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空間有向幾何學:多面體重心線有向度量理論與應用 版權信息
- ISBN：9787030722287
- 條形碼：9787030722287 ; 978-7-03-072228-7
- 裝幀：一般膠版紙
- 冊數：暫無
- 重量：暫無
- 所屬分類：>
空間有向幾何學:多面體重心線有向度量理論與應用 內容簡介
本書是空間有向幾何學系列研究之三。在平面《有向幾何學》系列研究和《空間有向幾何學》（上、下）等的基礎上的基礎上，創造性地、廣泛地綜合運用多種有向度量法和有向度量定值法，特別是有向體積法和有向體積定值法，對空間多邊形和多面體重心線的有關問題進行深入、系統地研究，得到一系列的有關空間多邊形和多面體重心線的有向度量定理，主要包括空間多邊形和一些多面體重心線的共點共面定理、空間多邊形和多面體頂點到重心線包絡面有向距離公式、空間多邊形和多面體頂點到重心線面有向距離公式，以及以上定理和公式的應用，從而揭示這些定理之間、這些定理與經典數學問題、數學定理之間的聯系，較系統、深入地闡述了空間多邊形和多面體重心線有向度量的基本理論、基本思想和基本方法，從而構建空間多邊形和多面體重心線有向度量的理論體系。
空間有向幾何學:多面體重心線有向度量理論與應用 目錄
目錄
第1章 多面體有向體積公式 1
1.1 多面體體積的概念與性質 1
1.1.1 多面體的基本概念 1
1.1.2 多面體體積的基本概念與公式 2
1.1.3 四面體體積公式與性質 7
1.2 多面體有向體積的基本概念與性質 11
1.2.1 四面體有向體積的概念與公式 11
1.2.2 四面體有向體積的基本性質 13
1.2.3 同向(反向)四面體的概念與性質 16
1.2.4 n棱錐有向體積的概念與公式 18
1.3 四面體有向體積公式的幾個簡單應用 19
1.3.1 四面體有向體積公式在幾何定理證明中的應用 19
1.3.2 四面體體積公式在多面共線證明中的應用 22
1.3.3 四面體有向體積公式在定值定理證明中的應用 25
第2章 空間三角形和四面體重心線的有向度量定理與應用 29
2.1 空間諸點共面和兩線共面共點的條件與應用 29
2.1.1 空間n(n≥4)點共面的充要條件 29
2.1.2 四面體有向體積公式在四點(兩線)共面證明中的應用 30
2.1.3 四面體有向體積公式與兩線共點的充要條件 31
2.2 空間三角形重心線的有向度量定理與應用 37
2.2.1 空間三角形重心線的基本概念 37
2.2.2 空間點及其坐標面上投影點坐標之間的關系定理 38
2.2.3 空間三角形重心線的共點定理及其應用 40
2.2.4 空間三角形頂點到重心線包絡面的有向距離公式及其應用 41
2.3 四面體點-面重心線的共面共點定理與應用 44
2.3.1 四面體點-面重心線的基本概念 44
2.3.2 四面體點-面重心線的共面定理及其應用 44
2.3.3 四面體點-面重心線的共點定理及其應用 46
2.4 四面體頂點到點-面重心線包絡面有向距離公式與應用 48
2.4.1 四面體點-面重心線包絡面的概念與方程 49
2.4.2 四面體頂點到點-面重心線包絡面的有向距離公式 49
2.4.3 四面體頂點到點-面重心線包絡面有向距離公式的應用 52
2.5 四面體頂點到點-面重心線面的有向距離公式與應用 53
2.5.1 四面體點-面重心線面的概念 54
2.5.2 四面體頂點到點-面重心線面的有向距離公式 54
2.5.3 四面體頂點到點-面重心線面有向距離公式的應用 57
第3章 空間四邊形和四面體中位線的有向度量定理與應用 61
3.1 空間四邊形、四面體中位線的共面共點定理與應用 61
3.1.1 空間四邊形、四面體中位線的概念 61
3.1.2 空間四邊形和四面體中位線的共面定理 62
3.1.3 空面四邊形和四面體中位線的共點定理 63
3.2 空間四邊形和四面體頂點到中位線包絡面的有向距離公式與應用 65
3.2.1 空間四邊形、四面體中位線包絡面的概念與方程 65
3.2.2 空間四邊形頂點到中位線包絡面的有向距離公式及其應用 66
3.2.3 四面體中位線包絡面的有向距離公式及其應用 69
3.3 空間四邊形和四面體中位線包絡面的分割定理與應用 72
3.3.1 四面體中位線包絡面分割線四面體的概念 72
3.3.2 空間四邊形中位線包絡面的分割定理及其應用 72
3.3.3 四面體中位線包絡面的分割定理及其應用 74
3.3.4 四面體中位線包絡面分割線四面體有向體積公式及其應用 79
3.4 空間四邊形和四面體頂點到中位線面的有向距離公式與應用 83
3.4.1 空間四邊形、四面體中位線面的基本概念 83
3.4.2 空間四邊形頂點到中位線面的有向距離公式及其應用 84
3.4.3 四面體頂點到中位線面的有向距離公式及其應用 87
3.5 四面體頂點到中位線重心線面的有向距離公式與應用 91
3.5.1 四面體中位線重心線面的概念 91
3.5.2 四面體頂點到中位線重心線面的有向距離公式 92
3.5.3 四面體頂點到中位線重心線面有向距離公式的應用 98
第4章 三角形六面體重心線的有向度量定理與應用 105
4.1 三角形六面體重心線的共面共點定理與應用 105
4.1.1 三角形六面體重心線的概念 105
4.1.2 三角形六面體重心線的共面定理及其應用 105
4.1.3 三角形六面體重心線的共點定理及其應用 108
4.2 三角形六面體頂點到重心線包絡面的有向距離與應用 110
4.2.1 三角形六面體重心線包絡面的概念與方程 110
4.2.2 三角形六面體頂點到重心線包絡面有向距離的關系定理 111
4.2.3 三角形六面體頂點在重心線包絡面上的充分必要條件及其應用 114
4.3 三角形六面體頂點到單側重心線面的有向距離與應用 116
4.3.1 三角形六面體單側重心線面的概念 116
4.3.2 三角形六面體頂點到單側重心線面的有向距離公式 116
4.3.3 三角形六面體頂點到單側重心線面有向距離公式的應用 121
4.4 三角形六面體頂點到雙側重心線面的有向距離與應用 130
4.4.1 三角形六面體雙側重心線面的概念 130
4.4.2 三角形六面體頂點到雙側重心線面的有向距離公式 131
4.4.3 三角形六面體頂點到雙側重心線面有向距離公式的應用 136
第5章 三角形八面體重心線的有向度量定理與應用 147
5.1 三角形八面體重心線的共面共點定理與應用 147
5.1.1 三角形八面體重心線的概念 147
5.1.2 三角形八面體重心線的共面定理及其應用 147
5.1.3 三角形八面體重心線的共點定理及其應用 150
5.2 三角形八面體頂點到重心線包絡面的有向距離與應用 152
5.2.1 三角形八面體重心線包絡面的概念與方程 152
5.2.2 三角形八面體頂點到重心線包絡面有向距離的關系定理及其應用 153
5.2.3 三角形八面體頂點在重心線包絡面上的充分必要條件及其應用 156
5.3 三角形八面體頂點到對面重心線面的有向距離與應用 166
5.3.1 三角形八面體對面重心線面的概念 166
5.3.2 三角形八面體頂點到對面重心線面的有向距離公式 166
5.3.3 三角形八面體頂點到對面重心線面有向距離公式的應用 171
5.4 三角形八面體頂點到鄰面重心線面的有向距離與應用 180
5.4.1 三角形八面體鄰面重心線面的概念 180
5.4.2 三角形八面體頂點到鄰面重心線面的有向距離公式 181
5.4.3 三角形八面體頂點到鄰面重心線面有向距離公式的應用 188
第6章 四邊形六面體重心線的有向度量定理與應用 196
6.1 四邊形六面體重心線的共面共點定理與應用 196
6.1.1 四邊形六面體重心線的概念 196
6.1.2 四邊形六面體重心線的共面定理及其應用 196
6.1.3 四邊形六面體重心線的共點定理及其應用 198
6.2 四邊形六面體頂點到重心線包絡面的有向距離與應用 200
6.2.1 四邊形六面體重心線包絡面的概念與方程 200
6.2.2 四邊形六面體頂點到重心線包絡面有向距離的關系定理 201
6.2.3 四邊形六面體頂點到重心線包絡面有向距離關系定理的應用 203
6.3 四邊形六面體頂點到重心線面的有向距離與應用 219
6.3.1 四邊形六面體重心線面的概念 219
6.3.2 四邊形六面體頂點到重心線面有向距離公式及其應用 220
6.3.3 四邊形六面體頂點到重心線面有向距離的關系定理及其應用 225
第7章 擬三棱臺體重心線的有向度量定理與應用 232
7.1 擬三棱臺體重心線的共面共點定理與應用 232
7.1.1 擬三棱臺體重心線的基本概念 232
7.1.2 擬三棱臺體重心線的共面定理及其應用 233
7.1.3 擬三棱臺體重心線的共點定理及其應用 234
7.2 擬三棱臺體頂點到重心線包絡面的有向距離與應用 237
7.2.1 擬三棱臺體重心線包絡面的概念與方程 237
7.2.2 擬三棱臺體頂點到重心線包絡面有向距離的關系定理 238
7.2.3 擬三棱臺體頂點到重心線包絡面有向距離關系定理的應用 240
7.3 擬三棱臺體頂點到單側面重心線面的有向距離與應用 247
7.3.1 擬三棱臺體單側面重心線面的概念 247
7.3.2 擬三棱臺體頂點到單側面重心線面的有向距離公式 248
7.3.3 擬三棱臺體單側面重心線面有向距離公式的應用 252
7.4 擬三棱臺體頂點到雙側面重心線面的有向距離與應用 259
7.4.1 擬三棱臺體雙側面重心線面的基本概念 260
7.4.2 擬三棱臺體雙側面重心線面有向距離公式 260
7.4.3 擬三棱臺體雙側面重心線面有向距離公式的應用 263
第8章 四棱錐重心線的有向度量定理與應用 266
8.1 四棱錐重心線的共面共點定理與應用 266
8.1.1 四棱錐重心線的概念 266
8.1.2 四棱錐重心線的共面定理及其應用 266
8.1.3 四棱錐重心線的共點定理及其應用 268
8.2 四棱錐重心線包絡面有向距離的關系定理與應用 270
8.2.1 四棱錐重心線包絡面的概念與方程 270
8.2.2 四棱錐頂點到重心線包絡面有向距離的關系定理 271
8.2.3 四棱錐頂點到重心線包絡面有向距離關系定理的應用 273
8.3 四棱錐單側面重心線面有向距離公式與應用 275
8.3.1 四棱錐單側面重心線面的概念 276
8.3.2 四棱錐頂點到單側面重心線面有向距離公式 276
8.3.3 四棱錐頂點到單側面重心線面有向距離公式的應用 280
8.4 四棱錐雙側面重心線面有向距離公式與應用 286
8.4.1 四棱錐雙側面重心線面的概念 287
8.4.2 四棱錐頂點到雙側面重心線面的有向距離公式 287
8.4.3 四棱錐頂點到側面重心線面有向距離公式的應用 292
參考文獻 301
名詞索引 304
第1章 多面體有向體積公式 1
1.1 多面體體積的概念與性質 1
1.1.1 多面體的基本概念 1
1.1.2 多面體體積的基本概念與公式 2
1.1.3 四面體體積公式與性質 7
1.2 多面體有向體積的基本概念與性質 11
1.2.1 四面體有向體積的概念與公式 11
1.2.2 四面體有向體積的基本性質 13
1.2.3 同向(反向)四面體的概念與性質 16
1.2.4 n棱錐有向體積的概念與公式 18
1.3 四面體有向體積公式的幾個簡單應用 19
1.3.1 四面體有向體積公式在幾何定理證明中的應用 19
1.3.2 四面體體積公式在多面共線證明中的應用 22
1.3.3 四面體有向體積公式在定值定理證明中的應用 25
第2章 空間三角形和四面體重心線的有向度量定理與應用 29
2.1 空間諸點共面和兩線共面共點的條件與應用 29
2.1.1 空間n(n≥4)點共面的充要條件 29
2.1.2 四面體有向體積公式在四點(兩線)共面證明中的應用 30
2.1.3 四面體有向體積公式與兩線共點的充要條件 31
2.2 空間三角形重心線的有向度量定理與應用 37
2.2.1 空間三角形重心線的基本概念 37
2.2.2 空間點及其坐標面上投影點坐標之間的關系定理 38
2.2.3 空間三角形重心線的共點定理及其應用 40
2.2.4 空間三角形頂點到重心線包絡面的有向距離公式及其應用 41
2.3 四面體點-面重心線的共面共點定理與應用 44
2.3.1 四面體點-面重心線的基本概念 44
2.3.2 四面體點-面重心線的共面定理及其應用 44
2.3.3 四面體點-面重心線的共點定理及其應用 46
2.4 四面體頂點到點-面重心線包絡面有向距離公式與應用 48
2.4.1 四面體點-面重心線包絡面的概念與方程 49
2.4.2 四面體頂點到點-面重心線包絡面的有向距離公式 49
2.4.3 四面體頂點到點-面重心線包絡面有向距離公式的應用 52
2.5 四面體頂點到點-面重心線面的有向距離公式與應用 53
2.5.1 四面體點-面重心線面的概念 54
2.5.2 四面體頂點到點-面重心線面的有向距離公式 54
2.5.3 四面體頂點到點-面重心線面有向距離公式的應用 57
第3章 空間四邊形和四面體中位線的有向度量定理與應用 61
3.1 空間四邊形、四面體中位線的共面共點定理與應用 61
3.1.1 空間四邊形、四面體中位線的概念 61
3.1.2 空間四邊形和四面體中位線的共面定理 62
3.1.3 空面四邊形和四面體中位線的共點定理 63
3.2 空間四邊形和四面體頂點到中位線包絡面的有向距離公式與應用 65
3.2.1 空間四邊形、四面體中位線包絡面的概念與方程 65
3.2.2 空間四邊形頂點到中位線包絡面的有向距離公式及其應用 66
3.2.3 四面體中位線包絡面的有向距離公式及其應用 69
3.3 空間四邊形和四面體中位線包絡面的分割定理與應用 72
3.3.1 四面體中位線包絡面分割線四面體的概念 72
3.3.2 空間四邊形中位線包絡面的分割定理及其應用 72
3.3.3 四面體中位線包絡面的分割定理及其應用 74
3.3.4 四面體中位線包絡面分割線四面體有向體積公式及其應用 79
3.4 空間四邊形和四面體頂點到中位線面的有向距離公式與應用 83
3.4.1 空間四邊形、四面體中位線面的基本概念 83
3.4.2 空間四邊形頂點到中位線面的有向距離公式及其應用 84
3.4.3 四面體頂點到中位線面的有向距離公式及其應用 87
3.5 四面體頂點到中位線重心線面的有向距離公式與應用 91
3.5.1 四面體中位線重心線面的概念 91
3.5.2 四面體頂點到中位線重心線面的有向距離公式 92
3.5.3 四面體頂點到中位線重心線面有向距離公式的應用 98
第4章 三角形六面體重心線的有向度量定理與應用 105
4.1 三角形六面體重心線的共面共點定理與應用 105
4.1.1 三角形六面體重心線的概念 105
4.1.2 三角形六面體重心線的共面定理及其應用 105
4.1.3 三角形六面體重心線的共點定理及其應用 108
4.2 三角形六面體頂點到重心線包絡面的有向距離與應用 110
4.2.1 三角形六面體重心線包絡面的概念與方程 110
4.2.2 三角形六面體頂點到重心線包絡面有向距離的關系定理 111
4.2.3 三角形六面體頂點在重心線包絡面上的充分必要條件及其應用 114
4.3 三角形六面體頂點到單側重心線面的有向距離與應用 116
4.3.1 三角形六面體單側重心線面的概念 116
4.3.2 三角形六面體頂點到單側重心線面的有向距離公式 116
4.3.3 三角形六面體頂點到單側重心線面有向距離公式的應用 121
4.4 三角形六面體頂點到雙側重心線面的有向距離與應用 130
4.4.1 三角形六面體雙側重心線面的概念 130
4.4.2 三角形六面體頂點到雙側重心線面的有向距離公式 131
4.4.3 三角形六面體頂點到雙側重心線面有向距離公式的應用 136
第5章 三角形八面體重心線的有向度量定理與應用 147
5.1 三角形八面體重心線的共面共點定理與應用 147
5.1.1 三角形八面體重心線的概念 147
5.1.2 三角形八面體重心線的共面定理及其應用 147
5.1.3 三角形八面體重心線的共點定理及其應用 150
5.2 三角形八面體頂點到重心線包絡面的有向距離與應用 152
5.2.1 三角形八面體重心線包絡面的概念與方程 152
5.2.2 三角形八面體頂點到重心線包絡面有向距離的關系定理及其應用 153
5.2.3 三角形八面體頂點在重心線包絡面上的充分必要條件及其應用 156
5.3 三角形八面體頂點到對面重心線面的有向距離與應用 166
5.3.1 三角形八面體對面重心線面的概念 166
5.3.2 三角形八面體頂點到對面重心線面的有向距離公式 166
5.3.3 三角形八面體頂點到對面重心線面有向距離公式的應用 171
5.4 三角形八面體頂點到鄰面重心線面的有向距離與應用 180
5.4.1 三角形八面體鄰面重心線面的概念 180
5.4.2 三角形八面體頂點到鄰面重心線面的有向距離公式 181
5.4.3 三角形八面體頂點到鄰面重心線面有向距離公式的應用 188
第6章 四邊形六面體重心線的有向度量定理與應用 196
6.1 四邊形六面體重心線的共面共點定理與應用 196
6.1.1 四邊形六面體重心線的概念 196
6.1.2 四邊形六面體重心線的共面定理及其應用 196
6.1.3 四邊形六面體重心線的共點定理及其應用 198
6.2 四邊形六面體頂點到重心線包絡面的有向距離與應用 200
6.2.1 四邊形六面體重心線包絡面的概念與方程 200
6.2.2 四邊形六面體頂點到重心線包絡面有向距離的關系定理 201
6.2.3 四邊形六面體頂點到重心線包絡面有向距離關系定理的應用 203
6.3 四邊形六面體頂點到重心線面的有向距離與應用 219
6.3.1 四邊形六面體重心線面的概念 219
6.3.2 四邊形六面體頂點到重心線面有向距離公式及其應用 220
6.3.3 四邊形六面體頂點到重心線面有向距離的關系定理及其應用 225
第7章 擬三棱臺體重心線的有向度量定理與應用 232
7.1 擬三棱臺體重心線的共面共點定理與應用 232
7.1.1 擬三棱臺體重心線的基本概念 232
7.1.2 擬三棱臺體重心線的共面定理及其應用 233
7.1.3 擬三棱臺體重心線的共點定理及其應用 234
7.2 擬三棱臺體頂點到重心線包絡面的有向距離與應用 237
7.2.1 擬三棱臺體重心線包絡面的概念與方程 237
7.2.2 擬三棱臺體頂點到重心線包絡面有向距離的關系定理 238
7.2.3 擬三棱臺體頂點到重心線包絡面有向距離關系定理的應用 240
7.3 擬三棱臺體頂點到單側面重心線面的有向距離與應用 247
7.3.1 擬三棱臺體單側面重心線面的概念 247
7.3.2 擬三棱臺體頂點到單側面重心線面的有向距離公式 248
7.3.3 擬三棱臺體單側面重心線面有向距離公式的應用 252
7.4 擬三棱臺體頂點到雙側面重心線面的有向距離與應用 259
7.4.1 擬三棱臺體雙側面重心線面的基本概念 260
7.4.2 擬三棱臺體雙側面重心線面有向距離公式 260
7.4.3 擬三棱臺體雙側面重心線面有向距離公式的應用 263
第8章 四棱錐重心線的有向度量定理與應用 266
8.1 四棱錐重心線的共面共點定理與應用 266
8.1.1 四棱錐重心線的概念 266
8.1.2 四棱錐重心線的共面定理及其應用 266
8.1.3 四棱錐重心線的共點定理及其應用 268
8.2 四棱錐重心線包絡面有向距離的關系定理與應用 270
8.2.1 四棱錐重心線包絡面的概念與方程 270
8.2.2 四棱錐頂點到重心線包絡面有向距離的關系定理 271
8.2.3 四棱錐頂點到重心線包絡面有向距離關系定理的應用 273
8.3 四棱錐單側面重心線面有向距離公式與應用 275
8.3.1 四棱錐單側面重心線面的概念 276
8.3.2 四棱錐頂點到單側面重心線面有向距離公式 276
8.3.3 四棱錐頂點到單側面重心線面有向距離公式的應用 280
8.4 四棱錐雙側面重心線面有向距離公式與應用 286
8.4.1 四棱錐雙側面重心線面的概念 287
8.4.2 四棱錐頂點到雙側面重心線面的有向距離公式 287
8.4.3 四棱錐頂點到側面重心線面有向距離公式的應用 292
參考文獻 301
名詞索引 304
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空間有向幾何學:多面體重心線有向度量理論與應用 節選
第1章多面體有向體積公式 1.1多面體體積的概念與性質 從幾何上來看，兩點間的距離是一維圖形長短的度量，多面體的體積是三維圖形大小的度量，那么這兩類度量之間有什么聯系呢？本節主要闡述多面體和多面體體積的基本知識，為多面體有向體積的研究奠定基礎.首先，介紹多面體的基本概念;其次，介紹多面體體積的基本概念，并通過長方體體積的定義，推出平行六面體、三棱柱和四面體的體積公式，從而給出一道數學競賽題相關問題的解答;*后，介紹四面體體積的行列式計算公式，從而闡述四面體體積的基本性質. 1.1.1多面體的基本概念 多面體有三個相關的定義：在傳統意義上，它是一個三維的多胞形;而在更新的意義上，它是任何維度的多胞形的有界或無界的推廣;將后者進一步一般化，就得到拓撲多面體.本書只討論三維多胞形意義上的多面體. 定義1.1.1由四個或四個以上多邊形所圍成的幾何體，叫做多面體.圍成多面體的各個多邊形叫做多面體的面，兩個面的公共邊叫做多面體的棱，若干個面的公共頂點叫做多面體的頂點. 立方體、棱錐和棱柱都是多面體的例子.多面體包住三維空間的一塊有界體積;有時其內部也視為多面體的一部分.一個多面體是多邊形的三維對應. 正多面體是指多面體的各個面都是全等的正多邊形，并且各個多面角都是全等的多面角.例如，正四面體(即正三棱錐體)的四個面都是全等的三角形，每個頂點有一個三面角，共有四個三面角，可以完全重合，也就是說它們是全等的. 多面體可以有無數，但正多面體的種數很少.正多面體只有正四面體、正六面體、正八面體、正十二面體、正二十面體五種.其中面數*少的是正四面體，面數*多的是正二十面體.有些化學元素的結晶體呈正多面體的形狀，如食鹽的結晶體是正六面體，明礬的結晶體是正八面體.正多面體點、線、面數之間的關系如下： 定義1.1.2以多面體某面(某對角面)為一面、空間任意一點為一個頂點的多面體，稱為多面體的面多面體(對角面多面體). 為方便起見，當任意點在多面體某面(某對角面)上時，我們把任意點與這個面(對角面)所組成的平面圖形(即多邊形或多角形)，看成是多面體的面多面體(對角面多面體)的特殊情形. 顯然，過空間一點P，可以作四面體的四個面四面體，即;過空間一點P，也可以作n棱錐的n個面四面體和一個面n棱錐體，即和. 1.1.2多面體體積的基本概念與公式 要確定三維圖形——多面體的大小，可以從縱、橫、豎三個維度來度量，這樣就把多面體體積度量的問題轉化成三個一維度量，即距離度量的問題;而由縱、橫、豎三個維度的對稱性，就可以將多面體體體積定義為三個一維度量，即距離度量的乘積.可見，不同的距離度量，會產生不同的體積度量.一般地，多面體體積的定義如下. 定義1.1.3多面體的體積是指滿足不變性和可加性兩個條件的正實值函數，即這樣的函數應滿足下列兩條件： (i)合同的多面體具有相同的體積; (ii)如果一個多面體是由兩個(或若干個)多面體組成的，則它的體積等于組成它的多面體的體積之和. 顯然，即使對同一度量的距離，滿足以上條件的體積的度量也不是唯一的.因此，我們約定，本書所討論的體積，都是指多面體在縱、橫、豎三個維度上的歐氏距離度量的乘積，即通常意義下的體積. 一般地，我們規定單位長度的正方體，即長、寬、高三個維度的度量都是一個單位長度的正方體的體積為一個體積單位.于是，由于長方體在長、寬、高三個維度的度量處處都是一樣的，因此可以把長方體的體積定義為長、寬、高的乘積.特別地，正方體的體積就是邊長的立方. 定義1.1.4設是長方體，則其體積定義為長、寬、高的乘積，記為，即.(1.1.1) 特別地，當時，即得正方體的體積等于邊長的立方，即. 定理1.1.1平行六面體的體積等于底面積與高的乘積，即 證明如圖1.1.1和圖1.1.2所示.不妨設均為銳角.首先，過底邊作一垂直于底面的平面，分別與上底棱相交于，并從平行六面體上截下一個倒置的鍥形體，同時將鍥形體平移至平行六面體的對側，使Q3與Q2，Q4與Q1重合，從而得到一個體積與平行六面體體積相等且兩對面均與底面垂直的平行六面體. 其次，過側棱作一垂直于側面的平面，分別與上底棱Q′3Q′4和下底棱P3P4相交于R3和P′3，并從平行六面體上截下一個豎置的鍥形體，同時將鍥形體P2R2-R′3P3Q′3R3平移至平行六面體的對側，使P2與P1重合，P3與P4重合，從而得到一個體積與體積相等的長方體.于是由定義1.1.1，可得 因為 所以式(1.1.2)成立. 推論1.1.1三棱柱體的體積等于底面積乘高，即 證明因為平行六面體的對角面將其分成兩個體積相等的三棱體柱和，故由平行六面體的體積公式，可得 因為 所以式(1.1.3)成立. 定理1.1.2(四面體體積公式：點-面距離表達式)四面體P1P2P3P4的體積等于一面的面積與這面上高的乘積的三分之一，即 證明如圖1.1.3所示.因為三棱柱的對角面;將其分成六個體積相等四面體;即 又因為 所以 將上式中的四面體，換成相應的四面體，即得式(1.1.4). 注1.1.1當共面時，規定，式(1.1.4)亦成立. 因此，我們把共面的四點，所構成的平面圖形(四邊形或四角形)，看成是四面體的特殊情形. 推論1.1.2(n棱錐體積：點-面距離表達式)n棱錐的體積等于底面積與高的乘積的三分之一，即 證明當為凸棱錐時，的對角面，將其分成n-2個四面體，故由定義1.1.3和定理1.1.2，并注意到 可得 因此，式(1.1.4)成立. 當為凹棱錐時，先將分割成若干個凸棱錐，再利用定義1.1.3和定理1.1.2以及上述結論，亦可以證明式(1.1.4)成立. 例1.1.1如圖1.1.4所示.ABCD-A′B′C′D′是一個六面封閉的長方體水箱.已知，因使用過久，在棱AA′，DD′，AB上各有一個小孔.圖中P，Q，R是小孔的位置，已經測dAR=3m，dAP=2m，dDQ=1m(1)求三角形PQR的面積;(2)(1957年北京市數學競賽題)問這水箱*多還能盛多少水(水箱不必平放). 解分別以C′B′，C′D′所在直線為x，y軸建立空間直角坐標系，并設三角形PQR所在平面與棱CD的交點為S.于是ABCD-A′B′C′D′上底面頂點和小孔的坐標分別為A(4，5，7)，B(4，0，7)，C(0，0，7)，D(0，5，7);P(4，5，5)，Q(0，5，6)，R(4，2，7)，三角形PQR的投影法向量 于是三角形PQR所在平面的方程為[6]πPQR:1.5(x-4)+4(y-5)+6(z-5)=0，即1.5x+4y+6z.56=0.分別將x=0，z=7;y=5，z=7，代入該平面的方程，求得y=3.5;x=-4.故三角形PQR所在平面與棱線CD和AD的交點分別為S(0，3.5，7)和T(-4，5，7)
空間有向幾何學:多面體重心線有向度量理論與應用 作者簡介
喻德生，江西高安人．1980年步入教壇，1990年江西師范大學數學系碩士研究生畢業，獲理學碩士學位。南昌航空大學數學與信息科學學院教授，碩士研究生導師，江西省第六批中青年骨干教師，中國教育數學學會常務理事，《數學研究期刊》編委，南昌航空大學省精品課程《高等數學》負責人，教育部學位與研究生教育發展中**位論文評審專家，江西省第二屆青年教師講課比賽評委，研究生數學建模競賽論文評審專家。歷任大學數學教研部主任等職。指導碩士研究生12人。主要從事幾何學、計算機輔助幾何設計和數學教育等方面的研究。參與國家自然科學基金課題3項，主持或參與省部級教學科研課題10項、廳局級教學科研課題11項。在國內外學術刊物發表論文60余篇，撰寫專著2部，主編出版教材10種16個版本。作為主持人獲江西省很好教學成果獎2項，指導學生參加全國數學建模競賽獲省級一等獎及以上獎勵4項并獲江西省很好教學成果榮譽2項，南昌航空工業學院很好教學成果獎4項，獲校級很好教師2次。Email：yudsl7@163．com
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