模塊1 函數 1 1.1 函數的概念 1 1.1.1 變量與區間 1 1.1.2 認識函數 2 1.1.3 函數的表示方法 3 1.1.4 函數的特性 4 1.1.5 反函數 5 練習1.1 5 1.2 基本初等函數 6 1.2.1 常值函數 6 1.2.2 冪函數 6 1.2.3 指數函數 7 1.2.4 對數函數 7 1.2.5 三角函數 8 1.2.6 反三角函數 11 練習1.2 13 1.3 復合函數、初等函數及函數 關系式的建立 13 練習1.3 15 1.4 常見的經濟函數 15 練習1.4 18 溫故知新：冪運算和對數運算 18 數學實驗：數學建模和MATLAB 簡介 20 拓展閱讀：《周髀算經》與勾股 定理 24 本模塊知識要點 25 習題1 25 模塊2 極限與連續 28 2.1 數列的極限 28 2.1.1 我國古代的極限思想 28 2.1.2 數列極限的定義 29 練習2.1 30 2.2 函數的極限 30 2.2.1 當 時函數的極限 30 2.2.2 當 時函數的極限 31 2.2.3 無窮小與無窮大 33 練習2.2 34 2.3 極限的運算 34 2.3.1 極限的四則運算法則 34 2.3.2 兩個重要極限 36 2.3.3 無窮小的比較 38 練習2.3 40 2.4 函數的連續性 40 2.4.1 函數連續性的定義 41 2.4.2 間斷點及其分類 42 2.4.3 連續函數的運算 44 2.4.4 閉區間上連續函數的性質 45 練習2.4 46 數學實驗：用MATLAB計算極限 46 拓展閱讀：中國早期的極限思想 47 本模塊知識要點 48 習題2 49 模塊3 一元函數微分學及應用 52 3.1 函數變化率模型——導數的 概念 52 3.1.1 函數變化率模型 52 3.1.2 導數的概念 54 3.1.3 求導舉例 56 3.1.4 可導與連續的關系 58 練習3.1 60 3.2 導數的運算 60 3.2.1 導數的四則運算法則 60 3.2.2 基本初等函數的求導公式 61 3.2.3 復合函數的求導法則 62 3.2.4 隱函數求導法 63 3.2.5 對數求導法 64 *3.2.6 由參數方程確定的函數的 求導法 65 3.2.7 高階導數 66 練習3.2 68 3.3 函數的微分 69 3.3.1 微分的概念 69 3.3.2 微分的幾何意義 71 3.3.3 微分的計算 71 3.3.4 微分在近似計算上的應用 73 練習3.3 73 *3.4 微分中值定理 74 3.4.1 拉格朗日定理 74 3.4.2 羅爾定理 75 3.4.3 柯西定理 76 練習3.4 76 3.5 洛必達法則 76 3.5.1 洛必達法則定義 77 3.5.2 洛必達法則的應用 77 練習3.5 80 3.6 函數的單調性和極值 81 3.6.1 函數的單調性 81 3.6.2 函數的極值 83 3.6.3 函數的*大值與*小值 86 3.6.4 建模案例：客房的定價問題 89 練習3.6 90 3.7 函數的凹凸性與拐點 90 練習3.7 92 *3.8 函數圖形的描繪 92 3.8.1 曲線的漸近線 92 3.8.2 函數作圖 93 練習3.8 94 數學實驗：用MATLAB求導數 和極值 94 拓展閱讀：微積分的創立及其 歷史意義 95 本模塊知識要點 96 習題3 96 模塊4 一元函數積分學及應用 100 4.1 原函數與不定積分 100 4.1.1 原函數與不定積分的定義 100 4.1.2 不定積分基本公式 101 4.1.3 不定積分的性質 102 練習4.1 103 4.2 定積分的概念 104 4.2.1 引例(求總量模型) 104 4.2.2 定積分的定義 106 4.2.3 定積分的幾何意義 107 4.2.4 定積分的基本性質 108 練習4.2 109 4.3 微積分基本公式 110 4.3.1 積分上限函數 110 4.3.2 牛頓-萊布尼茨公式 111 練習4.3 111 4.4 **類換元積分法 112 4.4.1 不定積分的**類換元法 112 4.4.2 定積分的**類換元法 114 練習4.4 115 4.5 第二類換元積分法 116 4.5.1 不定積分的第二類換元法 116 4.5.2 定積分的第二類換元法 117 練習4.5 118 4.6 分部積分法 118 4.6.1 不定積分的分部積分法 119 4.6.2 定積分的分部積分法 120 練習4.6 120 4.7 定積分在幾何上的應用 121 4.7.1 微元法 121 4.7.2 平面圖形的面積 121 4.7.3 旋轉體的體積 123 *4.7.4 平面曲線的弧長 125 練習4.7 126 *4.8 定積分在物理上的應用 127 4.8.1 變速直線運動的加速度、速度 和位移 127 4.8.2 建模案例1：飛行跑道的設計 模型 127 4.8.3 變力沿直線做功 128 4.8.4 建模案例2：第二宇宙速度 129 練習4.8 130 4.9 無窮區間的廣義積分 131 4.9.1 廣義積分的定義 131 4.9.2 廣義積分的計算 132 練習4.9 133 數學實驗：用MATLAB求一元函數的 積分 133 拓展閱讀：祖沖之父子與祖暅原理 134 本模塊知識要點 135 習題4 136 模塊5 常微分方程 139 5.1 微分方程的基本概念 139 5.1.1 認識微分方程 139 5.1.2 微分方程的基本概念 140 練習 5.1 141 5.2 可分離變量的微分方程 142 5.2.1 可分離變量的微分方程概念及 求解 142 5.2.2 齊次方程 145 練習5.2 147 5.3 一階線性微分方程 148 5.3.1 一階線性微分方程的概念 及求解 148 5.3.2 一階線性微分方程的應用 151 練習5.3 152 5.4 二階常系數線性微分方程 153 5.4.1 二階常系數線性微分方程的 解的結構 153 5.4.2 二階常系數齊次線性微分方程的 解法 154 練習5.4 157 5.5 數學建模案例——人口增長 模型 158 數學實驗：MATLAB在常微分 方程中的應用 162 拓展閱讀：數學筆尖上了不起的 成就——海王星的發現 162 本模塊知識要點 163 習題5 164 模塊6 線性代數初步 166 6.1 矩陣的概念及運算 166 6.1.1 矩陣的概念 167 6.1.2 矩陣的運算 168 練習 6.1 173 6.2 矩陣的初等行變換及其應用 174 6.2.1 矩陣的初等變換 174 6.2.2 行階梯形矩陣 175 6.2.3 矩陣的秩 176 6.2.4 逆矩陣 177 練習 6.2 181 6.3 線性方程組 182 6.3.1 線性方程組的概念 182 6.3.2 線性方程組有解的判定 184 6.3.3 求線性方程組的解 186 練習6.3 189 6.4 矩陣與線性方程組的簡單 應用 189 6.4.1 矩陣加密與解密 189 6.4.2 線性方程組在直流電路分析中的 應用 190 6.4.3 建模案例：交通管理模型 191 練習6.4 192 數學實驗：MATLAB在線性代數中的 應用 192 拓展閱讀：《九章算術》與線性 方程組 194 本模塊知識要點 195 習題6 196 模塊7 無窮級數 199 7.1 級數的概念 199 7.1.1 分割問題——認識常數項級數 199 7.1.2 常數項級數 200 7.1.3 常數項級數的性質 202 練習 7.1 203 7.2 常數項級數的審斂法 203 7.2.1 正項級數及其審斂法 203 7.2.2 交錯級數及其審斂法 206 7.2.3 絕對收斂與條件收斂 207 練習 7.2 208 7.3 冪級數 208 7.3.1 函數項級數 208 7.3.2 冪級數及其收斂性 209 7.3.3 冪級數的和函數的性質 210 練習7.3 211 *7.4 傅里葉級數 212 7.4.1 三角級數 212 7.4.2 三角函數系的正交性 212 7.4.3 周期為2π的函數展開為 傅里葉級數 213 練習 7.4 217 數學實驗：MATLAB在級數中的 應用 218 拓展閱讀：級數的意義 219 本模塊知識要點 220 習題7 220 模塊8 多元函數微積分學 223 8.1 多元函數的基本概念 223 8.1.1 空間直角坐標系 223 8.1.2 平面點集 224 8.1.3 多元函數的概念 227 8.1.4 二元函數的極限 228 8.1.5 二元函數的連續性 229 練習 8.1 230 8.2 偏導數與全微分 231 8.2.1 偏導數的概念 231 8.2.2 高階偏導數 233 8.2.3 全微分 234 練習8.2 236 8.3 多元復合函數和隱函數的 求導法則 236 8.3.1 多元復合函數的求導法則—— 鏈式法則 236 8.3.2 隱函數的偏導數 239 練習8.3 241 8.4 二元函數的極值與*值 242 8.4.1 多元函數的極值與*值 242 8.4.2 條件極值和拉格朗日乘數法 244 8.4.3 建模案例：企業利潤問題 247 練習 8.4 248 8.5 二重積分的概念和性質 248 8.5.1 二重積分的概念 248 8.5.2 二重積分的性質 250 練習 8.5 251 8.6 二重積分的計算 252 8.6.1 直角坐標系下二重積分的計算 252 *8.6.2 極坐標系下二重積分的計算 254 練習 8.6 255 8.7 二重積分的應用 256 8.7.1 利用定積分求空間曲面所圍 立體的體積 256 8.7.2 利用定積分求曲面的面積 257 8.7.3 定積分在其他方面的應用 257 練習8.7 258 數學實驗：MATLAB在多元微積分 中的應用 258 拓展閱讀：笛卡兒和直角坐標系 260 本模塊知識要點 261 習題8 262 參考文獻 26