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非線性可積系統的構造性方法 版權信息
- ISBN：9787030717993
- 條形碼：9787030717993 ; 978-7-03-071799-3
- 裝幀：一般膠版紙
- 冊數：暫無
- 重量：暫無
- 所屬分類：>
非線性可積系統的構造性方法 本書特色
適讀人群 ：高等學校數學、物理學、流體力學等專業研究生和高年級本科生，相關領域的研究人員和工程技術人員本書可作為高等學校數學、物理學、流體力學等專業的研究生和高年級本科生教材，也可供相關領域的研究人員和工程技術人員參考.
非線性可積系統的構造性方法 內容簡介
本書研究非線性可積系統的可積性判定、準確求解和生成的一些構造性理論與方法。首先簡述非線性系統的可積性、孤子解和多種解法，著重研究C-D對、Painlevé檢驗、Hirota雙線性方法和Darboux變換的新應用；其次簡要介紹數學機械化及其在非線性系統求解中的應用，主要研究齊次平衡法、指數函數法、輔助方程法和負冪展開法在構造孤波、多波、怪波和隨機波等多種形式解中的改進與推廣；*后重點研究KdV系統、AKNS系統、KN系統和Toda晶格系統的多種形式推廣生成，并利用Backlund變換、雙線性方法、反散射變換等方法對所生成的多數推廣系統進行求解，同時還討論推廣后KN系統的Hamilton結構與Liouville可積性。 本書可作為高等學校數學、物理學、流體力學等專業研究生和高年級本科生的教材，也可供相關領域的研究人員和工程技術人員參考。
非線性可積系統的構造性方法 目錄
目錄
前言
第1章 可積性與求解法 1
1.1 何謂可積 1
1.1.1 Lax可積系統的構造性生成與超對稱擴展 1
1.1.2 Liouville完全可積系統的判定與Hamilton結構 3
1.1.3 Painlevé可積系統的判定與共振公式 5
1.2 非線性可積系統的構造性解法 6
1.2.1 B.cklund變換 6
1.2.2 Darboux變換 7
1.2.3 反散射變換 8
1.2.4 雙線性方法 11
1.2.5 其他構造性解法 13
第2章 C-D對與輔助方程法 15
2.1 C-D對簡述 15
2.2 C-D對在方程轉化中的應用 15
2.3 輔助方程法的C-D對 20
2.3.1 輔助方程法C-D對的一般格式 21
2.3.2 輔助方程法C-D對的展開次數與平衡原則 22
2.3.3 輔助方程法C-D對的舉例 23
第3章 擴展KdV方程和Fokas方程的Painlevé檢驗 26
3.1 孤子與KdV方程 26
3.2 孤子解的存在性與系統可積性之間的聯系 29
3.3 非線性可積系統的穩定性與怪波解 30
3.4 擴展KdV方程的Painlevé檢驗與孤子解 31
3.4.1 Painlevé可積性條件 31
3.4.2 孤子解 32
3.5 Fokas方程的Painlevé檢驗、雙線性化與多孤子解 33
3.5.1 Painlevé可積性判定 34
3.5.2 孤子解 36
3.5.3 雙線性化 38
3.5.4 多孤子解 38
第4章 雙線性方法與DT的新應用 43
4.1 WBK方程的雙線性方法與多孤子解 43
4.1.1 方程轉化與雙線性化 43
4.1.2 簡化的雙線性形式與多孤子解 45
4.1.3 具有一般性的雙線性形式與多孤子解 47
4.2 廣義BK方程的DT與多孤子退化 50
4.2.1 N-重DT 51
4.2.2 2N-孤子解 56
4.2.3 2N-孤子解的奇偶孤子退化 58
4.3 半離散方程的DT與無窮多守恒律 61
4.3.1 DT 62
4.3.2 精確解 66
4.3.3 無窮多守恒律 66
第5章 數學機械化的應用與HBM的修正 69
5.1 數學機械化簡述 69
5.1.1 什么是數學機械化 69
5.1.2 數學機械化的基本任務與發展歷程 69
5.1.3 數學機械化與計算機代數 71
5.2 數學機械化在非線性微分系統求解中的應用 71
5.2.1 求解軟件包與完全自動化 72
5.2.2 機械化求解中的“AC=BD”理論與吳特征列方法 72
5.3 修正HBM構造變系數Gardner方程的多孤子解 73
5.3.1 HBM簡述 73
5.3.2 變系數Gardner方程的多孤子解 76
5.3.3 修正HBM構造多波解的步驟 82
第6章 基于多重有理擬形的多波解與怪波解 84
6.1 指數函數法與有理指數函數解 84
6.1.1 指數函數法簡述 84
6.1.2 有理指數函數解的H-秩判定法 85
6.2 多重有理指數函數擬解構造多波解 87
6.2.1 多重有理指數函數擬解 87
6.2.2 2+1維BK方程的N-波解 88
6.3 半離散多重有理指數函數擬解構造多波解 94
6.3.1 半離散多重有理指數函數擬解 94
6.3.2 Toda鏈方程的多波解 94
6.4 復多重有理指數函數擬解構造孤波解、多波解和怪波解 98
6.4.1 復多重有理指數函數擬解 99
6.4.2 變系數NLS方程的孤波解 100
6.4.3 變系數NLS方程的多波解 102
6.4.4 變系數NLS方程的怪波解 104
第7章 負冪展開法及其推廣應用 106
7.1 負冪展開法 106
7.1.1 負冪展開法的主要步驟 106
7.1.2 擬解負冪展開的平衡公式 107
7.1.3 算例 108
7.2 構造行波解 109
7.2.1 Mikhauilov-Novikov-Wang方程的行波解 109
7.2.2 2+1維色散長波方程的行波解 110
7.2.3 Maccari方程的行波解 112
7.2.4 Tzitzeica-Dodd-Bullough方程的行波解 113
7.3 構造非行波解 114
7.3.1 3+1維Jimbo-Miwa方程的非行波解 114
7.3.2 變系數Sawada-Kotera方程的非行波解 116
7.4 構造半離散解 116
7.4.1 半離散負冪展開擬解 117
7.4.2 晶格方程的半離散解 117
7.4.3 Toda晶格方程的半離散解 118
第8章 輔助方程法的改進與隨機波解的構造 119
8.1 改進的F-展開法與KD方程的精確解 119
8.1.1 輔助橢圓方程及其特解 119
8.1.2 改進的F-展開法的步驟 120
8.1.3 2+1維KD方程的精確解 121
8.2 改進的Fan輔助方程法與KP方程的精確解 124
8.2.1 Fan輔助方程及其特例 124
8.2.2 改進的Fan輔助方程法的擬解與步驟 125
8.2.3 3+1維KP方程的精確解 126
8.3 改進的離散擴展tanh方法與Toda晶格方程的精確解 128
8.3.1 構造非線性半離散方程擬解的一般性原則 128
8.3.2 改進的離散擴展tanh方法 130
8.3.3 含任意函數 2+1維Toda晶格方程的精確解 131
8.4 Wick型隨機方程的對稱、相似約化與輔助方程法 133
8.4.1 知識準備 133
8.4.2 Wick型隨機方程的相容性方法 136
8.4.3 Wick型隨機KdV方程的對稱、相似約化 137
8.4.4 約化方程的F-展開法與隨機波解 138
第9章 KdV系統的推廣及其BT與IST 142
9.1 變系數超KdV方程的Lax表示及其IST 142
9.1.1 Lax表示 142
9.1.2 正散射分析 143
9.1.3 聯系Riemann-Hilbert問題的反散射分析 146
9.1.4 多孤子解 147
9.2 廣義等譜KdV方程族的推導與雙線性BT 148
9.2.1 Lax格式生成 148
9.2.2 雙線性BT 150
9.2.3 多孤子解 151
9.3 含自相容源混合譜KdV方程族的推導與IST 153
9.3.1 Lax格式生成 153
9.3.2 正散射問題與反散射問題 157
9.3.3 無反散射勢與N-孤子解 164
第10章 AKNS系統和KN系統的一些推廣 167
10.1 廣義等譜AKNS方程族的推導及其IST 167
10.1.1 Lax格式生成 167
10.1.2 雙線性形式 169
10.1.3 多波解 170
10.2 廣義非等譜AKNS方程族的推導及其IST 172
10.2.1 Lax格式生成 173
10.2.2 散射數據隨時間的發展規律 174
10.2.3 N-波解 177
10.3 變系數等譜KN方程族的推導與Liouville可積性 179
10.3.1 Tu格式生成 180
10.3.2 Hamilton結構與Liouville可積性 182
第11章 Toda晶格推廣系統的生成與求解 184
11.1 含任意函數 2+1維Toda晶格方程的推導及其求解 184
11.1.1 方程推導 184
11.1.2 指數函數法與楔形波 185
11.1.3 雙線性方法與多扭結孤子 186
11.2 廣義等譜Toda晶格方程族的推導及其IST 188
11.2.1 Lax格式生成 189
11.2.2 散射數據隨時間的發展規律 191
11.2.3 N-孤子解 194
11.2.4 孤子動力演化 196
11.3 變系數非等譜Toda晶格方程族的推導及其IST 197
11.3.1 Lax格式生成 198
11.3.2 散射數據隨時間的發展規律 199
11.3.3 N-孤子解 203
參考文獻 204
前言
第1章 可積性與求解法 1
1.1 何謂可積 1
1.1.1 Lax可積系統的構造性生成與超對稱擴展 1
1.1.2 Liouville完全可積系統的判定與Hamilton結構 3
1.1.3 Painlevé可積系統的判定與共振公式 5
1.2 非線性可積系統的構造性解法 6
1.2.1 B.cklund變換 6
1.2.2 Darboux變換 7
1.2.3 反散射變換 8
1.2.4 雙線性方法 11
1.2.5 其他構造性解法 13
第2章 C-D對與輔助方程法 15
2.1 C-D對簡述 15
2.2 C-D對在方程轉化中的應用 15
2.3 輔助方程法的C-D對 20
2.3.1 輔助方程法C-D對的一般格式 21
2.3.2 輔助方程法C-D對的展開次數與平衡原則 22
2.3.3 輔助方程法C-D對的舉例 23
第3章 擴展KdV方程和Fokas方程的Painlevé檢驗 26
3.1 孤子與KdV方程 26
3.2 孤子解的存在性與系統可積性之間的聯系 29
3.3 非線性可積系統的穩定性與怪波解 30
3.4 擴展KdV方程的Painlevé檢驗與孤子解 31
3.4.1 Painlevé可積性條件 31
3.4.2 孤子解 32
3.5 Fokas方程的Painlevé檢驗、雙線性化與多孤子解 33
3.5.1 Painlevé可積性判定 34
3.5.2 孤子解 36
3.5.3 雙線性化 38
3.5.4 多孤子解 38
第4章 雙線性方法與DT的新應用 43
4.1 WBK方程的雙線性方法與多孤子解 43
4.1.1 方程轉化與雙線性化 43
4.1.2 簡化的雙線性形式與多孤子解 45
4.1.3 具有一般性的雙線性形式與多孤子解 47
4.2 廣義BK方程的DT與多孤子退化 50
4.2.1 N-重DT 51
4.2.2 2N-孤子解 56
4.2.3 2N-孤子解的奇偶孤子退化 58
4.3 半離散方程的DT與無窮多守恒律 61
4.3.1 DT 62
4.3.2 精確解 66
4.3.3 無窮多守恒律 66
第5章 數學機械化的應用與HBM的修正 69
5.1 數學機械化簡述 69
5.1.1 什么是數學機械化 69
5.1.2 數學機械化的基本任務與發展歷程 69
5.1.3 數學機械化與計算機代數 71
5.2 數學機械化在非線性微分系統求解中的應用 71
5.2.1 求解軟件包與完全自動化 72
5.2.2 機械化求解中的“AC=BD”理論與吳特征列方法 72
5.3 修正HBM構造變系數Gardner方程的多孤子解 73
5.3.1 HBM簡述 73
5.3.2 變系數Gardner方程的多孤子解 76
5.3.3 修正HBM構造多波解的步驟 82
第6章 基于多重有理擬形的多波解與怪波解 84
6.1 指數函數法與有理指數函數解 84
6.1.1 指數函數法簡述 84
6.1.2 有理指數函數解的H-秩判定法 85
6.2 多重有理指數函數擬解構造多波解 87
6.2.1 多重有理指數函數擬解 87
6.2.2 2+1維BK方程的N-波解 88
6.3 半離散多重有理指數函數擬解構造多波解 94
6.3.1 半離散多重有理指數函數擬解 94
6.3.2 Toda鏈方程的多波解 94
6.4 復多重有理指數函數擬解構造孤波解、多波解和怪波解 98
6.4.1 復多重有理指數函數擬解 99
6.4.2 變系數NLS方程的孤波解 100
6.4.3 變系數NLS方程的多波解 102
6.4.4 變系數NLS方程的怪波解 104
第7章 負冪展開法及其推廣應用 106
7.1 負冪展開法 106
7.1.1 負冪展開法的主要步驟 106
7.1.2 擬解負冪展開的平衡公式 107
7.1.3 算例 108
7.2 構造行波解 109
7.2.1 Mikhauilov-Novikov-Wang方程的行波解 109
7.2.2 2+1維色散長波方程的行波解 110
7.2.3 Maccari方程的行波解 112
7.2.4 Tzitzeica-Dodd-Bullough方程的行波解 113
7.3 構造非行波解 114
7.3.1 3+1維Jimbo-Miwa方程的非行波解 114
7.3.2 變系數Sawada-Kotera方程的非行波解 116
7.4 構造半離散解 116
7.4.1 半離散負冪展開擬解 117
7.4.2 晶格方程的半離散解 117
7.4.3 Toda晶格方程的半離散解 118
第8章 輔助方程法的改進與隨機波解的構造 119
8.1 改進的F-展開法與KD方程的精確解 119
8.1.1 輔助橢圓方程及其特解 119
8.1.2 改進的F-展開法的步驟 120
8.1.3 2+1維KD方程的精確解 121
8.2 改進的Fan輔助方程法與KP方程的精確解 124
8.2.1 Fan輔助方程及其特例 124
8.2.2 改進的Fan輔助方程法的擬解與步驟 125
8.2.3 3+1維KP方程的精確解 126
8.3 改進的離散擴展tanh方法與Toda晶格方程的精確解 128
8.3.1 構造非線性半離散方程擬解的一般性原則 128
8.3.2 改進的離散擴展tanh方法 130
8.3.3 含任意函數 2+1維Toda晶格方程的精確解 131
8.4 Wick型隨機方程的對稱、相似約化與輔助方程法 133
8.4.1 知識準備 133
8.4.2 Wick型隨機方程的相容性方法 136
8.4.3 Wick型隨機KdV方程的對稱、相似約化 137
8.4.4 約化方程的F-展開法與隨機波解 138
第9章 KdV系統的推廣及其BT與IST 142
9.1 變系數超KdV方程的Lax表示及其IST 142
9.1.1 Lax表示 142
9.1.2 正散射分析 143
9.1.3 聯系Riemann-Hilbert問題的反散射分析 146
9.1.4 多孤子解 147
9.2 廣義等譜KdV方程族的推導與雙線性BT 148
9.2.1 Lax格式生成 148
9.2.2 雙線性BT 150
9.2.3 多孤子解 151
9.3 含自相容源混合譜KdV方程族的推導與IST 153
9.3.1 Lax格式生成 153
9.3.2 正散射問題與反散射問題 157
9.3.3 無反散射勢與N-孤子解 164
第10章 AKNS系統和KN系統的一些推廣 167
10.1 廣義等譜AKNS方程族的推導及其IST 167
10.1.1 Lax格式生成 167
10.1.2 雙線性形式 169
10.1.3 多波解 170
10.2 廣義非等譜AKNS方程族的推導及其IST 172
10.2.1 Lax格式生成 173
10.2.2 散射數據隨時間的發展規律 174
10.2.3 N-波解 177
10.3 變系數等譜KN方程族的推導與Liouville可積性 179
10.3.1 Tu格式生成 180
10.3.2 Hamilton結構與Liouville可積性 182
第11章 Toda晶格推廣系統的生成與求解 184
11.1 含任意函數 2+1維Toda晶格方程的推導及其求解 184
11.1.1 方程推導 184
11.1.2 指數函數法與楔形波 185
11.1.3 雙線性方法與多扭結孤子 186
11.2 廣義等譜Toda晶格方程族的推導及其IST 188
11.2.1 Lax格式生成 189
11.2.2 散射數據隨時間的發展規律 191
11.2.3 N-孤子解 194
11.2.4 孤子動力演化 196
11.3 變系數非等譜Toda晶格方程族的推導及其IST 197
11.3.1 Lax格式生成 198
11.3.2 散射數據隨時間的發展規律 199
11.3.3 N-孤子解 203
參考文獻 204
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非線性可積系統的構造性方法 節選
第1章 可積性與求解法 本章以何謂可積作為問題的開始，闡述 Lax、Liouville、Painlevé三種意義下的可積系統，聯系到可積系統的超對稱擴展、Hamilton結構和共振公式，同時介紹非線性可積系統的 B.cklund變換、 Darboux變換、反散射變換、 Hirota雙線性方法及其他一些求解方法. 1.1 何謂可積 本書中涉及的可積總是與一個微分方程系統聯系在一起，并非指函數的可積性. 何謂可積？這個問題沒有一個統一性的精確回答. 可積系統能否泛指可以解析求解的微分方程？如果能這樣理解的話，那么可積系統就是一個經過有限次的代數運算與積分可以精確求解的微分方程 . 更嚴謹地講，稱一個系統是可積的，通常要具體指出它是哪種意義下的可積[1]. 隨著孤子理論的快速發展，可積系統的一些理論框架已形成，其中包括 Lax理論和 Liouville理論. KdV（Korteweg-de Vries）方程 （1.1.1） 是非線性可積系統具有代表性的典型模型之一（本書用 x、t等下標記偏導數）．可積系統有多種意義下的可積性，本節僅對其中的 Lax可積、 Liouville可積和 Painlevé可積進行概述，一些其他意義下的可積性詳見本書 3.2節. 1.1.1 Lax可積系統的構造性生成與超對稱擴展 1968年，Lax在對反散射變換進行推廣中給出 KdV方程的一種換位表示[2]，使得非線性演化方程的可積性分析得到一個合理的框架. 尋找方程的 Lax對或其零曲率表示已發展成為研究非線性演化方程可積性的一個基本出發點. 一般地，若一個非線性演化方程能表示成線性譜問題與其時間發展式的下述相容性條件： （1.1.2） 式中，L是與位勢u有關的微分算子； .是本征函數； N是依賴于位勢 u和譜參數.的微分算子；.是關于 t的偏導算子 . 則 稱此演化方程是 Lax意義下的可積系統，而式（1.1.2）稱為其 Lax表示或 Lax方程，L與N或相關的線性問題稱為其 Lax對. 若.與t無關，則稱此演化方程是等譜的，否則稱為非等譜的. 當L為 Schr.dinger算子 （1.1.3） 式中，.為關于 x的偏導算子 . 取，利用 可知 N為三階反對稱算子，這里N* 表示 N的共軛算子，并假設.與t無關，則此時的相容性條件（1.1.2）即為 Lax可積的 KdV方程 （1.1.4） 一般地，若與可改寫成向量形式 （1.1.5） 式中，是n維列向量；M與N是依賴于位勢和譜參數.的n1階2矩陣 . 則式（1.1.5）的相容性條件 要求M與N必須滿足零曲率方程通常情況下，由這樣的零曲率方程生成的演化方程也是 Lax可積的[3]. 孤子方程及其超對稱伙伴在物理和數學上都是密切相關的. 從數學的角度來看，起源于理論物理的超對稱可以通過擴張空間的辦法得到 . 擴張后的空間包含 Grassmann 反交換變量，這便于將玻色子和費米子以統一的方式進行處理 . 對于 KdV方程（1.1.6） 其超對稱擴展是指一個含有玻色場和費米場且在超對稱變換下保持不變性的耦合系統 . 與此同時，在費米場消失的極限情況下，這個耦合系統退化為原方程（1.1.6）.需要為了構造 KdV方程（1.1.6）的一個超對稱擴展，經典時空擴張為超時空要由超場 .，通常的場來替代，這里 .是一個 Grassmann反交換變量. 利用反交換變量性，對進行泰勒展開的分量場，這里的玻色場式中，與為是可交換的，而費米場通過直接擴張xt 是反交換的. （1.1.8） 可得到 KdV方程（1.1.6）向超場的一個超對稱擴展 （1.1.9） 式中，a為常數；D是超導數，且有這是因為，當費米場 .消失時，方程（1.1.9）退化為方程（1 1.6）；與此同時，方程（1.1.9）在超對稱變換. 作用下保持不變性，這里 .是無窮小反交換量 當時，方程（1.1.9）是可積的 [4]，其分量形式 （1.1.10） 利用分量場與來描述超場的超對稱變換 .，其不變性 [5]等價于事實上，一方面將展開并利用式（1.1.7）整理得 （1.1.12）另一方面，利用式（1.1.7）可將表示為 （1.1.13） 再比較式（1.1.12）和式（1.1.13）中右端 .同次冪的系數即得式（1.1.11）. 然而，KdV方程（1.1.6）的如下形式擴展 （1.1.14） 盡管與式（1.1.9）只有系數上的差別，但卻不滿足超對稱變換 .的不變性，人們將式（1.1.14）稱為超 KdV（super KdV）方程. 因此，超方程與超對稱方程有區別. 利用超對稱的英文形式 supersymmetry，可將超對稱KdV縮寫為SUSYKdV.對于超 KdV方程 （1.1.15） 其 Lax可積性已由 Kulish等[6]驗證. 1.1.2 Liouville完全可積系統的判定與 Hamilton結構 在現代可積理論當中，考察方程的 Liouville完全可積性是另一個基本的出發點. 假設一個給定的非線性演化方程可以表示成廣義的 Hamilton方程 （1.1.16） 式中，J是逆辛算子，則把泛函Hu稱為此方程的 Hamilton函數. （1.1.16） ()若方程存在無窮多個獨立的守恒量 1， F3，.) ，而且這些守恒量是相互對合的，即泊松括號，則稱這個演化方程在 Liouville意義下完全可積 [3]. 例如，存在無窮多守恒量的 KdV方程（1.1.1）是 Liouville完全可積的無窮維 Hamilton系統，這里我們只需取 （1.1.17） 有限維的 Hamilton可積系統是 Liouville完全可積性一般理論框架的核心 . 辛流形是 Hamilton系統的理論框架，更廣的是 Poisson流形，但它經過葉化后仍為辛流形[7]. 對于給定的 2n維 Hamilton系統 ，其中是裝備了一個非退化的閉微分 2-形式（辛結構）的偶數維辛流形是其上一實值 Hamilton函數. Liouville可積性要求 Hamilton系統存在n個獨立且相互對合的守恒積分. 由于每一個守恒積分 可以降低一個自由度，也就是兩維，因此若知道 n個守恒積分，我們就可以判定出此 Hamilton系統是完全可積的，具體地說即為 Liouville-Arnold理論[8]. 由獨立性可知，這n個相互對合的守恒積分所構成的水平集 （1.1.18） 是每一個 Hamilton相流giti（特別是1流）的n維不變子流形[7]. 若還滿足緊致與連通的條件，則它微分同胚于如下的n維實環面 （1.1.19） 進而可找到辛坐標上的角坐標. Hamilton.，使守恒積分 F只含I，而.是 系統在Mc鄰域中的作用-角變量正則坐標系下能化為可積分的形式 （1.1.20） 解之易得. *后再對相空間進行坐標反演，即得到所考慮問題的顯示形式解[7]. 有限維 Hamilton系統的 Liouville完全可積理論可形象地概括為 [7]“流的拉直、求積與反演”，其中“拉直”是核心 . 在 19世紀相當長的一個時期內，人們所能證明出具有 Liouville可積性的有限維 Hamilton系統相當少 . 研究無窮維 Hamilton系統的 Liouville可積性直到 20世紀中后期才得到蓬勃的發展，但與有限維情形大不相同的是，只憑借無窮維 Liouville可積系統的無窮多個獨立且相互對合的守恒量并不能構造出它的顯示解. 這給建立無窮維 Hamilton系統的 Liouville完全可積性理論造成很大的困難 . 1988年，Cao提出的 Lax對非線性化方法[9]為求解無窮維可積系統提供了一種有效的途徑 . 根據此方法， Schr.dinger方程可以被非線性化為一個Liouville完全可積的有限維Hamilton系統——Bargmann系統，而 KdV方程的特解恰好可分解為此 Bargmann系統中兩個方程的解. 得益于 Cao、Cheng、Li、曾云波、 Geng、Ma、Zhou、Qiao等的工作 [10-16]，后來這個方法得到進一步發展. 1.1.3 Painlevé可積系統的判定與共振公式 通常把具有 Painlevé性質的偏微分方程稱為是 Painlevé可積的. 具體地說，設是給定非線性偏微分方程的一個解，且假設 （1.1.21） 式中，是一個非負整數；是在可流動奇異流形的某個領域內的解析函數[17，18]. 將式（1.1.21）代入給定偏微分方程，平衡.的冪次確定.值，并得如下遞推關系式——共振公式 （1.1.22） 式中，和.及其各階導數的函數. 顯然，當 j取共振點外的數值時，總是可以從中確定出 uj . 而對于 j取每個正整數的共振點時，可從式（1.1.22）得到一個相容性條件 . 如果對于所有的uj，式（1.1.22）是自相容的，那么稱這樣的偏微分方程具有 Painlevé性質. 對于 KdV方程（1.1.4），通過平衡 uux 與uxxx 中.的*高負次冪，得關系式 .2. 1 3 ，即 2，從而通過收集 的系數得.，即 由此收集 4 的系數得，從中解得從而收集的系數得 （1.1.23） 由此可以解出u2. 收集的系數并利用式（1.1.23）得 （1.1.24） 進一步可以解出u3. 收集的系數得 （1.1.25） 從中無法確定出u4. 這是因為有共振公式 （1.1.26） 令，收集的系數確定 . 令，依此類推確定，但表 達式越來越復雜 . 為簡便起見，取 ，從中可知當式（1.1.26）成立時，除了u2要滿足KdV方程（13.1.4）5外，必8須滿足下列條件： （1.1.27） 顯然上述的.和u2是存在的，故 KdV方程（1.1.4）是 Painlevé可積的. 在這樣的情況下，式（1.1.21）被截斷成 （1.1.28） 從中可知，只要給出.和u2的一組解，就能得到 KdV方程（1.1.4）的解. 2015年， Zhang等[19]給出了帶強迫項擴展 KdV方程的 Painlevé可積性條件， Zhang等[20]驗證了 4+1維 Fokas方程的 Painlevé可積性質. 1.2非線性可積系統的構造性解法 非線性偏微分方程常用來描述物理、化學以及生物等學科中出現的許多非線性現象和動力過程 . 線性系統往往只能對復雜客觀世界進行近似的線性抽象與描述，與之相比非線性模型可以更準確地接近現象的本質 . 非線性科學領域頗具特色的成就之一是創造了求非線性演化方程精確解尤其是孤波解的各種精巧方法 . 但目前尚無統一的求解方法，往往根據實際需要選擇適當的方法. 1.2.1 B.cklund變換 一些常見的非線性演化方程除了可利用 Lax方程或零曲率方程得到外，還可從其他方程推出. 比如 KdV方程和 KP（Kadomtsev-Petviashvili）方程也可以從流體力學中的 Euler方程推出，光纖中的非線性薛定諤（nonlinear Schr.dinger，NLS）方程也能通過電磁場的 Maxwell方程推出. 利用負常曲率曲面的 Gauss-Mainardi-Codazzi方程推出正弦戈登（sine-Gordon，SG
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