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分析中的若干問題剖析/南昌航空大學學術文庫 版權信息
- ISBN：9787030725264
- 條形碼：9787030725264 ; 978-7-03-072526-4
- 裝幀：一般膠版紙
- 冊數：暫無
- 重量：暫無
- 所屬分類：>
分析中的若干問題剖析/南昌航空大學學術文庫 內容簡介
本書主要是對數學分析和數值分析中的若干問題與方法進行探究和剖析，是作者近年來在該方面研究工作的積累和總結。其主要內容包括：一種生成迭代數列的新方法、含中介值微分等式證明題的構造新策略、數值微分公式的對偶校正公式、幾個典型數列極限問題的推廣、不定積分的解法探究、關于幾個定積分問題的探究與拓展、幾類積分不等式的構造問題探究、有關和式問題的探究、高階常系數線性微分方程的逆特征算子分解法、二階變系數線性微分方程的解法探究等。 本書可作為數值分析和數學分析提高的參考書，供本科高年級學生、理工類各專業研究生、大學數學教師及數學工作者參考。
分析中的若干問題剖析/南昌航空大學學術文庫 目錄
目錄
前言
第1章 一種生成迭代數列的新方法 1
1.1 問題的提出 1
1.2 收斂于的迭代數列{un}的構造 1
1.3 收斂于的迭代數列{un}的構造 15
1.4 問題的拓展 30
1.5 小結 37
第2章 含中介值微分等式證明題的構造新策略 38
2.1 引言 38
2.2 幾個主要結論 38
2.3 兩種構造含中介值微分等式證明題的新策略 54
2.3.1 **種構造策略 54
2.3.2 第二種構造策略 55
2.4 應用實例 55
2.4.1 **種構造策略的應用 55
2.4.2 第二種構造策略的應用 64
2.5 一類微分不等式的*優估計 74
2.6 小結 76
第3章 數值微分公式的對偶校正公式 77
3.1 引言 77
3.2 數值微分公式的對偶校正公式 77
3.2.1 對偶公式及對偶校正公式的概念 77
3.2.2 對偶校正公式的生成步驟 78
3.3 幾個數值微分公式的對偶校正公式生成 78
3.3.1 對偶校正公式的生成實例I 78
3.3.2 對偶校正公式的生成實例II 84
3.3.3 對偶校正公式的生成實例III 87
3.4 二元函數數值微分公式的對偶校正公式 88
3.4.1 二元函數數值微分公式的幾個概念 88
3.4.2 二元函數數值微分公式的對偶校正公式的生成 90
3.5 小結 91
第4章 幾個典型數列極限問題的推廣 93
4.1 幾個引理 93
4.2 數列極限I及其推廣 93
4.3 數列極限II及其推廣 96
4.4 數列極限III及其推廣 100
4.5 引理4.2的逆命題及其推廣 106
4.6 應用實例 111
4.7 小結 114
第5章 不定積分的解法探究 115
5.1 待定系數法的基本原理 115
5.2 代數法的基本原理 117
5.3 應用實例 119
5.4 小結 131
第6章 關于幾個定積分問題的探究與拓展 132
6.1 關于定積分與函數零點問題的探究 132
6.1.1 預備知識 133
6.1.2 關于定積分與函數零點的幾個主要結論 133
6.2 關于一道定積分等式證明題的探究和拓展 135
6.2.1 一道定積分典型問題及其證明 136
6.2.2 問題的提出及探究 136
6.2.3 新題的編制 137
6.2.4 典型問題的另一證明及其探究 139
6.3 關于一道定積分不等式證明題的拓展 140
6.3.1 問題的提出 140
6.3.2 問題的解答 141
6.3.3 新題的編制 144
6.4 小結 145
第7章 幾類積分不等式的構造問題探究 146
7.1 定積分的不等式構造問題 146
7.2 定積分的不等式構造問題 157
7.3 定積分的不等式構造問題 163
7.4 定積分與的不等式構造問題 171
7.4.1 定積分與的不等式構造 171
7.4.2 定積分與的不等式構造 177
7.4.3 定積分與的不等式構造 180
7.4.4 定積分與的不等式構造 182
7.5 定積分與的不等式構造問題 185
7.6 二重積分不等式的構造問題 188
7.7 小結 196
第8章 有關和式問題的探究 197
8.1 有關和式的幾個主要結論 197
8.2 有關和式極限與不等式新題的編制 200
8.3 有關和式界的估計 207
8.4 和式命題的其他應用 209
8.5 小結 214
第9章 高階常系數線性微分方程的逆特征算子分解法 215
9.1 問題的提出 215
9.2 二階常系數線性微分方程的逆特征算子分解法 215
9.3 三階及n階常系數線性微分方程的逆特征算子分解法 219
9.4 應用實例 227
9.5 小結 234
第10章 二階變系數線性微分方程的解法探究 236
10.1 引言 236
10.2 二階變系數齊次線性微分方程的特解形式 236
10.3 二階變系數線性微分方程的解法歸類 239
10.4 應用舉例 240
10.5 小結 256
參考文獻 258
前言
第1章 一種生成迭代數列的新方法 1
1.1 問題的提出 1
1.2 收斂于的迭代數列{un}的構造 1
1.3 收斂于的迭代數列{un}的構造 15
1.4 問題的拓展 30
1.5 小結 37
第2章 含中介值微分等式證明題的構造新策略 38
2.1 引言 38
2.2 幾個主要結論 38
2.3 兩種構造含中介值微分等式證明題的新策略 54
2.3.1 **種構造策略 54
2.3.2 第二種構造策略 55
2.4 應用實例 55
2.4.1 **種構造策略的應用 55
2.4.2 第二種構造策略的應用 64
2.5 一類微分不等式的*優估計 74
2.6 小結 76
第3章 數值微分公式的對偶校正公式 77
3.1 引言 77
3.2 數值微分公式的對偶校正公式 77
3.2.1 對偶公式及對偶校正公式的概念 77
3.2.2 對偶校正公式的生成步驟 78
3.3 幾個數值微分公式的對偶校正公式生成 78
3.3.1 對偶校正公式的生成實例I 78
3.3.2 對偶校正公式的生成實例II 84
3.3.3 對偶校正公式的生成實例III 87
3.4 二元函數數值微分公式的對偶校正公式 88
3.4.1 二元函數數值微分公式的幾個概念 88
3.4.2 二元函數數值微分公式的對偶校正公式的生成 90
3.5 小結 91
第4章 幾個典型數列極限問題的推廣 93
4.1 幾個引理 93
4.2 數列極限I及其推廣 93
4.3 數列極限II及其推廣 96
4.4 數列極限III及其推廣 100
4.5 引理4.2的逆命題及其推廣 106
4.6 應用實例 111
4.7 小結 114
第5章 不定積分的解法探究 115
5.1 待定系數法的基本原理 115
5.2 代數法的基本原理 117
5.3 應用實例 119
5.4 小結 131
第6章 關于幾個定積分問題的探究與拓展 132
6.1 關于定積分與函數零點問題的探究 132
6.1.1 預備知識 133
6.1.2 關于定積分與函數零點的幾個主要結論 133
6.2 關于一道定積分等式證明題的探究和拓展 135
6.2.1 一道定積分典型問題及其證明 136
6.2.2 問題的提出及探究 136
6.2.3 新題的編制 137
6.2.4 典型問題的另一證明及其探究 139
6.3 關于一道定積分不等式證明題的拓展 140
6.3.1 問題的提出 140
6.3.2 問題的解答 141
6.3.3 新題的編制 144
6.4 小結 145
第7章 幾類積分不等式的構造問題探究 146
7.1 定積分的不等式構造問題 146
7.2 定積分的不等式構造問題 157
7.3 定積分的不等式構造問題 163
7.4 定積分與的不等式構造問題 171
7.4.1 定積分與的不等式構造 171
7.4.2 定積分與的不等式構造 177
7.4.3 定積分與的不等式構造 180
7.4.4 定積分與的不等式構造 182
7.5 定積分與的不等式構造問題 185
7.6 二重積分不等式的構造問題 188
7.7 小結 196
第8章 有關和式問題的探究 197
8.1 有關和式的幾個主要結論 197
8.2 有關和式極限與不等式新題的編制 200
8.3 有關和式界的估計 207
8.4 和式命題的其他應用 209
8.5 小結 214
第9章 高階常系數線性微分方程的逆特征算子分解法 215
9.1 問題的提出 215
9.2 二階常系數線性微分方程的逆特征算子分解法 215
9.3 三階及n階常系數線性微分方程的逆特征算子分解法 219
9.4 應用實例 227
9.5 小結 234
第10章 二階變系數線性微分方程的解法探究 236
10.1 引言 236
10.2 二階變系數齊次線性微分方程的特解形式 236
10.3 二階變系數線性微分方程的解法歸類 239
10.4 應用舉例 240
10.5 小結 256
參考文獻 258
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分析中的若干問題剖析/南昌航空大學學術文庫 節選
第1章 一種生成迭代數列的新方法 1.1 問題的提出 迭代數列是一類重要的數列，也可以看成一類差分方程，在非線性方程的數值計算中具有廣泛的應用.目前，一些有關數值分析和數學分析的書籍和論文文獻[1-4]中，分別給出了收斂于和的兩個典型迭代數列{un}，即 (1)對任意; (2)對任意. 顯然，它們是基于牛頓迭代法而構造得到的.那么是否存在其他收斂于和的迭代數列{un}？如果存在的話，又應該如何構造？ 本章主要是探究分別收斂于和的迭代數列{un}的一般性構造方法，提出一種構造一類迭代數列的新方法. 為此，提出以下兩個主要問題： 問題1 如何構造收斂于和的一類新的迭代數列？ 問題2 構造思想是否可以推廣用于構造收斂于 m(m >3)的迭代數列？為了回答上述兩個問題，我們作如下探討. 1.2 收斂于的迭代數列{un}的構造 下面，首先給出迭代數列{un}收斂階的定義，然后再分別給出收斂于的迭代數列{un}的構造方法. 定義1.1 [1]設數列{un}收斂于 A，若存在常數，使，則稱數列{un}的收斂階為 p，也稱數列{un}為 p 階收斂于 A. 顯然， p 越大，數列{un}收斂于 A 的速度便越快. 令，則對于非線性方程，由牛頓迭代法可構造得到收斂于的迭代數列，其中. 下面，我們給出收斂于的一類迭代數列的一種新的構造方法. 設 a >0， u1>0，{un}收斂于，相對誤差，為了構造{un}，可令， 其中 k 為實常數，且.化簡整理得， 從而得，于是令，即得計算的迭代數列{un}.為了使迭代數列{un}收斂于，須使 un >0，而這只需使. 又，故取即可. 特別地，取 k =0，即得，此即為文獻[1]-[4]中收斂于的典型迭代數列. 下面主要探討所構造迭代數列{un}：的收斂性問題，即當 k 取何值時數列{un}收斂于若收斂，何時達到二階收斂于？ 注意到且故當且僅當，即 k =0時，有，此時才可能達到二階收斂. 事實上，利用柯西(Cauchy)收斂準則，我們可以證明得到數列{un}收斂的一般性結論. 定理1.1 設數列{un}滿足 u1>0，且，其中 a >0， k 為實常數，則當時，數列{un}收斂，且. 特別地，有 當 k =0時，數列{un}二階收斂于，此時; 當時，數列{un}一階收斂于. 證明 由題設，當時，易知，且有. 于是，當時，有，從而有.下面分三種情況考慮. (1)當且時，解得，于是有，此時取; (2)當且時，解得，于是有，此時取; (3)當且時，解得，于是有，此時取. 由上知，當時，有. 又由迭代關系式得， 于是對任意 p ∈ N，有. 故由數列極限的柯西收斂準則得{un}收斂.不妨設，則由遞推關系式兩邊取極限，得. 解得，即得. 又由遞推關系式，有， 故 (1)當且僅當 k =0時，有， 從而，此時數列二階收斂于. (2)當時，有，此時數列{un}一階收斂于. [注記1]由定理1.1的證明可知，當時，定理1.1的結論仍然成立. 類似地，為了構造得到更高階收斂于的其他迭代數列{un}，可令， 其中 k， k1， k2為實常數.化簡整理得，從而得.于是令，即得 的另一類新的迭代數列{un}. 為了使迭代數列{un}收斂于，須使 un >0，而這只需使.特別地，取 k =1且，即得， 再記上式中的 k1=1+ k，即得， 此即為定理1.1中收斂于的迭代數列{un}. 類似于定理1.1的討論，對于迭代數列，有 故 (i)當且僅當，即 k1=1時，有，二階收斂于. (ii)當時，有;，此時數列{un}一階收斂于.
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