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代數(shù)數(shù)論及其通信應(yīng)用 版權(quán)信息
- ISBN：9787030748546
- 條形碼：9787030748546 ; 978-7-03-074854-6
- 裝幀：一般膠版紙
- 冊數(shù)：暫無
- 重量：暫無
- 所屬分類：>
代數(shù)數(shù)論及其通信應(yīng)用 內(nèi)容簡介
近年來,特別是二十世紀中期以來數(shù)字計算機和數(shù)字通信、網(wǎng)絡(luò)通信和量子通信的發(fā)展,數(shù)論(包括代數(shù)數(shù)論)在數(shù)學(xué)其他分支以及統(tǒng)計試驗設(shè)計、數(shù)值計算、物理學(xué)特別是信息領(lǐng)域得到廣泛而深刻,甚至是"不可預(yù)測"的應(yīng)用.代數(shù)數(shù)論逐漸成為這些領(lǐng)域的研究工具和手段,想了解和學(xué)習(xí)代數(shù)數(shù)論的人日益增加.本書講述的是"經(jīng)典"代數(shù)數(shù)論及其在通信領(lǐng)域的應(yīng)用，分兩部分，**部分講述理論方面，介紹經(jīng)典代數(shù)數(shù)論的基本內(nèi)容(代數(shù)整數(shù)環(huán)和素理想分解,理想類群和類數(shù),單位群),也介紹一點解析方法和二十世紀初期產(chǎn)生的局部化方法。第二部分介紹代數(shù)數(shù)論在通信方面的應(yīng)用，我們在這里挑選的應(yīng)用例子,基于以下幾個原則：它們在應(yīng)用中是重要的；它們能展示代數(shù)數(shù)論的應(yīng)用威力。
代數(shù)數(shù)論及其通信應(yīng)用 目錄
目錄
《現(xiàn)代數(shù)學(xué)基礎(chǔ)叢書》序
前言
**部分 理論
第1章 預(yù)備知識（1）：交換環(huán) 3
1.1 交換環(huán)和它的理想 3
1.2 主理想整環(huán)、唯一因子分解整環(huán)和戴德金整環(huán) 10
第2章 預(yù)備知識（2）：域的代數(shù)擴張 15
2.1 域的代數(shù)擴張 15
2.2 伽羅瓦擴張 18
2.3 有限域 29
第3章 代數(shù)數(shù)域和代數(shù)整數(shù)環(huán) 37
3.1 代數(shù)數(shù)域 37
3.2 代數(shù)整數(shù)環(huán) 42
3.3 單位群轉(zhuǎn)位根群 51
第4章 整數(shù)環(huán)中的素理想分解 56
4.1 戴德金整環(huán) 56
4.2 素理想分解：一般性結(jié)果 61
4.3 素理想分解：二次域情形 66
4.4 素理想分解：分圓域的情形 72
4.5 素理想分解：伽羅瓦擴張情形 77
4.6 二次域是分圓域的子域 93
第5章 理想類群和理想類數(shù) 99
5.1 分式理想和理想類群 99
5.2 類數(shù)解析公式 105
第6章 p-adic數(shù)域 117
6.1 p-adic賦值 118
6.2 p-adic數(shù)域和p-adic整數(shù)環(huán) 122
6.3 Qp上解代數(shù)方程：牛頓迭代法 130
6.4 Qp[x]中因式分解：亨澤爾引理和牛頓折線 136
6.5 二次型的局部-整體原則 143
6.6 代數(shù)數(shù)域的局部理論 153
第7章 高斯和與雅可比和 159
7.1 有限交換群的特征理論 159
7.2 高斯和與雅可比和 166
7.3 e次高斯和（e=2，3，4） 175
7.3.1 二次高斯和 175
7.3.2 四次高斯和 176
7.3.3 三次高斯和 179
7.4 費馬方程和Artin-Schreier方程、分圓數(shù) 182
第二部分 應(yīng)用
第8章 組合設(shè)計 193
8.1 區(qū)組設(shè)計 193
8.2 差集合 199
8.3 有限幾何 210
8.4 球面設(shè)計和量子測量 222
第9章 代數(shù)編碼理論 232
9.1 什么是糾錯碼？ 232
9.2 線性碼 236
9.3 循環(huán)碼 247
9.4 不可約循環(huán)碼的重量分布 253
第10章 序列 265
10.1 二元周期序列的自相關(guān)性能（1）：構(gòu)作方法 265
10.2 二元周期序列的自相關(guān)性能（2）：不存在性 279
10.3 m元周期序列自相關(guān)性能 286
10.4 p元周期序列組的互相關(guān) 292
10.5 序列的線性復(fù)雜度 298
10.6 序列的p-adic復(fù)雜度 311
第11章 布爾函數(shù)的密碼學(xué)性質(zhì) 318
11.1 布爾函數(shù) 318
11.2 非線性度、bent函數(shù) 324
11.3 Bent函數(shù)的構(gòu)作：單項函數(shù) 330
11.4 廣義bent函數(shù) 340
11.5 代數(shù)免疫度 347
參考文獻 357
《現(xiàn)代數(shù)學(xué)基礎(chǔ)叢書》已出版書目 360
《現(xiàn)代數(shù)學(xué)基礎(chǔ)叢書》序
前言
**部分 理論
第1章 預(yù)備知識（1）：交換環(huán) 3
1.1 交換環(huán)和它的理想 3
1.2 主理想整環(huán)、唯一因子分解整環(huán)和戴德金整環(huán) 10
第2章 預(yù)備知識（2）：域的代數(shù)擴張 15
2.1 域的代數(shù)擴張 15
2.2 伽羅瓦擴張 18
2.3 有限域 29
第3章 代數(shù)數(shù)域和代數(shù)整數(shù)環(huán) 37
3.1 代數(shù)數(shù)域 37
3.2 代數(shù)整數(shù)環(huán) 42
3.3 單位群轉(zhuǎn)位根群 51
第4章 整數(shù)環(huán)中的素理想分解 56
4.1 戴德金整環(huán) 56
4.2 素理想分解：一般性結(jié)果 61
4.3 素理想分解：二次域情形 66
4.4 素理想分解：分圓域的情形 72
4.5 素理想分解：伽羅瓦擴張情形 77
4.6 二次域是分圓域的子域 93
第5章 理想類群和理想類數(shù) 99
5.1 分式理想和理想類群 99
5.2 類數(shù)解析公式 105
第6章 p-adic數(shù)域 117
6.1 p-adic賦值 118
6.2 p-adic數(shù)域和p-adic整數(shù)環(huán) 122
6.3 Qp上解代數(shù)方程：牛頓迭代法 130
6.4 Qp[x]中因式分解：亨澤爾引理和牛頓折線 136
6.5 二次型的局部-整體原則 143
6.6 代數(shù)數(shù)域的局部理論 153
第7章 高斯和與雅可比和 159
7.1 有限交換群的特征理論 159
7.2 高斯和與雅可比和 166
7.3 e次高斯和（e=2，3，4） 175
7.3.1 二次高斯和 175
7.3.2 四次高斯和 176
7.3.3 三次高斯和 179
7.4 費馬方程和Artin-Schreier方程、分圓數(shù) 182
第二部分 應(yīng)用
第8章 組合設(shè)計 193
8.1 區(qū)組設(shè)計 193
8.2 差集合 199
8.3 有限幾何 210
8.4 球面設(shè)計和量子測量 222
第9章 代數(shù)編碼理論 232
9.1 什么是糾錯碼？ 232
9.2 線性碼 236
9.3 循環(huán)碼 247
9.4 不可約循環(huán)碼的重量分布 253
第10章 序列 265
10.1 二元周期序列的自相關(guān)性能（1）：構(gòu)作方法 265
10.2 二元周期序列的自相關(guān)性能（2）：不存在性 279
10.3 m元周期序列自相關(guān)性能 286
10.4 p元周期序列組的互相關(guān) 292
10.5 序列的線性復(fù)雜度 298
10.6 序列的p-adic復(fù)雜度 311
第11章 布爾函數(shù)的密碼學(xué)性質(zhì) 318
11.1 布爾函數(shù) 318
11.2 非線性度、bent函數(shù) 324
11.3 Bent函數(shù)的構(gòu)作：單項函數(shù) 330
11.4 廣義bent函數(shù) 340
11.5 代數(shù)免疫度 347
參考文獻 357
《現(xiàn)代數(shù)學(xué)基礎(chǔ)叢書》已出版書目 360
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代數(shù)數(shù)論及其通信應(yīng)用 節(jié)選
**部分理論 第1章預(yù)備知識(1):交換環(huán) 我們假定讀者熟悉群論的基本概念和結(jié)果(群和子群、陪集分解、正規(guī)子群和商群、群的同構(gòu)和同態(tài)、同態(tài)基本定理、有限交換群的結(jié)構(gòu))，本章和第2章復(fù)習(xí)一下環(huán)論和域論的一些基本概念和結(jié)果，這些知識對于學(xué)習(xí)代數(shù)數(shù)論是至關(guān)重要的. 1.1交換環(huán)和它的理想 粗糙地說，一個集合叫作環(huán)，是指其中有加、減、乘法運算，并且這些運算滿足一些通常的運算規(guī)律丨結(jié)合律、交換律和分配律：).確切地說，我們有如下的定義. 定義1.1集合R叫作環(huán)(ring)，是指其上有兩個二元運算+(加法）和 (乘法)，并且滿足以下條件： (i)(R，+)是交換群，從而有(唯一）零元素0，使得對每個，0+a(=a+0)=a，而a的負元素表成-a，加法的逆運算即為減法. (ii)(R， )是含1半群，并且1#0，即乘法滿足結(jié)合律a(bc)=(ab)c，并且有(唯一）么元素1，使得對每個，l.a=a.l=a. (iii)分配律：對于a，6，c∈R，a(b+c)=ab+ac，(b+c)a=ba+ca. 注記1.在定義1.1中我們要求加法滿足交換律，但是不要求乘法滿足交換律.如果乘法也滿足交換律，即ab=ba，則稱R為交換環(huán).今后若不聲明，我們涉及的環(huán)R都是交換環(huán). 2.環(huán)R對乘法不能為群，這是因為對每個a∈R，0 a=a-0=0.所以0對于乘法不是可逆元素，環(huán)R中對乘法可逆的元素a(即存在唯一元素b∈R，使得ab=ba=1)，今后叫作環(huán)R中的單位(unit)，而b叫作a的逆元素，表示成.R中全體單位形成一個乘法群，叫作環(huán)R的單位群，表示成或者單位群愈大，則環(huán)R中做除法乘法的逆運算愈靈活.如果每個非零元素均為單位，便稱交換環(huán)R為域(field).這時，每個非零元素a都可以除b，得到，也表成. 3.設(shè)N是加法(交換）群(R，+)的一個子群，則我們有集合它的元素是R對子群N的一個陪集，這個元素也表示成當且僅當.我們在每個陪集中取出一個元素，它們所成的集合S叫作一個完全代表系，這時集合為，并且所有陪集是集合R的一個分拆，也就是說，不同的陪集彼此不相交，并且所有陪集的并集為環(huán)R.在集合中定義加法運算，可以驗證這個運算是可以定義的，即和代表元的選取方式無關(guān)，由此使成為群，叫作加法群R對于子群N的商群. 能否把環(huán)R中的乘法運算也自然地引入到中來呢？即對于和我們能否定義如果只是的一個加法子群，這個運算不總是可以定義的，即當，時，不一定等于.例如，取R為復(fù)數(shù)域C，N取為實數(shù)域R，則R為C的加法子群.在加法商群中，(其中).但是不等于，因為不是實數(shù).為了使環(huán)中乘法運算自然地引入到中來，需要子群N具有更強的條件，這就導(dǎo)致環(huán)論中一個重要的概念：理想. 定義1.2交換環(huán)R中的一個非空子集I叫作環(huán)R的一個理想(ideal)，是指它滿足以下兩個條件： (1) (2) 對每個交換環(huán)R，{0}和R均是R的理想，{0}叫作零理想，不為R的理想叫作真理想(proper ideal). 可以證明：若I為交換環(huán)R的一個理想，則加法商群R/I中可以自然地定義乘法互，即這個定義和，中代表元，的選取方式無關(guān)，并且R/I對于加法和乘法形成交換環(huán)，叫作R對于理想I的商環(huán). 環(huán)論的基本任務(wù)是研宄環(huán)的性質(zhì)和代數(shù)結(jié)構(gòu)，和數(shù)學(xué)的其他學(xué)科一樣，我們要在各種環(huán)之間的聯(lián)系當中來把握環(huán)的性質(zhì)和結(jié)構(gòu)，這種聯(lián)系要與環(huán)之間的運算相容.確切地說，我們有以下的定義1.3. 定義1.3設(shè)R和S是兩個環(huán)，映射:叫作由R到S的一個環(huán)同態(tài)(ringhomomorphism)，是指對任何a，b∈R， (如此可推出.進而若是單射，則小叫作單同態(tài)(monomorphism).若是滿射，則叫作滿同態(tài)(epimorphism).如果珍是雙射，則多稱為環(huán)的同構(gòu)(isomorphism)，表示成，這時，也是環(huán)的同構(gòu). 在環(huán)論中，同構(gòu)的環(huán)看成是同一個(抽象的）環(huán)，它們有同樣的代數(shù)結(jié)構(gòu).環(huán)論的一個重要事情是發(fā)現(xiàn)不同環(huán)R和S之間的同態(tài)，由此來把握環(huán)R或S的性質(zhì)和結(jié)構(gòu).所以下面的結(jié)果是環(huán)論的核心. 定理1.1(環(huán)的同態(tài)定理）設(shè):是交換環(huán)的同態(tài)，則 (1) (2) (3)可以定義自然映射 并且系是環(huán)的同構(gòu).特別地， 若：是環(huán)的單同態(tài)，則R同構(gòu)于S的子環(huán). 若：是環(huán)的滿同態(tài)，則商環(huán)與環(huán)S同構(gòu). 現(xiàn)在介紹交換環(huán)的理想之間可以定義的一些運算.設(shè)R為交換環(huán). (I)設(shè)A和B是環(huán)R的兩個理想，不難驗證集合 也是環(huán)R的理想，稱作理想A與B的和.類似可以定義多個理想之和，并且有交換律和結(jié)合律：A+B=B+A，(A+B)+C=A+(B+C). (II)對于環(huán)R的兩個理想A和B，不難驗證它們的交集也是環(huán)B的理想，叫作理想A和B的交. (III)設(shè)A和B是環(huán)R的理想，集合—般來說不必為環(huán)R的理想，因為不一定能表成.但是比它更大的集合. 是環(huán)R的理想，叫作理想A和B的積.類似可定義多個理想的乘積，并且滿足. 從集合大小的角度來看，零理想和R分別是交換環(huán)R的*小和*大理想，而對于R的理想A和我們有. 如果A+B=R，我們稱A和S是互素的理想.設(shè)R和S是兩個環(huán)，在集合 當中定義運算 則對于上述運算形成環(huán)，零元素和幺元素分別為和.并且S為交換環(huán)當且僅當R和S均為交換環(huán).叫作環(huán)R和S的直和.類似可定義多個環(huán)的直和. 下面的定理1.2是初等數(shù)論中關(guān)于整數(shù)同余性質(zhì)的中國剩余定理在環(huán)論中的推廣. 定理1.2(中國剩余定理）設(shè)A1， ，An是交換環(huán)R的理想，并且當時，和互素，則有環(huán)同構(gòu) (n個商環(huán)的直和)， 其中對于a∈R， 定義1.4交換環(huán)R叫作整環(huán)(domain)，是指對于a，beR，如果ab=0，則a=0或者6=0.換句話說，對于R中任意兩個非零元素a和b，ab也是非零 注記1.對于環(huán)R中兩個非零元素a和b，如果ab=0，我們稱a(和b)為環(huán)R中的一個零因子.所以R為整環(huán)當且僅當R是沒有零因子的交換環(huán).交換環(huán)R中的每個單位a∈R*(即乘法可逆元）都不是零因子，因若ab=0，則.對于任意域F，F(xiàn)中非零元素都是乘法可逆的，從而P以及F的每個子環(huán)都是整環(huán). 2.在整環(huán)R中我們有乘法消去律：若a，b，c∈R，a≠0，如果ab=ac，則b=c. 3.*典型的整環(huán)例子是整數(shù)環(huán)Z以及域F上的多項式環(huán).不是整環(huán)的*簡單的例子是同余類環(huán)，其中，但是. 我們可以把初等數(shù)論中的整除概念推廣到任意整環(huán)中來. 定義1.5設(shè)R為整環(huán)，a，b∈R并且a≠0.我們稱a整除b(或者說b被a整除)，表示成a|6，是指存在c∈R，使得ac=b.如果a不整除b，則表示成a|b.當a|b時，a叫b)的因子，b叫a的倍元.
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