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動力學常微分方程的時間積分方法(精)/計算力學前沿叢書 版權信息
- ISBN：9787030724700
- 條形碼：9787030724700 ; 978-7-03-072470-0
- 裝幀：一般膠版紙
- 冊數：暫無
- 重量：暫無
- 所屬分類：>
動力學常微分方程的時間積分方法(精)/計算力學前沿叢書 本書特色
動力學方程的求解問題是基礎性科學問題，其對象不受專業限制，具有廣泛的適用性。
動力學常微分方程的時間積分方法(精)/計算力學前沿叢書 內容簡介
本書介紹了求解動力學常微分方程的時間積分方法，主要包括Newmark類方法、級數類方法、Runge-Kutta等高階方法、高精度時間積分方法、復合時間積分方法、非線性系統的保能量方法、非光滑系統的時間步進方法、非線性動力學系統的無條件穩定時間積分方法、時變系統的時間積分方法、模態疊加方法和時間積分方法的聯合使用策略。書中給出了部分方法的MATLAB程序。 本書可以作為高等院校力學及相關專業高年級本科生、研究生，以及相關科研人員和工程技術人員的參考書。
動力學常微分方程的時間積分方法(精)/計算力學前沿叢書 目錄
目錄
叢書序
前言
第1章 α類時間積分方法 1
1.1 Newmark方法 2
1.1.1 算法格式 2
1.1.2 數值性能 3
1.2 廣義α方法 6
1.2.1 算法格式 6
1.2.2 數值性能 7
1.3 三參數方法 11
1.3.1 數值性能 12
1.3.2 數值算例 14
1.4 四參數方法 16
1.4.1 數值性能 18
1.4.2 數值算例 20
附錄 22
參考文獻 29
第2章 高階時間積分方法 31
2.1 Taylor和Lie級數算法 32
2.1.1 Taylor級數算法 32
2.1.2 Lie級數算法 34
2.1.3 數值算例 40
2.2 Runge-Kutta方法 44
2.3 微分求積時間單元方法 49
2.3.1 基本方程 49
2.3.2 數值性能 52
2.3.3 數值算例 55
2.4 微分求積時間有限單元法 57
2.4.1 基本方程 58
2.4.2 數值性能 62
2.4.3 數值算例 64
2.5 一類無條件穩定高階方法 66
2.5.1 Fung無條件穩定高階方法 66
2.5.2 Kim無條件穩定高階方法 70
參考文獻 77
第3章 線性定常系統的高精度時間積分方法 79
3.1 精細積分方法 80
3.1.1 運動方程 80
3.1.2 精細積分方法 83
3.2 高精度時間積分方法 85
3.2.1 基本列式 85
3.2.2 數值性能 87
3.2.3 數值算例 98
附錄 108
參考文獻 110
第4章 復合時間積分方法 112
4.1 TR和BDF組合的兩分步方法 113
4.2 TR和BDF組合的三分步優化方法 116
4.3 TR和BIF組合的三分步優化方法 123
4.4 復合時間積分方法的一般構造原則 133
4.4.1 分步數 133
4.4.2 差分點數 138
4.4.3 分步算法 140
4.5 數值分析 143
4.5.1 質量彈簧系統 143
4.5.2 剛性擺系統 145
4.5.3 三維多自由度桁架系統 147
4.5.4 軟彈簧系統 149
附錄 151
參考文獻 156
第5章 非線性系統的保能量時間積分方法 158
5.1 約束能量型方法 159
5.2 能量–動量型方法 160
5.3 Krenk方法 162
5.4 保能量方法的一般形式 164
5.4.1 算法格式 164
5.4.2 數值性能及計算流程 166
5.4.3 數值算例 171
附錄 176
參考文獻 182
第6章 非光滑系統的時間積分方法 184
6.1 Moreau-Jean時間步進法 185
6.1.1 動力學方程 185
6.1.2 Moreau-Jean時間步進法 188
6.2 非光滑時間積分方法 190
6.2.1 算法流程 190
6.2.2 數值性能 202
6.2.3 曲柄–滑塊機構仿真 210
附錄 215
參考文獻 233
第7章 顯式時間積分方法 235
7.1 顯式廣義α方法 236
7.1.1 算法格式 236
7.1.2 數值性能 237
7.2 基于位移–速度關系的顯式方法1方法 240
7.2.1 算法格式 240
7.2.2 數值性能 242
7.3 基于位移–速度關系的顯式方法2方法 246
7.3.1 算法格式 246
7.3.2 數值性能 247
7.3.3 數值算例 255
7.4 單參數三級顯式方法 262
7.4.1 算法格式 262
7.4.2 數值性能 268
7.4.3 數值算例 272
附錄 276
參考文獻 285
第8章 非線性系統的無條件穩定時間積分方法 287
8.1 具有BN穩定性的兩分步方法 288
8.1.1 BN穩定性理論 288
8.1.2 兩分步算法格式 288
8.1.3 算法性能分析 293
8.1.4 數值算例 297
8.2 無條件穩定兩步時間積分方法 300
8.2.1 參數譜分析理論 300
8.2.2 兩步算法格式 302
8.2.3 算法性能分析 305
8.2.4 數值算例 308
附錄 315
參考文獻 318
第9章 變質量系統的時間積分方法 320
9.1 變質量系統的動力學方程 320
9.2 遞推模態疊加方法 323
9.3 Euler中點辛差分格式和變步長技術 325
9.4 縱向過載環境下變質量Euler梁的動態特性的分析方法.330
9.4.1 模型描述 330
9.4.2 基本方程 331
9.4.3 數值模擬 333
附錄 337
參考文獻 338
第10章 模態疊加方法和時間積分方法的聯合使用策略 340
10.1 COM的思想和系統的等效分解 340
10.2 低頻和高頻模態響應的求解方法 343
10.2.1 低頻和高頻系統中的零頻 343
10.2.2 低頻和高頻模態響應的解法 348
10.2.3 受迫振動響應的COM 351
10.3 數值分析 353
10.3.1 無阻尼兩自由度系統 353
10.3.2 質點與均勻桿的縱向碰撞 354
10.3.3 一端固支桿的受迫振動 357
附錄 361
參考文獻 367
叢書序
前言
第1章 α類時間積分方法 1
1.1 Newmark方法 2
1.1.1 算法格式 2
1.1.2 數值性能 3
1.2 廣義α方法 6
1.2.1 算法格式 6
1.2.2 數值性能 7
1.3 三參數方法 11
1.3.1 數值性能 12
1.3.2 數值算例 14
1.4 四參數方法 16
1.4.1 數值性能 18
1.4.2 數值算例 20
附錄 22
參考文獻 29
第2章 高階時間積分方法 31
2.1 Taylor和Lie級數算法 32
2.1.1 Taylor級數算法 32
2.1.2 Lie級數算法 34
2.1.3 數值算例 40
2.2 Runge-Kutta方法 44
2.3 微分求積時間單元方法 49
2.3.1 基本方程 49
2.3.2 數值性能 52
2.3.3 數值算例 55
2.4 微分求積時間有限單元法 57
2.4.1 基本方程 58
2.4.2 數值性能 62
2.4.3 數值算例 64
2.5 一類無條件穩定高階方法 66
2.5.1 Fung無條件穩定高階方法 66
2.5.2 Kim無條件穩定高階方法 70
參考文獻 77
第3章 線性定常系統的高精度時間積分方法 79
3.1 精細積分方法 80
3.1.1 運動方程 80
3.1.2 精細積分方法 83
3.2 高精度時間積分方法 85
3.2.1 基本列式 85
3.2.2 數值性能 87
3.2.3 數值算例 98
附錄 108
參考文獻 110
第4章 復合時間積分方法 112
4.1 TR和BDF組合的兩分步方法 113
4.2 TR和BDF組合的三分步優化方法 116
4.3 TR和BIF組合的三分步優化方法 123
4.4 復合時間積分方法的一般構造原則 133
4.4.1 分步數 133
4.4.2 差分點數 138
4.4.3 分步算法 140
4.5 數值分析 143
4.5.1 質量彈簧系統 143
4.5.2 剛性擺系統 145
4.5.3 三維多自由度桁架系統 147
4.5.4 軟彈簧系統 149
附錄 151
參考文獻 156
第5章 非線性系統的保能量時間積分方法 158
5.1 約束能量型方法 159
5.2 能量–動量型方法 160
5.3 Krenk方法 162
5.4 保能量方法的一般形式 164
5.4.1 算法格式 164
5.4.2 數值性能及計算流程 166
5.4.3 數值算例 171
附錄 176
參考文獻 182
第6章 非光滑系統的時間積分方法 184
6.1 Moreau-Jean時間步進法 185
6.1.1 動力學方程 185
6.1.2 Moreau-Jean時間步進法 188
6.2 非光滑時間積分方法 190
6.2.1 算法流程 190
6.2.2 數值性能 202
6.2.3 曲柄–滑塊機構仿真 210
附錄 215
參考文獻 233
第7章 顯式時間積分方法 235
7.1 顯式廣義α方法 236
7.1.1 算法格式 236
7.1.2 數值性能 237
7.2 基于位移–速度關系的顯式方法1方法 240
7.2.1 算法格式 240
7.2.2 數值性能 242
7.3 基于位移–速度關系的顯式方法2方法 246
7.3.1 算法格式 246
7.3.2 數值性能 247
7.3.3 數值算例 255
7.4 單參數三級顯式方法 262
7.4.1 算法格式 262
7.4.2 數值性能 268
7.4.3 數值算例 272
附錄 276
參考文獻 285
第8章 非線性系統的無條件穩定時間積分方法 287
8.1 具有BN穩定性的兩分步方法 288
8.1.1 BN穩定性理論 288
8.1.2 兩分步算法格式 288
8.1.3 算法性能分析 293
8.1.4 數值算例 297
8.2 無條件穩定兩步時間積分方法 300
8.2.1 參數譜分析理論 300
8.2.2 兩步算法格式 302
8.2.3 算法性能分析 305
8.2.4 數值算例 308
附錄 315
參考文獻 318
第9章 變質量系統的時間積分方法 320
9.1 變質量系統的動力學方程 320
9.2 遞推模態疊加方法 323
9.3 Euler中點辛差分格式和變步長技術 325
9.4 縱向過載環境下變質量Euler梁的動態特性的分析方法.330
9.4.1 模型描述 330
9.4.2 基本方程 331
9.4.3 數值模擬 333
附錄 337
參考文獻 338
第10章 模態疊加方法和時間積分方法的聯合使用策略 340
10.1 COM的思想和系統的等效分解 340
10.2 低頻和高頻模態響應的求解方法 343
10.2.1 低頻和高頻系統中的零頻 343
10.2.2 低頻和高頻模態響應的解法 348
10.2.3 受迫振動響應的COM 351
10.3 數值分析 353
10.3.1 無阻尼兩自由度系統 353
10.3.2 質點與均勻桿的縱向碰撞 354
10.3.3 一端固支桿的受迫振動 357
附錄 361
參考文獻 367
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動力學常微分方程的時間積分方法(精)/計算力學前沿叢書 節選
第1章 α類時間積分方法 Newmark方法[1]是在工程中*先得到廣泛應用的時間積分法，它包含了很多著名的格式，如中心差分法，梯形法則和 Fox-Goodwin方法[2]。這些格式均為具有二階精度的辛幾何格式，它們完全沒有數值耗散，不會在系統中引入額外的數值阻尼。但值得說明的是，對于大型有限元系統，空間離散造成的虛假高頻模態的參與可能會破壞數值解的準確性，甚至導致矩陣病態，無法得到收斂解。因此，數值阻尼在某些情況下對于給出穩態解或完成暫態全過程分析是十分必要的。*早提出的多步法，如 Houbolt方法[3]和 Park方法[4]，雖然擁有強烈的高頻耗散能力，但它們的精度較差，且需要額外的啟動程序，在實際問題中很少使用。 Wilson-θ方法[5]是*早的具有可控數值阻尼的時間積分法，它可以實現無條件穩定和二階精度，但是 Goudreau 和 Taylor[6]指出 Wilson-θ方法關于初始位移有二次超調，關于初始速度有一次超調，這使得它在用于計算非零初始值問題時，在開始的幾步可能會出現初始數據及其誤差被放大的現象。此外， Newmark方法雖然具有耗散格式，但其精度為一階并且數值阻尼不可控制。為了改善這一性能，HHT-α方法[7]，WBZ-α方法[8]，HP-θ方法[9]，廣義α方法[10，11]和各類耗散算法[12]陸續被提出，這些方法均具有二階精度，無條件穩定性，以及可控的高頻耗散能力。其中，由于廣義α方法具有更多的參數組合形式，在相同的高頻耗散程度下可以實現更高的低頻精度，在實際應用中比較受歡迎。 廣義α方法沿用了 Newmark方法的假設，但它往平衡方程中引入了額外的參數，使得平衡方程在時間節點處不嚴格滿足，而是在時間區間或步長內加權滿足。本書作者通過引入額外變量的方式，提出了一種新的三參數方法[13]，它具有和廣義α方法相同的譜特性，但由于它嚴格滿足平衡方程，避免了載荷插值引入的誤差，具有一定的加速度精度優勢。采用類似的思想，本書作者還提出了一種四參數方法[14]，通過選取合適的參數值，它*高可以達到四階精度，而且不具備數值耗散，適用于長期動力學仿真。 1.1 Newmark方法 結構動力學問題可以用如下常微分方程的初值問題來描述 (1.1.1) 其中，M 為質量矩陣，N 為結構內力，包含了阻尼力和彈性力等恢復力，R 為外部載荷，和分別表示位移，速度和加速度向量，t 表示時間，x0和 v0為已知的初始位移和速度。對于線性系統，該方程可進一步簡化為 (1.1.2) 其中，C 和 K 分別為阻尼和剛度矩陣。一般來說，對結構線性動力學問題的求解，常用的有模態疊加法和時間積分法兩大類。模態疊加法是建立在坐標變換基礎上的解析方法，實際上是常微分方程由特解求通解的方法。對于復雜多自由度系統，求出全部模態或頻率基本上是不可能的，對于實際問題也是沒有必要的，因此只有對自由度較少的系統，才可能用全部的模態來疊加得到解析解。相比較來說，時間積分法是更加通用的求解技術，它不需要坐標變換，適用于任意激勵或非線性情況，在工程實際中得到了廣泛的應用。時間積分法的基本思想是：首先給定待求時間長度 T，即 t ∈[0， T]，在其中布置一系列離散時間點 ti (i =0，1， ， N)，使用差分格式由已知量給出待求變量在下一離散時刻的近似值，動力學平衡方程在時間點上得到滿足或在相鄰點用加權形式來滿足。不同的差分格式對應不同的時間積分法，也給這些方法賦予了不一樣的數值性能。 1.1.1算法格式 Newmark方法是結構動力學中應用*廣的時間積分法，它采用的差分格式如下 (1.1.3) 其中，β和γ為兩個自由參數，h 為時間步長，下標“k”表示狀態變量在 tk 時刻的近似值。Newmark方法還用到了在時間節點 tk+1處的平衡方程 (1.1.4) 為啟動計算程序，在給定初始位移和速度的情況下，初始加速度需由平衡方程得 (1.1.5) 每一步需要求解的方程為 (1.1.6) 由式(1.1.6)得到第(k+1)步的加速度之后，代入方程(1.1.3)，則可得到第(k+1)步的位移和速度。若系統非線性，則每一步需要求解一個非線性代數方程，這需要借助 Newton-Raphson 等迭代方法來實現。表1.1中給出了 Newmark方法用于線性系統的計算流程，對于大型有限元系統，它的計算量主要花費在矩陣分解運算上。當β=0時，從表1.1中可以看出，此時 Newmark方法不需要分解剛度矩陣，這對于質量矩陣和阻尼矩陣均為對角陣的情況十分有利，因此稱β=0時為顯式格式，其余情況則為隱式格式。 表1.1 Newmark方法用于線性系統的計算流程 A.初始準備 1.空間離散得到質量矩陣 M、阻尼矩陣 C 和剛度矩陣 K； 2.初始化 x0和 x˙0，計算初始加速度； 3.選取參數γ和β，以及時間步長 h； 4.建立常量矩陣，并將其三角分解。 B.第(k +1)步 1.計算有效載荷向量； 2.計算加速度； 3.計算位移； 4.計算速度。 1.1.2 數值性能 如何評價時間積分法的計算結果，針對不同的問題如何選擇合適的算法，這些都需要評估時間積分法的數值性能，包括穩定性、精度、超調、數值耗散和彌散等。本章以 Newmark方法為例，給出精度和穩定性分析的一般流程。 目前來看，時間積分法的性能分析仍局限于線性動力學范疇。對于線性多自由度系統的積分，等價于將其模態分解后對單自由度系統積分的結果進行模態疊加。因此可以通過對單自由度問題的分析來說明算法的特性，即用于性能分析的模型方程為 (1.1.7) 其中，ξ、ω和 r 分別為阻尼率、固有頻率和模態分解后的外激勵。應用于該單自由度系統，Newmark方法的遞推格式可以簡化為 (1.1.8) 其中，為載荷作用向量，A 為 Jacobi 矩陣，它對算法性能起著決定性作用，其形式為. (1.1.9) 其中，τ=ωh。圍繞著 Jacobi 矩陣 A，Bathe 和 Wilson[15]給出了精度階數的定義和穩定性的判別方法，接下來以 Newmark方法為例一一進行介紹。 (1)穩定性 對于一個穩定的自由振動系統，系統能量隨著時間不應該增加，有正阻尼情況還應該減小。因此，差分方法的計算結果也不應該放大初始能量。如果經過若干步的數值計算后，計算結果遠比初始條件大，甚至隨著時間的增長發散到無窮，那就說明數值算法本身是不穩定的。令 r =0，由方程(1.1.8)可以得到 (1.1.10) 當k→∞時，Xk是有界的當且僅當 (1.1.11) 式(1.1.11)是算法穩定的充要條件。若穩定性要求對時間步長的選取有限制，則稱該時間積分法是條件穩定的，反之為無條件穩定。 針對Newmark方法，矩陣A的本征多項式可寫為 (1.1.12) 其中，A1、A2和 A3分別為矩陣A的跡、二階順序主子式之和以及矩陣的秩。由方程(1.1.9)可以得到 (1.1.13) (1.1.14) (1.1.15) 從方程(1.1.15)可知，矩陣 A 有一個零本征根。根據 Routh-Hurwitz穩定性判據[16，17]，其余兩個本征根的模小于等于1的充要條件為 (1.1.16) 從而可以得到Newmark方法的無條件穩定條件為 (1.1.17) 而條件穩定性要求 (1.1.18) 其中，τcr 稱為穩定極限。對于條件穩定算法，系統的*高頻率決定了步長的可取范圍，因此，大型有限元系統的可取步長可能很小，這使得無條件穩定算法在結構動力學問題分析中通常更受歡迎。穩定性要求是一個算法能夠得到使用的前提條件，不穩定的算法無法給出合理的數值解。 (2)精度 根據 Lax 定理[18]，收斂的算法除了要滿足穩定性要求外，還應滿足相容性條件，即算法應至少具有一階精度。令 r =0，在Newmark 算法格式(1.1.8)中利用平衡方程消去速度和加速度項可以得到 (1.1.19) 它的局部截斷誤差定義為 (1.1.20) 若σ= O(hl)，則稱該方法具有 l 階精度；若1.1，則稱該差分格式(1.1.8)與微分方程(1.1.7)相容。將式(1.1.20)在 tk 處級數展開，并將方程(1.1.13)～式(1.1.15)代入，可以得到 (1.1.21) 因此，Newmark方法至少具有一階精度，若γ=1/2，它可以達到二階精度。特別地，對于無阻尼系統，即ξ=0，若γ=1/2且β=1/12，Newmark方法可以實現四階精度，這就是著名的 Fox-Goodwin方法[2]。 當時間步長趨于零時，收斂算法給出的數值解會逐漸趨近于解析解。精度階數越高，數值解與解析解之間的差別越小。但是超過二階精度的多步和單步算法往往無法實現無條件穩定[19]，因此常用的時間積分法大都為二階精度。 Newmark方法包含了幾種著名的格式，列舉如下： 1.中心差分法(γ=1/2，β=0)(Central Difference Method) 中心差分法是一種條件穩定的顯式辛幾何方法，穩定極限為τcr =2。當質量和阻尼矩陣為對角陣時，中心差分法僅需做向量運算，無須進行矩陣分解，效率較高，廣泛用于求解波傳播、沖擊和非線性等問題。 2.梯形法則(平均加速度方法，γ=1/2，β=1/4)(Trapezoidal Rule) 梯形法則是無條件穩定的隱式方法，對時間步長的選取沒有限制。當它用于線性無阻尼系統時，梯形法則可以嚴格保守系統的能量，與歐拉中點辛差分格式等價，是一種隱式辛算法。 3. Fox-Goodwin方法(γ=1/2，β=1/12) Fox-Goodwin方法是一種條件穩定的隱式方法，穩定極限為。Fox- Goodwin方法的優勢在于它用于線性無阻尼系統時精度較高，可以達到四階精度。 值得注意的是，當γ=1/2時，對于無阻尼系統，Newmark方法的譜半徑在穩定區間內保持為1，也就是說，Newmark方法的二階格式完全不具備數值阻尼，這使得它在求解剛性問題和一些非線性系統時遇到了困難。 1.2 廣義α方法 為了提高 Newmark方法的阻尼性能，人們陸續發展了一些具有可控數值耗散性能的二階方法，包括 Wilson-θ方法[5]、HHT-α方法[7]、WBZ-α方法[8]、HP-θ方法[9]、廣義α方法[10，11]等，本章以廣義α方法為代表進行介紹。 1.2.1 算法格式 廣義α方法沿用了 Newmark方法的差分格式
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