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奇異攝動問題的計算方法 版權信息
- ISBN：9787030714961
- 條形碼：9787030714961 ; 978-7-03-071496-1
- 裝幀：一般膠版紙
- 冊數：暫無
- 重量：暫無
- 所屬分類：>
奇異攝動問題的計算方法 本書特色
適讀人群 ：數學、力學、物理學以及其他學科的工程技術研究人員，高校教師，高年級本科生及科學與工程計算研究生本書內容豐富，語言凝練，結構嚴謹。
奇異攝動問題的計算方法 內容簡介
本書主要介紹了解奇異攝動問題的數值方法，其內容基本上反應了近30年來這個領域的近期新研究成果和當前的主要研究方向。著重敘述了如何構造適應奇異攝動問題特性的新的數值方法，詳細介紹了求解常微分方程奇異攝動問題的差分方法、有限元方法、有限體積法及有限配點法；對偏微分方程奇異攝動問題的求解，主要介紹了差分方法、有限元方法、擬合因子法、譜方法，并重點介紹了近期發展起來的高精度計算方法，包括：多尺度方法，微分求積法，Sinc方法。*后，就攝動問題給出了大量的應用實例。
奇異攝動問題的計算方法 目錄
目錄
《奇異攝動叢書》序言
前言
第1章 緒論 1
1.1 自適應網格 1
1.1.1 Bakhvalov網格 2
1.1.2 Shishkin網格 3
1.1.3 Graded網格 4
1.1.4 *優網格 6
1.2 奇異攝動數值方法 7
1.2.1 有限差分法 7
1.2.2 有限元法和有限體積法 8
1.2.3 多尺度方法 9
參考文獻 9
第2章 奇異攝動問題的擬合因子法 12
2.1 問題概述 12
2.2 守恒型奇異攝動常微分方程的奇性分離 13
2.3 差分格式 16
2.4 一些重要的不等式和擬合因子的性質 18
2.5 差分格式的性質 20
2.6 一致收斂性 25
2.7 數值算例及分析 34
參考文獻 36
第3章 奇異攝動初值問題的混合差分格式 38
3.1 一致收斂定義 38
3.2 一族奇異攝動初值問題的混合差分格式 39
3.2.1 準確解性質 39
3.2.2 差分格式 44
3.2.3 誤差估計 45
3.2.4 數值例子 53
3.3 一族特殊奇異攝動初值問題的混合差分格式 54
3.3.1 準確解性質 54
3.3.2 離散格式 61
3.3.3 誤差估計 62
3.3.4 數值例子 70
參考文獻 71
第4章 奇異攝動邊值問題的混合差分格式 73
4.1 引言 73
4.1.1 奇異攝動反應擴散問題的混合計算方法 73
4.1.2 內部層問題的混合差分格式 74
4.2 奇異攝動反應擴散問題的混合計算方法 74
4.2.1 奇異攝動對流擴散問題的奇性分離 74
4.2.2 網格剖分新技巧 79
4.2.3 差分格式 80
4.2.4 高精度一致收斂 83
4.2.5 數值例子及分析 86
4.3 內部層問題的混合差分格式 87
4.3.1 解的基本性質 88
4.3.2 差分格式 89
4.3.3 誤差估計 92
4.3.4 數值例子 94
4.4 反應擴散問題的高階混合差分格式 95
4.4.1 解的基本性質 95
4.4.2 差分格式 96
4.4.3 穩定性分析 98
4.4.4 誤差估計 99
4.4.5 數值例子 104
參考文獻 105
第5章 奇異攝動問題的高精度算法 107
5.1 引言 107
5.1.1 多尺度方法 107
5.1.2 微分求積法 (即譜方法中的配點法) 107
5.1.3 Sinc方法 108
5.1.4 利用 MATLAB 庫程序來求解奇異攝動兩點邊值問題 109
5.2 多尺度方法 111
5.2.1 含有邊界層的兩點邊值問題的多尺度方法 111
5.2.2 含過渡層的兩點邊值問題的多尺度方法 114
5.2.3 *很小時對流占優的對流擴散方程的計算方法 121
5.3 多尺度有限元法 125
5.3.1 基于多尺度分解的局部子問題求解多尺度基函數 125
5.3.2 不同邊界條件下一維對流擴散方程的多尺度有限元計算 127
5.3.3 基于自適應分層網格的多尺度有限元計算 134
5.3.4 二維反應擴散方程的 Petrov-Galerkin 多尺度有限元計算 137
5.3.5 二維對流擴散變系數方程的多尺度有限元計算 144
5.4 微分求積法 148
5.4.1 微分求積法的原理 148
5.4.2 傳統的微分求積法 148
5.4.3 傳統方法的插值誤差估計 150
5.4.4 有理微分求積法 153
5.4.5 Sinh變換 156
5.4.6 RDQM在奇異攝動中的應用 157
5.5 Sinc方法 161
5.5.1 Sinc方法簡介 161
5.5.2 基于*高階導數插值的Sinc方法 163
參考文獻 168
《奇異攝動叢書》書目 172
《奇異攝動叢書》序言
前言
第1章 緒論 1
1.1 自適應網格 1
1.1.1 Bakhvalov網格 2
1.1.2 Shishkin網格 3
1.1.3 Graded網格 4
1.1.4 *優網格 6
1.2 奇異攝動數值方法 7
1.2.1 有限差分法 7
1.2.2 有限元法和有限體積法 8
1.2.3 多尺度方法 9
參考文獻 9
第2章 奇異攝動問題的擬合因子法 12
2.1 問題概述 12
2.2 守恒型奇異攝動常微分方程的奇性分離 13
2.3 差分格式 16
2.4 一些重要的不等式和擬合因子的性質 18
2.5 差分格式的性質 20
2.6 一致收斂性 25
2.7 數值算例及分析 34
參考文獻 36
第3章 奇異攝動初值問題的混合差分格式 38
3.1 一致收斂定義 38
3.2 一族奇異攝動初值問題的混合差分格式 39
3.2.1 準確解性質 39
3.2.2 差分格式 44
3.2.3 誤差估計 45
3.2.4 數值例子 53
3.3 一族特殊奇異攝動初值問題的混合差分格式 54
3.3.1 準確解性質 54
3.3.2 離散格式 61
3.3.3 誤差估計 62
3.3.4 數值例子 70
參考文獻 71
第4章 奇異攝動邊值問題的混合差分格式 73
4.1 引言 73
4.1.1 奇異攝動反應擴散問題的混合計算方法 73
4.1.2 內部層問題的混合差分格式 74
4.2 奇異攝動反應擴散問題的混合計算方法 74
4.2.1 奇異攝動對流擴散問題的奇性分離 74
4.2.2 網格剖分新技巧 79
4.2.3 差分格式 80
4.2.4 高精度一致收斂 83
4.2.5 數值例子及分析 86
4.3 內部層問題的混合差分格式 87
4.3.1 解的基本性質 88
4.3.2 差分格式 89
4.3.3 誤差估計 92
4.3.4 數值例子 94
4.4 反應擴散問題的高階混合差分格式 95
4.4.1 解的基本性質 95
4.4.2 差分格式 96
4.4.3 穩定性分析 98
4.4.4 誤差估計 99
4.4.5 數值例子 104
參考文獻 105
第5章 奇異攝動問題的高精度算法 107
5.1 引言 107
5.1.1 多尺度方法 107
5.1.2 微分求積法 (即譜方法中的配點法) 107
5.1.3 Sinc方法 108
5.1.4 利用 MATLAB 庫程序來求解奇異攝動兩點邊值問題 109
5.2 多尺度方法 111
5.2.1 含有邊界層的兩點邊值問題的多尺度方法 111
5.2.2 含過渡層的兩點邊值問題的多尺度方法 114
5.2.3 *很小時對流占優的對流擴散方程的計算方法 121
5.3 多尺度有限元法 125
5.3.1 基于多尺度分解的局部子問題求解多尺度基函數 125
5.3.2 不同邊界條件下一維對流擴散方程的多尺度有限元計算 127
5.3.3 基于自適應分層網格的多尺度有限元計算 134
5.3.4 二維反應擴散方程的 Petrov-Galerkin 多尺度有限元計算 137
5.3.5 二維對流擴散變系數方程的多尺度有限元計算 144
5.4 微分求積法 148
5.4.1 微分求積法的原理 148
5.4.2 傳統的微分求積法 148
5.4.3 傳統方法的插值誤差估計 150
5.4.4 有理微分求積法 153
5.4.5 Sinh變換 156
5.4.6 RDQM在奇異攝動中的應用 157
5.5 Sinc方法 161
5.5.1 Sinc方法簡介 161
5.5.2 基于*高階導數插值的Sinc方法 163
參考文獻 168
《奇異攝動叢書》書目 172
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奇異攝動問題的計算方法 節選
第1章 緒論 奇異攝動問題廣泛存在于天體力學、流體力學、固體力學、量子力學、光學、聲學、化學、生物學以及控制論、*優化等領域. 奇異攝動問題的特性是， 在所討論的微分方程中含有攝動系數， 這種參數可以是反映一定的物理性質而自然出現，也可以是人為地引進 [1，2]. *著名的奇異攝動問題是高雷諾數 Navier-Stokes 方程以及磁流動力學問題. 對于奇異攝動問題， 方程的解在某些區域的變化會變得非常劇烈， 即方程的解存在邊界層或內部層. 在任意網格和均勻網格上求解奇異攝動問題， 很多經典數值方法都不能有效地逼近， 出現振蕩或不精確現象， 而且這種振蕩不僅影響到邊界層， 也影響到整個求解區域的誤差. 這就要求我們去尋找一種非均勻網格， 在邊界層細密剖分， 以適應問題的奇異攝動特性. 一般地， 構造求解奇異攝動問題的數值方法有兩種基本的策略或者是這兩種策略的組合. 策略一， 在已知解的奇性情況下， 在基底中加入一些帶有相應奇性的基函數，去逼近原問題的解. 策略二， 在解的帶有奇性的地方采取一些特殊的網格剖分， 如加密網格剖分來獲得更好的逼近效果. 基于這兩種基本策略， 出現了多種數值方法， 例如基于特殊網格剖分的各種形式的有限差分法、有限元法和有限體積法等. 針對奇異攝動問題的各種網格剖分也應運而生， 這包括 Bakhvalov 網格、Shishkin 網格、Graded 網格和*優網格等. 1.1 自適應網格 由于奇異攝動問題的解在某些區域 (邊界層或內部層) 內梯度比較大， 經典的差分方法無法得到令人滿意的結果， 因此需要根據奇異攝動問題的特性來選取自適應網格， 使得逼近誤差達到*優. 從直觀上分析， 由于奇異攝動問題的解在邊界層或內部層區域變化比較劇烈， 而在外部區域變化比較緩慢， 因此， 在邊界層或內部層區域使用加密網格， 而在外部區域使用粗網格， 從而得到一個邊界層或內部層加密網格. 為了使得數值方法的誤差分析簡潔明了， 下面引入兩個坐標空間: 要構造的非均勻網格的物理空間和相應的均勻網格的計算空間， 并通過網格變換函數來建立兩個空間之間的對應關系. 于是只要在均勻網格上構造合適的網格產生函數就可得到相應的非均勻網格. *先定義網格產生函數. 定義 1.1.1 (網格產生函數) 令 *: [0， 1] * [0， 1] 是一嚴格單調算子. 若算子 * 把均勻網格* 映射到一自適應網格x上， 則稱 x = * 為網格產生函數. 下面介紹幾種常用的自適應網格. 1.1.1 Bakhvalov 網格 Bakhvalov[3] 提出在邊界層內 (x = 0 附近) 用等距的*-網格， 然后通過邊界層型函數映射到 x 軸上， 即邊界層內的網格節點 xi 滿足 其中參數 q ∈ (0， 1)， 它表示邊界層內的網格節點數與總節點數之比; 參數，它決定了邊界層內網格節點分布的梯度大小. 在外部區域直接用等距的 x-網格，并選取過渡點* (從邊界層區域到外部區域的轉換點) 使所構造的網格產生函數具有一階連續導數. 由此方法構造的網格產生函數為 (1.1.1) 其中過渡點*滿足 (1.1.2) 從幾何圖形上可看出直線*是過點 (1， 1) 與曲線*相切的切線，*是切點. 由于非線性方程 (1.1.2) 不能準確地求解， 因此 Vulanovi. 用 (0，1)-Pade 估計來代替上面網格產生函數中的指數函數部分， 這就有下面的網格產生函數 (1.1.3) 這里選取滿足方程 *的 * . 所有由 Bakhvalov 網格產生函數所得到的網格稱為 Bakhvalov 網格， 簡稱為B 網格. 由 Liseikin 和 Yanenko[4] 構造的網格、Boglaev[5] 構造的網格和*近廣泛研究的等分布網格， 以及由 Gartland[6] 提出的梯度網格都屬于 B 網格. 簡單迎風差分格式在 Bakhvalov 網格上的典型收斂結果是 (1.1.4) 其中*.即簡單迎風差分格式在 L∞ 模或離散極大模的意義下關于 * 一致一階收斂. 1.1.2 Shishkin 網格 另一種經常使用的網格是 Shishkin 網格 [7，8]. 它是分片等距網格， 具有比較簡單的結構. 令* 是兩個網格參數， 滿足 *， 并且 * 為邊界層內的網格節點數與總節點數的比值. 選取網格過渡點*， 使得當*時， 邊界層函數*， 故令 則把區間 [0， λ] 和 [λ， 1] 分別分成 qN 和 (1-q)N 個等距的小區間 (假設 qN 是整數). 如果 *， 則此網格可認為由下面的網格產生函數生成 (1.1.5) 與 Bakhvalov 網格及*提出的修正的*網格不同， Shishkin網格的網格產生函數只具有分段一階連續導數， 并依賴于節點數 N. 為簡便起見，假設*; 否則 N = O*，故用等距網格即可求解此類問題. 盡管與 Bakhvalov 網格相比較， Shishkin 網格結構簡單， 并且由它所構造的數值方法易于分析， 但是在 Shishkin 網格上得到的數值解的誤差界不如在 Bakhvalov網格上得到的數值解的誤差界來得好. 例如， 簡單迎風差分格式在 Shishkin 網格上的誤差估計為 (1.1.6) 與式 (1.1.4) 相比， 誤差界要相差因子 lnN. 為了彌補這個不足， 許多科研工作者不斷地改進 Shishkin 網格. Vulanovi.[9]提出引進更多的網格過渡點: 并在每個子區間 [λi+1， λi] (i = 0， *， l) 上進行等分. 則在此網格上的迎風差分格式可以提高收斂速度 (1.1.7) Lin*[10，11] 提出在 [0， λ] 上采用 Bakhvalov 網格 (取*)， 而在區間 [*， 1] 上采用等距網格， 則迎風差分格式在此網格上的誤差估計為 (1.1.8) 把具有過渡點*及在 [*， 1] 上等距的網格稱為 Shishkin 網格， 簡稱為 S 網格. Roos 和 Lin*[12] 對 S 網格進行了歸納， 得出 S 網格由下面的網格產生函數生成 (1.1.9) 其中函數*在區間*上單調遞增， 并且滿足*引進網格特征函數*， 此函數在區間 [0， q] 上單調遞減， 且滿足*. 例如: Shishkin 網格 [7，8] (1.1.10) Bakhvalov-Shishkin 網格 [10，11] (1.1.11) 1.1.3 Graded 網格 Graded 網格是另一種非一致網格， 中文翻譯有等級、分層兩種．已有文獻[13—17] 研究了有限元法結合 Graded 網格求解奇異攝動問題．比如， 謝資清、張智民等 [14] 使用局部間斷的 Galerkin 有限元法求解一維和二維對流擴散模型， 獲得了一致超收斂的數值結果．文獻 [16] 給出了流線擴散有限元法在分層網格求解一維對流擴散問題的收斂性分析． 與 1.1.1 小節記號一樣， 記過渡點*為轉換點， 邊界層厚度為*數量級．可見， 當攝動系數*很小時， 即便剖分數 N 很大， 邊界層厚度依然會較小， 解在該區域內可能劇烈跳躍或擾動振蕩．以一維單位區間 I = [0， 1] 為例， 設邊界層靠近左端 x = 0， 可將區間分解為 I1 = [0， *]， I2 = [*， 1]; 設邊界層靠近右端 x = 1， 可將區間分解為 I1 = [0， * ]， I2 = [*， 1]．在整個區間將剖分數N 對半分， 即左右兩區間分別用 N/2 進行網格剖分．設左右兩端都出現邊界層，可分解為三部分 I1 = [0， * ]， I2 = [*， 1 * τ ]， I3 = [*， 1]． 依據網格生成函數的選取， 可以形成加倍密化或隨奇性自適應產生的節點及其分布．需要說明的是， 前者剖分數 N 可事先設定， 后者 N 自適應生成， 都與攝動系數 * 的大小有關．下面分別討論． Graded 等級網格參見文獻 [14]．設邊界層靠近左端 x = 0， 則節點 xi 定義為 (1.1.12) 其中， 指數*為正整數．我們知道， 當*時等級網格退化為 Shishkin 網 格， 而且隨著*的增大， 等級網格在靠近左端邊界層越來越呈現指數級密化， 這樣有利于捕捉邊界層的微觀信息; 而在光滑區間即為常規 Shishkin 網格．若是二維情形， 可類似定義節點， 若是三維情形， 可類似再定義節點 zk． 不同的是， 設邊界層靠近右端 x = 1， 則節點 xi 定義為 (1.1.13) 隨著*的增大， 網格在靠近右端越來越呈現指數級密化．若是二維情形， 可類似定義節點 yj ， 式 (1.1.12)、式 (1.1.13) 稱為 x-方向的 Graded 等級網格， 其特點是剖分數N 事先設定， 再偶數倍加密形成離散網格， 在此基礎上利用數值計算方法求出奇異攝動問題的有效數值解． 此外， Graded 分層網格參見文獻 [16]．設邊界層靠近左端 x = 0， 則節點 xi定義為 (1.1.14) 其中 0 0 為網格生成初始函數， *為保底取整．可知由迭代公式 (1.1.14) 從左至右生成節點分布， 但 N 不再是預先設定， 而是需滿足條件* 迭代算出的正整數．因小參數*的存在， (1.1.14) 形成左密右疏的網格剖分， 利于捕捉左端邊界層情形．類似可再定義高維空間節點 yj ， zk． 設邊界層靠近右端 x = 1 時， 一種更便捷的途徑是不再消耗迭代計算， 而在MATLAB 環境使用命令 ones-fliplr 將整體 ones 數組減去左右已有節點坐標， 從而形成節點位置左右互換， 可直接得到右密左疏的網格剖分， 用于捕捉右端邊界層情形． 式 (1.1.14) 稱為 x-方向的 Graded 分層網格， 其特點是 N 依賴于參數 *且由迭代公式自適應地生成剖分數及其節點分布， 在此基礎上利用數值計算方法求解奇異攝動問題． 1.1.4 *優網格 關于網格剖分的方法中， *引人矚目的是 Shishkin 網格， 這是一種*簡單的分片等距網格. Shishkin 網格具有一致收斂性 [7]. 在文獻 [7] 中， 作者構造了一種所謂的*優網格， 在該網格剖分下， 原方程解的插值投影誤差在能量范數的意義下具有*優的收斂階， 因而用有限元法求得方程的近似解具有*優收斂階. 其基本思想是對求解區域進行非等距剖分， 使得解的插值投影誤差在每個子區間上相等， 從而解的投影誤差在整個求解區域上具有不依賴于參數 * 的*優一致收斂性.
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