們所考慮對象的全體元素，在這個例子中的全集U就是所有有理數構成的集合. 例1.5和例1.6中的全集顯然是不同的.因為我們總是在一定的環境中考慮全集，故全集的概念是相對的. 與全集相對應，一個不包含任何元素的集合稱為空集合，簡稱空集，空集用ф來表示. 例1.7方程x2+1=0的實數解的集合便是空集. 注1所謂給出一個集合，就是規定了這個集合是由哪些元素組成的.并且對于任意一個元素a，都能明確判斷a是這個集合的元素，或者a不是這個集合的元素，二者必居其一.注2集合里有若干相同的元素時，這些相同的元素只能算作一個，只用一個符號表示出來.例如，元素1在集合M中雖出現了三次，但元素1只能算作集合M的一個元素，通常寫成. 注3在集合里，不考慮元素的順序.例如，集合雖然元素順序不同，但都認為是同一個集合. 注4對于某個元素a，由于a或者是集合A的元素，或者不是集合A的元素，元素與集合的這種關系稱為從屬關系. 若a是集合A中的元素，就說a屬于A，記為a∈A.“∈”讀作“屬于”. 若a不是集合A的元素，就說a不屬于A，記為a？A或.“？”或“∈”讀作“不屬于”. 例1.8A={x丨x是自然數}，則3∈A，10∈A，199∈A，而-5？A. 1.2 集合間的關系 集合之間也有許多特定的關系，下面分別討論. 定義1.2如果集合A與B的元素相同，則稱這兩個集合是相等的.記為A=B，否則稱這兩個集合不相等，記為A6=B. 例1.9集合A={1，2}與集合B={x丨x是方程x2-3x+2=0的解}，有相同的元素，所以A=B. 例1.10集合A={1，2，3，4}與集合B={5，6，7，8}是兩個不相等集合，即A≠B. 定義1.3設有集合A、B，若對于任一a∈A，都有a∈B，則稱集合A是集合B的子集，我們說集合A包含于集合B，或者說B包含A，記為 讀作包含于，讀作包含. 若B∈A且有b∈B，b？A，則稱A是B的真子集，或者說B真包含A，記為 B∈A或A∈B ∈讀作真包含，∈讀作真包含于.也可以記作或. 若A不包含于B，或者B不包含A，記作 A？B或B？A A是B的真子集的文氏圖表示方法，如圖1.2所示. 圖1.2 A是B的真子集 下面再給出一個例子. 例1.11設A={a，b，b，c}，B={a，b，c}，則A=B；設A={1，2，3， ，100}，則A∈N且有A∈N(這里N是全體自然數組成的集合)；設B={x>0}，則A∈B且有A∈B. 下面的幾個結論都比較明顯. 定理1.1 對任意集合A，必有ф∈A. 證明假設A不包含ф，按照符號∈的定義，則至少存在一個元素x，x∈ф；且x？A，但ф中沒有元素，故x？ф這與空集中沒有元素相矛盾，這個矛盾說明必有，證畢. 定理1.2 對任意集合A，都有U∈A. 證明因為對于任意x∈A，都有x∈U，所以A∈U. 定理1.3 對任意集合A，必有. 證明將上面的兩個定理合在一起便知. 定理1.4 設有集合A、B，則A=B的充要條件是A.B且B.A. 證明設A∈B且B∈A.假設A？B，由定義1.2可知，A與B的元素不相同，那么存在元素x屬于A，而x不屬于B或者存在元素y屬于B，而元素y不屬于A.不失一般性設為前者，即x∈A，x？B；但由于A∈B，故當x∈A時必有x∈B，與x？B矛盾，這個矛盾表明A=B. 設A=B.若A∈B和B∈A至少有一個不成立；不妨設B∈A不成立，則必至少存在一個x∈A且，這與A=B是矛盾的，故A∈B且B∈A成立，證畢. 1.3 集合的運算 集合的運算就是從已知的集合產生新的集合的方法. 1.3.1 集合的基本運算 定義1.4由集合A、B的所有元素合并組成的集合稱為集合A與B的并集，記作A∈B.即 圖1.3的文氏圖表示了集合A和集合B的并集，代表集合A的圓圈和代表B的圓圈內的陰影區域表示A和B的并集. 圖1.3 集合A與B的并集 例1.12 若A={a，b，c，d}，B={c，d，e}，則 例1.13 A={xjx是有理數}，B={x丨x是無理數}，C=AB={x丨x是實數}. 注5兩個集合的公共元素在并集中只能出現一次. 定義1.5由集合A、B所有的公共元素所組成的集合稱為集合A與B的交集，記作 A∈B.即 圖1.4的文氏圖表示了集合A和集合B的交集，代表集合A的圓圈和代表B的圓圈內公共的陰影區域表示A和B的交集. 圖1.4 集合A與B的交集 例1.14 若A={1，2，3，4}，B={2，4，6，8}，則A∈B={2，4}. 例1.15 若A={x丨x>3}，B={x丨x}，則 定義1.6集合A、B若滿足，則稱A、B是分離的，也稱A、B不相交. 例1.16 A={1，2，3}，B={a，b，c}，則，即A與B是分離的. 定義1.7由集合A、B中所有屬于A而不屬于B的元素所組成的集合稱為A與B的差集，記作A.B，A和B的差集，也稱為B對于A的補集.即 圖1.5的文氏圖表示了集合A和集合B的差集，在代表集合A的圓圈內部和代表B的圓圈外的陰影區域表示A和B的差集. 圖1.5 集合A與B的差集 例1.17 A={a，b，c，d}和B={b，c，e}，則A.B={a，d}，B.A={e}. 定義1.8 全集U與其子集A的差集稱為集合A的補集，記作A，于是A=U-A. 圖1.6 中代表集合A的圓圈外面的陰影區域表示A. 圖1.6 集合A的補集 例1.18 設U={0，1，2，3， }，A={0，2，4，6， }，則 定義1.9 集合A、B的對稱差記作A-B，定義為 例1.19 A={1，2，3，4}，B={3，4，5，6}，則 前面我們定義了兩個集合的交集.兩個集合的交集是由兩個集合中公共元素組成的集合.而對稱差與之正好相反，它恰是去掉兩個集合的所有公共元素，由剩下的所有元素組成的集合. 下面介紹幾個集合運算的重要公式. 定理1.5對于任意的集合A、B，有 證明A∈A[B，B∈AB顯然成立.其次，如果x∈AB，則x∈A且x∈B，故且，證畢. 定理1.6若，則. 證明設x∈AB，則x∈A或x∈B.若x∈A，則由A∈B可知x∈B，總之有AB∈B.根據定理1.5有B∈AB，故AB=B.同理AB∈A，證畢. 定理1.7設A、B為任意集合，則有 證明x∈A.B，x∈A且x？B，且x∈B，故 設x∈A.B，即x2A且，故必有x=2AB，因此x2[A.(A\B)]，即 又設，則x∈A且x？AB，即x∈A且；即x∈A且或x∈B](注：(A∈B)=A后面將介紹).但x∈A且x∈A是不可能的，故只能有x∈A且x∈B.即x∈A-B，從而得到A-(A∈B)∈A-B.因此
書友推薦
- >
姑媽的寶刀
- >
隨園食單
- >
【精裝繪本】畫給孩子的中國神話
- >
大紅狗在馬戲團-大紅狗克里弗-助人
- >
中國歷史的瞬間
- >
推拿
- >
小考拉的故事-套裝共3冊
- >
史學評論
本類暢銷
