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近世代數(第三版) 版權信息
- ISBN：9787030753120
- 條形碼：9787030753120 ; 978-7-03-075312-0
- 裝幀：一般膠版紙
- 冊數：暫無
- 重量：暫無
- 所屬分類：>
近世代數(第三版) 內容簡介
本書是普通高等教育“十一五”***規劃教材。全書系統介紹了群、環、域的基本概念與初步性質,共分為三個部分。**部分講述群的基本概念與性質,除了通常的群、子群、正規子群及群同態的基本定理外,還介紹了群的應用。第二部分包括環、子環、理想與商環的基本概念與性質,特別討論了整環的性質。第三部分討論了域的擴張的理論。
近世代數(第三版) 目錄
目錄
從書序
前言
第二版前言
**版前言
第1章 群 1
1.1 等價關系與集合的分類 1
1.2 群的概念 6
群論的起源 18
1.3 子群 19
阿貝爾 小傳 27
1.4 群的同構 27
凱萊 小傳 34
1.5 循環群 35
歐拉 小傳 44
1.6 置換群與對稱群 45
置換群的歷史回顧 58
1.7 置換在對稱變換群中的應用 59
伽羅瓦 小傳 64
第2章 群的進一步討論 66
2.1 子群的陪集 66
拉格朗日 小傳 74
2.2 正規子群與商群 75
柯西 小傳 83
2.3 群的同態和同態基本定理 83
若爾當 小傳 92
2.4 群的直積 92
2.5 群在集合上的作用 100
伯恩賽德 小傳 108
2.6 西羅定理 109
西羅 小傳 114
2.7 自由群與群的表達 114
第3章 環 119
3.1 環的定義與基本性質 119
環論的歷史回顧 128
華羅庚 小傳 129
3.2 整環、域與除環 130
哈密頓 小傳 139
3.3 理想與商環 139
克魯爾 小傳 147
3.4 環的同態 147
諾特 小傳 156
3.5 素理想與極大理想 157
戴德金 小傳 162
3.6 環的特征與素域 163
雅各布森 小傳 166
第4章 環的進一步討論 167
4.1 多項式環 167
波利亞 小傳 171
4.2 整環的商域 172
阿廷 小傳 178
4.3 唯一分解整環 178
庫默爾 小傳 189
4.4 主理想整環與歐幾里得整環 190
.4.5 唯一分解整環上的多項式環 199
高斯 小傳 204
第5章 域的擴張 205
5.1 向量空間 205
5.2 擴域 210
克羅內克 小傳 217
5.3 代數擴張 218
施泰尼茨 小傳 228
5.4 多項式的分裂域 228
懷爾斯 小傳 237
5.5 有限域 238
湯普森 小傳 242
5.6 幾何作圖 243
從書序
前言
第二版前言
**版前言
第1章 群 1
1.1 等價關系與集合的分類 1
1.2 群的概念 6
群論的起源 18
1.3 子群 19
阿貝爾 小傳 27
1.4 群的同構 27
凱萊 小傳 34
1.5 循環群 35
歐拉 小傳 44
1.6 置換群與對稱群 45
置換群的歷史回顧 58
1.7 置換在對稱變換群中的應用 59
伽羅瓦 小傳 64
第2章 群的進一步討論 66
2.1 子群的陪集 66
拉格朗日 小傳 74
2.2 正規子群與商群 75
柯西 小傳 83
2.3 群的同態和同態基本定理 83
若爾當 小傳 92
2.4 群的直積 92
2.5 群在集合上的作用 100
伯恩賽德 小傳 108
2.6 西羅定理 109
西羅 小傳 114
2.7 自由群與群的表達 114
第3章 環 119
3.1 環的定義與基本性質 119
環論的歷史回顧 128
華羅庚 小傳 129
3.2 整環、域與除環 130
哈密頓 小傳 139
3.3 理想與商環 139
克魯爾 小傳 147
3.4 環的同態 147
諾特 小傳 156
3.5 素理想與極大理想 157
戴德金 小傳 162
3.6 環的特征與素域 163
雅各布森 小傳 166
第4章 環的進一步討論 167
4.1 多項式環 167
波利亞 小傳 171
4.2 整環的商域 172
阿廷 小傳 178
4.3 唯一分解整環 178
庫默爾 小傳 189
4.4 主理想整環與歐幾里得整環 190
.4.5 唯一分解整環上的多項式環 199
高斯 小傳 204
第5章 域的擴張 205
5.1 向量空間 205
5.2 擴域 210
克羅內克 小傳 217
5.3 代數擴張 218
施泰尼茨 小傳 228
5.4 多項式的分裂域 228
懷爾斯 小傳 237
5.5 有限域 238
湯普森 小傳 242
5.6 幾何作圖 243
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近世代數(第三版) 節選
第1章群 近世代數的主要研究對象是具有代數運算的集合，這樣的集合稱為代數系.群是具有一個代數運算的代數系.群的理論是近代代數學的一個重要分支，它在物理學、化學、信息學等許多領域都有廣泛的應用. 本章和第2章介紹群的初步理論.本章的1.1節討論等價關系和集合的分類以及它們之間的聯系.1.1節的內容雖然不屬于群論的范疇，但等價關系和集合的分類卻是近世代數中經常出現的兩個基本概念，所以先作一個介紹.1.2節～1.4節介紹群、子群、群同構的概念及有關性質.這是了解群的**步.1.5節和1.6節較為詳細地討論了兩類*常見的群——循環群與置換群.學習這部分內容可以熟悉群的運算和性質，加深對群的理解.1.7節是選學內容，介紹置換群的某些應用，初學時可以略去，并不影響后面的學習. 1.1等價關系與集合的分類 在數學研究中，常常要對一個集合的元素加以比較，希望通過元素之間的聯系去了解整個集合.另一方面，也常常要把一個集合分成若干個子集，以便對各個子集進行分類研究，或對其中某些特殊子集加以討論，從而了解整個集合的性質.例如，在實數集中，任意兩個實數a與b之間就有a大于&或a不大于b兩種情況.同時，根據一個實數是否大于零，可以把整個實數集合分解為正實數集，負實數集R-和單獨一個數0組成的集合這三個子集合.又如，在數域F上的一元多項式環中，對任意兩個多項式與，有可被整除或不可被整除兩種情況.根據一個多項式被一個非零多項式所除的余式，可以把整個多項式環分解為許多個子集，不同的子集沒有公共元素，同一個子集中的多項式在被g(x)除時余式都相同. 將上面兩個例子中所涉及的概念加以推廣，就得到集合上一般的關系的概念和集合的分類的概念.本節的主要目的就是介紹這兩個概念以及它們之間的聯系. 定義1.1.1設s是一個非空集合，R是關于S的元素的一個條件.如果對S中任意一個有序元素對，我們總能確定a與b是否滿足條件兄，就稱U是S的一個關系（relation).如果a與b滿足條件TZ，則稱a與b有關系R，記作aRb，否則稱a與b無關系R.關系R也稱為二元關系. 上面提到的實數集中元素之間的大于和中多項式的整除都是關系. 例1設是一個非空集合，S的所有子集組成的集合記為.因為對S的任意兩個子集或有且僅有一個成立，所以集合的包含關系是的一個關系.進一步討論可以發現，這個關系還具有下面兩條性質： (1)反身性，即對S的任一子集A，有; (2)傳遞性，即對s的任意子集A，B，C，如果，有. 例2 例3 同時具有反身性、對稱性和傳遞性三條性質的關系是我們特別感興趣的. 定義1.1.2設R是非空集合S的一個關系，如果n滿足 (E1)反身性，即對任意的，有， (E2)對稱性，即若，則; (E3)傳遞性，即若aRb，且bRc，則aRc， 則稱R是S的一個等價關系（equivalence relation)，并且如果aRb，則稱a等價于b，記作a～6. 定義1.1.3如果～是集合S的一個等價關系，對，令 稱子集[a]為S的一個等價類（equivalence class).S的全體等價類的集合稱為集合S在等價關系下的商集（quotient set)，記. 例4三角形的全等、相似，數域K上n階方陣的等價、相似、相合等都是等價關系，而例1～例3及本節開頭所述的關系都不是等價關系. 例5設m是正整數，在整數集Z中，規定 則 (1)對任意整數a，有m|a-a; (2)若m|a-b，則m|b-a; (3)若m|a-b，m|b-c，則m|a-c. 所以R是Z的一個等價關系.顯然a與b等價當且僅當a與b被m除有相同的余數，因此稱這個關系為同余關系（congruence relation)，并記作a=b(mod m)(讀作“a同余于b，模m”).整數的同余關系及其性質是初等數論的基礎. 設，則 [a]稱為整數集Z的一個（與a同余的）模m剩余類，在數論中，[a]常記作，而相應的商集稱為Z的模m剩余類集，記作Zm. 易得 是模m的全體不同的剩余類，所以 集合的等價關系常和下面的概念聯系在一起. 定義1.1.4如果非空集合S是它的某些兩兩不相交的非空子集的并，則稱這些子集為集合S的一種分類（partition)，其中每個子集稱為S一個類（class).如果S的子集族構成S的一種分類，則記作. 由此定義可知，集合S的子集族構成S的一種分類當且僅當 (PI) (P2) (PI)說明這些子集無遺漏地包含了S的全部元素；(P2)說明兩個不同的子集無公共元素.從而S的元素屬于且僅屬于一個子集.這表明，S的一個分類必須滿足不漏不重的原則. 例6設M為數域F上全體n階方陣的集合，令表示所有秩為r的n階方陣構成的子集，則有 (1) (2) 所以是M的一種分類. 例7 例8 下面的定理揭示了集合的等價關系與集合的分類這兩個概念之間的聯系. 定理1.1.1集合S的任何一個等價關系都確定了S的一種分類，且其中每一個類都是集合S的一個等價類.反之，集合S的任何一種分類也都給出了集合S的一個等價關系，且相應的等價類就是原分類中的那些類. 證明首先，設～為集合S的一個等價關系，則 (1)對任意的，由反身性知，所以， (2) 從而由(Pl)，(P2)知，全體等價類形成S的一種分類，顯然每一個類都是S的等價類. 其次，如果已知集合S的一種分類P，在S中規定關系“～”： 對任意的，由于a屬于其本身所在的類，所以a～a.如果a～b，即a與b屬于同一類，自然b與a也屬于同一類，所以b~a.*后，如果a～b，b～c，即a與b屬于同一類，b與c屬于同一類，因而a與c同在&所在的類中，所以a～c.因此“～”是S的一個等價關系.顯然，由此等價關系得到的等價類就是原分類中的那些類. 定理1.1.1說明，一個集合的分類可以通過等價關系來描述.試比較例4、例5及例6、例7，可以看出，這樣做在很多情況下是方便的.另一方面，等價關系也可以用集合的分類來表示.通過對集合的各種分類的了解，我們能夠對集合的不同等價關系及其相互聯系進行研究.不過，本書不準備對此進行深入的討論.僅以下面的例子來說明集合的分類對研究集合的等價關系的作用. 例9設S={a，b，c}，試確定集合S的全部等價關系. 解由定理1.1.1知，只要求出S的全部分類，即求出S的所有可能的子集分劃即可. (1)如果S僅分劃為一個子集，則有; (2)如果S分劃為兩個子集，則有 (3)如果S分劃為三個子集，則有. 因此，集合S共有五個不同的等價關系，它們是 注 如果用表示一個具有n個元素的集合上的不同等價關系的個數，則有下列的遞推公式： (1.1.1) 其中為二項式系數，并規定.這個公式的證明以及對數的性質的討論，已超出本書的范圍.有興趣的讀者可參考組合數學方面的書籍（如文獻[2]). 習題1-1 1.試分別舉出滿足下列條件的關系： (1)有對稱性，傳遞性，但無反身性； (2)有反身性，傳遞性，但無對稱性； (3)有反身性，對稱性，但無傳遞性. 2.找出下列證明中的錯誤： 有人斷言，若S的關系R有對稱性和傳遞性，則必有反身性.這是因為，對任意的，由對稱性，如果，則.再由傳遞性，得，所以TZ有反身性. 3.證明：在數域F上全體n階方陣的集合M中，矩陣的等價、相合和相似都是等價關系. 4.設是集合A到B的映射，規定關系“～”： 證明：～是A的一個等價關系，并求其等價類. 5.設A={1，2，3，4}，在P(A)中規定關系“～”： 含有相同個數的元素. 證明：～是P(A)的一個等價關系，并求商集P(A)/～. 6.在有理數集Q中，規定關系“～”： 證明：～是Q的一個等價關系，并求出所有的等價類. 7.在復數集C中，規定關系“～”： 證明：～是C的一個等價關系，試確定相應的商集C/～，并給出每個等價類的一個代表元素. 8.設集合 在集合S中，規定關系“～”： 證明：～是S的一個等價關系. *9.設A={a，b，c，d}，試寫出集合A的所有不同的等價關系. *10.不用公式（1.1.1)，直接算出集合A={1，2，3，4，5}的不同的分類數. 1.2群的概念 代數*初主要研究的是數，以及由數所衍生出來的對象.例如，代數方程的求根.初等代數主要研究的就是數以及數的運算.中學數學雖然有所謂代數式的概念，但這些概念本質上代表的仍然是數.高等代數雖引入了行列式、矩陣等概念，但還是離不開數.數的一個基本特征是可以進行加法、乘法等運算.這些運算的共同特點是對任意兩個數，通過某個法則（如加法法則或乘法法則等)，可唯一求得第三個數.數學家們發現，許多抽象的對象也都具有類似于數的這一特征，于是對它們的結構和性質進行了研究，并且應用它們解決了許多重大的數學問題和實際問題.這就導致了近世代數的產生和發展.近世代數拓展了代數的研究領域，它所研究的已不再僅僅是數，而是具有某種運算的代數系統，這其中*基本的就是群、環和域. 本節的主要目的就是介紹群的基本概念和簡單性質.為此，首先要對運算這一概念給出明確的定義.
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