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非線性偏微分系統的可積性及應用 版權信息
- ISBN：9787030699749
- 條形碼：9787030699749 ; 978-7-03-069974-9
- 裝幀：一般膠版紙
- 冊數：暫無
- 重量：暫無
- 所屬分類：>
非線性偏微分系統的可積性及應用 內容簡介
本書主要以對稱理論為工具，研究了若干非線性偏微分系統的非局部對稱、Lie對稱、條件Lie-Backlund對稱及近似條件Lie-Backlund對稱；以伴隨方程方法及相關理論為基礎，研究了幾類非線性系統的守恒律；以Lax對和規范變換為基礎，研究了幾類非局部方程的Darboux變換。書中介紹了相關的求解非線性偏微分系統的方法，并將這些方法應用于常系數及變系數的非線性局部偏微分方程和非線性非局部偏微分方程中，得到了方程多種類型的準確解和近似解，給出了解的圖形及動力學行為分析。通過分析這些解的動力學行為，挖掘非線性偏微分方程解所隱含的物理意義，為解釋方程所刻畫的物理現象提供依據。 本書可供理工類高等院校的數學專業、物理專業的研究生作為教材或作為科研參考書使用。
非線性偏微分系統的可積性及應用 目錄
前言
第1章 緒論
1.1 對稱性理論
1.2 守恒律的相關理論
1.3 近似對稱的方法
1.4 Darboux變換方法
1.5 本書的主要工作
第2章 幾類非線性系統的非局部留數對稱及相互作用解
2.1 方法簡介
2.1.1 非局部留數對稱的概念及其求解方法
2.1.2 CRE方法的介紹及其求解步驟
2.2 （2+1）維色散長波方程組的留數對稱及相互作用解
2.2.1 （2+1）維色散長波方程組的留數對稱及其局部化
2.2.2 （2+1）維色散長波方程組（2.2.1）的CRE可解及相互作用解
2.3 高階Broer-Kaup方程組的留數對稱及相互作用解
2.3.1 高階Broer-Kaup方程組的CTE展開及其CTE可解性
2.3.2 高階Broer-Kaup方程組的精確解
2.4 （2+1）維修正色散長波系統的CTE可解及相互作用解
2.5 修正的Boussinesq方程組的相容Riccati展開可解性及相互作用解
2.5.1 修正的Boussinesq方程組的相容Riccati展開可解性
2.5.2 修正的Boussinesq方程組的精確解
2.6 小結
第3章 利用輔助系統Lax對研究幾類方程的非局部對稱及群不變解
3.1 引言
3.2 基本的定義及方法簡介
3.3 耦合KdV方程組的非局部對稱、Painlevé可積性及相互作用解
3.3.1 耦合KdV方程的非局部對稱
3.3.2 耦合KdV方程組非局部對稱的局部化
3.3.3 耦合KdV方程組的對稱約化
3.3.4 耦合KdV方程組的對稱約化和Painlevé可積性
3.3.5 耦合KdV方程組的對稱約化和群不變解
3.4 變系數耦合Newell-Whitehead方程組的非局部對稱及群不變解研究
3.4.1 變系數耦合Newell-Whitehead方程組的非局部對稱
3.4.2 變系數耦合Newell-Whitehead方程組非局部對稱的局部化
3.4.3 變系數耦合Newell-Whitehead方程組的對稱約化及群不變解
3.5 變系數AKNS方程組的非局部對稱及群不變解
3.5.1 變系數AKNS系統非局部對稱的局部化
3.5.2 變系數AKNS系統的對稱約化和群不變解
3.6 廣義變系數淺水波方程的非局部對稱及精確解
3.6.1 廣義變系數淺水波方程的截斷Painlevé分析
3.6.2 廣義變系數淺水波方程的非局部對稱
3.6.3 廣義變系數淺水波方程非局部對稱的局部化
3.7 廣義變系數淺水波方程的對稱約化和精確解
3.8 小結
第4章 幾類非線性系統的Lie對稱分析、自伴隨性及其守恒律
4.1 經典Lie群法
4.2 求守恒律的基本定義及定理
4.3 修正的Boussinesq方程組的自伴隨性、Lie對稱分析及其守恒律
4.3.1 修正的Boussinesq方程組的非線性自伴隨性
4.3.2 修正的Boussinesq方程組的Lie對稱分析及*優系統
4.3.3 修正的Boussinesq方程組的守恒律
4.4 MDWW系統的自伴隨性、Lie對稱分析及守恒律
4.4.1 MDWW系統的自伴隨性
4.4.2 MDWW系統的Lie對稱分析
4.4.3 MDWW系統的守恒律
4.5 HBK方程組的Lie群分析、自伴隨性及守恒律
4.5.1 HBK方程組的Lie群分析
4.5.2 HBK方程組的自伴隨性
4.5.3 HBK方程組的守恒律
4.6 DLW方程組的Lie點對稱分析及守恒律
4.6.1 DLW方程組的Lie點對稱分析
4.6.2 DLW方程組的守恒律
4.7 小結
第5章 反應擴散方程組的條件Lie-B.cklund對稱和不變子空間
5.1 主要的定義及定理
5.2 方程組（5.1.6）允許的條件Lie-B.cklund對稱和不變子空間
5.3 方程組（5.1.6）的廣義變量分離解
5.4 小結
第6章 帶弱源項的非線性反應擴散方程的擾動不變子空間及近似廣義泛函變量分離解
6.1 引言
6.2 擾動的不變子空間及近似廣義泛函變量分離解的相關理論
6.3 允許近似廣義條件對稱（6.3.1）的方程（6.1.5）的分類
6.4 方程（6.1.5）的近似廣義變量分離解
6.5 小結
第7章 幾類非局部方程的可積性、Darboux變換及精確解
7.1 引言
7.2 非局部Hirota方程的可積性、Darboux變換及精確解
7.2.1 可積非局部Hirota方程的推導
7.2.2 非局部Hirota方程的Darboux變換
7.2.3 非局部Hirota方程的孤子解
7.3 非局部耦合AKNS方程組的可積性、Darboux變換及精確解
7.3.1 非局部耦合AKNS方程組的Darboux變換
7.3.2 非局部耦合AKNS方程組的1階Darboux變換
7.4 變系數非線性Schr.dinger方程的Darboux變換
7.4.1 變系數的非局部Schr.dinger方程
7.4.2 變系數非局部Schr.dinger方程的Darboux變換
7.4.3 變系數非線性Schr.dinger方程的精確解
7.4.4 小結
第8章 總結與展望
8.1 總結
8.2 展望
8.2.1 非線性方程保對稱離散化的研究
8.2.2 變系數局部偏微分方程研究
8.2.3 變系數非局部偏微分方程研究
參考文獻
彩圖
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非線性偏微分系統的可積性及應用 節選
第1章 緒論 非線性科學是一門研究各類系統中非線性現象共同規律的交叉學科，其研究貫穿于物理學、數學、經濟學、生命科學、生物學、環境科學等眾多科學領域，一般認為非線性科學主要包括三個部分:孤立子、混沌和分形，這是20世紀繼量子力學和相對論之后自然科學界的一重大發現. 非線性方程作為描述自然界各類非線性現象的重要模型，得到了眾多學者的廣泛關注.目前，對于非線性偏微分方程解的研究主要有如下三個方向．①解的數學理論研究.對于一些難以求出解的方程，借助數學理論(解的先驗估計、算子理論等)證明解的適定性，屬于基礎數學研究的內容.②解的數值模擬.借助于計算機和計算數學知識，對解的變化態勢進行分析和模擬，屬于計算數學的內容．③求方程的顯式解.通過適當的變換，構造出解的解析表達式，屬于應用數學的范疇. 在可積系統領域，關于非線性偏微分方程的研究也是涵蓋了多個方面，研究成果非常豐富尤其是在非線性方程的求解方面，經過廣大科學家多年的努力，現已形成了研究非線性微分方程精確解的系統方法，如反散射變換法[201.219]，Lie群方法[5.8]，Darboux變換法[9，10]，B.cklund變換法[11.14]，Hirota雙線性法和多線性法[15.18]，CK直接法[19.22]，Painlevé截斷展開法[23.26]，齊次平衡法[27.30]，函數展開法[31.38]，穿衣服法[39]，非局部對稱方法[131.146]等，這些發展的非線性方法各有千秋，它們針對于不同類型的非線性微分方程各顯神通.另外，非線性方程的守恒律也一直是數學物理專家研究的重要對象，守恒律的存在為建立和分析非線性方程提供了主要的原則，尤其在研究方程解的存在性、唯一性及穩定性方面發揮了重要的作用，同時微分方程的守恒律還可以進一步地解釋方程所描述的物理現象. 本書主要研究了非線性系統的對稱(包括局部對稱和非局部對稱)、Lie對稱分析，守恒律、非線性反應擴散方程的近似廣義泛函變量分離解，非局部方程的Darboux變換及書中涉及的非線性偏微分方程的求解.其中關于求解問題包括以下幾個方面:發展一些新的求解方法;求出某些方程的新解，特別是，對高維方程的求解是目前的難點和熱點;分析解的性質.我們的目的是主要介紹一些求解的基本方法，以便大家能利用這些方法來求解.所介紹的這些方法將避開高深的數學知識，只涉及高等數學的內容. 下面介紹與本書內容相關的一些問題的研究背景及其發展狀況. 1.1 對稱性理論 19世紀，挪威數學家SophusLie將Galois等數學家研究代數方程求解問題的群論方法拓展到了微分方程的求解上，建立了用變換群來研究微分方程求解的理論，即我們所熟知的Lie群理論[47，48].一般地，給定微分方程的一個對稱群是指可以將方程的解變換成另一些解的群，Lie給出了一種確定微分方程自變量和因變量空間連續點變換群的具體算法，Lie的**基本定理指出，這些變換群可以通過無窮小生成元來確定，只要求出了方程的對稱群，我們就可以利用方程的舊解來構造方程的新解，還可以對方程進行約化，但是經典Lie群方法得到的無窮小變量只依賴于方程的自變量和因變量，并不涉及因變量關于自變量的導數和積分. 1918年，德國著名女數學家Noether提出了將變分積分的對稱群和相應的Euler-Lagrange方程聯系起來的Noether定理[49]，給出了由任意單參數變分對稱群生成Euler-Lagrange方程的守恒律，同時她還證明了更重要的結論:對稱群和守恒律之間存在著一一對應關系，從而導致了“廣義對稱或稱為Lie-B.cklund對稱”的產生，Lie-B.cklund對稱的無窮小生成元不僅依賴于方程的自變量和因變量，還依賴于因變量關于自變量的各階導數.文獻[50]和[51]利用Lie-B.cklund變換，得到了KdV(Korteweg-deVries)方程、Sine-Gordon方程、非線性Schr.dinger方程等孤立子方程的無窮多守恒律.1977年，Olver提出了在Lie-B.cklund對稱下不變的微分方程，在通過無窮多個由遞推算子作用而得到的Lie-B.cklund對稱下也是不變的.后來Ibragimov和Olver分別在1985和1986年進一步對Lie-B.cklund對稱做了討論和研究.1994年Fokas和Liu，1995年Zhdanov分別在文獻[52，53]及[54]中對Lie-B.cklund對稱做了進一步推廣，提出了條件Lie-B.cklund對稱，或稱為廣義條件對稱，如同Lie-B.cklund對稱方法是對Lie點對稱方法的推廣一樣，條件Lie-B.cklund對稱方法是對非經典對稱方法的自然推廣，其計算過程同非經典對稱的方法一樣，*重要的是事先給定條件Lie-B.cklund對稱的形式，利用條件Lie-B.cklund對稱可以對非線性方程進行分類. 1969年，Bluman和Cole進一步推廣了對稱的范圍，提出了非經典對稱，即條件對稱[6，55]，他們在研究線性熱傳導方程的對稱約化時，增加了不變曲面條件，微分方程的不變性被限制在所需滿足的微分方程和不變曲面條件的交集上，使得決定方程組所含方程的個數多于經典情形下決定方程組中方程的個數，因此可以得到更多的對稱. 1989年，Clarkson和Kruskal在研究Boussinesq方程時，由于此方程的有些對稱約化不能通過Lie群方法得到，他們提出了CK直接法[19]，這種方法在不涉及任何群理論的情形下，直接對方程進行約化，并且得到的結果包含了Lie群法所得的結果.1990年，樓森岳教授受到CK直接法的啟發，提出了修正的直接法[56]，這種方法不僅可以得到微分方程的完全的Lie點對稱群，而且可以得到離散的對稱群，同時所得的Lie群的有限變換的表達式更加清楚簡單. 1980年，Vinogradov和Krasil’shchik首次提出了非局部對稱的概念[57]，并利用遞推算子構造出了多個方程的非局部對稱.1988年，Bluman通過求解微分方程勢系統的Lie點對稱來尋找方程的非局部對稱，提出了勢對稱(非局部對稱)的概念[58.62，133].屈長征等利用經典Lie群方法、勢對稱方法及廣義條件對稱方法研究了一些方程的群分類問題[63，64].樓森岳和Guthrie利用遞推算子的逆算子構造了一系列可積方程的非局部對稱[65，68].1992年，Galas利用方程的偽勢構造了一些非線性方程的非局部對稱[69]，同時，樓森岳和胡星標借助于M.bious變換、Darboux變換、B.cklund變換等經典有限變換中蘊含的不變性，重新推導了KdV方程、KP(Kadomtsev-Petviashvili)方程等的非局部對稱[45，70，71]，并且利用種子非局部對稱構造了無窮多非局部對稱，獲得了一些新的可積模型.閆振亞也在非局域對稱方面做了很多重要的研究，得到了很多重要的成果[235].2012年，樓森岳、胡曉瑞、陳勇利用Darboux變換及B.cklund變換構造了非局部對稱[73，74]，并成功將所求的非局部對稱局部化.2013年，Bluman研究了對于任意給定的非線性發展方程，從該方程的任一Lie點對稱出發，通過正則變換來引入原方程相關的勢系統，*終得到原方程的非局部對稱，提出了利用Lie點對稱來構造非局部對稱的理論[75]，此方法包含了Bluman之前關于非局部對稱的理論，提供了更加系統的尋找非局部對稱的方法.辛祥鵬和陳勇借助于輔助系統，如Lax對、勢系統、偽勢、B.cklund變換方程等作為原方程的擴大系統，并引入恰當的非局部變量及其導數項或積分項，給出了求解非局部對稱過程的具體算法[46].樓森岳等人提出了Painlevé截斷展開時奇異流形的留數是非局部對稱，稱為留數對稱，將非局部留數對稱局部化為Lie點對稱后，可以得到有限對稱變換和新的對稱約化解[76].以上這些方法豐富了對稱方法在微分方程中的應用，可以用來構造其他可積系統新的精確解、守恒律和其他一些相關工作. 1.2 守恒律的相關理論 守恒性本質上源于對稱性，20世紀上半葉，Engel在文獻中提出了角動量守恒、線性質量守恒、質心速度不變分別對應于平移變換、旋轉變換、Gallilean變換的對稱性.1918年德國女數學家Noether提出了著名的Noether定理[49]，她指出作用量的每一種對稱性都對應著一個守恒律;反之，每一個守恒律，必對應于一種對稱性，給出了守恒律和對稱性之間存在著重要的對應關系.Noether定理對于具有變分原則的微分方程，通過對稱構造方程的局部守恒律公式，成功地將構造方程的守恒律轉化為尋找變分對稱的問題，給出了系統有效的構造方程守恒律的方法，然而對于不具有變分對稱的方程，Noether定理就失去了其有效性，因此該定理被后來的學者們進行了不斷改進和推廣.Steudal提出了將守恒律寫成特征形式的特征方法，建立了根據守恒律的特征求守恒律的理論[77].Anco和Bluman通過求解線性化場方程的伴隨方程，給出了構造場方程的局部守恒律公式[78]，2002年，Anco和Bluman對上述方法進行了改進，將伴隨不變條件用一些決定方程來代替，得到了直接構造Cauchy-Koralevskaya方程(組)的局部守恒律公式[79].2006年，Kara和Mahomed提出了構造局部守恒律的Lagrange方法，通過定義部分Lagrange函數及Noether-type對稱，利用Euler算子、Lie-B.cklund算子及Noether算子所滿足的等式及守恒律的定義給出了局部守恒律的計算公式[80]，在某種程度上可以說Noether定理是該方法的一種特殊情形.Ibragimov將伴隨方程的思想與Noether定理相結合，提出了利用方程的Lie點對稱、Lie-B.cklund對稱和非局部對稱構造方程的非局部守恒律的方法[81，82]. 1.3 近似對稱的方法 在人們關注非線性現象的同時，在科學和工程領域經常會出現的一些依賴于小參數的非線性偏微分方程，我們通常稱之為擾動方程，擾動分析為我們研究擾動方程提供了有用的工具.為了研究擾動方程的性質，我們需要去尋找它的近似解，在過去的幾十年，利用Lie對稱和擾動理論相結合的方法去研究擾動的偏微分方程引起了廣泛的關注，并由此產生了兩類近似的方法.**類是由Baikov等人提出的近似Lie點對稱方法，此方法是擾動對稱群的無窮小算子而不是因變量[83.86];第二類是由Fushchich和Shtelen提出的近似對稱方法，該方法是借助于一個無窮小參數將因變量展開的(這里的無窮小參數可能是來自于物理上的一些具體問題或者是人為引入的)[87].在文獻[88]和[89]中，作者對以上的兩類方法做了比較，在近似Lie點對稱的基礎上，Mahomed和屈長征提出了近似條件對稱，并將其應用到了一類熱方程和波方程[86].Kara等引入了擾動偏微分方程的近似勢對稱方法，并將其應用到了波方程和擴散方程[85].張順利等人提出了近似廣義條件對稱的概念，并將這種方法進行了推廣，研究了一些特定類型的擾動的非線性演化方程的完全分類和近似求解[90.94].焦小玉等人將擾動方法和直接方法相結合，提出了近似直接方法[95]. 1.4 Darboux變換方法 Darboux變換方法不僅可以用于一般的變系數局部偏微分方程的求解，也可用于變系數非局部偏微分方程的求解.作為構造孤立子方程顯式解的有效方法，Darboux變換方法*早是在1882年由G.Darboux研究一維Schr.dinger方程等譜特征值問題時提出的.1986年谷超豪從Darboux陣出發構造了KdV族及AKNS梯隊的B.cklund變換，從而解決了諸多方程族的B.cklund變換問題[96].接著，谷超豪、胡和生和周子翔將
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