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臨界非線性色散方程 版權信息
- ISBN：9787030748539
- 條形碼：9787030748539 ; 978-7-03-074853-9
- 裝幀：一般膠版紙
- 冊數：暫無
- 重量：暫無
- 所屬分類：>
臨界非線性色散方程 內容簡介
本書共分七章,主要涉及色散方程的物理背景、Fourier分析基礎及Strichartz型估計、橢圓理論與變分原理、集中緊與輪廓分解、非聚焦能量臨界薛定諤方程、聚焦能量臨界薛定諤方程及非線性聚焦Klein-Gordon(KG)方程解的散射理論。主要目的是以能量臨界薛定諤方程、聚焦KG方程為例范，向讀者介紹近年來臨界非線性色散(波)方程散射理論研究中發展起來的現代分析方法。與此同時，以評述的形式給出相關問題的研究進展及主要參考文獻。希望廣大讀者通過本書內容能快速了解并加入該領域的前沿研究，為我國早日成為數學強國做出貢獻。
臨界非線性色散方程 目錄
目錄
《現代數學基礎叢書》序
前言
第1章 非線性色散方程的物理背景 1
1.1 非線性色散方程的特征 1
1.2 半線性色散方程分類 2
1.3 Schr.dinger群的色散分析 6
1.4 其他色散方程 11
第2章 Fourier分析基礎與Strichartz估計 12
2.1 駐相分析與相空間上的調和分析基礎 12
2.1.1 Fourier變換與Littlewood-Paley投影算子 12
2.1.2 仿積與仿微分算子 21
2.1.3 奇異積分算子 30
2.1.4 駐相分析 31
2.2 Strichartz估計 35
2.2.1 TT方法及經典Strichartz估計 36
2.2.2 雙線性Strichartz估計 39
2.2.3 若干額外Strichartz估計 47
2.3 非線性色散方程的局部分析 51
2.3.1 Hs-臨界Schr.dinger方程的局部適定性 55
2.3.2 質量臨界Schr.dinger方程解的穩定性問題 60
2.3.3 能量臨界Schr.dinger方程的穩定性問題 64
第3章 橢圓理論：基態及其變分刻畫 76
3.1 變分原理、基態解 76
3.1.1 穩態解的構造與強制性 77
3.1.2 變分方法與基態解 82
3.1.3 *佳Gagliardo-Nirenberg不等式 98
3.2 變分導數與Lagrange泛函 102
3.2.1 Pohozaev恒等式 104
3.2.2 預備引理與問題的轉化 106
3.2.3 次臨界情形：21
3.2.4 臨界情形：p=21 115
3.2.5 區域分解的不變性 118
第4章 集中緊致原理與輪廓分解 122
4.1 集中緊致原理的初等分析 122
4.1.1 p（N）空間中的輪廓分解 124
4.1.2 Lp（Rd）-緊性刻畫與Fatou定理 136
4.2 Sobolev緊性虧損的輪廓分解刻畫 143
4.3 Schr.dinger方程輪廓分解及Strichartz緊性虧損 159
4.3.1 H1集中緊性及其對應的輪廓分解刻畫 162
4.3.2 L2集中緊性及其對應的輪廓分解刻畫 173
第5章 非聚焦型能量臨界Schr.dinger方程的整體適定性與散射理論 178
5.1 主要結果與證明策略 178
5.1.1 主要定理與證明分析 180
5.1.2 局部守恒律 188
5.2 局部適定性及穩定性分析 191
5.2.1 五線性Strichartz估計 195
5.2.2 局部適定性與擾動理論 198
5.3 整體時空估計的證明框架 201
5.3.1 能量歸納——起步階段 201
5.3.2 解的局部化控制 205
5.3.3 局部化的Morawetz估計 210
5.3.4 能量的非聚積現象 216
5.4 物理與頻率的非局部化與時空范數的控制估計 217
5.4.1 某個時刻的頻率非局部化=時空有界 217
5.4.2 在某一時刻勢能（L6x范數）的小性=時空有界 221
5.4.3 任意時刻能量在物理空間中聚積 225
5.4.4 某個時刻在物理空間的非局部化=時空有界 227
5.4.5 逆向Sobolev不等式 235
5.5 Virial恒等式與相互作用的Morawetz位勢 236
5.5.1 Virial恒等式 237
5.5.2 相互作用Virial恒等式與廣義相互作用Morawetz估計 239
5.6 相互作用的Morawetz估計及其派生的技術 242
5.6.1 相互作用的Morawetz框架與平均方法 242
5.6.2 相互作用Morawetz估計-Strichartz控制性估計 255
5.6.3 相互作用的Morawetz：余項的估計 259
5.6.4 相互作用Morawetz：雙Duhamel技術 262
5.7 阻止能量抽空現象 270
5.7.1 研究框架與反證法 270
5.7.2 高頻、中頻與低頻的時空估計 273
5.7.3 局部化L2質量增量的控制.279
第6章 聚焦型能量臨界Schr.dinger方程 287
6.1 問題的歸結及主要結果 288
6.2 幾乎周期解的歸結 298
6.3 三種特殊類型的爆破解 313
6.4 有限時刻爆破解 321
6.5 整體幾乎周期解 324
6.5.1 低頻-高頻的cascade性質 335
6.5.2 孤立子解 336
6.6 爆破機制與能量聚積現象 342
6.6.1 爆破機制 342
6.6.2 爆破點的聚積現象 345
第7章 非線性Klein-Gordon方程的散射理論 356
7.1 問題的提出、比較與直觀視角 356
7.2 變分導數估計與爆破刻畫 364
7.2.1 變分導數估計 364
7.2.2 爆破機制 368
7.3 Klein-Gordon方程整體時空估計.371
7.3.1 非線性Klein-Gordon方程轉化成標準的色散方程 371
7.3.2 Strichartz估計 372
7.3.3 Strichartz范數意義下的整體擾動理論 382
7.4 Klein-Gordon方程輪廓分解 396
7.4.1 線性輪廓分解 396
7.4.2 非線性輪廓分解 413
7.5 臨界元的抽取方法與PS條件 431
7.6 臨界元的排除 434
7.6.1 臨界元的緊性 434
7.6.2 臨界元具有零動量 439
7.6.3 排除臨界元 441
參考文獻 446
名詞索引 458
《現代數學基礎叢書》已出版書目 460
《現代數學基礎叢書》序
前言
第1章 非線性色散方程的物理背景 1
1.1 非線性色散方程的特征 1
1.2 半線性色散方程分類 2
1.3 Schr.dinger群的色散分析 6
1.4 其他色散方程 11
第2章 Fourier分析基礎與Strichartz估計 12
2.1 駐相分析與相空間上的調和分析基礎 12
2.1.1 Fourier變換與Littlewood-Paley投影算子 12
2.1.2 仿積與仿微分算子 21
2.1.3 奇異積分算子 30
2.1.4 駐相分析 31
2.2 Strichartz估計 35
2.2.1 TT方法及經典Strichartz估計 36
2.2.2 雙線性Strichartz估計 39
2.2.3 若干額外Strichartz估計 47
2.3 非線性色散方程的局部分析 51
2.3.1 Hs-臨界Schr.dinger方程的局部適定性 55
2.3.2 質量臨界Schr.dinger方程解的穩定性問題 60
2.3.3 能量臨界Schr.dinger方程的穩定性問題 64
第3章 橢圓理論：基態及其變分刻畫 76
3.1 變分原理、基態解 76
3.1.1 穩態解的構造與強制性 77
3.1.2 變分方法與基態解 82
3.1.3 *佳Gagliardo-Nirenberg不等式 98
3.2 變分導數與Lagrange泛函 102
3.2.1 Pohozaev恒等式 104
3.2.2 預備引理與問題的轉化 106
3.2.3 次臨界情形：21
3.2.4 臨界情形：p=21 115
3.2.5 區域分解的不變性 118
第4章 集中緊致原理與輪廓分解 122
4.1 集中緊致原理的初等分析 122
4.1.1 p（N）空間中的輪廓分解 124
4.1.2 Lp（Rd）-緊性刻畫與Fatou定理 136
4.2 Sobolev緊性虧損的輪廓分解刻畫 143
4.3 Schr.dinger方程輪廓分解及Strichartz緊性虧損 159
4.3.1 H1集中緊性及其對應的輪廓分解刻畫 162
4.3.2 L2集中緊性及其對應的輪廓分解刻畫 173
第5章 非聚焦型能量臨界Schr.dinger方程的整體適定性與散射理論 178
5.1 主要結果與證明策略 178
5.1.1 主要定理與證明分析 180
5.1.2 局部守恒律 188
5.2 局部適定性及穩定性分析 191
5.2.1 五線性Strichartz估計 195
5.2.2 局部適定性與擾動理論 198
5.3 整體時空估計的證明框架 201
5.3.1 能量歸納——起步階段 201
5.3.2 解的局部化控制 205
5.3.3 局部化的Morawetz估計 210
5.3.4 能量的非聚積現象 216
5.4 物理與頻率的非局部化與時空范數的控制估計 217
5.4.1 某個時刻的頻率非局部化=時空有界 217
5.4.2 在某一時刻勢能（L6x范數）的小性=時空有界 221
5.4.3 任意時刻能量在物理空間中聚積 225
5.4.4 某個時刻在物理空間的非局部化=時空有界 227
5.4.5 逆向Sobolev不等式 235
5.5 Virial恒等式與相互作用的Morawetz位勢 236
5.5.1 Virial恒等式 237
5.5.2 相互作用Virial恒等式與廣義相互作用Morawetz估計 239
5.6 相互作用的Morawetz估計及其派生的技術 242
5.6.1 相互作用的Morawetz框架與平均方法 242
5.6.2 相互作用Morawetz估計-Strichartz控制性估計 255
5.6.3 相互作用的Morawetz：余項的估計 259
5.6.4 相互作用Morawetz：雙Duhamel技術 262
5.7 阻止能量抽空現象 270
5.7.1 研究框架與反證法 270
5.7.2 高頻、中頻與低頻的時空估計 273
5.7.3 局部化L2質量增量的控制.279
第6章 聚焦型能量臨界Schr.dinger方程 287
6.1 問題的歸結及主要結果 288
6.2 幾乎周期解的歸結 298
6.3 三種特殊類型的爆破解 313
6.4 有限時刻爆破解 321
6.5 整體幾乎周期解 324
6.5.1 低頻-高頻的cascade性質 335
6.5.2 孤立子解 336
6.6 爆破機制與能量聚積現象 342
6.6.1 爆破機制 342
6.6.2 爆破點的聚積現象 345
第7章 非線性Klein-Gordon方程的散射理論 356
7.1 問題的提出、比較與直觀視角 356
7.2 變分導數估計與爆破刻畫 364
7.2.1 變分導數估計 364
7.2.2 爆破機制 368
7.3 Klein-Gordon方程整體時空估計.371
7.3.1 非線性Klein-Gordon方程轉化成標準的色散方程 371
7.3.2 Strichartz估計 372
7.3.3 Strichartz范數意義下的整體擾動理論 382
7.4 Klein-Gordon方程輪廓分解 396
7.4.1 線性輪廓分解 396
7.4.2 非線性輪廓分解 413
7.5 臨界元的抽取方法與PS條件 431
7.6 臨界元的排除 434
7.6.1 臨界元的緊性 434
7.6.2 臨界元具有零動量 439
7.6.3 排除臨界元 441
參考文獻 446
名詞索引 458
《現代數學基礎叢書》已出版書目 460
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臨界非線性色散方程 節選
第1章非線性色散方程的物理背景 Schrodinger方程是量子力學中的基本模型，從偏微分方程的分類來看，該方程是一個典型色散方程.多玻色相互作用的平均場極限(通過其感應位勢)給出的基態對應著非線性Schr6dinger方程和Hartree方程解的一個因子化態，參見[21，40-42，95，96]. 在具有限能量的非線性色散方程中，非線性Schr6dinger方程作為一個“萬能”的伸縮變換極限形式，它可在多種不同的情形推出.例如：非線性Schrodinger方程可以通過KdV方程的小擾動及大相位調制推出，詳細參見[83，179].質量臨界Schrodinger方程可視為非線性Klein-Gordon方程的非相對極限，詳細參見[88，108].能量臨界非線性Schrddinger方程可視為彎曲空間中具有集中初值的能量臨界Schrodinger方程的極限，參見[69-71]. 1.1非線性色散方程的特征 不同于傳統的橢圓、拋物及雙曲型偏微分方程，非線性色散方程刻畫了線性色散與非線性放大之間相互作用，解的傳播速度依賴于頻率的尺度，“局部能量”隨著時間的演化而減少.非線性Schrodinger方程是非線性色散方程的典范，盡管該方程的解不具極值原理，自由Schrodinger方程的解的譜落在Gauss曲率不為零的時空拋物面上，這類譜幾何特性反映了解具有Strichartz估計，對應著Fourier限制性估計的對偶形式. 一般來講，線性色散算子可表示為:.這些算子在以為基底的Hilbert空間中生成一個連續酉群，它以速度來傳輸平面波，其中對應著色散關系.隨著時間演化，不同頻率部分以不同的速度移動，進而相互分離，這就意味著“局部能量”隨著時間的推移而減少，即使對這些關于時間具有可逆性質的方程也不例外. 非線性放大產生的發散多種多樣.為確定起見，僅考慮相旋轉不變的非線性放大，即滿足.上述非線性實際上對應著半線性方程.為簡單起見，通常取是多項式增長的情形.一般來說，附近的非線性增長階數和非線性項的符號決定解的動力學行為. 非線性色散方程是典型的Hamilton系統，Noether定理決定著這些方程若干守恒律與不變量，為非線性色散方程的研究框架提供重要的物理支撐與數學抉擇.例如：自由Schrddinger方程的解具有質量守恒(L2范數)及范數關于時間的衰減，由此就推出解的L1范數是增長的.由此可見L1范數不可能是我們所選擇的拓撲.再例如，既然解具有L2范數守恒，自然就不存在范數意義下的整體光滑估計，這是色散方程的自然屬性. 1.2半線性色散方程分類 通過色散算子對應的象征的階數(或色散階數幻對色散方程進行分類是目前常用的方式.以Schrddinger方程對應的階色散為標準，KdV與四階Schrodinger方程等對應著的高色散區域.對應著中間色散區域，包括一階色散對應的經典波動方程對應著低色散區域，包含了經典水波方程總之，色散方程的分類可以粗線條地歸結為如下幾種情形： 非線性色散方程的統一表示形式 非線性色散方程是經典的Hamilton方程，可以統一表示為如下形式 (1.2.1) 這里J滿足J2=Id，A是一個線性橢圓算子，是關于的非線性函數. 非線性Schriidinger方程 非線性Schrodinger方程(NLS)可表示為 (1.2.2) 這里是未知函數，p>1是一個實數，AeR. 當時，稱(1.2.2)是非聚焦的(defocusing). 當時，稱(1.2.2)是聚焦的(focusing). 非線性Schr6dinger方程(1.2.2)對應的Hamilton(能量) (1.2.3) 非線性Schr6dinger方程(1.2.2)在上的辛結構 非線性Schr6dinger方程(1.2.2)具有三個守恒量：質量守恒、Hamilton守恒，即 (1.2.4) (1.2.5) 質量守恒源于方程在相旋轉變換 下對應的不變量，動量守恒則對應著方程在平移變換 下對應的不變量.能量守恒對應著在時間平移變換下對應的不變量. 通常，我們對守恒律的局部形式更感興趣，容易看出 特別，存在一個涉及質量二階導數的美妙等式一Virial恒等式，即 (1.2.6) 至于其他類似的例子，可以參見[143，155]. 非線性Schr6dinger方程(1.2.2)另一個特征是在Galilean變換下保持不變.如果(1.2.2)的解，則 (1.2.7) 也是(1.2.2)的解. 完全可積系統 當，p=3時，一維Schrodinger方程(1.2.2)是一個完全可積系統，具有無限多個守恒律.然而，這僅是一個特殊情形.對一般非線性Schrodinger方程(1.2.2)而言，難以期待它是完全可積的. 非線性SchrSdinger方程(1.2.2)具有伸縮不變性，即對于(1.2.2)任意解u，其伸縮變換形式 (1.2.8) 仍然是非線性SchrSdinger方程(1.2.2)的解，相應的初值為 進而，伸縮解滿足如下尺度不變性及 它為我們獲得局部適定性提供了*低正則性空間.見苗長興與張波的專著及[23]. 非線性波動方程與非線性Klein-Gordon方程 考慮非線性波動方程 (1.2.9) 與非線性Klein-Gordon方程 (1.2.10) 這里.當時，對應著非聚焦的波動方程與非聚焦的Klein-Gordon方程；當時，它們分別對應著聚焦情形.記 (1.2.11) 稱為能量臨界指標，對應著質量臨界指標.容易看出，方程(1.2.9)與(1.2.10)分別具有Hamilton守恒量： 及動量守恒量 非線性波動方程與非線性Klein-Gordon方程對應的辛結構： 記 則方程(1.2.9)或(1.2.10)對應的Lagrange密度分別為 (1-2.12) 注意到微分算子貸出現在的變分中，直接驗算的臨界點 (1.2.14) 對應著方程(1.2.9)或(1.2.10)的弱解，這里 令 則在函數變換 下，非線性波動方程與非線性Klein-Gordon方程可以寫成 (1.2.15) 因此，相應的Hamilton形式就可以表示為 (1.2.16) 梯度算子▽作用在復數域上的Hilbert空間上形成的內積可表示為 (1.2.17) 1.3Schrodinger群的色散分析 Schrodinger解算子對應的核函數可表示為 (1.3.1) 它的許多性質均可通過駐相分析的方法獲得.Fraunholer漸近輪廓公式是核函數表示式著名應用之一.這個術語源于光學，它刻畫了單色光在近軸逼近中的繞射斑圖.
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