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常微分方程定性理論基礎 版權信息
- ISBN：9787030742797
- 條形碼：9787030742797 ; 978-7-03-074279-7
- 裝幀：一般膠版紙
- 冊數：暫無
- 重量：暫無
- 所屬分類：>
常微分方程定性理論基礎 內容簡介
本書是作者在多年主講研究生“微分方程定性理論”課程講稿的基礎上整理而成。主要內容包括微分方程基本定理、穩定性理論、周期微分方程、自治系統定性理論、分支理論初步等內容，大部分章節都配有適量且難易兼顧的習題。本書介紹了常微分方程定性理論的經典理論及方法，同時簡單介紹了分支理論的研究方法和研究進展。
常微分方程定性理論基礎 目錄
前言
第1章 微分方程基本定理 1
1.1 存在與唯一性定理 1
1.2 解的延拓 12
1.3 解對初值和參數的連續性與可微性 18
第2章 穩定性基本理論 30
2.1 基本概念 30
2.1.1 穩定性定義 30
2.1.2 穩定性的幾個等價命題 33
2.2 李雅普諾夫基本定理 35
2.2.1 李雅普諾夫函數 36
2.2.2 基本定理 38
2.3 線性系統的穩定性 46
2.3.1 線性非齊次與齊次系統穩定性的等價性 46
2.3.2 齊次線性系統穩定性條件 47
2.4 常系數線性微分方程及其擾動 51
2.4.1 常系數線性系統的穩定性 51
2.4.2 常系數線性系統的擾動 57
第3章 周期微分方程 62
3.1 Poincaré映射與周期解 62
3.1.1 Poincaré映射 62
3.1.2 周期線性微分方程 63
3.2 周期解的存在性 69
3.2.1 壓縮映射方法 69
3.2.2 隱函數定理方法 72
3.3 改進的泰勒公式與隱函數定理 75
3.3.1 含參量積分 75
3.3.2 改進的泰勒公式 76
3.3.3 隱函數定理 78
3.4 平均法 79
3.4.1 光滑周期微分方程 80
3.4.2 分段光滑的周期微分方程 84
3.5 一維周期系統.88
3.5.1 解的基本性質 88
3.5.2 穩定性定理的證明 93
3.5.3 周期解的個數 97
第4章 自治系統定性理論 103
4.1 高維自治系統 103
4.1.1 解的延拓性 103
4.1.2 動力系統概念 105
4.1.3 奇點與閉軌 106
4.1.4 極限點與極限集 110
4.1.5 局部不變流形 113
4.2 平面極限集結構 124
4.3 平面奇點分析 130
4.3.1 平面線性系統 131
4.3.2 平面非線性系統 139
4.4 焦點與中心判定 147
4.4.1 后繼函數與焦點穩定性 147
4.4.2 焦點量與焦點階數 152
4.4.3 Poincaré形式級數法 161
4.4.4 存在中心的條件 173
4.5 極限環 181
4.5.1 極限環穩定性與重數 181
4.5.2 極限環存在性與唯一性 189
4.6 Liénard系統的奇點與極限環 194
4.6.1 奇點穩定性分析 195
4.6.2 Liénard系統的極限環 .200
第5章 分支理論初步 204
5.1 預備知識 204
5.1.1 結構穩定與分支 204
5.1.2 含參數函數族的零點個數 206
5.2 基本分支問題研究 215
5.2.1 鞍結點分支 215
5.2.2 Hopf分支基本理論 220
5.2.3 多重極限環的擾動分支 228
5.2.4 同宿分支 236
5.3 近哈密頓系統的極限環分支 245
5.3.1 Melnikov函數 246
5.3.2 中心奇點與同宿軌附近的極限環 253
5.3.3 Bogdanov-Takens分支 264
5.4 分支理論新進展 273
5.4.1 Melnikov函數方法與平均法的等價性 273
5.4.2 分段光滑微分方程 276
5.4.3 含雙小參數的微分方程 286
參考文獻 290
第1章 微分方程基本定理 1
1.1 存在與唯一性定理 1
1.2 解的延拓 12
1.3 解對初值和參數的連續性與可微性 18
第2章 穩定性基本理論 30
2.1 基本概念 30
2.1.1 穩定性定義 30
2.1.2 穩定性的幾個等價命題 33
2.2 李雅普諾夫基本定理 35
2.2.1 李雅普諾夫函數 36
2.2.2 基本定理 38
2.3 線性系統的穩定性 46
2.3.1 線性非齊次與齊次系統穩定性的等價性 46
2.3.2 齊次線性系統穩定性條件 47
2.4 常系數線性微分方程及其擾動 51
2.4.1 常系數線性系統的穩定性 51
2.4.2 常系數線性系統的擾動 57
第3章 周期微分方程 62
3.1 Poincaré映射與周期解 62
3.1.1 Poincaré映射 62
3.1.2 周期線性微分方程 63
3.2 周期解的存在性 69
3.2.1 壓縮映射方法 69
3.2.2 隱函數定理方法 72
3.3 改進的泰勒公式與隱函數定理 75
3.3.1 含參量積分 75
3.3.2 改進的泰勒公式 76
3.3.3 隱函數定理 78
3.4 平均法 79
3.4.1 光滑周期微分方程 80
3.4.2 分段光滑的周期微分方程 84
3.5 一維周期系統.88
3.5.1 解的基本性質 88
3.5.2 穩定性定理的證明 93
3.5.3 周期解的個數 97
第4章 自治系統定性理論 103
4.1 高維自治系統 103
4.1.1 解的延拓性 103
4.1.2 動力系統概念 105
4.1.3 奇點與閉軌 106
4.1.4 極限點與極限集 110
4.1.5 局部不變流形 113
4.2 平面極限集結構 124
4.3 平面奇點分析 130
4.3.1 平面線性系統 131
4.3.2 平面非線性系統 139
4.4 焦點與中心判定 147
4.4.1 后繼函數與焦點穩定性 147
4.4.2 焦點量與焦點階數 152
4.4.3 Poincaré形式級數法 161
4.4.4 存在中心的條件 173
4.5 極限環 181
4.5.1 極限環穩定性與重數 181
4.5.2 極限環存在性與唯一性 189
4.6 Liénard系統的奇點與極限環 194
4.6.1 奇點穩定性分析 195
4.6.2 Liénard系統的極限環 .200
第5章 分支理論初步 204
5.1 預備知識 204
5.1.1 結構穩定與分支 204
5.1.2 含參數函數族的零點個數 206
5.2 基本分支問題研究 215
5.2.1 鞍結點分支 215
5.2.2 Hopf分支基本理論 220
5.2.3 多重極限環的擾動分支 228
5.2.4 同宿分支 236
5.3 近哈密頓系統的極限環分支 245
5.3.1 Melnikov函數 246
5.3.2 中心奇點與同宿軌附近的極限環 253
5.3.3 Bogdanov-Takens分支 264
5.4 分支理論新進展 273
5.4.1 Melnikov函數方法與平均法的等價性 273
5.4.2 分段光滑微分方程 276
5.4.3 含雙小參數的微分方程 286
參考文獻 290
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常微分方程定性理論基礎 節選
第1章微分方程基本定理 常微分方程基本定理主要是指論述微分方程的初值問題解的存在性與唯一性、解的延拓以及解對初值與參數的連續性與可微性等方面的定理，這些定理是研究微分方程的基本工具.這部分內容應該是數學專業本科生常微分方程課程的重要內容，也是這個課程學習的難點.由于這些基本定理的重要性，本章比較系統地給予論述，以便讀者更好地掌握和運用它們. 1.1存在與唯一性定理 為便于理解，本節先來考慮一維常微分方程的初值問題解的存在與唯一性.設有二元函數，其中G為一平面區域，則該函數確定了定義在G上的一維微分方程 (1.1.1) 設（為G的任一內點（因此必有一個完全位于G內的開鄰域).考慮初值問題 (1.1.2) 關于該初值問題的解的存在性與唯一性，我們有下述基本定理. 定理1.1.1設滿足下列兩個條件： (1)函數在區域G中連續； (2)偏導數fy在G內存在且連續， 則對G中任一內點，必存在h>0，使初值問題（1.1.2)存在唯一的定義于區間上的解，且當時點位于G內.下面我們對定理的條件與結論及其證明作一些說明. 首先，初值問題（1.1.2)存在唯一的定義于區間.上的解是說： 常微分方程定性理論基礎 (1) (2) 其次，由于為G的內點，故必存在，使下列矩形區域 (1.1.3) 含于G內.于是由定理的條件知，函數與均在上存在且連續，從而函數在閉矩形上必有上界，記 則由微分中值定理知 (1.1.4) 此時，我們稱函數f在R上關于y滿足利普希茨條件，同時稱L為/在上的利普希茨常數.因此，定理1.1.1的第二個條件保證了函數/在G內的任一點的某一矩形鄰域上滿足利普希茨條件.我們稱這樣的/滿足局部利普希茨條件.于是為證明定理1.1.1，只需證明以下定理. 定理1.1.2設函數f(x，y)定義于由（1.1.3)給出的矩形域R上，且滿足下列兩個條件： (1)函數f在R中連續； ⑶函數/在中關于y滿足利普希茨條件，即存在常數使成立，則初值問題存在唯一的定義于區間上的解，其中 證明利用Picard逼近法，分5步給出詳細證明. 第1步將微分方程轉化為積分方程.直接驗證易見，給定函數是(1.1.2)的定義于區間上的解當且僅當它是下列積分方程 (1.1.5) 因此，我們只需證明積分方程（1.1.5)存在唯一的定義于區間上的解 第2步構造Picard迭代序列. 取抑⑷為常值，則顯然在上連續.定義外⑷如下: 因為/在上連續，故外在上連續，且對一有 因此，對一切，函數有定乂且連續于上的連續函數，且滿足現定義如下： 則顯然在上有定義且連續，而且在該區間上滿足 這樣，我們用歸納法定義了一函數序列，且對任一，在上有定乂且柄足 (1.1.7) 第3步證明在上一致收斂于某函數.首先注意到 假設已有定義 (1.1.6) 只需證明函數項級數 常微分方程定性理論基礎 在上一致收斂.為此，令.利用數學分析中的優級數判別法，只需證明存在收斂的常數項級數使對一切 成立 取，為證（1.1.8)對所取成，只需證 (1.1.9) 我們用歸納法來證明（1.1.9)對一切成立.事實上，對，由（1.1.6)知 要證(1.1.9)對成立.由(1.1.6)及uk的定義，我們有 從而由（1.1.10)知 由此即知（1.1.9)對成立，從而（1.1.8)對成立.由于 故由優級數判別法知無窮項級數 在上一致收斂.記其和函數為則 且由一致收斂級數的性質知在上連續.進一步由（1.1.6)與(1.1.7)知成立 (1.1.11) 第4步證明f{x)為（1.1.5)之解.由條件（1.1.4)及（1.1.7)與（1.1.11)知 由于一致收斂于，故一致收斂于，從而由一致收斂函數列的性質知，當時在上一致有 于是，在（1.1.6)兩邊取極限得 這即表示之解. 第5步證明咖為（1.1.5)之唯一解.設（1.1.5)另有解，定義于區間，則滿足 要證對一切有，為證此只需證 6常微分方程定性理論基礎 事實上，與（1.1.9)完全類似利用歸納法可證（請讀者給出） (1.1.12) 此即為所證.定理證畢.□ 我們把由定義的稱為的第n次近似解.由知該近似解與（精確）解之間的誤差估計為 由微分中值定理知，如果fy在矩形域R上存在且連續，則滿足（1.1.4)的*小的利普希茨常數L為 上面的定理1.1.1的結論有明顯的幾何意義：對G的任一內點，初值問題（1.1.2)的解確定唯一一條通過點的積分曲線.換句話說：G內兩條不同的積分曲線必不能相交. 又由定理1.1.2之前的說明知，定理1.1.1的條件(3)可以減弱為“函數/在G內關于y滿足局部利普希茨條件”，即有下述推論. 推論1.1.1設f{x，y)滿足下列兩個條件： (1)函數/在區域G中連續； (2)函數/在區域G內關于y滿足局部利普希茨條件. 則對G中任一內點，必存在，使初值問題（1.1.2)存在唯一的定義于區間上的解時點位于G內. 上面推論中的“區域”G的意思是：G是某一個連通開集Gq與這個開集之部分邊界的并，即 因此，區域G可能是開集，可能是閉集，也可能非開非閉. 我們今后把定理1.1.1、定理1.1.2與推論1.1.1都稱為解的存在與唯一性定理.需要指出的是，這些命題中的條件僅是充分的. 例1.1.1試證明初值問題 (1.1.13) 有無窮多個解.
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