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高斯投影的復變函數表示 版權信息
- ISBN：9787030686619
- 條形碼：9787030686619 ; 978-7-03-068661-9
- 裝幀：一般膠版紙
- 冊數：暫無
- 重量：暫無
- 所屬分類：>
高斯投影的復變函數表示 內容簡介
高斯投影和墨卡托投影是兩類重要的地圖投影，在地圖制圖、航海（空）、大地測量中應用很好廣泛。本書對這兩類投影涉及的數學分析問題進行了深入的研究，系統導出了高斯投影的復變函數表達式、高斯投影換帶計算復數公式、球體和橢球體下正橫斜軸墨卡托投影的數學公式、極區高斯投影和橫墨卡托投影的非奇異表達式、高斯投影和墨卡托投影直接變換等一系列新公式，豐富和完善了高斯-墨卡托投影的理論體系，新公式具有理論更為嚴密、形式更為簡單、精度更為準確的優點，在地圖制圖、航海導航等領域具有廣泛的應用價值。
高斯投影的復變函數表示 目錄
目錄
上篇 緯度論
第1章 常用緯度定義 3
1.1 大地緯度 3
1.2 地心緯度和歸化緯度 4
1.3 大地緯度、地心緯度和歸化緯度的相互關系 4
1.4 子午線弧長展開式 5
1.5 等距離緯度 6
1.6 等面積緯度 7
1.7 等角緯度 7
1.8 等量緯度 8
第2章 常用緯度正解展開式 10
2.1 地心緯度正解展開式 10
2.2 歸化緯度正解展開式 11
2.3 等距離緯度正解展開式 12
2.4 等面積緯度正解展開式 13
2.5 等角緯度正解展開式 13
2.6 等量緯度正解展開式 15
2.7 等距離緯度、等面積緯度和等角緯度實用正解展開式 15
2.8 正解展開式精度分析 17
2.8.1 地心緯度和歸化緯度正解展開式精度分析 17
2.8.2 等距離緯度、等面積緯度和等角緯度正解展開式精度分析 18
第3章 常用緯度反解展開式 19
3.1 地心緯度反解展開式 19
3.2 歸化緯度反解展開式 19
3.3 等距離緯度反解展開式 20
3.3.1 基于冪級數展開法的等距離緯度反解展開式 20
3.3.2 基于Hermite插值法的等距離緯度反解展開式 21
3.3.3 基于Lagrange級數法的等距離緯度反解展開式 23
3.4 等面積緯度反解展開式 26
3.4.1 基于冪級數展開法的等面積緯度反解展開式 26
3.4.2 基于Hermite插值法的等面積緯度反解展開式 27
3.4.3 基于Lagrange級數法的等面積緯度反解展開式 29
3.5 等角緯度反解展開式 29
3.5.1 基于冪級數展開法的等角緯度反解展開式 29
3.5.2 基于Hermite插值法的等角緯度反解展開式 30
3.5.3 基于Lagrange級數法的等角緯度反解展開式 32
3.6 等量緯度反解展開式 32
3.7 符號迭代法解算常用緯度反解展開式 33
3.8 等距離緯度、等面積緯度和等角緯度實用反解展開式 35
3.9 反解展開式精度分析 37
3.9.1 地心緯度和歸化緯度反解展開式精度分析 37
3.9.2 等距離緯度、等面積緯度和等角緯度反解展開式精度分析 38
第4章 以地心緯度為變量的常用緯度正解展開式 39
4.1 歸化緯度正解展開式 39
4.2 等距離緯度正解展開式 40
4.3 等面積緯度正解展開式 41
4.4 等角緯度正解展開式 42
4.5 等量緯度正解展開式 42
4.6 實用正解展開式 43
4.7 正解展開式精度分析 46
第5章 以地心緯度為變量的常用緯度反解展開式 48
5.1 基于符號迭代法的反解展開式 48
5.1.1 基于符號迭代法的歸化緯度反解展開式 48
5.1.2 基于符號迭代法的等距離緯度反解展開式 49
5.1.3 基于符號迭代法的等面積緯度反解展開式 51
5.1.4 基于符號迭代法的等角緯度反解展開式 52
5.1.5 基于符號迭代法的等量緯度反解展開式 54
5.2 基于冪級數展開法的反解展開式 54
5.2.1 基于冪級數展開法的歸化緯度反解展開式 54
5.2.2 基于冪級數展開法的等距離緯度反解展開式 55
5.2.3 基于冪級數展開法的等面積緯度反解展開式 56
5.2.4 基于冪級數展開法的等角緯度反解展開式 57
5.2.5 基于冪級數展開法的等量緯度反解展開式 58
5.3 基于Hermite插值法的反解展開式 58
5.3.1 基于Hermite插值法的歸化緯度反解展開式 59
5.3.2 基于Hermite插值法的等距離緯度反解展開式 60
5.3.3 基于Hermite插值法的等面積緯度反解展開式 61
5.3.4 基于Hermite插值法的等角緯度反解展開式 63
5.3.5 基于Hermite插值法的等量緯度反解展開式 64
5.4 基于Lagrange級數法反解展開式 65
5.4.1 基于Lagrange級數法的歸化緯度反解展開式 65
5.4.2 基于Lagrange級數法的等距離緯度反解展開式 66
5.4.3 基于Lagrange級數法的等面積緯度反解展開式 67
5.4.4 基于Lagrange級數法的等角緯度反解展開式 68
5.4.5 基于Lagrange級數法的等量緯度反解展開式 69
5.5 實用反解展開式 70
5.6 反解展開式精度分析 73
第6章 以大地緯度為變量的常用緯度差異分析 74
6.1 歸化緯度與大地緯度差異極值表達式 74
6.2 地心緯度與大地緯度差異極值表達式 75
6.3 等距離緯度與大地緯度差異極值表達式 76
6.4 等面積緯度與大地緯度差異極值表達式 77
6.5 等角緯度與大地緯度差異極值表達式 79
6.6 常用緯度差異極值分析 80
6.6.1 輔助緯度與大地緯度差異極值符號表達式 80
6.6.2 輔助緯度之間的差異極值符號表達式 81
6.7 算例分析 84
6.7.1 輔助緯度與大地緯度的差異極值 85
6.7.2 輔助緯度間的差異極值 86
第7章 以地心緯度為變量的常用緯度差異分析 88
7.1 歸化緯度與地心緯度差異極值表達式 88
7.2 大地緯度與地心緯度差異極值表達式 89
7.3 等距離緯度與地心緯度差異極值表達式 90
7.4 等角緯度與地心緯度差異極值表達式 92
7.5 等面積緯度與地心緯度差異極值表達式 93
7.6 常用緯度差異極值分析 95
7.6.1 輔助緯度與地心緯度差異極值符號表達式 95
7.6.2 算例分析 95
下篇 高斯投影復變函數論
第8章 高斯投影實數表示 99
8.1 高斯投影與分帶 99
8.1.1 高斯投影概述 99
8.1.2 高斯投影分帶 101
8.2 高斯投影正解實數形式冪級數展開式 103
8.3 高斯投影反解實數形式冪級數展開式 105
8.4 高斯-克呂格投影正、反解實用公式 109
8.5 投影長度比和子午線收斂角 112
第9章 高斯投影復變函數迭代表示 115
9.1 等量緯度的解析開拓 115
9.2 高斯投影正解復變函數迭代表示 116
9.3 高斯投影反解復變函數迭代表示 118
9.4 高斯投影長度比和子午線收斂角 122
9.5 高斯投影作圖 124
第10章 高斯投影復變函數非迭代表示 126
10.1 等角緯度的解析開拓 126
10.2 復變等角緯度表示的高斯投影正解非迭代公式 127
10.3 復數底點緯度表示的高斯投影反解非迭代公式 129
10.4 復變等角緯度表示的長度比和子午線收斂角（基于正解公式） 132
10.5 長度比及子午線收斂角實數公式 135
10.6 不分帶的高斯投影實數公式 138
10.7 高斯投影復變函數換帶公式 140
第11章 球面高斯投影數學分析 145
11.1 橫軸墨卡托投影 145
11.2 球面高斯投影復變函數表示 146
11.3 高斯投影與橫軸墨卡托投影等價性證明 146
11.4 球面高斯投影（橫軸墨卡托投影）反解公式 148
11.5 極區球面高斯投影（橫軸墨卡托投影）經緯線方程 149
11.5.1 緯線圈方程 149
11.5.2 子午線投影方程 150
11.6 球面高斯投影（橫軸墨卡托投影）長度變形分析 151
11.7 子午線收斂角 152
11.8 極區大圓航線 153
11.9 極區等角航線 154
11.10 極區網格線 155
11.11 算例分析 157
第12章 極區非奇異高斯投影復變函數表示 159
12.1 等量緯度和等角緯度在極點的奇異性 159
12.2 復數等角余緯度 160
12.3 極區高斯投影正解公式 162
12.4 極區高斯投影反解公式 166
12.5 極區高斯投影長度比與子午線偏移角 168
12.6 子午線偏移角 171
12.7 算例分析 173
第13章 常用參考橢球高斯投影復變函數表示系數 176
13.1 三角函數倍角形式表示的高斯投影正解公式 176
13.2 三角函數倍角形式表示的高斯投影反解公式 177
13.3 三角函數指數形式表示的高斯投影正解公式 179
13.4 三角函數指數形式表示的高斯投影反解公式 180
參考文獻 182
后記和致謝 187
上篇 緯度論
第1章 常用緯度定義 3
1.1 大地緯度 3
1.2 地心緯度和歸化緯度 4
1.3 大地緯度、地心緯度和歸化緯度的相互關系 4
1.4 子午線弧長展開式 5
1.5 等距離緯度 6
1.6 等面積緯度 7
1.7 等角緯度 7
1.8 等量緯度 8
第2章 常用緯度正解展開式 10
2.1 地心緯度正解展開式 10
2.2 歸化緯度正解展開式 11
2.3 等距離緯度正解展開式 12
2.4 等面積緯度正解展開式 13
2.5 等角緯度正解展開式 13
2.6 等量緯度正解展開式 15
2.7 等距離緯度、等面積緯度和等角緯度實用正解展開式 15
2.8 正解展開式精度分析 17
2.8.1 地心緯度和歸化緯度正解展開式精度分析 17
2.8.2 等距離緯度、等面積緯度和等角緯度正解展開式精度分析 18
第3章 常用緯度反解展開式 19
3.1 地心緯度反解展開式 19
3.2 歸化緯度反解展開式 19
3.3 等距離緯度反解展開式 20
3.3.1 基于冪級數展開法的等距離緯度反解展開式 20
3.3.2 基于Hermite插值法的等距離緯度反解展開式 21
3.3.3 基于Lagrange級數法的等距離緯度反解展開式 23
3.4 等面積緯度反解展開式 26
3.4.1 基于冪級數展開法的等面積緯度反解展開式 26
3.4.2 基于Hermite插值法的等面積緯度反解展開式 27
3.4.3 基于Lagrange級數法的等面積緯度反解展開式 29
3.5 等角緯度反解展開式 29
3.5.1 基于冪級數展開法的等角緯度反解展開式 29
3.5.2 基于Hermite插值法的等角緯度反解展開式 30
3.5.3 基于Lagrange級數法的等角緯度反解展開式 32
3.6 等量緯度反解展開式 32
3.7 符號迭代法解算常用緯度反解展開式 33
3.8 等距離緯度、等面積緯度和等角緯度實用反解展開式 35
3.9 反解展開式精度分析 37
3.9.1 地心緯度和歸化緯度反解展開式精度分析 37
3.9.2 等距離緯度、等面積緯度和等角緯度反解展開式精度分析 38
第4章 以地心緯度為變量的常用緯度正解展開式 39
4.1 歸化緯度正解展開式 39
4.2 等距離緯度正解展開式 40
4.3 等面積緯度正解展開式 41
4.4 等角緯度正解展開式 42
4.5 等量緯度正解展開式 42
4.6 實用正解展開式 43
4.7 正解展開式精度分析 46
第5章 以地心緯度為變量的常用緯度反解展開式 48
5.1 基于符號迭代法的反解展開式 48
5.1.1 基于符號迭代法的歸化緯度反解展開式 48
5.1.2 基于符號迭代法的等距離緯度反解展開式 49
5.1.3 基于符號迭代法的等面積緯度反解展開式 51
5.1.4 基于符號迭代法的等角緯度反解展開式 52
5.1.5 基于符號迭代法的等量緯度反解展開式 54
5.2 基于冪級數展開法的反解展開式 54
5.2.1 基于冪級數展開法的歸化緯度反解展開式 54
5.2.2 基于冪級數展開法的等距離緯度反解展開式 55
5.2.3 基于冪級數展開法的等面積緯度反解展開式 56
5.2.4 基于冪級數展開法的等角緯度反解展開式 57
5.2.5 基于冪級數展開法的等量緯度反解展開式 58
5.3 基于Hermite插值法的反解展開式 58
5.3.1 基于Hermite插值法的歸化緯度反解展開式 59
5.3.2 基于Hermite插值法的等距離緯度反解展開式 60
5.3.3 基于Hermite插值法的等面積緯度反解展開式 61
5.3.4 基于Hermite插值法的等角緯度反解展開式 63
5.3.5 基于Hermite插值法的等量緯度反解展開式 64
5.4 基于Lagrange級數法反解展開式 65
5.4.1 基于Lagrange級數法的歸化緯度反解展開式 65
5.4.2 基于Lagrange級數法的等距離緯度反解展開式 66
5.4.3 基于Lagrange級數法的等面積緯度反解展開式 67
5.4.4 基于Lagrange級數法的等角緯度反解展開式 68
5.4.5 基于Lagrange級數法的等量緯度反解展開式 69
5.5 實用反解展開式 70
5.6 反解展開式精度分析 73
第6章 以大地緯度為變量的常用緯度差異分析 74
6.1 歸化緯度與大地緯度差異極值表達式 74
6.2 地心緯度與大地緯度差異極值表達式 75
6.3 等距離緯度與大地緯度差異極值表達式 76
6.4 等面積緯度與大地緯度差異極值表達式 77
6.5 等角緯度與大地緯度差異極值表達式 79
6.6 常用緯度差異極值分析 80
6.6.1 輔助緯度與大地緯度差異極值符號表達式 80
6.6.2 輔助緯度之間的差異極值符號表達式 81
6.7 算例分析 84
6.7.1 輔助緯度與大地緯度的差異極值 85
6.7.2 輔助緯度間的差異極值 86
第7章 以地心緯度為變量的常用緯度差異分析 88
7.1 歸化緯度與地心緯度差異極值表達式 88
7.2 大地緯度與地心緯度差異極值表達式 89
7.3 等距離緯度與地心緯度差異極值表達式 90
7.4 等角緯度與地心緯度差異極值表達式 92
7.5 等面積緯度與地心緯度差異極值表達式 93
7.6 常用緯度差異極值分析 95
7.6.1 輔助緯度與地心緯度差異極值符號表達式 95
7.6.2 算例分析 95
下篇 高斯投影復變函數論
第8章 高斯投影實數表示 99
8.1 高斯投影與分帶 99
8.1.1 高斯投影概述 99
8.1.2 高斯投影分帶 101
8.2 高斯投影正解實數形式冪級數展開式 103
8.3 高斯投影反解實數形式冪級數展開式 105
8.4 高斯-克呂格投影正、反解實用公式 109
8.5 投影長度比和子午線收斂角 112
第9章 高斯投影復變函數迭代表示 115
9.1 等量緯度的解析開拓 115
9.2 高斯投影正解復變函數迭代表示 116
9.3 高斯投影反解復變函數迭代表示 118
9.4 高斯投影長度比和子午線收斂角 122
9.5 高斯投影作圖 124
第10章 高斯投影復變函數非迭代表示 126
10.1 等角緯度的解析開拓 126
10.2 復變等角緯度表示的高斯投影正解非迭代公式 127
10.3 復數底點緯度表示的高斯投影反解非迭代公式 129
10.4 復變等角緯度表示的長度比和子午線收斂角（基于正解公式） 132
10.5 長度比及子午線收斂角實數公式 135
10.6 不分帶的高斯投影實數公式 138
10.7 高斯投影復變函數換帶公式 140
第11章 球面高斯投影數學分析 145
11.1 橫軸墨卡托投影 145
11.2 球面高斯投影復變函數表示 146
11.3 高斯投影與橫軸墨卡托投影等價性證明 146
11.4 球面高斯投影（橫軸墨卡托投影）反解公式 148
11.5 極區球面高斯投影（橫軸墨卡托投影）經緯線方程 149
11.5.1 緯線圈方程 149
11.5.2 子午線投影方程 150
11.6 球面高斯投影（橫軸墨卡托投影）長度變形分析 151
11.7 子午線收斂角 152
11.8 極區大圓航線 153
11.9 極區等角航線 154
11.10 極區網格線 155
11.11 算例分析 157
第12章 極區非奇異高斯投影復變函數表示 159
12.1 等量緯度和等角緯度在極點的奇異性 159
12.2 復數等角余緯度 160
12.3 極區高斯投影正解公式 162
12.4 極區高斯投影反解公式 166
12.5 極區高斯投影長度比與子午線偏移角 168
12.6 子午線偏移角 171
12.7 算例分析 173
第13章 常用參考橢球高斯投影復變函數表示系數 176
13.1 三角函數倍角形式表示的高斯投影正解公式 176
13.2 三角函數倍角形式表示的高斯投影反解公式 177
13.3 三角函數指數形式表示的高斯投影正解公式 179
13.4 三角函數指數形式表示的高斯投影反解公式 180
參考文獻 182
后記和致謝 187
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高斯投影的復變函數表示 節選
上篇 緯度論 在地球科學和測繪導航計算中，經常會遇到大地緯度、地心緯度、歸化緯度、等距離緯度、等角緯度、等面積緯度6種緯度及其變換的計算問題。隨著空間技術和計算機技術在測量、制圖和導航中應用的發展，這6種緯度及其變換的研究具有更加重要的實用價值。 對于這一問題，國內外許多著名學者如Adams（1921）、Thomas（1952）、方。1958）、吳忠性（1989，1979）、華棠（1985）、孫群（1985）、熊介（1988）、楊啟和（1989，2000）、Snyder（1987）、胡毓鉅（1997）、鐘業勛（2007）、Karney（2011）、Peter（2013）、Grafarend（2014）等人曾進行了卓有成效的研究，取得了顯著的成果。但由于這一問題涉及非常復雜的數學推導，限于當時的歷史條件，尚沒有計算機代數系統可資利用，其間許多推導過程大都由人們手工推導完成，展開式的項數不高，有時難免會存在這樣或那樣的近似甚至小的錯誤，影響了計算精度；有的表達式復雜冗長，不便于使用，多以具體的數值形式給出，僅適用于我國1954北京坐標系和1980西安坐標系下的解算，不能滿足2000國家大地坐標系下的計算需求。 有鑒于此，本篇利用計算機代數分析方法，借助計算機代數系統強大的數學分析能力，全面系統地研究和分析上述6種緯度的變換問題，推導和建立橢球各緯度間正反解與差異極值的符號表達式，改正以往人工導出的正解展開式系數高階項存在的偏差，將以往反解展開式系數的數值形式改進為橢球偏心率的冪級數形式，適用于任何參考橢球。 第1章 常用緯度定義 大地緯度是測量和地球科學計算中*常用的一種緯度，但是在測量和地圖投影理論推導中，為滿足某種投影性質，也常會用到其他5種輔助緯度（地心緯度、歸化緯度、等距離緯度、等角緯度和等面積緯度），它們都是大地緯度的函數，實際應用中經常會遇到5種輔助緯度和大地緯度的變換問題。本章將介紹以上6種常用緯度的定義，給出5種輔助緯度與大地緯度的關系式。 1.1 大地緯度 大地坐標系如圖1.1所示，空間某點P的大地坐標是由大地緯度B、大地經度L和大地高H來表示的。大地緯度B是P點處參考橢球的法線與赤道面的夾角，向北為正，稱為北緯（0°～90°）；向南為負，稱為南緯（0°～90°）。大地經度L是P點與參考橢球的自轉軸所在的面NQS與參考橢球起始子午面NGS的夾角，由起始子午面起算，向東為正，稱為東經（0°～180°），向西為負，稱為西經（0°～180°）。大地高H是P點沿該點法線到橢球面的距離，向上為正，向下為負。 圖1.1 大地坐標系示意圖 略去推導，由大地坐標轉換為空間直角坐標的數學關系式為 （1.1.1） 式中：為卯酉圈曲率半徑；a為橢球長半軸；e為橢球**偏心率。 1.2 地心緯度和歸化緯度 在一些橢球幾何關系推導中，除大地緯度外，還常常使用地心緯度和歸化緯度的概念。如圖1.2所示，設橢球面上點的大地緯度為，大地經度為。在過點的子午面上，以子午圈橢圓中心為原點，建立、直角坐標系。設該橢圓的長半軸為，短半軸為，則橢圓方程為 （1.2.1） 圖1.2 地心緯度和歸化緯度的關系圖 過點作橢圓的法線，與軸交于點，與軸交于點，則為點的大地緯度。作以原點為中心、半徑為的輔助圓，延長點的縱坐標線與圓交于點，連接、，則為點的地心緯度，為點的歸化緯度。 1.3 大地緯度、地心緯度和歸化緯度的相互關系 大地緯度是點橢圓法線與橫軸的夾角。因此，由圖1.2可知 （1.3.1） 橢圓方程式（1.2.1）對求導，并將式（1.3.1）代入，得 （1.3.2） 顧及，可得 （1.3.3） 將式（1.3.3）代入橢圓方程式（1.1.1），整理后可得 （1.3.4） 由圖1.2可知橫坐標與歸化緯度的關系為，代入橢圓方程式（1.1.1）可解出縱坐標與的關系，聯立可得以歸化緯度為參數的橢圓方程： （1.3.5） 式（1.3.4）與式（1.3.5）對比，可得 （1.3.6） 式（1.3.6）兩式相除，可得 （1.3.7） 式（1.3.7）即大地緯度與歸化緯度的正切關系式。 由圖1.2可知 （1.3.8） 式（1.3.8）即地心緯度與歸化緯度的正切關系式。 將式（1.3.7）代入式（1.3.8），可得 （1.3.9） 式（1.3.9）即地心緯度與大地緯度的正切關系式。 1.4 子午線弧長展開式 子午線弧長正解問題即子午線弧長計算是橢球面測量計算中的一個基本數學問題，在數學上又稱為橢圓積分，無分析解，考慮地球橢球的扁率較小，一般的做法是按二項式定理展開后逐項積分（邊少鋒?等，2004；熊介，1988）。子午線弧長確定（圖1.3）在大地測量和地圖制圖中有著廣泛的用途，如用于推算地球形狀大小的弧度測量、地圖投影中的高斯投影計算等。 圖1.3 子午線弧長確定 如圖1.3所示，子午線弧長可表示為如下橢圓積分： （1.4.1） 式中：為由赤道起算的子午線弧長；為參考橢球長半軸；為參考橢球的**偏心率；為計算點處大地緯度；為計算點處子午圈曲率半經。 式（1.4.1）不可能用一般的積分方法求出其解，通常的做法是按牛頓二項式定理展開被積函數，再化三角函數的冪形式為倍角形式后逐項積分。這個過程人工來做比較復雜，尤其是在精度要求比較高、展至較高階數時。但用計算機代數系統來做，則只需要幾條指令，就可以實現（邊少鋒?等，2018）。 （1）用級數展開指令展開被積函數； （2）用積分指令對展開式逐項積分； （3）再使用化簡指令，化三角函數的冪形式為倍角形式； （4）使用提取系數指令，提取倍角形式的系數。 略去具體的運算步驟，可得展至的表達式為 （1.4.2） 式中系數為 （1.4.3） 1.5 等距離緯度 如圖1.4所示，橢球面上由赤道至大地緯度處的子午線弧長為，現假設有一幅角為、半徑為的圓所對弧長與子午線弧長在量值上相等，則有 （1.5.1） 圖1.4 等距離緯度示意圖 由于幅角所對圓弧與大地緯度所對子午線弧長相等，一般被稱為等距離緯度，在高斯投影中也稱為底點緯度。
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