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偏微分方程 版權信息
- ISBN：9787111762300
- 條形碼：9787111762300 ; 978-7-111-76230-0
- 裝幀：平裝-膠訂
- 冊數：暫無
- 重量：暫無
- 所屬分類：>
偏微分方程 本書特色
本書遵循教指委相關指導文件和高等院校學生學習規律編寫而成。踐行四新理念，融入思政元素，注重理論與實踐相結合。
偏微分方程 內容簡介
本書主要介紹偏微分方程中三類典型方程——波動方程、熱傳導方 程、位勢方程的基本理論和基本方法，以及一階偏微分方程的求解方法. 全書共 6 章，包括經典方程的導出與定解問題、二階偏微分方程的分類 和簡化、波動方程、熱傳導方程、位勢方程、一階偏微分方程. 本書采 用簡潔、易于理解的敘述方式，每部分都配備一定的例題分析和豐富的 習題, 書末附有部分習題答案與提示. 本書可作為高等學校數學類專業本科生和研究生偏微分方程課程 的教材，也可作為非數學類理工科本科生和研究生數學物理方程課程的 教材或教學參考書.
偏微分方程 目錄
目錄
前言
第 1 章 經典方程的導出與定解問題 1
1.1 基本概念 1
1.2 經典方程的導出 6
1.2.1 弦振動方程 6
1.2.2 熱傳導方程 10
1.2.3 位勢方程 12
1.3 定解問題 12
1.3.1 定解問題和定解條件 12
1.3.2 定解問題的適定性 15
1.4 疊加原理 16
習題一 19
第 2 章 二階偏微分方程的分類和簡化 21
2.1 二階方程的特征 21
2.2 二階方程的分類與化簡 24
2.2.1 兩個自變量的情形 24
2.2.2 多個自變量的情形 32
習題二 35
第 3 章 波動方程 36
3.1 問題的簡化 36
3.1.1 初值問題的簡化 36
3.1.2 混合問題的簡化 39
3.2 一維波動方程的初值問題 42
3.2.1 達朗貝爾公式 42
3.2.2 達朗貝爾公式的物理意義 46
3.2.3 依賴區間、決定區域和影響區域 47
3.2.4 一維半無界問題 49
3.3 高維波動方程的初值問題 52
3.3.1 三維波動方程的初值問題 52
3.3.2 二維波動方程的初值問題 60
3.3.3 特征錐 62
3.3.4 惠更斯原理、波的彌散 64
3.4 混合問題 (初邊值問題) 66
3.4.1 齊次波動方程的混合問題 66
3.4.2 非齊次波動方程的混合問題 73
3.4.3 * 施圖姆–劉維爾特征值問題 78
3.4.4 二維波動方程的混合問題 81
3.4.5 物理意義, 駐波法 83
3.5 能量法與波動方程解的適定性 85
3.5.1 能量等式 混合問題解的唯一性 86
3.5.2 能量不等式 混合問題解的穩定性 88
3.5.3 初值問題解的唯一性和穩定性 91
習題三 95
第 4 章 熱傳導方程 100
4.1 傅里葉變換及其基本性質 100
4.2 熱傳導方程的初值問題 110
4.2.1 初值問題與基本解 110
4.2.2 半無界問題 118
4.3 熱傳導方程的混合問題 121
4.4 極值原理與熱傳導方程的適定性 127
4.4.1 極值原理 127
4.4.2 **邊值問題解的適定性 129
4.4.3 第二、第三邊值問題解的*大模估計 131
4.4.4 初值問題解的*大模估計 134
4.4.5 混合問題解的能量不等式 135
習題四 136
第 5 章 位勢方程 140
5.1 調和函數 140
5.1.1 調和函數與基本解 140
5.1.2 格林公式 142
5.2 調和函數的基本積分公式及性質 142
5.2.1 調和函數的基本積分公式 142
5.2.2 調和函數的基本性質 144
5.3 格林函數 148
5.3.1 格林函數的導出 148
5.3.2 格林函數的性質 150
5.4 幾種特殊區域上的格林函數和狄利克雷問題的解 153
5.4.1 上半空間的格林函數 153
5.4.2 球上的格林函數 155
5.4.3 圓域上的格林函數 159
5.5 調和函數的進一步性質 162
5.6 極值原理與位勢方程解的適定性 165
5.6.1 極值原理 165
5.6.2 *大模估計 169
習題五 172
第 6 章 一階偏微分方程 176
6.1 基本概念 176
6.2 線性齊次偏微分方程 177
6.2.1 通解 177
6.2.2 初值問題 182
6.3 擬線性偏微分方程 185
6.3.1 通解 185
6.3.2 初值問題 189
習題六 194
部分習題答案與提示 195
參考文獻 214
前言
第 1 章 經典方程的導出與定解問題 1
1.1 基本概念 1
1.2 經典方程的導出 6
1.2.1 弦振動方程 6
1.2.2 熱傳導方程 10
1.2.3 位勢方程 12
1.3 定解問題 12
1.3.1 定解問題和定解條件 12
1.3.2 定解問題的適定性 15
1.4 疊加原理 16
習題一 19
第 2 章 二階偏微分方程的分類和簡化 21
2.1 二階方程的特征 21
2.2 二階方程的分類與化簡 24
2.2.1 兩個自變量的情形 24
2.2.2 多個自變量的情形 32
習題二 35
第 3 章 波動方程 36
3.1 問題的簡化 36
3.1.1 初值問題的簡化 36
3.1.2 混合問題的簡化 39
3.2 一維波動方程的初值問題 42
3.2.1 達朗貝爾公式 42
3.2.2 達朗貝爾公式的物理意義 46
3.2.3 依賴區間、決定區域和影響區域 47
3.2.4 一維半無界問題 49
3.3 高維波動方程的初值問題 52
3.3.1 三維波動方程的初值問題 52
3.3.2 二維波動方程的初值問題 60
3.3.3 特征錐 62
3.3.4 惠更斯原理、波的彌散 64
3.4 混合問題 (初邊值問題) 66
3.4.1 齊次波動方程的混合問題 66
3.4.2 非齊次波動方程的混合問題 73
3.4.3 * 施圖姆–劉維爾特征值問題 78
3.4.4 二維波動方程的混合問題 81
3.4.5 物理意義, 駐波法 83
3.5 能量法與波動方程解的適定性 85
3.5.1 能量等式 混合問題解的唯一性 86
3.5.2 能量不等式 混合問題解的穩定性 88
3.5.3 初值問題解的唯一性和穩定性 91
習題三 95
第 4 章 熱傳導方程 100
4.1 傅里葉變換及其基本性質 100
4.2 熱傳導方程的初值問題 110
4.2.1 初值問題與基本解 110
4.2.2 半無界問題 118
4.3 熱傳導方程的混合問題 121
4.4 極值原理與熱傳導方程的適定性 127
4.4.1 極值原理 127
4.4.2 **邊值問題解的適定性 129
4.4.3 第二、第三邊值問題解的*大模估計 131
4.4.4 初值問題解的*大模估計 134
4.4.5 混合問題解的能量不等式 135
習題四 136
第 5 章 位勢方程 140
5.1 調和函數 140
5.1.1 調和函數與基本解 140
5.1.2 格林公式 142
5.2 調和函數的基本積分公式及性質 142
5.2.1 調和函數的基本積分公式 142
5.2.2 調和函數的基本性質 144
5.3 格林函數 148
5.3.1 格林函數的導出 148
5.3.2 格林函數的性質 150
5.4 幾種特殊區域上的格林函數和狄利克雷問題的解 153
5.4.1 上半空間的格林函數 153
5.4.2 球上的格林函數 155
5.4.3 圓域上的格林函數 159
5.5 調和函數的進一步性質 162
5.6 極值原理與位勢方程解的適定性 165
5.6.1 極值原理 165
5.6.2 *大模估計 169
習題五 172
第 6 章 一階偏微分方程 176
6.1 基本概念 176
6.2 線性齊次偏微分方程 177
6.2.1 通解 177
6.2.2 初值問題 182
6.3 擬線性偏微分方程 185
6.3.1 通解 185
6.3.2 初值問題 189
習題六 194
部分習題答案與提示 195
參考文獻 214
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