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變分方法與交叉科學 版權信息
- ISBN：9787030705037
- 條形碼：9787030705037 ; 978-7-03-070503-7
- 裝幀：一般膠版紙
- 冊數：暫無
- 重量：暫無
- 所屬分類：>
變分方法與交叉科學 本書特色
適讀人群 ：大學本科高年級學生或研究生作者多年研究工作的總結
變分方法與交叉科學 內容簡介
本書討論強不定變分問題，拋磚引玉，以期深入變分理論與交叉科學研究領域。從自然法則出發論及變分與交叉的聯系：引入規度空間上的Lipschitz單位分解、Lipschitz正規性，建立規度空間上的常微分方程流的存在專享性，從而得到局部凸拓撲向量空間上的形變理論；在此基礎上，獲得系列的處理強不定問題的臨界點理論。在交叉科學中的應用，主要介紹了Hamilton系統的同宿軌，非線性Schrodinger方程、反應-擴散方程，以及（平坦空間或自旋流形上的）Dirac方程等系統的解，并展開了對這四部分的討論。 本書可作為大學本科高年級學生或研究生教材。
變分方法與交叉科學 目錄
目錄
前言
第1章 緒論 1
1.1 變分原理——自然法則 1
1.2 交叉科學 2
1.2.1 社會科學方面 3
1.2.2 自然科學方面 3
1.3 半線性變分問題 5
第2章 拓撲與變分框架 10
2.1 拓撲空間 10
2.1.1 定義 10
2.1.2 度量空間 10
2.1.3 拓撲屬性 11
2.1.4 緊致性 13
2.1.5 拓撲基 13
2.2 賦范線性空間和線性算子 14
2.2.1 賦范線性空間 14
2.2.2 有界算子 15
2.2.3 閉算子 16
2.2.4 自伴算子 19
2.2.5 自伴算子的譜族 20
2.2.6 自伴算子譜的性質 23
2.2.7 插值理論 24
2.3 變分框架 27
2.4 Lp-空間的基本性質 28
第3章 臨界點理論 31
3.1 Lipschitz 單位分解 31
3.2 局部凸拓撲向量空間上的形變引理 40
3.3 臨界點定理 50
第4章 Hamilton 系統的同宿軌 60
4.1 關于周期性 Hamilton 量的存在性和多重性結果 60
4.2 Hamilton 算子的譜 64
4.3 變分框架 65
4.4 環繞結構 67
4.5 (C)c-序列 70
4.6 主要結論的證明 79
4.7 非周期 Hamilton 算子 81
4.7.1 變分框架 82
4.7.2 環繞結構 87
4.7.3 (C)c-條件 89
4.7.4 定理 4.7.1 的證明 92
第5章 非線性 Schrodinger 方程 94
5.1 引言及主要結論 94
5.2 變分框架 97
5.3 環繞結構 98
5.4 (C)c-序列 101
5.5 存在性和多重性的證明 109
5.6 Schrodinger 系統半經典解 110
5.6.1 等價的變分問題 112
5.6.2 定理 5.6.3 的證明 117
5.6.3 定理 5.6.4 的證明 122
第6章 反應-擴散系統 125
6.1 引言 125
6.2 變分框架 127
6.3 反應-擴散系統無窮多幾何解 133
6.3.1 基本引理 134
6.3.2 定理 6.3.1 的證明 138
6.3.3 定理 6.3.2 的證明 140
6.4 反應-擴散系統集中行為 141
6.4.1 抽象的臨界點定理 143
6.4.2 修正泛函 155
6.4.3 群作用 159
6.4.4 幾何結構與 G -弱緊性 160
6.4.5 自治系統 167
6.4.6 主要結論的證明 171
6.5 一些擴展 178
6.5.1 更一般的非線性 178
6.5.2 更一般的系統 179
第7章 非線性 Dirac 方程 189
7.1 引言 189
7.2 變分框架 191
7.3 帶有非線性位勢 Dirac 方程解的集中性 195
7.3.1 極限方程 199
7.3.2 極小能量解的存在性 201
7.3.3 衰減估計 208
7.3.4 定理 7.3.1 的證明 209
7.4 帶有局部線性位勢 Dirac 方程解的集中性 209
7.4.1 極限方程 219
7.4.2 改進方程解的存在性 227
7.4.3 定理 7.4.1 和定理 7.4.2 的證明 234
7.5 帶有競爭位勢 Dirac 方程解的集中性 235
7.5.1 極限方程 247
7.5.2 基態解的存在性 248
7.5.3 基態解的集中性和收斂性 253
7.5.4 衰減估計 257
7.5.5 定理 7.5.4 的證明 260
7.6 自旋流形上的 Dirac 方程 260
7.6.1 Dirac 算子 260
7.6.2 分歧現象 266
7.6.3 邊值問題 277
參考文獻 287
前言
第1章 緒論 1
1.1 變分原理——自然法則 1
1.2 交叉科學 2
1.2.1 社會科學方面 3
1.2.2 自然科學方面 3
1.3 半線性變分問題 5
第2章 拓撲與變分框架 10
2.1 拓撲空間 10
2.1.1 定義 10
2.1.2 度量空間 10
2.1.3 拓撲屬性 11
2.1.4 緊致性 13
2.1.5 拓撲基 13
2.2 賦范線性空間和線性算子 14
2.2.1 賦范線性空間 14
2.2.2 有界算子 15
2.2.3 閉算子 16
2.2.4 自伴算子 19
2.2.5 自伴算子的譜族 20
2.2.6 自伴算子譜的性質 23
2.2.7 插值理論 24
2.3 變分框架 27
2.4 Lp-空間的基本性質 28
第3章 臨界點理論 31
3.1 Lipschitz 單位分解 31
3.2 局部凸拓撲向量空間上的形變引理 40
3.3 臨界點定理 50
第4章 Hamilton 系統的同宿軌 60
4.1 關于周期性 Hamilton 量的存在性和多重性結果 60
4.2 Hamilton 算子的譜 64
4.3 變分框架 65
4.4 環繞結構 67
4.5 (C)c-序列 70
4.6 主要結論的證明 79
4.7 非周期 Hamilton 算子 81
4.7.1 變分框架 82
4.7.2 環繞結構 87
4.7.3 (C)c-條件 89
4.7.4 定理 4.7.1 的證明 92
第5章 非線性 Schrodinger 方程 94
5.1 引言及主要結論 94
5.2 變分框架 97
5.3 環繞結構 98
5.4 (C)c-序列 101
5.5 存在性和多重性的證明 109
5.6 Schrodinger 系統半經典解 110
5.6.1 等價的變分問題 112
5.6.2 定理 5.6.3 的證明 117
5.6.3 定理 5.6.4 的證明 122
第6章 反應-擴散系統 125
6.1 引言 125
6.2 變分框架 127
6.3 反應-擴散系統無窮多幾何解 133
6.3.1 基本引理 134
6.3.2 定理 6.3.1 的證明 138
6.3.3 定理 6.3.2 的證明 140
6.4 反應-擴散系統集中行為 141
6.4.1 抽象的臨界點定理 143
6.4.2 修正泛函 155
6.4.3 群作用 159
6.4.4 幾何結構與 G -弱緊性 160
6.4.5 自治系統 167
6.4.6 主要結論的證明 171
6.5 一些擴展 178
6.5.1 更一般的非線性 178
6.5.2 更一般的系統 179
第7章 非線性 Dirac 方程 189
7.1 引言 189
7.2 變分框架 191
7.3 帶有非線性位勢 Dirac 方程解的集中性 195
7.3.1 極限方程 199
7.3.2 極小能量解的存在性 201
7.3.3 衰減估計 208
7.3.4 定理 7.3.1 的證明 209
7.4 帶有局部線性位勢 Dirac 方程解的集中性 209
7.4.1 極限方程 219
7.4.2 改進方程解的存在性 227
7.4.3 定理 7.4.1 和定理 7.4.2 的證明 234
7.5 帶有競爭位勢 Dirac 方程解的集中性 235
7.5.1 極限方程 247
7.5.2 基態解的存在性 248
7.5.3 基態解的集中性和收斂性 253
7.5.4 衰減估計 257
7.5.5 定理 7.5.4 的證明 260
7.6 自旋流形上的 Dirac 方程 260
7.6.1 Dirac 算子 260
7.6.2 分歧現象 266
7.6.3 邊值問題 277
參考文獻 287
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變分方法與交叉科學 節選
第1章 緒論 1.1 變分原理——自然法則 變分原理是自然界事物遵從的客觀法則. 世界是由物質組成的， 萬物處于永不停息的運動中. 運動是物質的根本屬性和存在方式. 運動自然地和力及能量緊密聯系. 運動的能量泛函的變分對應著事物的 Lagrange 方程， 即所謂的數學模型，它描述事物的狀態， 諸如存在性、演化性等等. 簡約地， 這些關系可如下勾畫: 因此， 變分理論是研究事物的重要方法. 變分學歷史悠久. 早在 16 世紀， Bernoulli 兄弟就注意到并提出了*速降線問題， Euler 首先詳細地闡述了這個問題， 賦予了這門學科名字“變分原理”. 史上許多大數學家都在這一領域做出了非常大的貢獻， 如 Cauchy， Lagrange， Newton，Leibniz， Poincaré 和 Hilbert 等等. 毫不夸張地說， 變分學是含著金鑰匙出生的， 它激勵著數學的發展——助力經典理論、孕育新的學科. 特別， 如實分析 (Lebesgue 測度和積分)、泛函分析 (強 (弱)拓撲、單調算子、Sobolev 空間)、偏微分方程 (橢圓型方程， 存在性和正則性)、幾何變分 (測地線、極小曲面、調和映射， Finsler 幾何: 代表人物有 Garding， Vishik，Agmon， Douglise， Nirenberg， De Giorgi)、幾何測度 (極小子流形: 代表人物有 J.Nash)、變分不等式 (自由邊值問題: 代表人物有 J. Moser， Stampacchia， Lions，Ladyzenskaya Uraltseva)、優化控制 (代表人物有 R. Bellman， L. S. Portryagin，J. L. Lions)、大范圍變分 (臨界點理論、Morse 理論、Floer 同調、辛容量)、有限元方法等等. 變分學的發展猶如奔騰不息的江河延綿不絕， 對科學特別是自然科學發揮著重要的作用. 譬如， 物理學中的變分問題: Newton 方程、Hamilton 系統、Maxwell方程 (電磁場)、Einstein 方程 (重力場)、Yang-Mills 方程 (規范場); 幾何學中的變分問題: 測地線、極小曲面、調和映射; 其他學科如: Dirchlet 原理、電流分布、Riemann 映射定理、Weierstrass 反例、Schwarz 方法、Neumann 方法、Poincaré 方法. 1990 年， Hilbert 在國際數學家大會上宣布著名的 23 個數學問題中有 3 個涉及變分問題， 即第 19 (正則性)、第 20 (存在性)、第 23 (發展變分理論). 1.2 交叉科學 前述例子及大量的事實讓人們看到， 變分學在交叉科學研究中發揮著十分重要的作用. 以往人們常常談交叉學科， “所謂交叉學科是指自然科學和社會科學相互交叉地帶生長出的一系列新生學科”(錢學森)， 通常指兩個或多個學科之間跨學科的綜合研究， 是不同領域和不同學科在認識世界過程中， 用不同角度和方法為解決共同問題產生的學科交融， 經過反復論證和試驗而形成的新的科學領域. 20 世紀下半葉， 各類交叉學科的應用和興起為科學發展帶來了一股新風， 許多科學前沿問題和多年懸而未解的問題在交叉學科的聯合攻關中都取得了可喜的進展. 隨著越來越多交叉學科的出現及其在認識世界和改造世界中發揮作用的不辯事實， 交叉學科在科學領域中的生產力得到了充分的證明. 交叉科學則是指更為廣泛的科學交叉， 即自然科學和社會科學的大交叉， 探討的主題是自然科學與社會科學之間的結合和滲透問題. 1985 年 4 月， 在錢學森、錢三強、錢偉長等學者的倡導下， 在北京召開了全國首屆交叉科學學術討論會， 提出了激動人心的口號: “迎接交叉科學的新時代!”一般而言， 交叉科學分為四個層次: 學科的 “內部” 交叉 交叉科學的*基本的類型就是一個學科內的各個方向的內部交叉. 當學科發展到一定程度， 子學科的建設呈現一定規模時， 學科內部方向的融合交叉可以拓展更多的研究領域， 提示整個學科的科學水平. 學科間的 “近距離” 交叉 其是在不同子學科背景下的合作. 如數學與統計學、數學和力學等的交叉， 這均屬于在一類的學科間的交叉. 數學應用于其他學科是 20 世紀科學發展的突出特點， 定量的方法被廣泛地應用于幾乎所有的學科 (自然科學、社會科學)， 不斷實現真正的科學整體化發展.學科間的 “遠距離” 交叉 如數學與中文、人口學與物理學、醫學與地質學等等， 也出現了學科交叉. 學者在研究和探索過程中， 有意或無意地發現原來相距很遠的學科間有一種可以相互推理或是互為所用的極妙關系. 交叉往往會解決一些辣手和尖端的科學問題. 學界間的交叉 我們以往所認識的交叉學科， 大多是在自然科學學界內和社會科學學界內的研究. 近年來， 研究兩界間交叉合作日益增多， 逐步體現出“把握學科前沿， 促進學科交叉”的導向， 在思想上把社會科學和自然科學放在同等重要的位置. 交叉科學的重要性主要體現在: (1) 社會進步、科學發展需要加強交叉學科. (2) 學科交叉點往往對應科學新的生長點、新的科學前沿， 這里*有可能產生重大的科學突破， 使科學發生革命性的變化. (3) 有利于綜合性地解決人類面臨的重大問題. 交叉科學是自然科學、社會科學、人文科學、數學科學與哲學等大門類科學之間發生的外部交叉以及本門類科學內部眾多學科之間發生的內部交叉所形成的綜合性、系統性的知識體系， 因而有利于有效地解決人類社會面臨的重大科學問題和社會問題， 尤其是全球性的復雜問題. 這是交叉科學所能發揮的社會功能. (4) 國家對交叉科學的高度重視. 下面列舉一些交叉科學領域. 變分理論在研究這些領域的某些方面已經表現出重要作用及強大的生命力， 而在某些方面則期待著原始的創造性的工作出現. 1.2.1 社會科學方面 經濟學 數學在經濟學發展中起著重要作用. 統計顯示， 截至 2008 年的 62 位諾貝爾經濟學獎中有 20 位獲得過數學學位. 大范圍變分是研究經濟學的一個重要手段. 上層建筑學 經濟基礎決定上層建筑. 數學和經濟學的交叉自然延展為數學與上層建筑的交叉. 系統控制 如優化管理、國防指揮系統、運籌博弈等. 復雜系統 復雜系統理論、預測科學、金融數學與風險管理、信息學、不確定性決策理論與方法. 哲學 數學和哲學同是高度抽象的學問， 有相同的思考方式， 用數學去描述哲學大有可為. 例如“無數偶然蘊含必然”， 用大數據描述偶然， 經數學分析可前瞻必然或掌控必然的趨勢. 文學藝術 設想把各種描述感情的詞藻集成文庫， 當寫詩詞小說時輸入該感情符號， 讓計算機自動組合輸出成文該多美妙啊. 數學的思想、方法和精神對于繪畫、作詩具有十分重要的意義. “越往前走， 藝術越要科學化， 同時科學也要藝術化”(福樓拜). “數學到了*后階段就要遇到想象 于是數學也成了詩”(雨果). 1.2.2 自然科學方面 宇宙學 宇宙起源、中微子、暗物質與暗能量、多體問題、自旋流形. 無界 Hamilton 系統 反應-擴散系統、優化控制論. 力學系統 錢偉長曾說過力學就是變分. 19 世紀前歷史上*著名的數學家同時也是**的力學家， 例如 Archimedes， Newton， Euler， Lagrange， Cauchy 等. 在 20 世紀， 科學日益成為專門家在愈來愈窄的領域內進行著的事業， 鮮有 Poincaré， Hilbert， Kolmogorov 等同時是數學家和力學家. (1) 量子力學. 研究微觀粒子的運動規律的物理學分支學科， 主要研究原子、分子、凝聚態物理， 以及原子核和基本粒子的結構、性質的基礎理論， 量子世界的調控與信息、能源、材料等技術的新突破， 特別， 如 Schr.dinger 方程、Dirac 系統的駐波與行波， 描述 Bose-Einstein 凝聚及光在非線性介質的傳播等. (2) 理論力學. 用 Lagrange 力學和 Hamilton 力學的觀點處理力學問題， 并加入混沌等較新的內容. (3) 電動力學. 主要研究電磁場的基本屬性、運動規律以及電磁場和帶電物質的相互作用， 包括: 介質中的場方程和邊值問題， 有介質存在時電磁波的傳播， 以及電動力學對超導體、等離子體和晶體的電磁性質的描述. (4) 相對論. 關于時空和引力的理論， 主要由 Einstein 創立. 奠定了現代物理學的基礎. 相對論極大地改變了人類對宇宙和自然的“常識性”觀念， 提出了“同時的相對性”“四維時空”“彎曲時空”等全新的概念. (5) 熱力學和統計物理. 研究熱運動的規律和熱運動對物質宏觀性質的影響.熱力學是熱運動的宏觀理論， 統計物理是熱運動的微觀理論. 宏觀量是微觀量的某種統計平均值. (6) 材料力學. 研究材料在各種外力作用下產生的應變、應力、強度、剛度、穩定和導致各種材料破壞的極限. (7) 流體力學. 變分法在研究流體力學方程中的 Rayleigh-Taylor 線性不穩定問題中起著重要的作用. 針對具有重力場的三維非齊次不可壓 Navier-Stokes 方程組， 利用經典的變分法得到解的存在性. 其方法還被推廣運用到其他更復雜的流體運動， 如磁流體、粘彈性流體、分層可壓磁流體、無磁擴散效應的不可壓縮磁流體等等. 生態學 以數學的理論和方法研究生態學， 包括生態數學模型、生態系統分析、統計生物學、生態模擬等內容. 而今它在理論、實驗和應用研究方面都有著很大的進展. 生命科學 生命起源、進化和人造生命. 認知科學 腦與認知科學及其計算建模. 隨機微分方程 變分結構、分析框架. 大數據科學 建立與應用相應的山路定理. 楊-米爾斯 (Yang-Mills) 理論 又稱規范場理論， 是研究自然界四種相互作用 (電磁、弱、強、引力) 的基本理論， 是由物理學家楊振寧和 R.L. 米爾斯在 1954 年首先提出來的. 楊-米爾斯提出了楊-米爾斯作用量 (規范勢的泛函). 作它的變分， 就得到純楊-米爾斯方程. 楊-米爾斯聯絡是在給定機構群的聯絡空間上有曲率的平方模定義的泛函的臨界點. 在本書后面， 我們將以一些半線性問題為例， 演示變分方法在交叉科學研究中的應用， 權當拋磚引玉. 1.3 半線性變分問題 就變分學直面的泛函而言， 通常分為如下兩類予以處理. (下方) 有界泛函的變分方法 典型例如下. 直接方法 經典的變分理論表現在研究泛函的極值問題. 相當長時間內常用直接變分方法， 其中一個代表性定理是說: 設 X 是一個可分 Banach 空間的共軛空間 (例如， 自反 Banach 空間). 又設是一個弱 * 序列閉非空子集. 若是弱 * 序列下半連續且強制的 (即， ， 當時，)， 則 f 在 E 上有極小值. Ekeland 變分原理 設 (X; d) 是一個完備的度量空間， 下方有界且下半連續. 若存在使得， 則存在 y. 2 X 滿足 (1) (2) (3) 無界泛函的變分原理 典型例如下. 近代變分法——臨界點理論 (參閱 [1，4，9，13，18，25，40，81，91，102，112] 及其文獻)， 始于: 1973 年;
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