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微積分和數學分析引論 第一卷 第一分冊,第二分冊 版權信息
- ISBN：9787030084699
- 條形碼：9787030084699 ; 978-7-03-008469-9
- 裝幀：一般膠版紙
- 冊數：暫無
- 重量：暫無
- 所屬分類：>
微積分和數學分析引論 第一卷 第一分冊,第二分冊 內容簡介
《微積分和數學分析引論 》在歷經21年后，重新改版上市，本版采取了兩卷裝形式。系統地闡述了微積分學的基本理論. 在敘述上, 作者盡量做到既嚴謹而又通俗易懂, 并指出概念之間的內在聯系和直觀背景。 **卷為單變量情形，**卷包括九章, 前三章主要介紹函數、極限、微分和積分的基本概念及其運算; 第四章介紹微積分在物理和幾何中的應用; 第五章講述泰勒展開式;第六章講述數值方法; 第七章介紹無窮和與無窮乘積的概念; 第八章為三角級數; 第九章是與振動有關的簡單類型的微分方程. 本書包含大量的例題和習題, 有助于讀者理解本書的內容. 第二卷為多變量情形.第二卷包括八章. **章詳論多元函數及其導數, 包括線性微分型及其積分, 補充了數學分析中基本的概念的嚴密證明; 第二章在線性代數方面為現代數學分析的基礎準備了充分的材料; 第三章敘述多元微分學的發展及應用, 包括隱函數存在定理的嚴密證明, 多元變換與映射的基本理論, 曲線、曲面的微分幾何基礎知識以及外微分型等基本概念; 第四章介紹多重積分; 第五章講述面積分和體積分之間的關系; 第六章介紹微分方程; 第七章介紹變分學; 第八章介紹單復變函數. 書后附有部分習題解答. 特點：一是引領讀者直達本學科的核心內容； 二是注重應用，指導讀者靈活運用所掌握的知識； 三是突出了直覺思維在數學學習中的作用。 作者不掩飾難點以使得該學科貌似簡單，而是通過揭示概念之間的內在聯系和直觀背景努力幫助那些對這門學科真正感興趣的讀者。書中提供了大量的例題和習題，其中一部分有相當的難度，但絕大部分是對內容的補充。這套書適合大學學數學分析時閱讀，書中大量習題例子，適合物理專業或其他工科。高中生也可以看**卷。
微積分和數學分析引論 第一卷 第一分冊,第二分冊 目錄
**卷
**章 引言 1
第二章 積分學和微分學的基本概念 102
第三章 微分法和積分法 174
第四章 在物理和幾何中的應用 286
第五章 泰勒展開式 382
第六章 數值方法 420
第七章 無窮和與無窮乘積 447
第八章 三角級數 504
第九章 關于振動的*簡單類型的微分方程 563
第二卷
**章 多元函數及其導數 1
第二章 向量、矩陣與線性變換 105
第三章 微分學的發展和應用 187
第四章 多重積分 319
第五章 曲面積分和體積分之間的關系 472
第六章 微分方程 565
第七章 變分學 633
第八章 單復變函數 659
解答 702
展開全部
微積分和數學分析引論 第一卷 第一分冊,第二分冊 節選
**章 引言 自古以來，關于連續地變化、生長和運動的直觀概念，一直在向科學的見解挑戰。但是，直到17世紀，當現代科學同微分學和積分學（簡稱為微積分）以及數學分析密切相關地產生并迅速發展起來的時候，才開辟了理解連續變化的道路。 微積分的基本概念是導數和積分：導數是對于變化速率的一種度量，積分是對于連續變化過程總效果的度量，正確理解這些概念以及由此產生的大量豐富成果，有賴于對極限概念和函數概念的認識，而極限和函數的概念又基于對數的連續統的了解，只有越來越深刻地洞察微積分的實質，我們才能逐漸地賞識其威力和價值，在引言這一章里，我們將闡明數、函數和極限的概念。首先作一簡單而直觀的介紹，然后再仔細論證。 1.1 實數連續統 正整數或自然數1，2，3， 這些抽象的符號，是用來表示在離散元素的總體或集合中具有“多少個”對象的。 這些符號完全不涉及所計數的對象的具體性質，不管它們是人，是原子，是房子，還是別的什么。 自然數是計算一個總體或“集合”中元素的一種合適L具。但是，為了達到一個同等重要的目的，如度量曲線的長度、物體的體積或重量等這樣一些量，自然數便不夠用了。我們不能直接用自然數來回答“是多少？”這一類的問題，由于極其需要用我們稱之為數的事物來表示各種量的度量，我們就不得不將數的概念加以擴充，以便能夠描述度量的連續變化，這種擴充了的數系稱為數的連續統或“實數”系。（這是一個未加說明但一般都認可的名稱。）數的概念向連續統概念的擴充是如此自然而令人信服，以致所有早期的大數學家和科學家都毫無疑議地予以采用，直到19世紀，數學家們才感到必須為實數系尋求一個比較可靠的邏輯基礎，隨后產生的對上述概念的正確表述，反過來又導致數學的進步，我們將首先從不難理解的直觀描述入手，然后給出實數系的比較深入的分析。 a.自然數系及其擴充。計數和度量 自然數和有理數。對于我們來說，“自然”數序列1，2，3， 認為是已知的，我們不需要從哲學的觀點來討論這些抽象的事物——數——究竟屬于怎樣的范疇，對于數學工作者，以及對于任何同數打交道的人來說，重要的只是要知道一些規則或定律，根據這些規則或定律可將一些自然數組合起來而得到另一些自然數，這些定律構成在十進位制中那些熟知的關于數相加和相乘的法則的基礎；它們包括交換律：a+b=b+a和ab=ba，結合律：a+（b+c）=（a+b）+c和a（bc）=（ab）c，分配律：a（b+c）=ab+ac，相消律：如果a+c=b+c，則可推出a=b。等等。 逆運算——減法和除法——在自然數集合中并不總是可能的；從1減去2或者用2來除l所得的結果不能仍屬于自然數集合，為了使這些運算能夠不受限制地進行，我們不得不發明數0，“負”整數和分數來擴充數的概念，所有這些數的全體，稱為有理數系或有理數集合；有理數全都可以由1經過“有理運算”，即加法、減法、乘法和除法而得到。 有理數總可以寫為p/q的形式，這里p和g都是整數，并且q≠0。我們還能使這種表示是唯一的，只須要求q是正的，而p和q沒有大于1的公因子。 在有理數域內，一切有理運算——加法、乘法、減法和除法（用零作除數除外）——都能夠實行，而且得到的仍然是有理數，正如我們從初等算術所知，有理數運算所服從的定律同自然數的運算是一樣的：因此，有理數是以完全直接的方式擴充了正整數系。 有理數的圖形表示。有理數通常可用直線L——數軸——上的點形象地表示出來，將L上的任意一點取作原點或點0，將另外任意一點取作1，這時，我們采用這兩點之間的距離作為度量的尺度或單位，并且將從0到1的方向定義為“正方向”，并稱這樣規定了方向的直線為有向直線，習慣上，畫數軸l時應使得點1在點0的右邊（圖1'1）。 圖1.1 數軸 L上任何一點P的位置由兩個因素——由原點0到P的距離和由原點0到P的方向（指向0的右邊還是左邊）——完全確定。L上表示正有理數x的點P是在0的右邊與0的距離為x個單位之處。負有理數x，則由0的左邊距離0為-x個單位的點來表示，在上述兩種情況下，從0到表示x的點之間的距離均稱為x的絕對值，記為|x|，于是我們有 我們注意，|x|決不會是負數，并且僅當x=0時才等于零。 由初等幾何我們想到，用直尺和圓規作圖，可將單位長度分割為任意個相等的部分。由此可見，任何用有理數表示的長度都能畫出，所以，表示一個有理數x的點能用純幾何方法找到。 按這種方式，通過L上的點一有理點，我們得到有理數的一種幾何表示。同對于點0和點1的表示法相一致，我們可采用同樣的符號x既表示有理數，又表示它在L上所對應的點。 兩個有理數的關系式xy，則距離是x-y個單位，無論哪種情況，L上的兩個有理點x，y之間的距離均為|g-x|個單位，并且仍然是有理數。 L上端點為a，b的線段，這里a 對應于整數0，±l，±2， 的各點，將數軸分割為一系列單位長度的區間。L上的每一個點，或者是這樣分割的區間之一的端點，或者是其內部的點。如果再把每一個區間分割為q個相等的部分，我們就把L分割成一系列長度為1/q的區間，區間的端點為p/q的有理點，于是，L上的每一點P，或者是形式為p/q的有理點，或者處于兩個相繼的有理點p/q和p+1/q之間（見圖1.2）。因為相繼的兩個分點距離為1/q個單位，所以，我們能夠找到一個有理點p/q，這個有理點同點P的距離不超過1/q個單位，我們只要將q取成足夠大的正整數，則能使數1/q想要多么小就可多么小。例如，取g= 10n（這里n為任一自然數），我們就能求得一個“十進小數”x=p/10n，同P的距離小于1/10n，至此，雖然我們并未斷言L上的每一個點都是有理點，但是至少我們已看到，能夠求得一些有理點，任意地接近L上的任何一點P。 圖1.2 稠密性 L上的給定點P能夠用有理點來任意逼近這一事實，可以用一句話來表達：有理點在數軸上是稠密的，顯然，甚至一些較小的有理數的集合也是稠密的，例如，所有形如x= p/10n的點，其中n為自然數，p為整數。 稠密性表明，在任何兩個不同的有理點a和b之間，存在著另外的無窮多個有理點，特別是，a和b之間的中點，c=a+b/2，即數a和數b之間的算術平均值，仍是有理點。再取a和c的中點，b和c的中點，并且按這種方式繼續進行下去，我們能夠在a和b之間求得任意多個有理點。 我們可以用有理點來接近L上任意點P的位置，并且能夠達到任何精確度，因此，初看起來，似乎是只要引入有理數，用數來確定點P的位置這個任務便已完成，在物理的現實中，各種量畢竟不能絕對精確地給出或求得，而總會帶有某種程度的不確定性；所以，也就可以認為各種量可用有理數來度量。 不可通約量，雖然有理數是稠密的，但是，作為用數來建立度量的理論基礎，有理數還是不夠的，兩個量，如果其比是有理數，則稱為可通約的，因為可將它們表示為某同一單位的整數倍。早在公元前五或六世紀，希臘的數學家和哲學家已經有了驚人的、影響深遠的發現：存在著一些量，這些量同給定的單位是不可通約的，特別是，存在著一些線段，這些線段不是一個給定單位線段的有理數倍。 不難給出與單位長度是不可通約的線段長度的一個例子：各邊為單位長度的正方形之對角線l。因為，根據畢達哥拉斯（Pythago-ras）定理，這個長度l的平方必須等于2。所以，如果l是有理數，因而等于p/q，這里p和q均為正整數，我們將有p2= 2q2。我們可以約定p和g沒有公因子，因為這樣的公因子在開始時就可以約掉，根據上述方程，p2是偶數；因此p本身也必定是偶數，譬如說p= 2p′。用2p′來代替p，我們得到4p′2= 2q2，或者q2=2p′2；因而，q2是偶數，于是q也是偶數。這就表明p和g二者具有公因子2。然而，這同我們所作的p和q沒有公因子的約定相矛盾，這一矛盾是由于假設對角線長能夠表示為分數p/q引起的，所以這一假設是錯誤的。 這一用反證法推導的例子，表明符號不能對應于任何有理數，另一個例子是π——圓的周長與其直徑之比，證明π不是有理數要復雜得多，并且直到近代才做到[蘭伯特（Lambert），1761]。不難找到其他許多不可通約的量（見問題1，第117頁）；事實上，不可通約的量在某種意義上遠比可通約的量更為普遍（見第109頁）。 無理數 因為有理數系對于幾何學來說是不夠的，所以必須創造新的數作為不可通約量的度量：這些新的數稱為“無理數”，古希臘人并不注重抽象的數的概念，而是把諸如線段這樣一些幾何實體看作為基本元素，他們用純幾何的方法發展出不但用來運算和處理可通約（有理）量，而且用來運算和處理不可通約量的邏輯體系，由畢達哥拉斯引入而由歐多克斯（Eudoxus）大大推進了的這一重要成就，在歐幾里得（Euclid）著名的《幾何學原本》中有詳細的敘述，現
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