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簡明隨機過程 版權信息
- ISBN：9787030750822
- 條形碼：9787030750822 ; 978-7-03-075082-2
- 裝幀：一般膠版紙
- 冊數：暫無
- 重量：暫無
- 所屬分類：>
簡明隨機過程 內容簡介
本課程是校級一流課程，課程資源建設完備，有兩年的線上教學經驗。以此課程為依托或省部級教學項目一項。本書主要介紹了現代應用隨機過程理論中部分經典的理論,主要內容包括預備知識、隨機過程的基本概念、泊松過程、布朗運動、條件數學期望與鞅、更新過程、馬爾科夫鏈、隨機積分與隨機微分方程以及它們在破產理論和金融衍生產品定價方面的應用。本書選材精簡實用,內容安排得當,論述簡潔明澈,語言平易流暢,具有很好的可讀性.此外,每小節之后都配有精選的練習題,便于掌握和鞏固知識.本書可以作為高等院校數學、統計學、經濟、金融、管理以及理工科各相關專業的高年級本科生學習隨機過程的教材或教學參考書,也可作為有關專業碩士研究生的教材和教學參考書,對廣大從事與隨機現象相關工作的科技工作者也具參考價值.
簡明隨機過程 目錄
目錄
前言
第1章 預備知識 1
1.1 概率及其基本性質 1
1.1.1 概率空間 1
1.1.2 概率連續性 3
1.1.3 條件概率及相關公式 5
習題1.1 6
1.2 隨機變量及其數字特征 6
1.2.1 隨機變量及其分布 6
1.2.2 黎曼–斯蒂爾切斯積分 10
1.2.3 數字特征 13
1.2.4 矩母函數與特征函數 15
習題1.2 17
1.3 條件數學期望 17
1.3.1 條件數學期望的概念 17
1.3.2 條件數學期望的性質 21
習題1.3 22
1.4 常用的極限定理 23
第2章 隨機過程初步 26
2.1 隨機過程的基本概念 26
2.1.1 隨機過程的定義 26
2.1.2 有限維聯合分布函數族和數字特征 27
2.1.3 平穩過程 29
2.1.4 獨立平穩增量過程 30
2.1.5 馬爾可夫過程 32
習題2.1 32
2.2 泊松過程 33
2.2.1 泊松過程的概念 33
2.2.2 指數流與泊松過程 37
2.2.3 指數流的條件分布 42
2.2.4 剩余壽命與年齡 45
2.2.5 泊松過程常見的推廣 47
習題2.2 54
2.3 布朗運動 56
2.3.1 布朗運動的概念 .56
2.3.2 首中時 59
2.3.3 反正弦律 61
2.3.4 布朗運動的幾種變化 62
習題2.3 65
第3章 馬爾可夫鏈 66
3.1 馬爾可夫鏈及其轉移概率 66
3.1.1 基本概念 66
3.1.2 查普曼–科爾莫戈羅夫方程 68
習題3.1 71
3.2 狀態的分類及其性質 72
3.2.1 互通 72
3.2.2 常返與非常返狀態 73
3.2.3 周期性 77
3.2.4 正常返和零常返狀態 78
習題3.2 80
3.3 狀態空間的分解 81
3.3.1 閉集 81
3.3.2 分解定理 82
習題3.3 85
3.4 極限定理與平穩分布 86
3.4.1 極限定理 86
3.4.2 平穩分布 89
習題3.4 94
3.5 連續時間馬爾可夫鏈 95
3.5.1 概念和基本性質 95
3.5.2 轉移概率的性質 97
3.5.3 科爾莫戈羅夫向前–向后微分方程 99
習題3.5 101
第4章 更新過程 103
4.1 更新過程的概念 103
4.1.1 更新過程的定義 103
4.1.2 更新次數的極限 104
4.1.3 卷積及其性質 105
4.1.4 更新函數及其基本性質 107
習題4.1 109
4.2 更新方程和更新定理 109
4.2.1 更新方程及其基本性質 109
4.2.2 更新定理 112
習題4.2 117
4.3 更新過程的推廣 118
4.3.1 交替更新過程 118
4.3.2 延遲更新過程 119
4.3.3 更新回報過程 120
習題4.3 123
第5章 鞅與停時 124
5.1 鞅的基本概念 124
5.1.1 鞅的概念與舉例 124
5.1.2 上鞅與下鞅 128
5.1.3 鞅的分解定理 130
5.1.4 關于鞅的兩個不等式 132
習題5.1 133
5.2 停時與停時定理 134
5.2.1 停時的概念 135
5.2.2 停時定理 135
5.2.3 停時定理的補充 140
習題5.2 141
5.3 鞅收斂定理 142
5.3.1 上穿不等式 142
5.3.2 鞅收斂定理 144
習題5.3 147
5.4 連續鞅初步 147
習題5.4 149
第6章 隨機積分與隨機微分方程 150
6.1 伊藤積分的定義 150
6.1.1 布朗運動軌道的性質 150
6.1.2 簡單過程的伊藤積分 152
6.1.3 適應過程的伊藤積分 155
習題6.1 158
6.2 伊藤積分過程 158
6.2.1 伊藤積分的鞅性 159
6.2.2 伊藤積分的二次變差和協變差 160
6.2.3 伊藤積分與高斯過程 161
習題6.2 162
6.3 伊藤公式 163
6.3.1 關于布朗運動的伊藤公式 163
6.3.2 伊藤過程與隨機微分 165
6.3.3 關于伊藤過程的伊藤公式 168
習題6.3 172
6.4 隨機微分方程 173
6.4.1 隨機微分方程的定義 173
6.4.2 隨機指數和對數 176
6.4.3 線性隨機微分方程的解 178
6.4.4 隨機微分方程解的存在唯一性 180
習題6.4 181
第7章 隨機過程在金融保險中的應用舉例 182
7.1 破產理論 182
7.1.1 風險過程與破產概率的相關概念 182
7.1.2 安全負荷與調節系數 184
7.1.3 破產概率的估計 187
習題7.1 190
7.2 金融衍生產品的定價 190
7.2.1 金融術語和基本假定 190
7.2.2 定價方法 192
習題7.2 194
習題參考答案 195
參考文獻 224
前言
第1章 預備知識 1
1.1 概率及其基本性質 1
1.1.1 概率空間 1
1.1.2 概率連續性 3
1.1.3 條件概率及相關公式 5
習題1.1 6
1.2 隨機變量及其數字特征 6
1.2.1 隨機變量及其分布 6
1.2.2 黎曼–斯蒂爾切斯積分 10
1.2.3 數字特征 13
1.2.4 矩母函數與特征函數 15
習題1.2 17
1.3 條件數學期望 17
1.3.1 條件數學期望的概念 17
1.3.2 條件數學期望的性質 21
習題1.3 22
1.4 常用的極限定理 23
第2章 隨機過程初步 26
2.1 隨機過程的基本概念 26
2.1.1 隨機過程的定義 26
2.1.2 有限維聯合分布函數族和數字特征 27
2.1.3 平穩過程 29
2.1.4 獨立平穩增量過程 30
2.1.5 馬爾可夫過程 32
習題2.1 32
2.2 泊松過程 33
2.2.1 泊松過程的概念 33
2.2.2 指數流與泊松過程 37
2.2.3 指數流的條件分布 42
2.2.4 剩余壽命與年齡 45
2.2.5 泊松過程常見的推廣 47
習題2.2 54
2.3 布朗運動 56
2.3.1 布朗運動的概念 .56
2.3.2 首中時 59
2.3.3 反正弦律 61
2.3.4 布朗運動的幾種變化 62
習題2.3 65
第3章 馬爾可夫鏈 66
3.1 馬爾可夫鏈及其轉移概率 66
3.1.1 基本概念 66
3.1.2 查普曼–科爾莫戈羅夫方程 68
習題3.1 71
3.2 狀態的分類及其性質 72
3.2.1 互通 72
3.2.2 常返與非常返狀態 73
3.2.3 周期性 77
3.2.4 正常返和零常返狀態 78
習題3.2 80
3.3 狀態空間的分解 81
3.3.1 閉集 81
3.3.2 分解定理 82
習題3.3 85
3.4 極限定理與平穩分布 86
3.4.1 極限定理 86
3.4.2 平穩分布 89
習題3.4 94
3.5 連續時間馬爾可夫鏈 95
3.5.1 概念和基本性質 95
3.5.2 轉移概率的性質 97
3.5.3 科爾莫戈羅夫向前–向后微分方程 99
習題3.5 101
第4章 更新過程 103
4.1 更新過程的概念 103
4.1.1 更新過程的定義 103
4.1.2 更新次數的極限 104
4.1.3 卷積及其性質 105
4.1.4 更新函數及其基本性質 107
習題4.1 109
4.2 更新方程和更新定理 109
4.2.1 更新方程及其基本性質 109
4.2.2 更新定理 112
習題4.2 117
4.3 更新過程的推廣 118
4.3.1 交替更新過程 118
4.3.2 延遲更新過程 119
4.3.3 更新回報過程 120
習題4.3 123
第5章 鞅與停時 124
5.1 鞅的基本概念 124
5.1.1 鞅的概念與舉例 124
5.1.2 上鞅與下鞅 128
5.1.3 鞅的分解定理 130
5.1.4 關于鞅的兩個不等式 132
習題5.1 133
5.2 停時與停時定理 134
5.2.1 停時的概念 135
5.2.2 停時定理 135
5.2.3 停時定理的補充 140
習題5.2 141
5.3 鞅收斂定理 142
5.3.1 上穿不等式 142
5.3.2 鞅收斂定理 144
習題5.3 147
5.4 連續鞅初步 147
習題5.4 149
第6章 隨機積分與隨機微分方程 150
6.1 伊藤積分的定義 150
6.1.1 布朗運動軌道的性質 150
6.1.2 簡單過程的伊藤積分 152
6.1.3 適應過程的伊藤積分 155
習題6.1 158
6.2 伊藤積分過程 158
6.2.1 伊藤積分的鞅性 159
6.2.2 伊藤積分的二次變差和協變差 160
6.2.3 伊藤積分與高斯過程 161
習題6.2 162
6.3 伊藤公式 163
6.3.1 關于布朗運動的伊藤公式 163
6.3.2 伊藤過程與隨機微分 165
6.3.3 關于伊藤過程的伊藤公式 168
習題6.3 172
6.4 隨機微分方程 173
6.4.1 隨機微分方程的定義 173
6.4.2 隨機指數和對數 176
6.4.3 線性隨機微分方程的解 178
6.4.4 隨機微分方程解的存在唯一性 180
習題6.4 181
第7章 隨機過程在金融保險中的應用舉例 182
7.1 破產理論 182
7.1.1 風險過程與破產概率的相關概念 182
7.1.2 安全負荷與調節系數 184
7.1.3 破產概率的估計 187
習題7.1 190
7.2 金融衍生產品的定價 190
7.2.1 金融術語和基本假定 190
7.2.2 定價方法 192
習題7.2 194
習題參考答案 195
參考文獻 224
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簡明隨機過程 節選
第1章 預備知識 1.1 概率及其基本性質 1.1.1 概率空間 在概率論中，通常把按照一定的想法去做的事情稱為試驗.一個試驗，若它的結果預先無法確定，則稱之為隨機試驗，簡稱為試驗.試驗的每個可能結果稱為樣本點，樣本點的集合稱為樣本空間.在本書中，用Ω表示樣本空間，用ω表示樣本點，于是 Ω={ω|ω是試驗的樣本點}. 樣本空間Ω中的樣本點ω也稱為基本事件.樣本空間的子集， 也即由基本事件構成的集合稱為事件，通常用大寫英文字母A，B，C等表示.樣本空間Ω稱為必然事件，空集.稱為不可能事件.由樣本空間Ω中的若干子集構成的集合稱為Ω的集類， 用花寫的字母A，B，C等表示. 顯然，樣本空間Ω的集類就是由一些事件構成的集合. 在實際問題中，人們通常不是對樣本空間的所有子集都感興趣， 而是只關心某些事件及其發生的可能性大小.為了方便地在人們感興趣的事件上定義概率，我們引入如下概念. 定義1.1 設F是樣本空間Ω的集類.如果滿足 (1) Ω ∈ F; (2) 若A∈F，則對立事件Ac=Ω－A∈F; (3) 若An ∈ F， n=1，2， ，則∪∞n=1 An ∈ F， 則稱F為樣本空間Ω的一個σ域(或σ代數).將(Ω，F)稱為可測空間.F中的元素便是人們感興趣的事件. 容易驗證，若F是樣本空間Ω的一個σ域，則有(1)∈F;(2)若A，B∈F，則A－B∈F;(3)若An∈F，n∈N+，則∩∞n=1An ∈ F. 定義1.2 設A為樣本空間Ω的集類， 稱一切包含A的σ域的交集為由A生成的σ域，或稱為包含A的*小σ域，記為σ(A). 例1.1 容易看出，樣本空間Ω的集類A0={，Ω}，A1={，A，Ac，Ω}和A2={A:A Ω}都是σ域，而集類不是σ域.由C生成的σ域為 定義1.3則稱由A生成的*小σ域σ(A)為R上的Borel σ 域，記為B(R).B(R)中的元素稱為Borel集合.類似地， 可定義 Rn上的Borel σ域B(Rn). 定義1.4 設(Ω，F)是一個可測空間，P( )是一個定義在F上的集函數.如果P滿足以下條件: (1) 非負性 P(A)≥0， A ∈ F; (2) 完全性 P(Ω)=1; (3) 可列可加性 對兩兩互不相容的事件Ai ∈ F， i = 1， 2， (即當i≠j時， Ai ∩ Aj = .)，有 那么稱P是(Ω，F)上的一個概率測度，簡稱概率.稱(Ω，F，P)為概率空間.稱P(A)為事件A的概率.本書約定概率為零的事件的任何子集都屬于F.滿足這樣約定的概率空間通常稱為完備的概率空間. 概率具有如下基本性質: (1) P()=0， P(Ac) = 1－P(A) (2) 有限可加性 如果Ai ∈ F， i = 1， 2， ， n，且兩兩互不相容，那么 (3) 單調性 如果A，B ∈ F， 且 A B，那么P(A)≤P(B). (4) 進出公式 如果Ai ∈ F， i = 1， 2， ， n，那么 (5) 次可列可加性 如果Ai ∈ F， i≥1，那么 1.1.2 概率連續性 下面介紹概率的連續性.為此引入事件序列的極限. 定義1.5 若一個事件序列{An，n≥1}F滿足An An+1(或(An An+1))，n≥1，則稱該事件序列{An，n≥1}為單調遞增事件序列(或單調遞減事件序列).若{An，n≥1}是一個單調遞增事件序列，則定義若{An，n≥1}是一個單調遞減事件序列，則定義 若{An，n≥1}是一個事件序列，則定義 定理 1.1 如果{An，n≥1}是一個單調遞增(或單調遞減)事件序列，那么 證明 設{An， n≥1}是一個單調遞增事件序列，并令 B1=A1，Bn=An－An－1，n≥2. 顯然{Bn， n≥1}兩兩互不相容，而且對于每個n≥1，有，從而于是得到另一種情況的證明，留給讀者練習. □ 下面介紹Borel-Cantelli引理， 這是一個常用的一般事件序列的極限性質. 定理 1.2 如果{An，n≥1}是一個事件序列，且滿足那么 證明 顯然是關于n的單調減事件序列.根據性質(5)和定理1.1得 事件的獨立性是事件間的一種重要關系.下面介紹事件的獨立性概念. 定義 1.6 如果兩個事件A，B ∈ F滿足P(AB)=P(A)P(B)，那么稱A，B相互獨立.如果三個事件A，B，C ∈ F滿足 P(AB)=P(A)P(B)，P(AC)=P(A)P(C)，P(BC)=P(B)P(C)和P(ABC)=P(A)P(B)P(C)，那么稱A，B，C相互獨立.一般地，如果n個事件A1，A2， ，An ∈ F滿足對于其中任意k個事件Ai1 ，Ai2， ，Aik，1≤i1 容易看出，如果事件A1，A2， ，An相互獨立，且令F1=σ(Ak，1≤k≤m)， F2=σ(Ak，m+1≤k≤n)，那么對于B1 ∈ F1 和B2 ∈ F2，有B1和B2相互獨立. 下面，介紹一個關于獨立事件序列的極限性質. 定理1.3 如果事件序列A1，A2， ，An， 相互獨立，且，那么 證明 容易知道，對于x≥0，有1－x≤e﹣x成立.由此可得，從而得到 1.1.3 條件概率及相關公式 條件概率是概率論中的重要概念，用途廣泛.下面介紹這個概念. 定義 1.7 設A是一個事件，且P(A)>0，則稱P(AB)/P(A)為事件A發生下事件B的條件概率，記為P(B|A)，即 由條件概率的定義，易得P(AB)=P(B|A)P(A)，這稱為乘法公式.進一步，可得更一般的乘法公式 如果事件A1，A2， 兩兩互不相容，且Sn An=Ω，那么稱{An}為Ω的一個分割.借助于條件概率的概念，容易得到下列全概率公式和貝葉斯公式. 全概率公式 如果事件{An} F為Ω的一個分割，且P(An)>0，那么對于 貝葉斯公式 如果事件{An} F為Ω的一個分割，且P(An)>0，那么對于事件P(A)>0， 容易看出，如果記PA( )=P( |A)，那么PA( )也是可測空間(Ω，F)上的一個概率測度，從而(Ω，F， PA( ))也構成概率空間，而且對于任意的A，B，C∈F，當P(AB)>0時，有PA(C|B)=P(C|AB).類似地，全概率公式也成立，即如果{Bn}是Ω的一個分割，那么對于C∈F，有，也即 習題 1.1 1. 設樣本空間Ω={ω1，ω2，ω3}，集類A={{ω1}，{ω2}}，試寫出σ(A)中的全部元素. 2. 設F是樣本空間Ω的一個σ域，試證明: (1) ∈ F; (2) 若A，B ∈ F，則A－B ∈ F; (3) 若An ∈ F， n ∈ N+，則對于任意n≥1，有∪nk=1Ak ∈ F; ∩nk=1 Ak ∈ F， 以及∩∞n=1An ∈ F. 3. 試證明:概率的基本性質(1)～(5). 4. 設{An， n≥1}是一個單調遞減的事件序列，試證明: 5. 設(Ω，F，P)為一個概率空間，A，B，C ∈ F，且P(AB)>0，試證明:P(C|AB)=P(C|A)與P(BC|A)=P(B|A)P(C|A)等價. 1.2 隨機變量及其數字特征 1.2.1 隨機變量及其分布 定義1.8 設(Ω，F，P)是一個概率空間，X是定義在Ω上取值于實數集R的函數.如果對于任意實數x ∈ R， {ω : X(ω)≤x}∈ F，那么稱X(ω)是概率空間(Ω，F，P)上的隨機變量，簡稱為隨機變量.函數稱為隨機變量X的分布函數. 上述定義中樣本點ω的集合{ω:X(ω)≤x}是一個事件，一般簡記為{X≤x}或{X ∈ (－∞，x]}.容易驗證，對于任意實數x，{X≤x}，{X≥x}，{Xx}中只要有一個屬于σ域F，那么其余的就都屬于F;而且對于兩個隨機變量X和Y而言，{X 設X和Y是同一個概率空間(Ω，F，P)上的兩個隨機變量，若P({X≠Y})=0成立，則稱它們是幾乎必然相等，記為X=Y a.s 幾乎必然的概念在概率論中經常遇到，下面給出它的定義.
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