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深水中的Benjamin-Ono方程及其怪波解(精) 版權信息
- ISBN：9787030715081
- 條形碼：9787030715081 ; 978-7-03-071508-1
- 裝幀：一般膠版紙
- 冊數：暫無
- 重量：暫無
- 所屬分類：>
深水中的Benjamin-Ono方程及其怪波解(精) 內容簡介
深水中的Benjamin-Ono（BO）方程是一類很好重要的非線性色散方程，具有廣泛的物理背景和應用背景。該類方程存在一類具有有限分式的代數孤立子，并且屬于可積系統。本書給出該類方程的物理背景并闡述其怪波解，著重研究幾種重要類型的BO方程的數學理論，其中包括在能量空間和Bourgain空間上的整體解的存在性、專享性和低正則性等。同時本書研究了中等深度水波方程的廣義解、解的漸近性和極限性質、廣義KP方程和二維BO方程解的爆破性質，以及利用穩定性理論和譜分析的方法介紹了BO方程孤立波解的軌道穩定性和漸近穩定性。本書適合高等院校數學、物理專業的研究生和教師以及相關領域的科研工作人員閱讀。
深水中的Benjamin-Ono方程及其怪波解(精) 目錄
目錄
前言
第1章 Benjamin-Ono方程的物理背景及其怪波解 1
1.1 引言 1
1.2 Benjamin-Ono方程及其孤立波解的推導 1
1.3 底層方程(0≤y＜h0) 3
1.4 上層方程(y≥h0)和y=h0的匹配 6
1.5 關于方程(1.4.51)的守恒律 8
1.6 方程(1.4.51)的定常行波 9
1.7 有限深度流體的孤立波 11
第2章 Benjamin-Ono方程初值問題的光滑解 13
2.1 含擴散項的廣義Benjamin-Ono方程 13
2.2 先驗估計 16
2.3 廣義解 21
第3章 Benjamin-Ono方程的整體低正則解 23
3.1 引言 23
3.2 Benjamin-Ono方程的適定性研究現狀 23
3.3 Benjamin-Ono方程在L2空間上的大初值整體解 25
3.4 Gauge變換 27
3.5 工作空間的構造 30
3.6 空間Zk的性質 33
3.7 線性估計 39
3.8 局部的L2估計 44
3.9 雙線性估計Low×High→High 50
3.10 雙線性估計High×High→Low 61
3.11 光滑有界函數的乘子估計 67
3.12 定理3.3.1的證明 76
第4章 KdV-BO-Hirota方程的Hs解 90
4.1 簡介 90
4.2 預備知識 92
4.3 局部結果 94
4.4 Hirota方程在Hs(1≤s≤2)上的整體解 96
第5章 BO長短波方程的Hs解 97
5.1 引言 97
5.2 某些估計的引理 98
5.3 非線性估計 101
第6章 中等深度水波方程的廣義解 111
6.1 引言 111
6.2 奇性積分算子G(u)的某些性質 112
6.3 方程(6.1.6)對α>0的可解性 116
6.4 方程(6.3.13)局部解的存在性，α=0 118
6.5 方程(6.3.13)的整體可解性 120
第7章 中等深度水波方程解的漸近性 126
7.1 引言 126
7.2 一些引理 127
7.3 線性估計 131
7.4 非線性問題的衰減估計 137
第8章 中等深度水波方程的極限性質 141
8.1 引言 141
8.2 廣義有限深度水波方程的整體適定性 141
8.3 線性估計 146
8.4 小初值整體適定性 161
8.4.1 工作空間E的構造 161
8.4.2 定理8.2.6的證明 164
8.4.3 定理8.2.5的證明 171
8.5 解的極限行為 176
8.5.1 解的正則性 176
8.5.2 當δ→0時解對KdV方程的逼近 178
8.5.3 當δ→∞時解對Benjamin-Ono方程的逼近 183
第9章 廣義KP方程和二維Benjamin-Ono方程解的爆破 188
9.1 引言 188
9.2 局部結論 189
9.3 爆破結論 194
第10章 廣義隨機Benjamin-Ono方程的初值問題 200
10.1 引言 200
10.2 預備知識 203
10.3 雙線性估計 206
10.4 三線性估計 210
10.5 局部適定性 213
10.6 定理10.1.2的證明 214
第11章 KdV-BO方程的低正則性問題 225
11.1 引言 225
11.2 預備知識 227
11.3 l=2時的局部解 231
11.4 定理11.1.4的證明 237
第12章 Benjamin-Ono方程孤立波解的軌道穩定性 239
12.1 孤立波解的存在性 239
12.2 主要結果 241
第13章 Benjamin-Ono方程孤立波解的漸近穩定性 245
13.1 引言 245
13.2 一些單調性結果 247
13.2.1 準備工作 247
13.2.2 調制引理 248
13.2.3 u(t)的單調性 249
13.2.4 η(t)的單調性 258
13.3 線性Liouville定理 262
13.3.1 假設二次型正定下證明定理13.3.1 263
13.3.2 對偶問題的正定二次型 276
13.4 漸近穩定性 280
13.4.1 定理13.1.1的證明 280
13.4.2 定理13.1.2的證明 284
13.4.3 注記13.1.3的證明 292
13.5 多個孤立子的情況 294
13.5.1 穩定性理論的概括 295
13.5.2 定理13.5.1的證明概括 296
13.6 弱收斂和適定性結果 299
13.6.1 弱收斂 299
13.6.2 非線性BO方程的適定性結果 300
參考文獻 310
前言
第1章 Benjamin-Ono方程的物理背景及其怪波解 1
1.1 引言 1
1.2 Benjamin-Ono方程及其孤立波解的推導 1
1.3 底層方程(0≤y＜h0) 3
1.4 上層方程(y≥h0)和y=h0的匹配 6
1.5 關于方程(1.4.51)的守恒律 8
1.6 方程(1.4.51)的定常行波 9
1.7 有限深度流體的孤立波 11
第2章 Benjamin-Ono方程初值問題的光滑解 13
2.1 含擴散項的廣義Benjamin-Ono方程 13
2.2 先驗估計 16
2.3 廣義解 21
第3章 Benjamin-Ono方程的整體低正則解 23
3.1 引言 23
3.2 Benjamin-Ono方程的適定性研究現狀 23
3.3 Benjamin-Ono方程在L2空間上的大初值整體解 25
3.4 Gauge變換 27
3.5 工作空間的構造 30
3.6 空間Zk的性質 33
3.7 線性估計 39
3.8 局部的L2估計 44
3.9 雙線性估計Low×High→High 50
3.10 雙線性估計High×High→Low 61
3.11 光滑有界函數的乘子估計 67
3.12 定理3.3.1的證明 76
第4章 KdV-BO-Hirota方程的Hs解 90
4.1 簡介 90
4.2 預備知識 92
4.3 局部結果 94
4.4 Hirota方程在Hs(1≤s≤2)上的整體解 96
第5章 BO長短波方程的Hs解 97
5.1 引言 97
5.2 某些估計的引理 98
5.3 非線性估計 101
第6章 中等深度水波方程的廣義解 111
6.1 引言 111
6.2 奇性積分算子G(u)的某些性質 112
6.3 方程(6.1.6)對α>0的可解性 116
6.4 方程(6.3.13)局部解的存在性，α=0 118
6.5 方程(6.3.13)的整體可解性 120
第7章 中等深度水波方程解的漸近性 126
7.1 引言 126
7.2 一些引理 127
7.3 線性估計 131
7.4 非線性問題的衰減估計 137
第8章 中等深度水波方程的極限性質 141
8.1 引言 141
8.2 廣義有限深度水波方程的整體適定性 141
8.3 線性估計 146
8.4 小初值整體適定性 161
8.4.1 工作空間E的構造 161
8.4.2 定理8.2.6的證明 164
8.4.3 定理8.2.5的證明 171
8.5 解的極限行為 176
8.5.1 解的正則性 176
8.5.2 當δ→0時解對KdV方程的逼近 178
8.5.3 當δ→∞時解對Benjamin-Ono方程的逼近 183
第9章 廣義KP方程和二維Benjamin-Ono方程解的爆破 188
9.1 引言 188
9.2 局部結論 189
9.3 爆破結論 194
第10章 廣義隨機Benjamin-Ono方程的初值問題 200
10.1 引言 200
10.2 預備知識 203
10.3 雙線性估計 206
10.4 三線性估計 210
10.5 局部適定性 213
10.6 定理10.1.2的證明 214
第11章 KdV-BO方程的低正則性問題 225
11.1 引言 225
11.2 預備知識 227
11.3 l=2時的局部解 231
11.4 定理11.1.4的證明 237
第12章 Benjamin-Ono方程孤立波解的軌道穩定性 239
12.1 孤立波解的存在性 239
12.2 主要結果 241
第13章 Benjamin-Ono方程孤立波解的漸近穩定性 245
13.1 引言 245
13.2 一些單調性結果 247
13.2.1 準備工作 247
13.2.2 調制引理 248
13.2.3 u(t)的單調性 249
13.2.4 η(t)的單調性 258
13.3 線性Liouville定理 262
13.3.1 假設二次型正定下證明定理13.3.1 263
13.3.2 對偶問題的正定二次型 276
13.4 漸近穩定性 280
13.4.1 定理13.1.1的證明 280
13.4.2 定理13.1.2的證明 284
13.4.3 注記13.1.3的證明 292
13.5 多個孤立子的情況 294
13.5.1 穩定性理論的概括 295
13.5.2 定理13.5.1的證明概括 296
13.6 弱收斂和適定性結果 299
13.6.1 弱收斂 299
13.6.2 非線性BO方程的適定性結果 300
參考文獻 310
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深水中的Benjamin-Ono方程及其怪波解(精) 節選
第1章 Benjamin-Ono方程的物理背景及其怪波解 1.1 引言 1967年 Benjamin 在文獻[107]中，1975年 Ono 在文獻[113]中提出了具有奇性的 Hilbert 變換的發展方程 (1.1.1) 其中α，β為常數.這個方程來自光學介質中的三層光學共振、深水中的層波運動等.它是可積系統，具有孤立子，不同于KdV方程的鐘形孤立子，具有有限分式的代數孤立子 (1.1.2) 其中 a，δ均為常數. 我們這一章主要詳細敘述方程(1.1.1)的來源及更廣泛的一類中等深度的流體力學色散方程，當深度參數 l →0時得到 KdV 方程，當 l →∞時得到Benjamin-Ono 方程. 1.2 Benjamin-Ono 方程及其孤立波解的推導 考慮下面二維不可壓縮、理想流體在 y 方向的分層流.方程為 (1.2.3) (1.2.4) (1.2.5) (1.2.6) 其中(u， v)表示流體速度， p 表示壓力， g 表示重力常數.考慮具有沒有運動的基態解 (1.2.7) 其中 (1.2.8) 當時，基態解是穩定的. 考慮基態解的小參數擾動及其線性化方程 (1.2.9) ε為小參數.將(1.2.9)代入(1.2.3)—(1.2.6)中并對ε線性化，得 (1.2.10) 設沿 x 方向為正弦波傳播 (1.2.11) 這里 k 為波數， w 為頻率.將(1.2.11)代入(1.2.10)得 (1.2.12) 且 (1.2.13) 方程(1.2.12)連同垂直邊界條件構成特征值問題， w 或 wk 為特征值， v 為特征函數. 在特殊的基態情況下，密度分布(常數). (1.2.14) 流體層由兩部分組成，除了有限底層(0. y0< h0)，密度為常數，固壁底為 y =0. v(y)的近似邊界條件為 (1.2.15) (1.2.16) 在上層時(1.2.12)歸結為 (1.2.17) 具邊界條件(1.2.16)的解為 (1.2.18) 由此推出 (1.2.19) 另一方面，對于下層，我們尋求滿足條件(1.2.15)在 y =0上和(1.2.19)在 y = h0上的解.因此滿足方程(1.2.10)的上述解構成特征值問題，特征值為 w 或者 wk . Benjamin 已經注意到當 k 小時有形式 (1.2.20) 其中 c0和β為特征函數的泛函. Davis 和 Acrivos 指出僅考慮*低模. 1.3 底層方程 現考慮非線性問題，對于內波，它的傳播沿 x 方向在流體底層由(1.2.20)關系所描述.考慮到色散和非線性的相互作用，令 (1.3.21) 其中 c0待定，(1.2.7)和(1.2.8)在基態漸近作ε展開 (1.3.22) 考慮連續性(1.2.4)或(1.2.13)，可知 v 為二階ε項，引入伸縮坐標和展開式(1.3.22)代入方程(1.2.3)—(1.2.6)，可得ε*低階 (1.3.23) 從(1.3.23)消去 u1， p1，ρ1，可得 (1.3.24) 分離變量 (1.3.25) 可得滿足常微分方程 (1.3.26) 則其他量可表示為 f(ξ，τ)和的式子 (1.3.27) 進而分解得 (1.3.28) 其中非齊次項 (1.3.29) (1.3.30) 消去ξ， u2， p2，ρ2，由(1.3.28)可得 (1.3.31) 其中非齊次項為 為使得非齊次方程(1.3.31)存在非奇性解，必須滿足條件 (1.3.32) 在底部邊界條件對下層的解 為 (1.3.33) 利用這些條件，(1.3.32)歸結為 (1.3.34) 如果在 y = h0是已知的，則得到 f(ξ，τ)的方程.在 y = h0的邊界條件選為 O(ε2)階.下面得到方程在的解. 1.4 上層方程和 y = h0的匹配 采用坐標變換 (1.4.35) 在此變換下，方程(1.2.3)—(1.2.6)變成 (1.4.36) (1.4.37) (1.4.38) (1.4.39)
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