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基礎數學講義:走向真正的數學 版權信息
- ISBN：9787115651471
- 條形碼：9787115651471 ; 978-7-115-65147-1
- 裝幀：平裝-膠訂
- 冊數：暫無
- 重量：暫無
- 所屬分類：>
基礎數學講義:走向真正的數學 本書特色
-一版再版，被美國大學廣泛采用的參考書
-在數學學習的道路上走向“成熟”，彌合中學與大學數學學習的差距
-啟發思維，拓展知識，有效引導，知識與方法深度結合
-向中學生和大本生提出明確、可行的學習建議
基礎數學講義:走向真正的數學 內容簡介
本書利用數學建模方法討論了人類社會和自然界中的33個話題，既包括對經典話題的全新闡釋，也包含對若干全新話題的開創性研究，不僅解答了大眾對于數學的常見疑問：“數學有什么用？”，更是以高中知識為主要工具、以數學建模為主要載體、以中學生能夠理解的方式，展現了數學研究的基本過程和思維方式。33個話題充分體現了數學與生活的密切聯系，講解了數學建模如何有效地解決跨學科問題，如何為生活中的現實需求建立合理有效的模型，如何在設計制造、生物醫學、機器學習，甚至在解決社會問題方面大顯身手。作者力求將抽象且嚴密的數學闡述得通透而有趣，凸顯數學的“形式之美”“邏輯之妙”與“大道至簡”。本書是為高中生、低年級本科生和愛好數學的大眾讀者開啟的一場妙趣橫生的數學思維之旅。
基礎數學講義:走向真正的數學 目錄
第 一部分 數學直覺的背景知識
第 1 章 數學思維 / 2
1.1 概念的形成 / 3
1.2 基模 / 4
1.3 一個例子 / 6
1.4 自然數學與形式數學 / 7
1.5 基于人類經驗建立形式化概念 / 8
1.6 形式化系統和結構定理 / 10
1.7 更靈活地使用形式數學 / 10
1.8 習題 / 12
第 2 章 數系 / 15
2.1 自然數 / 15
2.2 分數 / 16
2.3 整數 / 17
2.4 有理數 / 18
2.5 實數 / 19
2.6 繪圖的不精確性 / 22
2.7 實軸的理論模型 / 22
2.8 不同數的不同小數表示 / 25
2.9 有理數和無理數 / 25
2.10 實數的必要性 / 27
2.11 小數算術 / 28
2.12 序列 / 29
2.13 順序性質和模 / 30
2.14 收斂 / 32
2.15 完備性 / 34
2.16 遞減序列 / 36
2.17 同一實數的不同小數表示 / 36
2.18 有界集 / 39
2.19 習題 / 42
第二部分 形式化的開端
第3 章 集合 / 46
3.1 成員 / 47
3.2 子集 / 51
3.3 是否存在宇集 / 53
3.4 并集和交集 / 55
3.5 補集 / 62
3.6 集合的集合 / 64
3.7 習題 / 66
第4 章 關系 / 68
4.1 有序對 / 68
4.2 數學的精確性和人類的理解 / 71
4.3 將有序對概念化的其他方法 / 73
4.4 關系 / 76
4.5 等價關系 / 78
4.6 例子：模n 算術 / 82
4.7 等價關系的一些細節 / 85
4.8 順序關系 / 86
4.9 習題 / 89
第5 章 函數 / 92
5.1 一些傳統函數 / 92
5.2 函數的一般定義 / 93
5.3 函數的一般性質 / 97
5.4 函數的圖像 / 100
5.5 函數的復合 / 105
5.6 反函數 / 107
5.7 限制 / 111
5.8 序列和n 元組 / 112
5.9 多元函數 / 113
5.10 二元運算 / 113
5.11 集合的索引族 / 115
5.12 習題 / 116
第6 章 數理邏輯 / 119
6.1 陳述 / 120
6.2 謂詞 / 121
6.3 所有和部分 / 123
6.4 多個量詞 / 124
6.5 否定 / 126
6.6 邏輯語法：聯結詞 / 128
6.7 和集合論的聯系 / 130
6.8 復合陳述公式 / 132
6.9 邏輯演繹 / 136
6.10 證明 / 138
6.11 習題 / 139
第7 章 數學證明 / 143
7.1 公理化系統 / 147
7.2 理解證明與自我解釋 / 148
7.3 試題 / 149
7.4 習題 / 150
第三部分 公理化系統的發展
第8 章 自然數和數學歸納法 / 154
8.1 自然數 / 155
8.2 歸納定義 / 157
8.3 算術定律 / 160
8.4 自然數的順序 / 166
8.5 0的唯一性 / 168
8.6 計數 / 169
8.7 馮·諾伊曼的靈感 / 171
8.8 其他形式的歸納法 / 173
8.9 除法 / 175
8.10 因數分解 / 176
8.11 歐幾里得算法 / 176
8.12 思考 / 179
8.13 習題 / 179
第9 章 實數 / 185
9.1 基本的算術結果 / 187
9.2 基本的順序結果 / 190
9.3 構造整數 / 191
9.4 構造有理數 / 195
9.5 構造實數 / 196
9.6 有理數序列 / 197
9.7 上的順序 / 203
9.8 的完備性 / 204
9.9 習題 / 206
第 10 章 作為完備有序域的實數 / 209
10.1 環和域的例子 / 210
10.2 有序環和有序域的例子 / 212
10.3 回顧同構 / 214
10.4 一些特征 / 216
10.5 和直覺概念間的聯系 / 222
10.6 習題 / 223
第 11 章 復數以及后續數系 / 225
11.1 歷史背景 / 225
11.2 構造復數 / 228
11.3 復共軛 / 230
11.4 模 / 231
11.5 歐拉的指數函數方法 / 234
11.6 余弦和正弦的加法公式 / 236
11.7 復指數函數 / 24
11.8 四元數 / 243
11.9 形式數學方法的轉變 / 248
11.10 習題 / 248
第四部分 使用公理化系統
第 12 章 公理化系統、結構定理和靈活思考 / 252
12.1 結構定理 / 255
12.2 不同數學思維方法的心理學解釋 / 257
12.3 構建形式化理論 / 260
12.4 后續發展 / 268
12.5 習題 / 269
第 13 章 置換和群 / 271
13.1 置換 / 271
13.2 作為循環的置換 / 274
13.3 置換的群性質 / 275
13.4 群的公理 / 278
13.5 子群 / 282
13.6 同構和同態 / 285
13.7 劃分群來得到商群 / 287
13.8 群和子群的元素數量 / 290
13.9 定義群結構的劃分 / 291
13.10 群同態的結構 / 295
13.11 群結構 / 297
13.12 群論在數學中的主要貢獻 / 298
13.13 后續發展 / 302
13.14 習題 / 304
第 14 章 基數 / 307
14.1 康托爾的基數 / 310
14.2 施羅德- 伯恩斯坦定理 / 316
14.3 基數的算術 / 319
14.4 基數的順序關系 / 323
14.5 習題 / 324
第 15 章 無窮小量 / 327
15.1 比實數更大的有序域 / 329
15.2 超有序域 / 332
15.3 超有序域的結構定理 / 332
15.4 在幾何數軸上表示無窮小量 / 334
15.5 放大到更高維度 / 340
15.6 無窮小量的微積分 / 341
15.7 非標準分析 / 342
15.8 非標準分析的奇妙可能性 / 349
15.9 習題 / 352
第五部分 強化基礎
第 16 章 集合論公理 / 356
16.1 一些困境 / 356
16.2 集合和類 / 357
16.3 集合論公理概述 / 358
16.4 選擇公理 / 360
16.5 一致性 / 361
16.6 習題 / 363
附錄 如何閱讀證明：“自我解釋”方法 / 364
如何自我解釋 / 364
自我解釋的例子 / 365
自我解釋和其他方法的對比 / 365
練習證明1 / 366
練習證明2 / 366
記住…… / 367
參考文獻 / 368
第 1 章 數學思維 / 2
1.1 概念的形成 / 3
1.2 基模 / 4
1.3 一個例子 / 6
1.4 自然數學與形式數學 / 7
1.5 基于人類經驗建立形式化概念 / 8
1.6 形式化系統和結構定理 / 10
1.7 更靈活地使用形式數學 / 10
1.8 習題 / 12
第 2 章 數系 / 15
2.1 自然數 / 15
2.2 分數 / 16
2.3 整數 / 17
2.4 有理數 / 18
2.5 實數 / 19
2.6 繪圖的不精確性 / 22
2.7 實軸的理論模型 / 22
2.8 不同數的不同小數表示 / 25
2.9 有理數和無理數 / 25
2.10 實數的必要性 / 27
2.11 小數算術 / 28
2.12 序列 / 29
2.13 順序性質和模 / 30
2.14 收斂 / 32
2.15 完備性 / 34
2.16 遞減序列 / 36
2.17 同一實數的不同小數表示 / 36
2.18 有界集 / 39
2.19 習題 / 42
第二部分 形式化的開端
第3 章 集合 / 46
3.1 成員 / 47
3.2 子集 / 51
3.3 是否存在宇集 / 53
3.4 并集和交集 / 55
3.5 補集 / 62
3.6 集合的集合 / 64
3.7 習題 / 66
第4 章 關系 / 68
4.1 有序對 / 68
4.2 數學的精確性和人類的理解 / 71
4.3 將有序對概念化的其他方法 / 73
4.4 關系 / 76
4.5 等價關系 / 78
4.6 例子：模n 算術 / 82
4.7 等價關系的一些細節 / 85
4.8 順序關系 / 86
4.9 習題 / 89
第5 章 函數 / 92
5.1 一些傳統函數 / 92
5.2 函數的一般定義 / 93
5.3 函數的一般性質 / 97
5.4 函數的圖像 / 100
5.5 函數的復合 / 105
5.6 反函數 / 107
5.7 限制 / 111
5.8 序列和n 元組 / 112
5.9 多元函數 / 113
5.10 二元運算 / 113
5.11 集合的索引族 / 115
5.12 習題 / 116
第6 章 數理邏輯 / 119
6.1 陳述 / 120
6.2 謂詞 / 121
6.3 所有和部分 / 123
6.4 多個量詞 / 124
6.5 否定 / 126
6.6 邏輯語法：聯結詞 / 128
6.7 和集合論的聯系 / 130
6.8 復合陳述公式 / 132
6.9 邏輯演繹 / 136
6.10 證明 / 138
6.11 習題 / 139
第7 章 數學證明 / 143
7.1 公理化系統 / 147
7.2 理解證明與自我解釋 / 148
7.3 試題 / 149
7.4 習題 / 150
第三部分 公理化系統的發展
第8 章 自然數和數學歸納法 / 154
8.1 自然數 / 155
8.2 歸納定義 / 157
8.3 算術定律 / 160
8.4 自然數的順序 / 166
8.5 0的唯一性 / 168
8.6 計數 / 169
8.7 馮·諾伊曼的靈感 / 171
8.8 其他形式的歸納法 / 173
8.9 除法 / 175
8.10 因數分解 / 176
8.11 歐幾里得算法 / 176
8.12 思考 / 179
8.13 習題 / 179
第9 章 實數 / 185
9.1 基本的算術結果 / 187
9.2 基本的順序結果 / 190
9.3 構造整數 / 191
9.4 構造有理數 / 195
9.5 構造實數 / 196
9.6 有理數序列 / 197
9.7 上的順序 / 203
9.8 的完備性 / 204
9.9 習題 / 206
第 10 章 作為完備有序域的實數 / 209
10.1 環和域的例子 / 210
10.2 有序環和有序域的例子 / 212
10.3 回顧同構 / 214
10.4 一些特征 / 216
10.5 和直覺概念間的聯系 / 222
10.6 習題 / 223
第 11 章 復數以及后續數系 / 225
11.1 歷史背景 / 225
11.2 構造復數 / 228
11.3 復共軛 / 230
11.4 模 / 231
11.5 歐拉的指數函數方法 / 234
11.6 余弦和正弦的加法公式 / 236
11.7 復指數函數 / 24
11.8 四元數 / 243
11.9 形式數學方法的轉變 / 248
11.10 習題 / 248
第四部分 使用公理化系統
第 12 章 公理化系統、結構定理和靈活思考 / 252
12.1 結構定理 / 255
12.2 不同數學思維方法的心理學解釋 / 257
12.3 構建形式化理論 / 260
12.4 后續發展 / 268
12.5 習題 / 269
第 13 章 置換和群 / 271
13.1 置換 / 271
13.2 作為循環的置換 / 274
13.3 置換的群性質 / 275
13.4 群的公理 / 278
13.5 子群 / 282
13.6 同構和同態 / 285
13.7 劃分群來得到商群 / 287
13.8 群和子群的元素數量 / 290
13.9 定義群結構的劃分 / 291
13.10 群同態的結構 / 295
13.11 群結構 / 297
13.12 群論在數學中的主要貢獻 / 298
13.13 后續發展 / 302
13.14 習題 / 304
第 14 章 基數 / 307
14.1 康托爾的基數 / 310
14.2 施羅德- 伯恩斯坦定理 / 316
14.3 基數的算術 / 319
14.4 基數的順序關系 / 323
14.5 習題 / 324
第 15 章 無窮小量 / 327
15.1 比實數更大的有序域 / 329
15.2 超有序域 / 332
15.3 超有序域的結構定理 / 332
15.4 在幾何數軸上表示無窮小量 / 334
15.5 放大到更高維度 / 340
15.6 無窮小量的微積分 / 341
15.7 非標準分析 / 342
15.8 非標準分析的奇妙可能性 / 349
15.9 習題 / 352
第五部分 強化基礎
第 16 章 集合論公理 / 356
16.1 一些困境 / 356
16.2 集合和類 / 357
16.3 集合論公理概述 / 358
16.4 選擇公理 / 360
16.5 一致性 / 361
16.6 習題 / 363
附錄 如何閱讀證明：“自我解釋”方法 / 364
如何自我解釋 / 364
自我解釋的例子 / 365
自我解釋和其他方法的對比 / 365
練習證明1 / 366
練習證明2 / 366
記住…… / 367
參考文獻 / 368
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基礎數學講義:走向真正的數學 作者簡介
伊恩?斯圖爾特（Ian Stewart） 英國皇家學會會員，曾獲英國皇家學會的“法拉第獎章”、美國科學促進會的“公眾理解科學技術獎”和英國倫敦數學學會與英國數學及應用研究院頒發的“塞曼獎章”，英國沃里克大學數學系榮退教授。在專業研究之余，他積極致力于向公眾傳播數學，并著有多部優秀數學作品，如《改變世界的17個方程》《不可思議的數》《誰在擲骰子？不確定的數學》以及“數學萬花筒”系列等，其中《改變世界的17個方程》榮獲美國數學協會頒發的“歐拉圖書獎”。 戴維?托爾（David Tall） 英國沃里克大學教授，長期研究從孩童到成人乃至數學家的數學思維發展、相關的學習和教育方法，包括如何體現數學思想，如何用語言談論并閱讀數學，如何理解算術、代數、微積分等內容。
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