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變分分析與應用 版權信息
- ISBN：9787030749567
- 條形碼：9787030749567 ; 978-7-03-074956-7
- 裝幀：一般膠版紙
- 冊數：暫無
- 重量：暫無
- 所屬分類：>
變分分析與應用 內容簡介
《變分分析與應用》是現代變分分析創始人之一美國韋恩州立大學BorisS.Mordukhovich教授的近期新專著.本書共分為10章：第1-6章主要對變分分析的關鍵概念和事實進行系統和易于理解的闡述，同時有選擇地給出了其在有限維空間中的應用以及在這方面的一些近期新進展.其內容自成體系，可讀性較強，每個章節配套有大量練習題和解釋性的圖形及例子，適合作為變分分析初學者及數學與應用科學、工程專業研究生教材；第7-10章介紹變分分析應用于優化、微觀經濟學及相關領域一些重要問題的近期新研究結果.它們以無窮維空間的形式呈現，主要面向這些(相當廣泛的)特定領域的研究人員、研究生和實踐者，同時也使用于對數學和經濟學領域感興趣這一更大的群體，體現了變分分析和對偶空間結構在解決可能不具有變分性質的具體問題時的強大作用.
變分分析與應用 目錄
目錄
譯者序
前言
第1章 廣義微分的構造 1
1.1 閉集的法向量與切向量 2
1.1.1 廣義法向量 2
1.1.2 切向原對偶性 7
1.1.3 光滑變分描述 8
1.2 映射的上導數 11
1.2.1 集值映射 11
1.2.2 上導數的定義和基本性質 12
1.2.3 凸集值映射的極值性質 15
1.3 非光滑函數的一階次梯度 17
1.3.1 增廣實值函數 17
1.3.2 上圖法向量的次梯度 18
1.3.3 上導數的次梯度 23
1.3.4 正則次梯度和e-擴張 27
1.3.5 極限次微分表示 29
1.3.6 距離函數的次梯度 35
1.4 第1章習題 43
1.5 第1章評注 56
第2章 變分分析的基本原理 68
2.1 有限集系統的極點原理 68
2.1.1 集合極點的概念和例子 68
2.1.2 基本極點原理和一些結果 70
2.2 可數集系統的極點原理 73
2.2.1 可數集系統的極點性質 73
2.2.2 錐與相依極點原理 75
2.3 函數的變分原理 80
2.3.1 一般變分原理 80
2.3.2 次*優性和不動點的應用 81
2.4 基本的交法則和一些結果 83
2.4.1 集合的交與和的法向量 83
2.4.2 次微分和法則 85
2.5 第2章練習 87
2.6 第2章評注 97
第3章 適定性和上導數分析法則 102
3.1 集值映射的適定性質 102
3.1.1 適定性的范例 102
3.1.2 適定性的上導數刻畫 107
3.1.3 特殊情形下的刻畫 110
3.2 上導數分析法則 113
3.2.1 上導數和法則 113
3.2.2 上導數鏈式法則 115
3.2.3 其他上導數分析法則 118
3.3 變分系統的上導數分析 119
3.3.1 參數變分系統 119
3.3.2 參數變分系統的度量正則性的上導數條件 124
3.3.3 度量正則性對主要類型的PVS不成立 126
3.4 第3章練習 130
3.5 第3章評注 149
第4章 一階次微分分析法則 159
4.1 邊際函數的次微分 159
4.2 復合映射的次微分 163
4.3 *小值和*大值函數的次微分 166
4.4 中值定理及其應用 168
4.4.1 由對稱次梯度表示的中值定理 168
4.4.2 近似中值定理 170
4.4.3 AMVT的次微分刻畫 172
4.5 第4章練習 178
4.6 第4章評注 184
第5章 極大單調算子的上導數 188
5.1 全局單調性的上導數準則 188
5.1.1 由正則上導數表示的極大單調性 188
5.1.2 具有凸定義域的極大單調算子 192
5.1.3 由極限上導數表示的極大單調性 195
5.2 強局部單調性的上導數準則 198
5.2.1 強局部單調性和相關性質 198
5.2.2 由上導數表示的強局部極大單調性 201
5.2.3 點基上導數刻畫 206
5.3 第5章練習 207
5.4 第5章評注 212
第6章 不可微和雙層優化 216
6.1 不可微規劃問題 216
6.1.1 下次微分和上次微分條件 216
6.1.2 有限多個不等式和等式約束 221
6.1.3 *優性條件的例子和討論 223
6.2 雙層規劃問題 228
6.2.1 樂觀和悲觀版本 228
6.2.2 值函數方法 229
6.2.3 部分平靜性質與弱尖銳極小值 230
6.3 具有光滑和Lipschitz數據的雙層規劃 235
6.3.1 光滑雙層規劃的*優性條件 235
6.3.2 Lipschitz問題的*優性條件 241
6.4 第6章練習 242
6.5 第6章評注 249
第7章 具有一定凸性的半無窮規劃 254
7.1 無窮線性不等式系統的穩定性 254
7.1.1 類Lipschitz性質和強Slater條件 255
7.1.2 參數無窮線性系統的上導數 258
7.1.3 Lipschitz穩定性的上導數刻畫 264
7.2 無窮線性約束下的優化 273
7.2.1 具有無窮不等式約束的雙變量SIPs 274
7.2.2 SIPs的上次微分*優性條件 274
7.2.3 SIPs的下次微分*優性條件 277
7.2.4 在水資源優化中的應用 278
7.3 塊擾動下的無窮線性系統 283
7.3.1 無窮線性塊擾動系統的描述 284
7.3.2 基于上導數的塊擾動系統的穩定性 284
7.3.3 在無窮凸不等式系統中的應用 291
7.4 無窮凸系統的度量正則性 293
7.4.1 度量正則性的DC優化方法 294
7.4.2 凸圖多值映射的度量正則性 296
7.4.3 在無窮凸約束系統中的應用 303
7.5 DC半無窮優化中的值函數 313
7.5.1 DC半無窮規劃的*優性條件 314
7.5.2 DC SIPs值函數的正則次梯度 319
7.5.3 DC SIPs的值函數的極限次梯度 322
7.5.4 具有凸數據的雙層半無窮規劃 332
7.6 第7章練習 336
7.7 第7章評注 339
第8章 非凸半無窮優化 342
8.1 無窮可微系統的優化 342
8.1.1 無窮系統的規范條件 342
8.1.2 非凸無窮約束集合的法維 348
8.1.3 非線性SIPs的*優性條件 358
8.2 Lipschitz 半無窮規劃 364
8.2.1 一些技術引理 364
8.2.2 上確界函數的基本次梯度 370
8.2.3 Lipschitz SIPs 的*優性條件 377
8.3 非光滑錐約束優化 380
8.3.1 標量化上確界函數的次梯度 381
8.3.2 點基*優性和規范條件 388
8.3.3 無CQs的規范*優性條件 393
8.3.4 錐約束系統的適定性 396
8.3.5 非凸SIPs的*優性與適定性 402
8.4 具有可數約束的非凸SIPs 406
8.4.1 可數個集合之交的CHIP性質 407
8.4.2 可數個集合之交的廣義法向量 414
8.4.3 可數約束下的*優性條件 421
8.5 第8章練習 428
8.6第8章評注 433
第9章 集合優化中的變分分析 439
9.1 由錐誘導的極小點和次微分 439
9.1.1 集合的極小點 439
9.1.2 映射的極小點和次微分 441
9.2 有序映射的變分原理 444
9.2.1 集值映射的極限單調性 444
9.2.2 Ekeland型變分原理 447
9.2.3 映射的次微分變分原理 451
9.3 相對Pareto型極小點的存在性 453
9.3.1 次微分 Palais-Smale條件 453
9.3.2 無約束問題解的存在性 454
9.3.3 顯式約束下的存在性定理 461
9.4 多目標問題的*優性條件 464
9.4.1 集值優化中的Fermat法則 464
9.4.2 約束設置的*優性條件 469
9.5 第9章練習 471
9.6 第9章評注 478
第10章 集值優化與經濟學 484
10.1 通過集值優化的經濟建模 484
10.1.1 福利經濟學模型 484
10.1.2 約束集值優化 486
10.1.3 完全局部化極小點的*優配置 487
10.2 完全局部化的*優性條件 490
10.2.1 乘積空間中的確切極點原理 490
10.2.2 集合的漸近閉性 491
10.2.3 局部化極小點的必要條件 493
10.3 局部拓展的第二福利定理 495
10.3.1 一般商品空間的結論 496
10.3.2 有序商品空間 498
10.3.3 弱Pareto型*優配置的正常性 500
10.4 全局擴展的第二福利定理 503
10.4.1 凈需求規范條件 504
10.4.2 福利經濟學中的全局*優性 505
10.5 第10章練習 509
10.6 第10章評注 511
參考文獻 515
符號和縮略詞 562
索引 568
《現代數學譯叢》已出版書目 590
譯者序
前言
第1章 廣義微分的構造 1
1.1 閉集的法向量與切向量 2
1.1.1 廣義法向量 2
1.1.2 切向原對偶性 7
1.1.3 光滑變分描述 8
1.2 映射的上導數 11
1.2.1 集值映射 11
1.2.2 上導數的定義和基本性質 12
1.2.3 凸集值映射的極值性質 15
1.3 非光滑函數的一階次梯度 17
1.3.1 增廣實值函數 17
1.3.2 上圖法向量的次梯度 18
1.3.3 上導數的次梯度 23
1.3.4 正則次梯度和e-擴張 27
1.3.5 極限次微分表示 29
1.3.6 距離函數的次梯度 35
1.4 第1章習題 43
1.5 第1章評注 56
第2章 變分分析的基本原理 68
2.1 有限集系統的極點原理 68
2.1.1 集合極點的概念和例子 68
2.1.2 基本極點原理和一些結果 70
2.2 可數集系統的極點原理 73
2.2.1 可數集系統的極點性質 73
2.2.2 錐與相依極點原理 75
2.3 函數的變分原理 80
2.3.1 一般變分原理 80
2.3.2 次*優性和不動點的應用 81
2.4 基本的交法則和一些結果 83
2.4.1 集合的交與和的法向量 83
2.4.2 次微分和法則 85
2.5 第2章練習 87
2.6 第2章評注 97
第3章 適定性和上導數分析法則 102
3.1 集值映射的適定性質 102
3.1.1 適定性的范例 102
3.1.2 適定性的上導數刻畫 107
3.1.3 特殊情形下的刻畫 110
3.2 上導數分析法則 113
3.2.1 上導數和法則 113
3.2.2 上導數鏈式法則 115
3.2.3 其他上導數分析法則 118
3.3 變分系統的上導數分析 119
3.3.1 參數變分系統 119
3.3.2 參數變分系統的度量正則性的上導數條件 124
3.3.3 度量正則性對主要類型的PVS不成立 126
3.4 第3章練習 130
3.5 第3章評注 149
第4章 一階次微分分析法則 159
4.1 邊際函數的次微分 159
4.2 復合映射的次微分 163
4.3 *小值和*大值函數的次微分 166
4.4 中值定理及其應用 168
4.4.1 由對稱次梯度表示的中值定理 168
4.4.2 近似中值定理 170
4.4.3 AMVT的次微分刻畫 172
4.5 第4章練習 178
4.6 第4章評注 184
第5章 極大單調算子的上導數 188
5.1 全局單調性的上導數準則 188
5.1.1 由正則上導數表示的極大單調性 188
5.1.2 具有凸定義域的極大單調算子 192
5.1.3 由極限上導數表示的極大單調性 195
5.2 強局部單調性的上導數準則 198
5.2.1 強局部單調性和相關性質 198
5.2.2 由上導數表示的強局部極大單調性 201
5.2.3 點基上導數刻畫 206
5.3 第5章練習 207
5.4 第5章評注 212
第6章 不可微和雙層優化 216
6.1 不可微規劃問題 216
6.1.1 下次微分和上次微分條件 216
6.1.2 有限多個不等式和等式約束 221
6.1.3 *優性條件的例子和討論 223
6.2 雙層規劃問題 228
6.2.1 樂觀和悲觀版本 228
6.2.2 值函數方法 229
6.2.3 部分平靜性質與弱尖銳極小值 230
6.3 具有光滑和Lipschitz數據的雙層規劃 235
6.3.1 光滑雙層規劃的*優性條件 235
6.3.2 Lipschitz問題的*優性條件 241
6.4 第6章練習 242
6.5 第6章評注 249
第7章 具有一定凸性的半無窮規劃 254
7.1 無窮線性不等式系統的穩定性 254
7.1.1 類Lipschitz性質和強Slater條件 255
7.1.2 參數無窮線性系統的上導數 258
7.1.3 Lipschitz穩定性的上導數刻畫 264
7.2 無窮線性約束下的優化 273
7.2.1 具有無窮不等式約束的雙變量SIPs 274
7.2.2 SIPs的上次微分*優性條件 274
7.2.3 SIPs的下次微分*優性條件 277
7.2.4 在水資源優化中的應用 278
7.3 塊擾動下的無窮線性系統 283
7.3.1 無窮線性塊擾動系統的描述 284
7.3.2 基于上導數的塊擾動系統的穩定性 284
7.3.3 在無窮凸不等式系統中的應用 291
7.4 無窮凸系統的度量正則性 293
7.4.1 度量正則性的DC優化方法 294
7.4.2 凸圖多值映射的度量正則性 296
7.4.3 在無窮凸約束系統中的應用 303
7.5 DC半無窮優化中的值函數 313
7.5.1 DC半無窮規劃的*優性條件 314
7.5.2 DC SIPs值函數的正則次梯度 319
7.5.3 DC SIPs的值函數的極限次梯度 322
7.5.4 具有凸數據的雙層半無窮規劃 332
7.6 第7章練習 336
7.7 第7章評注 339
第8章 非凸半無窮優化 342
8.1 無窮可微系統的優化 342
8.1.1 無窮系統的規范條件 342
8.1.2 非凸無窮約束集合的法維 348
8.1.3 非線性SIPs的*優性條件 358
8.2 Lipschitz 半無窮規劃 364
8.2.1 一些技術引理 364
8.2.2 上確界函數的基本次梯度 370
8.2.3 Lipschitz SIPs 的*優性條件 377
8.3 非光滑錐約束優化 380
8.3.1 標量化上確界函數的次梯度 381
8.3.2 點基*優性和規范條件 388
8.3.3 無CQs的規范*優性條件 393
8.3.4 錐約束系統的適定性 396
8.3.5 非凸SIPs的*優性與適定性 402
8.4 具有可數約束的非凸SIPs 406
8.4.1 可數個集合之交的CHIP性質 407
8.4.2 可數個集合之交的廣義法向量 414
8.4.3 可數約束下的*優性條件 421
8.5 第8章練習 428
8.6第8章評注 433
第9章 集合優化中的變分分析 439
9.1 由錐誘導的極小點和次微分 439
9.1.1 集合的極小點 439
9.1.2 映射的極小點和次微分 441
9.2 有序映射的變分原理 444
9.2.1 集值映射的極限單調性 444
9.2.2 Ekeland型變分原理 447
9.2.3 映射的次微分變分原理 451
9.3 相對Pareto型極小點的存在性 453
9.3.1 次微分 Palais-Smale條件 453
9.3.2 無約束問題解的存在性 454
9.3.3 顯式約束下的存在性定理 461
9.4 多目標問題的*優性條件 464
9.4.1 集值優化中的Fermat法則 464
9.4.2 約束設置的*優性條件 469
9.5 第9章練習 471
9.6 第9章評注 478
第10章 集值優化與經濟學 484
10.1 通過集值優化的經濟建模 484
10.1.1 福利經濟學模型 484
10.1.2 約束集值優化 486
10.1.3 完全局部化極小點的*優配置 487
10.2 完全局部化的*優性條件 490
10.2.1 乘積空間中的確切極點原理 490
10.2.2 集合的漸近閉性 491
10.2.3 局部化極小點的必要條件 493
10.3 局部拓展的第二福利定理 495
10.3.1 一般商品空間的結論 496
10.3.2 有序商品空間 498
10.3.3 弱Pareto型*優配置的正常性 500
10.4 全局擴展的第二福利定理 503
10.4.1 凈需求規范條件 504
10.4.2 福利經濟學中的全局*優性 505
10.5 第10章練習 509
10.6 第10章評注 511
參考文獻 515
符號和縮略詞 562
索引 568
《現代數學譯叢》已出版書目 590
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變分分析與應用 節選
第1章廣義微分的構造 本章主要討論變分分析中-階廣義微分的基本工具.我們在此遵循文獻[514，529]中對偶空間幾何方法的路線來定義廣義微分，該方法圍繞著逼近技術和集合的極值性展開.從集合法錐的非凸穩定性的構造開始，我們繼續進行單值映射與集值映射的上導數，以及(增廣）實值函數的次微分的構造.為了簡化說明并強調主要變分概念的本質，本書第1-6章中的主要結果均在有限維空間中進行討論，而對于其在無窮維空間中的擴展，我們在每章的練習和注釋部分給予討論并給出提示及參考文獻. 因此，除非另作說明，在第1-6章中考慮的所有空間都是有限維的并且具有內積和范數的歐氏空間；我們通常使用標準符號進行表示.若不引起混淆，我們使用1BX或簡單地用1B表示以原點為中心的閉單位球，用盡表示以z為中心、為半徑的閉球.同樣，對偶空間中閉單位球(當出現時）通常用或簡單地用表示. 給定-個非空集合，符號分別代表集合的閉包、凸包、閉凸包、邊界和內部. 回顧中的集合被稱為錐，若且對所有的及都有.除非另作說明，的錐包定義如下 在某些情況下(特別是在第7，8章中將特別強調)，符號表示所討論的集合的凸錐包，兩個集合的線性組合定義如下： 其中符號：=代表“按定義等價”且，是中的標量.對于空集，我們約定. 除了通常使用表示單值映射外，我們經常考慮集值映射(或多值映射）與，其中尸⑷c在由中所有子集構成的集合類中取值當然，在無限維空間中也類似).極限構造 (1.1) 被稱為F在無處的Painlev&Kuratowski外/上極限.下面考慮的所有映射都是正常的，即存在某個使得. 1.1閉集的法向量與切向量 在廣義微分的幾何定義中我們從非空集合的法向量的構造開始，這對整個理論至關重要.給定，下文中均假設(除非另作說明）在附近是局部閉的，即存在使得集合是閉的.這實際上并沒有限制通用性，因為否則我們可以取的閉包.無論如何，集合的閉性對于支撐大多數涉及極限過程的變分論點是必不可少的.盡管集合的局部閉性假設以及(集值）映射的對應閉圖假設和(廣義實值）函數的下半連續性假設都在本書中-直存在，但我們有時會提醒讀者注意該問題. 1.1.1廣義法向量 給定集合，與其相關的距離函數為 (1.2) (1.3) 定義1.1 (1.4) 其中上極限的定義見(1.1).每個稱為n在$處的基本或極限法向量，其也可描述為：存在序列及使得，當時，有. 顯然(1.4)是中的閉錐.該錐的-個顯著特性是可將其用于局部閉集邊界點的完整刻畫，可以將其視為凸集的支撐超平面定理的非凸對應表述；參見命題1.7. 命題1.2 證明 法錐(1.4)的另-個重要性質是魯棒性，即相對于初始點的微小擾動的穩定性，可以很容易地從定義中得出.接下來，我們使用符號 命題1.3(基本法向量的魯棒性）我們總有 法錐的以下簡單但有用的乘積特性也是該定義的直接結果. 命題1.4 回顧對于任意的及，如果，則集合是的，即集合包含連接任意點的整個線段.以下例子說明法錐(1.4)在非常簡單設置中可能是非凸的. 例1.5 下-個定理表明在處的法錐(1.4)可以通過在附近點處的廣義法向量的-些凸集的外極限(1.1)等價描述. 給定，定義在;處的正則法向量的集合如下 (1.5) 及對任意的e>0，考慮它的擴張 (1.6) 注意到對例1.5中所示閉集邊界點$=(0，0)，凸錐(1.5)可能是平凡的，即.這種現象違背了對任意閉集在邊界點處法錐的自然期望.另-方面，下面的定理1.6告訴我們及;仞在附近點處的元素可以用于構造集合“真實”的法向量.這激勵我們將正則法向量(1.5)的集合標記為在5處的預法錐，在文獻中它也被用作“正則法錐”.注意到(1.7)中第二個表示表明其極限過程關于預法錐的擴張是穩定的.這種穩定性對于證明變分分析和廣義微分中的許多重要結果是必需的；見下文. 定理1.6(基本法向量的等價描述）給定，關于基本法錐，我們有下列描述： (1.7) 證明我們將證明分成幾部分，每一部分都有其自身的意義. 步驟1 步驟2 步驟3 步驟4 步驟5我們有如下包含關系 命題1.7 (1.8) (1.9) 證明 在上述不等式中代入的表達式則證明了(1.8).根據定理1.6，在(1.8)中任取并取極限即可得的表示式(1.9).
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